吉林省示范名校2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

吉林省示范名校2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)P在截面上（含邊界），則線段的最小值等于（）A. B.C. D.2．在正三棱錐S-ABC中，AB=4，D、E分別是SA、AB中點(diǎn)，且DE⊥CD，則三棱錐S-ABC外接球的體積為（）A.π B.πC.π D.π3．設(shè)雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在雙曲線C上，若線段的中點(diǎn)在y軸上，且為等腰三角形，則雙曲線C的離心率為（）A B.2C. D.4．已知直線l的方向向量，平面α的一個(gè)法向量為，則直線l與平面α的位置關(guān)系是（）A.平行 B.垂直C.在平面內(nèi) D.平行或在平面內(nèi)5．函數(shù)的部分圖像為（）A. B.C. D.6．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則（）A. B.C. D.與相交但不垂直7．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中說(shuō)：“九百九十六斤棉，贈(zèng)分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來(lái)言，務(wù)要分明依次第，孝和休惹外人傳.”意為：“996斤棉花，分別贈(zèng)送給8個(gè)子女做旅費(fèi)，從第一個(gè)孩子開(kāi)始，以后每人依次多17斤，直到第8個(gè)孩子為止.分配時(shí)一定要依照次序分，要順從父母，兄弟間和氣，不要引得外人說(shuō)閑話.”在這個(gè)問(wèn)題中，第5個(gè)孩子分到棉花為（）A.133斤 B.116斤C.99斤 D.65斤8．已知四棱錐，底面為平行四邊形，分別為，上的點(diǎn)，，設(shè)，則向量用為基底表示為（）A. B.C. D.9．已知直線與直線垂直，則（）A. B.C. D.10．箱子中有5件產(chǎn)品，其中有2件次品，從中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，設(shè)事件=“至少有一件次品”，則的對(duì)立事件為（）A.至多兩件次品 B.至多一件次品C.沒(méi)有次品 D.至少一件次品11．在平面上有及內(nèi)一點(diǎn)O滿足關(guān)系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為a，b，c，現(xiàn)有則O為的（）A.外心 B.內(nèi)心C.重心 D.垂心12．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，且，則_____________14．如圖，已知橢圓＋y2＝1的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，則點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為_(kāi)_______15．在正方體中，，，P，F(xiàn)分別是線段，的中點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線EF的距離是___________.16．過(guò)直線上一動(dòng)點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則四邊形PACB面積的最小值為_(kāi)_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）（1）已知：方程表示雙曲線；：關(guān)于的不等式有解.若為真，求的取值范圍；（2）已知，，.若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.18．（12分）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)，G，H，K，L分別是AB，，，，，DA各棱的中點(diǎn).（1）求證：E，F(xiàn)，G，H，K，L共面：（2）求證：平面EFGHKL；（3）求與平面EFGHKL所成角的余弦值.19．（12分）已知直線，圓.（1）證明：直線l與圓C相交；（2）設(shè)l與C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B，弦AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M的軌跡方程；（3）在（2）的條件下，設(shè)圓C在點(diǎn)A處的切線為，在點(diǎn)B處的切線為，與的交點(diǎn)為Q.試探究：當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)Q是否恒在一條定直線上？若是，請(qǐng)求出這條直線的方程；若不是，說(shuō)明理由.20．（12分）已知直線和，設(shè)a為實(shí)數(shù)，分別根據(jù)下列條件求a的值：（1）（2）21．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最值；（2）若在定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍22．（10分）已知圓M：的圓心為M，圓N：的圓心為N，一動(dòng)圓與圓N內(nèi)切，與圓M外切，動(dòng)圓的圓心E的軌跡為曲線C（1）求曲線C的方程；（2）已知點(diǎn)，直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且，直線l是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)體積法求得到平面的距離即可得【詳解】由題意的最小值就是到平面的距離正方體棱長(zhǎng)為2，則，，設(shè)到平面的距離為，由得，解得故選：B2、C【解析】取中點(diǎn)，連接，證明平面，得證，然后證明平面，得兩兩垂直，以為棱把三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體，正方體的對(duì)角線是其外接球的直徑，而正方體的外接球也是正三棱錐的外接球，由此計(jì)算可得【詳解】取中點(diǎn)，連接，則，，，平面，所以平面，又平面，所以，D、E分別是SA、AB的中點(diǎn)，則，又，所以，，平面，所以平面，而平面，所以，，是正三棱錐，因此，因此可以為棱把三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體，正方體的對(duì)角線是其外接球的直徑，而正方體的外接球也是正三棱錐的外接球，由，得，所以所求外接球直徑為，半徑為，球體積為故選：C3、A【解析】根據(jù)是等腰直角三角形，再表示出的長(zhǎng)，利用三角形的幾何性質(zhì)即可求得答案.【詳解】線段的中點(diǎn)在y軸上,設(shè)的中點(diǎn)為M，因?yàn)镺為的中點(diǎn)，所以,而,則，為等腰三角形，故，由，得，又為等腰直角三角形，故，即，解得，即，故選：A.4、D【解析】根據(jù)題意，結(jié)合線面位置關(guān)系的向量判斷方法，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，因?yàn)椋?