湖南省衡陽縣江山中英文學校2024屆高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

湖南省衡陽縣江山中英文學校2024屆高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線，則拋物線的焦點到其準線的距離為（）A. B.C. D.2．已知兩條不同直線和平面，下列判斷正確的是（）A.若則 B.若則C.若則 D.若則3．已知一質(zhì)點的運動方程為，其中的單位為米，的單位為秒，則第1秒末的瞬時速度為（）A. B.C. D.4．直線與圓相交與A，B兩點，則AB的長等于（）A3 B.4C.6 D.15．已知直線與圓相離，則以，，為邊長的三角形為（）A.鈍角三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.不存在6．設雙曲線與橢圓：有公共焦點，.若雙曲線經(jīng)過點，設為雙曲線與橢圓的一個交點，則的余弦值為（）A. B.C. D.7．《萊茵德紙草書》（RhindPapyrus）是世界上最古老的數(shù)學著作之一．書中有這樣一道題目：把93個面包分給5個人，使每個人所得面包個數(shù)成等比數(shù)列，且使較小的兩份之和等于中間一份的四分之三，則最大的一份是（）個A.12 B.24C.36 D.488．如圖，兩個半徑為R的相交大圓，分別內(nèi)含一個半徑為r的同心小圓，且同心小圓均與另一個大圓外切.已知時，在兩相交大圓的區(qū)域內(nèi)隨機取一點，則該點取自兩大圓公共部分的概率為（）A. B.C. D.9．若在直線上，則直線的一個方向向量為（）A. B.C. D.10．閱讀如圖所示程序框圖，運行相應的程序，輸出S的結(jié)果是（）A.128 B.64C.16 D.3211．已知圓，直線，則直線l被圓C所截得的弦長的最小值為（）A.2 B.3C.4 D.512．過點且平行于直線的直線的方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若存在唯一零點，則的取值范圍是__________.14．定義離心率是的橢圓為“黃金橢圓”.已知橢圓是“黃金橢圓”，則_________.若“黃金橢圓”兩個焦點分別為、，P為橢圓C上的異于頂點的任意一點，點M是的內(nèi)心，連接并延長交于點N，則________.15．如圖，在四棱錐中，平面，底面為矩形，分別為的中點，連接，則點到平面的距離為__________.16．若數(shù)列滿足，則稱為“追夢數(shù)列”.已知數(shù)列為“追夢數(shù)列”，且，則數(shù)列的通項公式__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱錐中，已知△ABC和△PBC均為正三角形，D為BC的中點（1）求證：平面；（2）若，，求三棱錐的體積18．（12分）直線：和：（1）若兩直線垂直，求m的值；（2）若兩直線平行，求平行線間的距離19．（12分）已知函數(shù).（I）當時，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）若當時，，求的取值范圍.20．（12分）已知橢圓（）的離心率為，一個焦點為.（1）求橢圓的方程；（2）設為原點，直線（）與橢圓交于不同的兩點，且與x軸交于點，為線段的中點，點關(guān)于軸的對稱點為.證明：是等腰直角三角形.21．（12分）2021年7月25日，在東京奧運會自行車公路賽中，奧地利數(shù)學女博士安娜·基秣崔天以3小時52分45秒的成績獲得冠軍，震驚了世界！廣大網(wǎng)友驚呼“學好數(shù)理化，走遍天下都不怕”．某市對中學生的體能測試成績與數(shù)學測試成績進行分析，并從中隨機抽取了200人進行抽樣分析，得到下表（單位：人）：體能一般體能優(yōu)秀合計數(shù)學一般5050100數(shù)學優(yōu)秀4060100合計90110200（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為“體能優(yōu)秀”還是“體能一般”與數(shù)學成績有關(guān)？