湖北省黃石二中等三校2024屆高二上數(shù)學(xué)期末調(diào)研試題含解析

湖北省黃石二中等三校2024屆高二上數(shù)學(xué)期末調(diào)研試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．展開式的第項(xiàng)為（）A. B.C. D.2．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（）A. B.C.1025 D.20493．已知，，且，則向量與的夾角為（）A. B.C. D.4．已知數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，設(shè)，，則當(dāng)時(shí)，n的最大值是（）A.8 B.9C.10 D.115．已知是橢圓右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，線段與圓相切于點(diǎn)，且，則橢圓的離心率等于（）A. B.C. D.6．已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱與底面垂直，若點(diǎn)C到平面AB1D1的距離為，則直線與平面所成角的余弦值為（）A. B.C. D.7．展開式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為（）A.6 B.C.24 D.8．已知直線過點(diǎn)，，則該直線的傾斜角是（）A. B.C. D.9．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在雙曲線的左支上，點(diǎn)Q為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.6 B.7C. D.510．設(shè)雙曲線與橢圓：有公共焦點(diǎn)，.若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)為雙曲線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，則的余弦值為（）A. B.C. D.11．一盒子里有黑色、紅色、綠色的球各一個(gè)，現(xiàn)從中選出一個(gè)球.事件選出的球是紅色，事件選出的球是綠色.則事件與事件（）A.是互斥事件，不是對立事件 B.是對立事件，不是互斥事件C.既是互斥事件，也是對立事件 D.既不是互斥事件也不是對立事件12．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a2+a3＝13，則a4+a5+a6等于（）A.40 B.42C.43 D.45二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.14．過雙曲線的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直線，交于點(diǎn).若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則的離心率為-.15．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中A點(diǎn)，將，，，分別沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三點(diǎn)重合于點(diǎn)P，則四面體的外接球表面積為____________.16．某單位現(xiàn)有三個(gè)部門競崗，甲、乙、丙三人每人只競選一個(gè)部門，設(shè)事件A為“三人競崗部門都不同”，B為“甲獨(dú)自競崗一個(gè)部門”，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在復(fù)數(shù)集C內(nèi)方程有六個(gè)根分別為（1）解出這六個(gè)根；（2）在復(fù)平面內(nèi)，這六個(gè)根對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，D，E，F(xiàn)；求多邊形ABCDEF的面積18．（12分）已知點(diǎn)和直線.（1）求以為圓心，且與直線相切的圓的方程；（2）過直線上一點(diǎn)作圓的切線，其中為切點(diǎn)，求四邊形PAMB的面積的最小值.19．（12分）.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為，直線與曲線相交于A，B兩點(diǎn)（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；（2）若，求值20．（12分）在三棱柱中，側(cè)面正方形的中心為點(diǎn)平面，且，點(diǎn)滿足（1）若平面，求的值；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）若平面與平面所成角的正弦值為，求的值21．（12分）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)到短袖的一個(gè)端點(diǎn)的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作斜率為的直線，與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，求的取值范圍.22．（10分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，，，，，.（1）證明：平面平面PAC；（2）求平面PCD與平面PAB夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由展開式的通項(xiàng)公式求解即可【詳解】因?yàn)椋哉归_式的第項(xiàng)為，故選：B2、B【解析】根據(jù)題意得，進(jìn)而根據(jù)得數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式求解即可.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)和為滿足，所以當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，即所以，解得或，因?yàn)?，所?所以，，所以當(dāng)時(shí)，，所以，即所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，所以故選：B3、B【解析】先求出向量與的夾角的余弦值，即可求出與的夾角.【詳解】，所以，∴，∴，∴，又∵，∴與的夾角為.故選：B.4、B【解析】先求出數(shù)列和的通項(xiàng)公式，然后利用分組求和求出，再對進(jìn)行賦值即可求解.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列所以因?yàn)槭且?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列所以由得：當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以n的最大值是.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用分組求和求出，再通過賦值法即可求出使不等式成立的的最大值.5、A【解析】結(jié)合橢圓的定義、勾股定理列方程，化簡求得，由此求得離心率.【詳解】圓的圓心為，半徑為.設(shè)左焦點(diǎn)為，連接，由于，所以，所以，所以，由于，所以，所以，，.故選：A6、A【解析】先由等面積法求得的長，再以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用線面角的向量求解方法可得答案【詳解】如圖，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，則平面，則，設(shè)，則，則根據(jù)三角形面積得，代入解得以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令，得，所以直線與平面所成的角的余弦值為，故選：7、A【解析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】由題意，二項(xiàng)式展開式中第3項(xiàng)，所以展開式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為.故選：A.8、C【解析】根據(jù)直線的斜率公式即可求得答案.【詳解】設(shè)該直線的傾斜角為，該直線的斜率，即.故選：C9、A【解析】由雙曲線的定義及三角形的幾何性質(zhì)可求解.