湖南省冷水江市第一中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

湖南省冷水江市第一中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．上海世博會(huì)期間，某日13時(shí)至21時(shí)累計(jì)入園人數(shù)的折線圖如圖所示，那么在13時(shí)~14時(shí)，14時(shí)~15時(shí)，…，20時(shí)~21時(shí)八個(gè)時(shí)段中，入園人數(shù)最多的時(shí)段是（）A.13時(shí)~14時(shí) B.16時(shí)~17時(shí)C.18時(shí)~19時(shí) D.19時(shí)~20時(shí)2．在數(shù)列中，，，則（）A. B.C. D.3．直線y=x+1與圓x2+y2=1的位置關(guān)系為A.相切B.相交但直線不過(guò)圓心C.直線過(guò)圓心D.相離4．已知數(shù)列滿足，且，則（）A.2 B.3C.5 D.85．已知直線、的方向向量分別為、，若，則等于（）A.1 B.2C.0 D.36．拋物線的焦點(diǎn)是A. B.C. D.7．為了調(diào)查修水縣2019年高考數(shù)學(xué)成績(jī)，在高考后對(duì)我縣6000名考生進(jìn)行了抽樣調(diào)查，其中2000名文科考生，3800名理科考生，200名藝術(shù)和體育類考生，從中抽到了120名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)作為一個(gè)樣本，這項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法是（）A.系統(tǒng)抽樣法 B.分層抽樣法C.抽簽法 D.簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣法8．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若，則當(dāng)最大時(shí)，（）A. B.1C. D.29．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)，均在y軸上，橢圓C的面積為，且短軸長(zhǎng)為，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.10．已知空間向量，，則（）A. B.C. D.11．已知直線與垂直，則為（）A.2 B.C.-2 D.12．某雙曲線的一條漸近方程為，且焦點(diǎn)為，則該雙曲線的方程是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．阿波羅尼斯與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山大時(shí)期的數(shù)學(xué)三巨匠．“阿波羅尼斯圓”是他的代表成果之一：平面上動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離之比滿足(且，t為常數(shù))，則點(diǎn)的軌跡為圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則P點(diǎn)的軌跡為圓，該圓方程為_(kāi)________；過(guò)點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)，且，則_________14．已知直線與直線平行，則直線，之間的距離為_(kāi)_________.15．圓錐的母線長(zhǎng)為2，母線所在直線與圓錐的軸所成角為，則該圓錐的側(cè)面積大小為_(kāi)___________.(結(jié)果保留)16．已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則的最大值為_(kāi)______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，.（1）若數(shù)列中依次取出第2項(xiàng)，第4項(xiàng)，第6項(xiàng)，…，第項(xiàng)，按原來(lái)順序組成一個(gè)新數(shù)列，試求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）設(shè)函數(shù)，，，求證：.19．（12分）如圖，在四棱錐S?ABCD中，已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形，點(diǎn)S在底面ABCD上的射影為底面ABCD的中心點(diǎn)O，點(diǎn)P在棱SD上，且△SAC的面積為1（1）若點(diǎn)P是SD的中點(diǎn)，求證：平面SCD⊥平面PAC；（2）在棱SD上是否存在一點(diǎn)P使得二面角P?AC?D的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，說(shuō)明理由20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面為矩形，，，為的中點(diǎn)，.請(qǐng)用空間向量知識(shí)解答下列問(wèn)題：（1）求線段的長(zhǎng)；（2）若為線段上一點(diǎn)，且，求平面與平面夾角的余弦值.21．（12分）噪聲污染已經(jīng)成為影響人們身體健康和生活質(zhì)量的嚴(yán)重問(wèn)題，為了解聲音強(qiáng)度D（單位：）與聲音能量I（單位：）之間的關(guān)系，將測(cè)量得到的聲音強(qiáng)度D和聲音能量I的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖所示的散點(diǎn)圖：參考數(shù)據(jù)：其中，，，，，，，，（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為聲音強(qiáng)度D關(guān)于聲音能量I的回歸模型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）（2）求聲音強(qiáng)度D關(guān)于聲音能量I回歸方程（3）假定當(dāng)聲音強(qiáng)度D大于時(shí)，會(huì)產(chǎn)生噪聲污染．