（結(jié)果精確到小數(shù)點后兩位）（2）①現(xiàn)從抽取的數(shù)學優(yōu)秀的人中，按“體能優(yōu)秀”與“體能一般”這兩類進行分層抽樣抽取10人，然后，再從這10人中隨機選出4人，求其中至少有2人是“體能優(yōu)秀”的概率；②將頻率視為概率，以樣本估計總體，從該市中學生中隨機抽取10人參加座談會，記其中“體能優(yōu)秀”的人數(shù)為X，求X的數(shù)學期望和方差參考公式：，其中參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.250.0102.0722.7063.8415.0246.63522．（10分）已知的三個頂點的坐標分別為，，（1）求邊AC上的中線所在直線方程；（2）求的面積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】將拋物線方程化為標準方程，由此確定的值即可.【詳解】由可得拋物線標準方程為：，，拋物線的焦點到其準線的距離為.故選：D.2、D【解析】根據(jù)線線、線面、面面的平行與垂直的位置關(guān)系即可判斷.【詳解】解：對于選項A：若，則與可能平行，可能相交，可能異面，故選項A錯誤；對于選項B：若，則，故選項B錯誤；對于選項C：當時不滿足，故選項C錯誤；綜上，可知選項D正確.故選：D.3、C【解析】求出即得解.【詳解】解：由題意得，故質(zhì)點在第1秒末的瞬時速度為.故選：C4、C【解析】根據(jù)弦長公式即可求出【詳解】因為圓心到直線的距離為，所以AB的長等于故選：C5、A【解析】應用直線與圓的相離關(guān)系可得，再由余弦定理及三角形內(nèi)角的性質(zhì)即可判斷三角形的形狀.【詳解】由題設，，即，又，所以，且，故以，，為邊長的三角形為鈍角三角形.故選：A.6、A【解析】求出雙曲線方程，根據(jù)橢圓和雙曲線的第一定義求出的長度，從而根據(jù)余弦定理求出的余弦值【詳解】由題得，雙曲線中，所以，雙曲線方程為：，假設在第一象限，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得：，解得：，，所以根據(jù)余弦定理，故選：A7、D【解析】設等比數(shù)列的首項為，公比，根據(jù)題意，由求解.【詳解】設等比數(shù)列的首項為，公比，由題意得：，即，解得，所以，故選：D8、C【解析】設D為線段AB的中點，求得,在中，可得.進而求得兩大圓公共部分的面積為：,利用幾何概型計算即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，設D為線段AB的中點，,在中，.兩大圓公共部分的面積為：,則該點取自兩大圓公共部分的概率為.故選：C.9、D【解析】由題意可得首先求出直線上的一個向量，即可得到它的一個方向向量，再利用平面向量共線（平行）的坐標表示即可得出答案【詳解】∵在直線上，∴直線的一個方向向量，又∵，∴是直線的一個方向向量故選：D10、C【解析】根據(jù)程序框圖的循環(huán)邏輯寫出執(zhí)行步驟，即可確定輸出結(jié)果.【詳解】根據(jù)流程圖的執(zhí)行邏輯，其執(zhí)行步驟如下：1、成立，則；2、成立，則；3、成立，則；4、成立，則；5、不成立，輸出；故選：C11、C【解析】直線l過定點D(1，1)，當時，弦長最短.【詳解】由，圓心，半徑，，由，故直線l過定點，∵，故D在圓C內(nèi)部，直線l始終與圓相交，當時，直線l被圓截得的弦長最短，，弦長＝.故選：C.12、B【解析】根據(jù)平行設直線方程，代入點計算得到答案.【詳解】設直線方程為，將點代入直線方程得到，解得.故直線方程為：.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求得函數(shù)的導數(shù)，得到是的唯一零點，轉(zhuǎn)化為方程無實數(shù)根或只存在實數(shù)根，進而轉(zhuǎn)化為和的圖象至多有一個交點（且如果有交點，交點必須在處），利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最小值，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，因為存在唯一零點，所以是的唯一零點，則關(guān)于的方程無實數(shù)根或只存在實數(shù)根，所以函數(shù)和的圖象至多有一個交點（且如果有交點，交點必須在處），又由，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以，所以，即即的取值范圍是.故答案為：.14、①.②.