湖南省邵陽(yáng)市邵東縣創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024屆數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

湖南省邵陽(yáng)市邵東縣創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024屆數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足(其中為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B.C. D.2．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為8，且一個(gè)焦點(diǎn)是圓的圓心，則該橢圓的左頂點(diǎn)為（）A B.C. D.3．在等比數(shù)列中，，且，則t＝（）A.-2 B.－1C.1 D.24．已知橢圓的左焦點(diǎn)是，右焦點(diǎn)是，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段的中點(diǎn)在y軸上，那么（）A.3：5 B.3：4C.5：3 D.4：35．若離散型隨機(jī)變量的所有可能取值為1，2，3，…，n，且取每一個(gè)值的概率相同，若，則n的值為（）A.4 B.6C.9 D.106．圓與圓的位置關(guān)系為（）A.內(nèi)切 B.相交C.外切 D.相離7．拋物線上的一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離等于（）A. B.C. D.8．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，焦距為8，則該橢圓的短軸長(zhǎng)等于（）A.3 B.6C.8 D.129．設(shè)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是B，則等于（）A.4 B.C. D.210．已知雙曲線的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則實(shí)數(shù)的值是A. B.C. D.11．下列雙曲線中，焦點(diǎn)在軸上且漸近線方程為的是A. B.C. D.12．在四棱錐中，分別為的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知過(guò)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)作圓（為圓心）：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，若的最小值為，則橢圓的離心率為_(kāi)_____14．若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______15．類(lèi)比教材中推導(dǎo)球體積公式的方法，試計(jì)算橢圓T：繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后所形成的旋轉(zhuǎn)體(我們稱(chēng)為橄欖球)的體積為_(kāi)_______.16．已知圓的方程為，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線為切點(diǎn)，則四邊形面積的最小值為_(kāi)_________；直線__________過(guò)定點(diǎn).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求A；（2）若，求外接圓面積的最小值.18．（12分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)W到直線的距離為d，且，.（1）記動(dòng)點(diǎn)W的軌跡為曲線C，求曲線C的方程；（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，直線與曲線C交于，兩點(diǎn)，直線l與的交點(diǎn)為P（P不在曲線C上），且，設(shè)直線l，的斜率分別為k，.求證：為定值.19．（12分）某企業(yè)搜集了某產(chǎn)品的投人成本x（單位：萬(wàn)元）與銷(xiāo)售收入y（單位：萬(wàn)元）的六組數(shù)據(jù)，并將其繪制成如圖所示的散點(diǎn)圖.根據(jù)散點(diǎn)圖可以看出，y與x之間是線性相關(guān)的.（1）試用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）若投入成本不高于10萬(wàn)元，則可以根據(jù)（1）中的回歸方程估計(jì)產(chǎn)品銷(xiāo)售收入；若投入成本高于10萬(wàn)元，投入成本x（單位：萬(wàn)元）與銷(xiāo)售收入y（單位：萬(wàn)元）之間的關(guān)系式為.若該企業(yè)要追求更高的毛利率（毛利率），試問(wèn)該企業(yè)對(duì)該產(chǎn)品的投入成本選擇收人7萬(wàn)元更好，還是選擇12萬(wàn)元更好？說(shuō)明你的理由.參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為.參考數(shù)據(jù)：.20．（12分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，、為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，，P為橢圓C的上頂點(diǎn)，以P為圓心且過(guò)、的圓與直線相切（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)點(diǎn)作直線l，交橢圓C于M，N兩點(diǎn)（l與x軸不重合），在x軸上是否存在一點(diǎn)T，使得直線TM與TN的斜率之積為定值？若存在，請(qǐng)求出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由21．（12分）如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，，且底面，點(diǎn)分別在棱、上·（1）若P是的中點(diǎn)，證明：；（2）若平面，二面角的余弦值為，求四面體的體積22．