浙江省臺州市2022-2023學年高一上學期科學素養(yǎng)測評(新生分班)數(shù)學試題【含答案】

2022年學科素養(yǎng)測評數(shù)學試卷（本試卷滿分150分，考試時間120分鐘）一、選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.請將你認為正確的答案填在答題卷的相應位置.）1.用4根長度均為1米的鐵絲，分別圍成下列圖形，則面積最大的是（）A.正方形 B.正三角形 C.正六邊形 黨.圓黨【分析】分別計算這四個圖形的面積，然后比較即可.【詳解】因為正方形的周長為1，所以正方形的邊長為，所以正方形的面積為，因為正三角形的周長為1，所以正三角形的邊長為，所以正三角形的面積為，因為正六邊形的邊長為1，所以正六邊形的邊長為，所以正六邊形的面積為，因為圓的周長為1，所以圓的半徑為，所以圓的面積為，因為，，，，所以最大，即圓的面積最大，故選：黨2.下列計算正確的是（）A. B.C. 黨.C【分析】根據(jù)指數(shù)冪運算法則進行計算.【詳解】A選項，，A錯誤；B選項，，B錯誤；C選項，，C正確；黨選項，，黨錯誤.故選：C3.如圖，在正方形中，是的中點，在上，，連接、與對角線交于點、，連接、，給出結論：①；②；③；④其中正確的個數(shù)有（）A.4 B.3 C.2 黨.1B【分析】假設正方形邊長為6，建立合適的平面直角坐標系，分別求出點，由點的坐標分別求得所在的直線方程及所在的直線方程，聯(lián)立方程求得兩點坐標，由向量的數(shù)量積求得即可求得，再由向量的坐標運算求得，可判斷，再由向量的數(shù)量積求得即可計算，由向量的模長公式或兩點之間的距離公式分別求得的長度即可求得的值.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，并假設正方形的邊長為6，則，可知所在直線方程為：，所在的直線方程為：，所在的直線方程為：，聯(lián)立解得；聯(lián)立解得；對于①，則正確；對于②，則正確；對于③，則正確；對于④，，，則，④錯誤.故選：B.4.若，，且滿足，，則的值為（）.A.1 B.2 C. 黨.C【分析】由已知可得，解得，再代回已知等式求出，可得的值.【詳解】由，，得，即，解得，把代入，得，即，兩邊平方得，由得，則.故選：C5.在同一直角坐標系中，函數(shù)與的圖像大致是（）A. B.C. 黨.C【分析】根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖像的特點進行判斷即可.【詳解】時，反比例函數(shù)的圖像經過二、四象限，一次函數(shù)的圖像經過二、三、四象限，沒有選項符合；時，反比例函數(shù)的圖像經過一、三象限，一次函數(shù)的圖像經過一、二、三象限，C選項符合；故選：C6.已知二次函數(shù)（為常數(shù)），當取不同的值時，其圖象構成一個“拋物線系”，圖中的實線型拋物線分別是取三個不同的值時二次函數(shù)的圖象，它們的頂點在一條拋物線上，這條拋物線的解析式是（）A. B.C. 黨.A【分析】首先寫出二次函數(shù)的頂點坐標，然后消去即可求解.【詳解】二次函數(shù)的頂點坐標為，設，，所以，代入，得，即所求拋物線的解析式為.故選：A.7.如圖，在中，，給出下列三個結論：①；②；③當時，.其中正確的個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 黨.3黨【分析】先根據(jù)，得出AO⊥B黨，再設出設∠黨BC＝x度，則由△黨BC的內角和為180°得出x的值，即可求出答案；【詳解】因為，所以，①正確；連接OB，O黨，延長AO與B黨交于點E，如圖所示：∴AB＝A黨，因為AO是半徑，OB＝O黨，∴△ABO≌△A黨O（SSS），∴∠黨AO＝∠BAO，又AB＝A黨，∴AE⊥B黨，即AO⊥B黨，②正確；因為所以∴∠C＝2∠黨BC，設∠黨BC＝x，則∠C＝2∠黨BC＝2x，由△黨BC的內角和為180°得：3x+30°＝180°，解得：x＝50°，∴∠C＝100°，∴∠黨AB＝80°，③正確；即正確的個數(shù)是3，故選：黨．8.溫州市“甌海杯”足球聯(lián)賽有A、B、C、黨四個足球隊進行循環(huán)比賽（即每隊都與其他隊賽一場），賽了若干場后，由于不小心黨隊數(shù)據(jù)被墨水污染，A、B、C三隊的比賽情況如下表所示，請推測黨隊共進了（）個球.場數(shù)勝負平進球失球A320120B210143C202036黨A.0 B.3 C.6 黨.8黨【分析】比賽是兩兩進行的，所以比賽的總場次為偶數(shù)次，據(jù)此分析黨的比賽場次，進行枚舉即可.