【解析】第一空，直接套入“黃金橢圓”新定義即可，第二空，從內(nèi)切圓入手，找到等量關(guān)系，進而得到，求解即可【詳解】由題，，所以如圖，連接，設內(nèi)切圓半徑為，則，即，∴，∴，∴∴，∴故答案為：；【點睛】本題從新定義出發(fā)，第一空直接套用定義可得答案，第二空升華，需要在理解新定義的基礎上，借助內(nèi)切圓的相關(guān)公式求解，層層遞進，是一道好題．關(guān)鍵點在于找到“”這一關(guān)系15、【解析】利用轉(zhuǎn)化法，根據(jù)線面平行的性質(zhì)，結(jié)合三棱錐的體積等積性進行求解即可.【詳解】設是的中點，連接，因為是的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，因此點到平面的距離等于點到平面的距離，設為，因為平面，所以，，于是有，底面為矩形，所以有，，因為平面，所以，于是有：，由余弦定理可知：cos∠PEC=所以，因此，，因為，所以，故答案為：16、##【解析】根據(jù)題意，由“追夢數(shù)列”的定義可得“追夢數(shù)列”是公比為的等比數(shù)列，進而可得若數(shù)列為“追夢數(shù)列”，則為公比為3的等比數(shù)列，進而由等比數(shù)列的通項公式可得答案【詳解】根據(jù)題意，“追夢數(shù)列”滿足，即，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.若數(shù)列為“追夢數(shù)列”，則.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】【小問1詳解】因為△ABC和△PBC為正三角形，D為BC的中點，所以,又,所以平面【小問2詳解】因為△ABC和△PBC為正三角形，且，所以,又，所以正三角形的面積為，所以.18、（1）；（2）【解析】（1）由直線一般方程的垂直公式，即得解；（2）由直線一般方程的平行公式，求得，再由平行線的距離公式，即得解.【小問1詳解】∵兩直線垂直，∴，解得【小問2詳解】∵兩直線平行，∴，解得或1，經(jīng)過驗證時兩條直線重合，舍去．∴可得：直線：，：∴兩直線間的距離19、（1）（2）【解析】（Ⅰ）先求的定義域，再求，，，由直線方程的點斜式可求曲線在處的切線方程為（Ⅱ）構(gòu)造新函數(shù)，對實數(shù)分類討論，用導數(shù)法求解.試題解析：（I）定義域為.當時，，曲線在處的切線方程為（II）當時，等價于設，則，（i）當，時，，故在上單調(diào)遞增，因此；（ii）當時，令得.由和得，故當時，，在單調(diào)遞減，因此.綜上，的取值范圍是【考點】導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性【名師點睛】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法：（1）確定函數(shù)y＝f（x）定義域；（2）求導數(shù)y′＝f′（x）；（3）解不等式f′（x）>0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；（4）解不等式f′（x）<0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間20、（1）（2）證明見解析.【解析】（1）由題知，進而結(jié)合求解即可得答案；（2）設點，，進而聯(lián)立并結(jié)合題意得或，進而結(jié)合韋達定理得，再的中點為，證明，進而得，，故，綜合即可得證明.【小問1詳解】解：因為橢圓的離心率為，一個焦點為所以，所以所以橢圓的方程為.【小問2詳解】解：設點，則點,所以聯(lián)立方程得，所以有，解得，因為，故或設，所以設向量，所以，所以，即，設的中點為，則所以，又因為，所以，所以，因為點關(guān)于軸的對稱點為.所以，所以，所以是等腰直角三角形.21、（1）不能，理由見解析；（2）①，②，【解析】（1）運用公式求出，比較得出結(jié)論.（2）①先用分層抽樣得到“體能優(yōu)秀”與“體能一般”的人數(shù)，再利用公式計算至少有2人是“體能優(yōu)秀”的概率.②根據(jù)已知條件知此分布列為二項分布，故利用數(shù)學期望和方差的公式即可求出答案【小問1詳解】由表格的數(shù)據(jù)可得，，故不能在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為“體能優(yōu)秀”