城市中某點(diǎn)P處共受到兩個(gè)聲源的影響，這兩個(gè)聲通的聲音能量分別是和，且．已知點(diǎn)P處的聲音能量等于與之和．請(qǐng)根據(jù)（2）中的回歸方程，判斷點(diǎn)P處是否受到噪聲污染，并說(shuō)明理由參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：22．（10分）已知圓C的圓心為，且圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1）求圓C的一般方程；（2）若圓與圓C恰有兩條公切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】要找入園人數(shù)最多的，只要根據(jù)函數(shù)圖象找出圖象中變化最大的即可【詳解】結(jié)合函數(shù)的圖象可知，在13時(shí)~14時(shí)，14時(shí)~15時(shí)，…，20時(shí)~21時(shí)八個(gè)時(shí)段中，圖象變化最快的為16到17點(diǎn)之間故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查折線統(tǒng)計(jì)圖的實(shí)際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】根據(jù)已知條件，利用累加法得到的通項(xiàng)公式，從而得到.【詳解】由，得，所以，所以.故選：A.3、B【解析】求出圓心到直線的距離d，與圓的半徑r比較大小即可判斷出直線與圓的位置關(guān)系，同時(shí)判斷圓心是否在直線上，即可得到正確答案解：由圓的方程得到圓心坐標(biāo)（0，0），半徑r=1則圓心（0，0）到直線y=x+1的距離d==＜r=1，把（0，0）代入直線方程左右兩邊不相等，得到直線不過(guò)圓心所以直線與圓的位置關(guān)系是相交但直線不過(guò)圓心故選B考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系4、D【解析】使用遞推公式逐個(gè)求解，直到求出即可.【詳解】因?yàn)樗?，，?故選：D5、C【解析】由可得出，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，由此可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】若，則，所以，所以，解得.故選：C6、D【解析】先判斷焦點(diǎn)的位置，再?gòu)臉?biāo)準(zhǔn)型中找出即得焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】焦點(diǎn)在軸上，又，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選D.【點(diǎn)睛】求圓錐曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，首先要把圓錐曲線的方程整理為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到焦點(diǎn)的位置和焦點(diǎn)的坐標(biāo).7、B【解析】考生分為幾個(gè)不同的類型或?qū)哟?，由此可以確定抽樣方法；【詳解】6000名考生進(jìn)行抽樣調(diào)查，其中2000名文科考生，3800名理科考生，200名藝術(shù)和體育類考生，從中抽到了120名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)作為一個(gè)樣本又文科考生、理科考生、藝術(shù)和體育類考生會(huì)存在差異，采用分層抽樣法較好故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是分層抽樣，掌握分層抽樣的有關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合換元法、配方法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)設(shè)為，拋物線的焦點(diǎn)為F，所以，拋物線的準(zhǔn)線方程為：，因此，令，，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為1，此時(shí).故選：B9、C【解析】設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)已知條件，求得，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，故可設(shè)其方程為，根據(jù)題意可得，，故可得，故所求橢圓方程為：.故選：C.10、C【解析】直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求解即可【詳解】因?yàn)?，，所以，故選：C11、A【解析】利用一般式中直線垂直的系數(shù)關(guān)系列式求解.【詳解】因?yàn)橹本€與垂直，故選：A.12、D【解析】設(shè)雙曲線的方程為，利用焦點(diǎn)為求出的值即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線的一條漸近方程為，且焦點(diǎn)為，所以可設(shè)雙曲線的方程為，則，，所以該雙曲線方程為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】設(shè)，根據(jù)可得圓的方程，利用垂徑定理可求.