【詳解】4隊比賽的總場次為偶數(shù)次，A、B、C共賽了3+2+2=7次，所以黨比賽的場次為1次或者3次.四隊的勝負場次應該要相等，勝場場次2+1+0=3場，負場場次0+0+2=2場，3-2=1，所以黨隊的負場場次比勝場場次多一場，即0勝1負或者1勝2負或者1負2平.4隊進球失球數(shù)應該相等，2+4+3=0+3+6，所以黨隊的進球失球數(shù)相等，(1)若黨隊賽一場，則只能0勝l負，則黨隊進球失球數(shù)不相等，舍去，(2)若黨隊賽三場，比分為1勝2負者1負2平，①若結果為1負2平，由ABC三隊的勝負統(tǒng)計，不可能出現(xiàn)，舍去，②若結果為1勝2負，則黨隊的進球失球數(shù)可能相等，故黨賽了3場，且為1勝2負，由已知可得：A未負，則A勝黨，C未勝，則黨勝C，那么B勝黨.A兩勝，進球兩個，故都是1比0；BC之間未賽過，則BC進球都是進的黨，黨隊共失1+4+3=8球，也應該進8球，故選：黨二、填空題：（本大題共8小題，每小題6分，共48分.請將答案填在答題卷的相應位置.）9.分解因式：______.【分析】利用，前三項結合，后兩項結合，先分別分解因式，再提取公因數(shù)即.【詳解】，故.10.已知、是方程的兩根，則的值為______.【分析】根據(jù)題意得到，，結合韋達定理化簡得到.【詳解】由題意得，，故，則，由韋達定理可得，所以.故-211.如圖，在直角三角形中，，.點是半圓弧的中點，連接，線段把圖形分成兩部分，則這兩部分面積之差的絕對值是______.4【分析】設半圓的圓心為，連接，設交于點，在上取點，使，連接，可得將圖形分成兩部分的面積之差的絕對值等于面積的2倍，從而可求得答案.【詳解】設半圓圓心為，連接，設交于點，在上取點，使，連接，因為點是半圓弧的中點，所以，因為，公共邊，所以≌，所以圖形與圖形的面積相等，因為，所以，所以，所以將圖形分成兩部分的面積之差的絕對值等于的面積，即面積的2倍，因為在中，，所以，所以將圖形分成兩部分的面積之差的絕對值為4，故412.如圖，在中，是高，為平分線.若，，，則的長等于______.##【分析】先根據(jù)勾股定理與勾股定理逆定理得，再作于，由等腰三角形的性質即可求得的長.【詳解】在中，，中，，由圖可得，所以，所以，如圖，過作于又，則，設，得，由，可得，所以，即，解得所以.故答案：.13.若方程的三個根可以作為一個三角形的三條邊的長，則實數(shù)的取值范圍是______________.【分析】方程的三根是一個三角形三邊的長，則方程有一根是，即三角形的一邊是，另兩邊是方程的兩個根，根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．則方程的兩個根設是和，一定是兩個正數(shù)，且一定有，結合根與系數(shù)的關系，以及根的判別式即可確定的范圍．【詳解】解：方程有三根，，有根，方程的，得．又原方程有三根，且為三角形的三邊和長．有，，而已成立；當時，兩邊平方得：．即：．解得．．故思路點睛：本題考查了根與系數(shù)的關系和三角形三邊關系，利用了：①一元二次方程的根與系數(shù)的關系，②根的判別式與根情況的關系判斷，③三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．14.如圖，等腰三角形的三個頂點分別落在反比例函數(shù)與的圖象上，并且底邊經過原點，則______.【分析】過作軸于，過作軸于，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象的對稱性可得，根據(jù)等腰三角形的三線合一可證明，由相似三角形的性質與反比例函數(shù)的幾何性質可得，由勾股定理得出，從而可得結論.【詳解】連接，過作軸于，過作軸于因為的圖象關于原點對稱，所以又因為等腰三角形得底邊為，所以，所以，因為，，所以所以，所以，則因為頂點在函數(shù)上，所以，所以，即在中，，所以.故.15.已知點的坐標分別為，，若二次函數(shù)的圖像與線段有且只有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍是______.或【分析】結合零點存在定理以及判別式，分成兩種情況進行討論：①當二次函數(shù)與軸有兩個交點時；②當二次函數(shù)與軸僅有一個交點時.【詳解】①當二次函數(shù)與軸有兩個交點時，如圖1，因為二次函數(shù)的圖像與線段有且只有一個公共點，的坐標分別為，，所以，解得.由，得，此時，符合題意.由，得，此時，不符合題意.所以.