（10分）已知橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，，離心率，短軸長(zhǎng)為21求橢圓的方程；2如圖，點(diǎn)A為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)非長(zhǎng)軸端點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與橢圓交于B點(diǎn)，AO的延長(zhǎng)線與橢圓交于C點(diǎn)，求面積的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由題目條件可得，即，然后利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn).【詳解】因?yàn)?，所以，則故復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的相關(guān)概念及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，按照復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)計(jì)算即可，較簡(jiǎn)單.2、D【解析】根據(jù)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是圓的圓心，求得c，再根據(jù)橢圓的短軸長(zhǎng)為8求得b即可.【詳解】圓的圓心是，所以橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，即c=3，又橢圓的短軸長(zhǎng)為8，即b=4，所以橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，所以橢圓的左頂點(diǎn)為，故選：D3、A【解析】先求出，利用等比中項(xiàng)求出t.【詳解】在等比數(shù)列中，，且，所以所以，即，解得：.當(dāng)時(shí)，，不符合等比數(shù)列的定義，應(yīng)舍去，故.故選：A.4、A【解析】求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，線段的中點(diǎn)在軸上,求得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而計(jì)算，從而求解.【詳解】由橢圓方程可得：,設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，線段的中點(diǎn)為，因?yàn)榫€段中點(diǎn)在軸上，所以，即，代入橢圓方程得或，不妨取,則，所以，故選：A.5、D【解析】根據(jù)分布列即可求出【詳解】因?yàn)椋怨蔬x：D6、C【解析】寫(xiě)出兩圓的圓心和半徑，求出圓心距，發(fā)現(xiàn)與兩圓的半徑和相等，所以判斷兩圓外切【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以圓心坐標(biāo)為，半徑；圓的圓心為，半徑，圓心距，所以?xún)蓤A相外切故選：C7、C【解析】由點(diǎn)的坐標(biāo)求得參數(shù)，再由焦半徑公式得結(jié)論【詳解】由題意，解得，所以，故選：C8、B【解析】根據(jù)橢圓中的關(guān)系即可求解.【詳解】橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，焦距為8，所以，，可得，，所以，可得，所以該橢圓的短軸長(zhǎng)，故選：B.9、A【解析】求出點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是B，再利用兩點(diǎn)之間的距離即可求得結(jié)果.【詳解】點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是故選：A10、C【解析】由方程表示雙曲線知，又雙曲線的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，所以，即，所以故選C.考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).11、C【解析】焦點(diǎn)在軸上的是C和D，漸近線方程為，故選C考點(diǎn)：1．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2．雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)12、A【解析】結(jié)合空間幾何體以及空間向量的線性運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則,,,故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由橢圓方程和圓的方程可確定橢圓焦點(diǎn)、圓心和半徑；當(dāng)最小時(shí)，可知，此時(shí)；根據(jù)橢圓性質(zhì)知，解方程可求得，進(jìn)而得到離心率.【詳解】由橢圓方程知其右焦點(diǎn)為；由圓的方程知：圓心為，半徑為；當(dāng)最小時(shí)，則最小，即，此時(shí)最小；此時(shí)，；為橢圓右頂點(diǎn)時(shí)，，解得：，橢圓的離心率.故答案為：.14、【解析】由題可得，即求.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在軸上的雙曲線，則，解得.故答案為：.15、【解析】類(lèi)比球的體積公式的方法，將橄欖球細(xì)分為無(wú)數(shù)個(gè)小圓柱體疊加起來(lái)【詳解】設(shè)橢圓的方程為：，則令（根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，我們只需算出軸上半部分的體積）不妨設(shè)，按照平均分為等份，則每一等份都是相同高度的圓柱體，第1個(gè)圓柱體的體積的半徑為：第2個(gè)圓柱體的體積的半徑為：第個(gè)圓柱體的體積的半徑為：則第個(gè)圓柱體的體積為：化簡(jiǎn)可得：則有：根據(jù)可得：當(dāng)時(shí)，則有：故橢圓繞著軸旋轉(zhuǎn)一周后的體積為：而題意中，則橢圓繞著軸旋轉(zhuǎn)一周后的體積為故答案為：16、①.②.