【詳解】如圖，圓的圓心為，半徑為1，，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為，而，所以故選：A10、A【解析】求出雙曲線方程，根據(jù)橢圓和雙曲線的第一定義求出的長度，從而根據(jù)余弦定理求出的余弦值【詳解】由題得，雙曲線中，所以，雙曲線方程為：，假設(shè)在第一象限，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得：，解得：，，所以根據(jù)余弦定理，故選：A11、A【解析】根據(jù)事件的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】由題意可知，事件與為互斥事件，但事件不是必然事件，所以，事件與事件是互斥事件，不是對立事件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查事件關(guān)系的判斷，考查互斥事件和對立事件概率的理解，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】根據(jù)已知求出公差即可得出.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以，則.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)由題可知，當(dāng)時(shí)，可得適合題意，當(dāng)時(shí)，可求函數(shù)的最小值即得，當(dāng)時(shí)不合題意，即得.【詳解】設(shè)，由題可知，∴，當(dāng)時(shí)，，適合題意，所以，當(dāng)時(shí)，令，則，此時(shí)時(shí)，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，∴，又，∴，∴，即，解得，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，，故的值有正有負(fù)，不合題意；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，設(shè)由題可知，當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)的最小值，結(jié)合，可得，進(jìn)而通過解，即得.14、【解析】雙曲線的右焦點(diǎn)為.不妨設(shè)所作直線與雙曲線的漸近線平行，其方程為，代入求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由，得，解之得，（舍去，因?yàn)殡x心率），故雙曲線的離心率為.考點(diǎn)：1.雙曲線的幾何性質(zhì)；2.直線方程.15、【解析】由題意在四面體中兩兩垂直，將該四面體補(bǔ)成長方體,則長方體與四面體的外接球相同，從而可求解.【詳解】將直角，，，分別沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三點(diǎn)重合于點(diǎn)P，所以在四面體中兩兩垂直，將該四面體補(bǔ)成長方體,如圖.則長方體與四面體的外接球相同.長方體的外接球在其對角線的中點(diǎn)處.由題意可得，則長方體的外接球的半徑為所以四面體的外接球表面積為故答案為：16、##0.5【解析】根據(jù)給定條件求出事件B和AB的概率，再利用條件概率公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，，，所以.故答案：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）原式可因式分解為，令，設(shè)可求解出的兩個(gè)虛根，同理可求解的兩個(gè)虛根，即得解；（2）六個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的圖形為正六邊形，邊長為1，計(jì)算即可【小問1詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，設(shè)故，所以解得：，即當(dāng)時(shí)，設(shè)故所以解得：，即故：【小問2詳解】六個(gè)根對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，D，E，F(xiàn)，其中在復(fù)平面中描出這六個(gè)點(diǎn)如圖所示：六個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的圖形為正六邊形，邊長為1故18、（1）（2）【解析】（1）利用到直線的距離求得半徑，由此求得圓的方程.（2）結(jié)合到直線的距離來求得四邊形面積的最小值.【小問1詳解】圓的半徑，圓的方程為.【小問2詳解】由四邊形的面積知，當(dāng)時(shí)，面積最小.此時(shí)...19、（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為，直線的普通方程為；（2）.【解析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式，結(jié)合加法消元法進(jìn)行求解即可；（2）利用直線參數(shù)方程的意義，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解即可.小問1詳解】由；；【小問2詳解】把直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程中，得，，因?yàn)樵谥本€上，所以，或而，所以.20、（1）；（2）；（3）或.【解析】(1)連接ME，證明即可計(jì)算作答.(2)以為原點(diǎn)，的方向分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量計(jì)算點(diǎn)到平面的距離即可.(3)由(2)中空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求平面與平面所成角的余弦即可計(jì)算作答.【小問1詳解】在三棱柱中，因，即點(diǎn)在上，連接ME，如圖，因平面面，面面，則有，而為中點(diǎn)，于是得為的中點(diǎn)，所以.【小問2詳解】在三棱柱中，面面，則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，又為正方形，即，而平面，以為原點(diǎn)，的方向分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，依題意，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，又，則到平面的距離，所以點(diǎn)到平面的距離為.【小問3詳解】因，則，，設(shè)面的法向量為，則，令，得，于是得，而平面與平面所成角的正弦值為，則，即，整理得，解得或，所以的值是或.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：空間向量求二面角時(shí)，一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算，要認(rèn)真細(xì)心，準(zhǔn)確計(jì)算.21、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可得，根據(jù)點(diǎn)到短袖一個(gè)端點(diǎn)的距離為，然后根據(jù)即可；（2）先設(shè)聯(lián)立直線與橢圓的方程，然后根據(jù)韋達(dá)定理得到，兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，然后根據(jù)建立關(guān)于直線的斜率的不等式，解出不等式即可.【小問1詳解】根據(jù)題意，已知橢圓的左焦點(diǎn)為，則有：點(diǎn)到短袖一個(gè)端點(diǎn)的距離為，則有：則有：故橢圓的方程為：【小問2詳解】設(shè)過點(diǎn)作斜率為的直線的方程為：聯(lián)立直線與橢圓的方程可得：則有：,直線過點(diǎn)，所以恒成立，不妨設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：，則有：又且則有：將，代入后可得：若，則有：解得：或22、（1）證明見解析（2）【解析】（1）過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，由平面幾何知識證明，然后由線面垂直的性質(zhì)得線線垂直，從而得線面垂直，然后可得面面垂直；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角【小問1詳解】在梯形ABCD中，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H.