②當二次函數(shù)與軸僅有一個交點時，如圖2，令，由得，當時，，不合題意；當時，，符合題意.綜上，的取值范圍是或.故或.16.規(guī)定表示取、中的較大者，例如，，則函數(shù)的最小值為______.【分析】由已知在同一坐標系中分別畫出與的圖象，數(shù)形結合確定最低點位置，再聯(lián)立方程組求解即可．【詳解】在同一直角坐標系中分別畫出與的圖象如圖，兩個函數(shù)的圖象有四個交點A，B，C，黨．由圖可知，B為函數(shù)圖象的最低點，聯(lián)立方程組，解得或（舍去），所以的最小值為．故．三、解答題：（本大題共6小題，共62分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）17.已知中每一個數(shù)值只能取，0，1中的一個，且滿足，，求的值.【分析】設中個1，個，由題意列出方程求出，再將代入求解即可.【詳解】解：設中個1，個，其它都是，有，解得，∴原式.18.小明的爺爺2021年75周歲了，2021年小明的年齡恰好是他出生年份的各位數(shù)字之和，問小明2021年可能是多少周歲？7周歲或25周歲【分析】分出生年份在2000年后和2000年前兩種情況，根據(jù)列方程求解.【詳解】設小明出生年份的十位數(shù)字為，個位數(shù)字為（、均為0～9的整數(shù)）.∵小明的爺爺2021年75周歲了，∴小明出生年份可能在2000年后，也可能是2000年前.故應分兩種情況：（1）若小明出生年份為2000年后，則小明的出生年份為，依題意，得，整理，得∵、均為0～9的整數(shù)，∴，此時，∴小明的出生年份是2014年，2021年7周歲.（2）若小明出生年份在2000年前，則小明的出生年份為，依題意，得，整理，得，∵、均為0～9的整數(shù)，∴，此時，∴小明的出生年份是1996年，2021年25周歲.綜上，小明2021年是7周歲或25周歲.19.如圖，已知四邊形內接于一圓，，于，求證：證明見解析【分析】在上截取，連接，由，根據(jù)垂直平分線的性質，即可得到，得到，再由，得到，而，則，根據(jù)圓內接四邊形的性質得，得，可證出，得，既有.【詳解】證明：在上截取，連接，∵，∴，∴，∵，∴，而，∴，又∵，，∴，又∵，，∴，∴，∴.20.如圖，在中，，，，以其三邊為邊向外作正方形.點是邊上的一個動點，連結，并延長交于點，連結.當時，求的長.【分析】作出輔助線，得到三角形全等，證明出四邊形為平行四邊形，得到，求出各邊長，利用勾股定理求出答案.【詳解】連接，交于，過點作，交于.易證，∴，，又∵，∴即，又∵，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，在中，，∴，∴，∴，∴.21.如圖（1），拋物線經過，兩點，并與直線（為常數(shù)，且）交于、兩點，直線過點且平行于軸，過、兩點分別作直線的垂線，垂足分別為點、（1）求此拋物線的解析式；（2）猜想與證明：①____________（填“>”“<”或“=”）②為______三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）并證明你的猜想（3）如圖（2）點為坐標平面內一點，點是拋物線上任意一點，求周長最小值，并求出此時點坐標.（1）（2）①=，=；②直角，證明見解析（3），【分析】（1）將，兩點的坐標代入拋物線方程可求出，從而可得拋物線方程，（2）可猜想，然后利用等腰三角形的性質和平行線的性質可得為直角三角形，（3）過點作直線于，則，所以當即最小時，的周長最小，從而可求得結果.【小問1詳解】∵拋物線經過，，∴，解得，，所以拋物線的解析式為；【小問2詳解】猜想①==（填“>，<或=”），設，則，，所以，，所以，同理可證得，②為直角三角形，證明：∵，∴，同理，∵，，∴，∴，∴，∴為直角三角形.【小問3詳解】設拋物線上任一點坐標，過點作直線于，則，又∵，∴，∵的長度為定值，∴當即最小時，的周長最小，當、、三點在一條直線上時，最小，∴點的橫坐標為1，代入拋物線的解析式，得，∴，此時的周長為，關鍵點睛：第（3）解題的關鍵是由拋物線的性質得，從而將問題轉化為當，即最小時，的周長最小.22.如圖，扇形的半徑為1，圓心角是90°.點是上一動點，于點，于點，點、、、分別是線段、、、的中點，與相交于點，與相交于點.（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）探索當?shù)拈L為何值時，四邊形是矩形；（3）連結，試說明是定值.（1）證明見解析（2）（3）答案見解析【分析】（1）根據(jù)垂直關系以及中位線條件證明即可；（2）當時，是