【解析】根據(jù)切線的相關(guān)性質(zhì)將四邊形面積化為，即求出最小值即可，即圓心到直線的距離；又可得四點(diǎn)在以為直徑的圓上，且是兩圓的公共弦，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求出圓的方程可得直線方程，即可得出定點(diǎn).詳解】由圓得圓心，半徑，由題意可得,在中，，，可知當(dāng)垂直直線時(shí)，，所以四邊形的面積的最小值為，可得四點(diǎn)在以為直徑的圓上，且是兩圓的公共弦，設(shè)，則圓心為，半徑為，則該圓方程為，整理可得，聯(lián)立兩圓可得直線AB的方程為，即可得當(dāng)時(shí)，，故直線過(guò)定點(diǎn).故答案為：；.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）利用二倍角公式將已知轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)，解一元二次方程可得；（2）由余弦定理和（1）可求a的最小值，再由正弦定理可得外接圓半徑的最小值，然后可解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，解得或（舍去），又為銳角三角形，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以.外接圓的半徑，故外接圓面積的最小值為.18、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，由即所以化簡(jiǎn)即可得到答案.（2）設(shè)，，設(shè)直線l的方程為：與（1）中W的軌跡方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定理，求出，同理設(shè)直線的方程為：，得出，再根據(jù)從而可證明結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以所以所以所以所以C的方程為：【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，設(shè)直線l的方程為：，則由得：所以，，所以所以設(shè)直線的方程為：，則同理可得因所以即，即，即解得，即所以為定值.19、（1）（2）該企業(yè)對(duì)該產(chǎn)品的投入成本選擇收人12萬(wàn)元更好，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)公式計(jì)算出和，求出線性回歸方程；（2）分別求出投入成本7萬(wàn)和12萬(wàn)時(shí)的毛利率，比較出大小即可得到答案.【小問(wèn)1詳解】，，，所以y關(guān)于x的線性回歸方程為；【小問(wèn)2詳解】該企業(yè)對(duì)該產(chǎn)品的投入成本選擇收人12萬(wàn)元更好，理由如下：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)毛利率為×100％≈34％；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)毛利率為=40％，因?yàn)?0％>34％，所以該企業(yè)對(duì)該產(chǎn)品的投入成本選擇收人12萬(wàn)元更好.20、（1）；（2）存在；.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出a，c，b即可作答.(2)聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，利用斜率坐標(biāo)公式并結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算即可推理作答.【小問(wèn)1詳解】依題意，，，，由橢圓定義知：橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，即，而半焦距，即有短半軸長(zhǎng)，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：【小問(wèn)2詳解】依題意，設(shè)直線l方程為，由消去x并整理得，設(shè)，，則，，假定存在點(diǎn)，直線TM與TN的斜率分別為，，，要使為定值，必有，即，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，所以存在點(diǎn)，使得直線TM與TN的斜率之積為定值【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值21、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算知，即可證得結(jié)論；（2）利用空間向量結(jié)合已知的面面角余弦值可求得，再利用線面平行的已知條件求得，再將四面體視為以為底面的三棱錐，利用錐體的體積公式即可得解.【小問(wèn)1詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，其中，，若是的中點(diǎn)，則，，，于是，∴，即【小問(wèn)2詳解】由題設(shè)知，，，是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，取，得又平面的一個(gè)法向量是，∴，而二面角的余弦值為，因此，解得或（舍去），此時(shí)設(shè)，而，由此得點(diǎn)，，∵平面，且平面的一個(gè)法向量是，∴，即，解得，從而將四面體視為以為底面的三棱錐，則其高，故四面體的體積【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對(duì)應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過(guò)計(jì)算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.22、（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）面積的最大值為【解析】（1）由題意得，再由，標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，不妨??；②當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，又直線的距離點(diǎn)到直線的距離為面積的最大值為.試題解析：（1）由題意得，解得，∵，∴，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，