【詳解】設(shè)，則，整理得到，即.因?yàn)?，故為的中點(diǎn)，過(guò)圓心作的垂線，垂足為，則為的中點(diǎn)，則，故，解得，故答案為：，.14、【解析】利用直線平行與斜率之間的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式即可得出【詳解】解：因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，，則故答案為：【點(diǎn)睛】熟練運(yùn)用直線平行與斜率之間的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式，是解題關(guān)鍵15、【解析】由題設(shè)知：圓錐的軸截面為等邊三角形，進(jìn)而求圓錐的底面周長(zhǎng)，由扇形面積公式求圓錐的側(cè)面積大小.【詳解】由題設(shè)，圓錐的軸截面為等邊三角形，又圓錐的母線長(zhǎng)為2，∴底面半徑為1，則底面周長(zhǎng)為，∴圓錐的側(cè)面積大小為.故答案為：.16、16【解析】根據(jù)橢圓定義可得：，再用基本不等式求解.【詳解】由橢圓的定義可得：，由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為16故答案為：16三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】(1)利用等差數(shù)列性質(zhì)求出數(shù)列公差及通項(xiàng)公式，由求解作答.(2)由(1)的結(jié)論求出，再用錯(cuò)位相減法計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】等差數(shù)列中，，解得，公差，則，因此，，依題意，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式，.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，，則，因此，，，所以.18、（1），無(wú)極大值（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定極值點(diǎn)，求得答案；（2）將要證明的不等式變形為，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，求其最值，進(jìn)而證明結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，,由得，列表得：1--0+減減極小值增由上表可知，無(wú)極大值.；【小問(wèn)2詳解】證明：，即證；∵，則，故只需證，即證令，，得，得，∴在上遞增，在上遞減∴，∴，∴.19、（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，點(diǎn)P為棱SD靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)【解析】（1）由的面積為1，得到，，由，點(diǎn)P為SD的中點(diǎn)，所以，同理可得，根據(jù)線面垂直的判斷定理可得平面PAC，再由面面垂直的判斷定理可得答案；（2）存在，分別以O(shè)B，OC，OS所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)在棱SD上存在點(diǎn)P，設(shè)，求出平面PAC、平面ACD的一個(gè)法向量，由二面角的向量法可得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)S在底面ABCD上的射影為O，所以平面ABCD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是邊長(zhǎng)為的正方形，所以，又因?yàn)榈拿娣e為1，所以，，所以，因?yàn)?，點(diǎn)P為SD的中點(diǎn)，所以，同理可得，因?yàn)椋珹P，平面PAC，所以平面PAC，又平面SCD，∴平面平面PAC【小問(wèn)2詳解】存在，連接，由平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，又，可得兩兩垂直，分別以所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，假設(shè)在棱SD上存在點(diǎn)P使二面角的余弦值為，設(shè)，，，所以，，設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為，則，因?yàn)椋?，所以，令，得，，因?yàn)槠矫鍭CD的一個(gè)法向量為，所以，化簡(jiǎn)得，解得或（舍），所以存在P點(diǎn)符合題意，點(diǎn)P為棱SD靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)20、（1）（2）【解析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由已知可得出，求出的值，即可得解；（2）利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】解：平面，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、，則，，，則，解得，故.【小問(wèn)2詳解】解：，則，又、、，所以，，，設(shè)為平面的法向量，則，取，可得，顯然，為平面的一個(gè)法向量，，因此，平面與平面夾角的余弦值為.21、（1）更適合（2）（3）點(diǎn)P處會(huì)受到噪聲污染，理由見(jiàn)解析【解析】（1）直接判斷即可；（2）令，先算線性回歸方程再算非線性回歸方程；（3）利用基本不等式計(jì)算出的最小值，再與60比較即可.【小問(wèn)1詳解】更適合【小問(wèn)2詳解】令，則，，D關(guān)于W的