，所以直線l與平面α的位置關(guān)系是平行或在平面內(nèi)故選：D5、D【解析】先判斷奇偶性排除C，再利用排除B，求導(dǎo)判斷單調(diào)性可排除A.【詳解】因?yàn)?，所以為偶函?shù)，排除C；因?yàn)椋懦鼴；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，排除A.故選：D6、B【解析】通過(guò)判斷直線的方向向量與平面的法向量的關(guān)系，可得結(jié)論【詳解】因?yàn)?，，所以，所以∥，因?yàn)橹本€的方向向量為，平面的法向量為，所以，故選：B7、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】依題意得，八個(gè)子女所得棉花斤數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列為，公差為d，前n項(xiàng)和為，第一個(gè)孩子所得棉花斤數(shù)為，則由題意得，，解得，故選：A8、D【解析】通過(guò)尋找封閉的三角形，將相關(guān)向量一步步用基底表示即可.【詳解】.故選：D9、D【解析】根據(jù)互相垂直兩直線的斜率關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】由，所以直線的斜率為，由，所以直線的斜率為，因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，故選：D10、C【解析】利用對(duì)立事件的定義，分析即得解【詳解】箱子中有5件產(chǎn)品，其中有2件次品，從中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，可能出現(xiàn)：“兩件次品”，“一件次品，一件正品”，“兩件正品”三種情況根據(jù)對(duì)立事件的定義，事件=“至少有一件次品”其對(duì)立事件為：“兩件正品”，即”沒(méi)有次品“故選：C11、B【解析】利用三角形面積公式，推出點(diǎn)O到三邊距離相等?！驹斀狻坑淈c(diǎn)O到AB、BC、CA的距離分別為，，，，因?yàn)?，則，即，又因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心.故選：B12、C【解析】依題意有，解得，所以.考點(diǎn)：等差數(shù)列的基本概念.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題主要考查等差數(shù)列的基本概念.在解有關(guān)等差數(shù)列的問(wèn)題時(shí)可以考慮化歸為和等基本量，通過(guò)建立方程(組)獲得解．即等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè),即知三求二，多利用方程組的思想，體現(xiàn)了用方程的思想解決問(wèn)題,注意要弄準(zhǔn)它們的值.運(yùn)用方程的思想解等差數(shù)列是常見(jiàn)題型，解決此類問(wèn)題需要抓住基本量、，掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個(gè)環(huán)節(jié)，常通過(guò)“設(shè)而不求，整體代入”來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由，可得，，，從而利用換底公式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，，，又，所以，所以，所以，故答案為?14、【解析】設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出線段的垂直平分線方程，可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用不等式的基本性質(zhì)可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.【詳解】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理可得，因?yàn)橹本€過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根設(shè)點(diǎn)、，設(shè)的中點(diǎn)為，則，，直線的垂直平分線的方程為，令，則.因?yàn)?，所以故點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.故答案為：15、【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求解點(diǎn)P到直線EF的距離.【詳解】解：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，，，所以，，所以點(diǎn)P到直線EF的距離.故答案為：.16、【解析】當(dāng)圓心與點(diǎn)的距離最小時(shí)，切線長(zhǎng)，最小，則四邊形的面積最小，此時(shí)是點(diǎn)到已知直線的垂線段.然后利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，再結(jié)合弦長(zhǎng)公式和面積公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解：根據(jù)題意可知：當(dāng)圓心與點(diǎn)的距離最小時(shí)，切線長(zhǎng)，最小，則四邊形的面積最小，此時(shí)是點(diǎn)到已知直線的垂線段.圓心到直線的距離為四邊形面積的最小值為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）1m2；（2）(0，1]【解析】（1）由pq為真，可得p真且q假，然后分別求出p真，q假時(shí)的的取值范圍，再求交集即可，（2）求得p：1x2，再由p是q的必要不充分條件，得，解不等式組可求得答案【詳解】（1）因?yàn)閜q為真，所以p真且q假，p真：m1m301m3，q假，則不等式無(wú)解，則402m2，所以1m2.（2）依題意，p：1x2，因p是q的必要不充分條件，于是得（不同時(shí)取等號(hào)），解得0m1，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0，1].18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)；（1）用向量的坐標(biāo)運(yùn)算證明向量共面，進(jìn)而證明點(diǎn)共面；（2）利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算證明，即可；（3）確定平面EFGHKL的一個(gè)法向量，利用空間角度的向量計(jì)算公式求得答案.【小問(wèn)1詳解】證明：以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2.則，，，，，，，.可得，，，，，.可得，，，，，所以，，，，共面，又它們過(guò)同一點(diǎn)E,所以E，F(xiàn)，G，H，K，L共面.【小問(wèn)2詳解】證明：由（1）得，，又故，，又，所以平面LEF，即平面EFGHKL.【小問(wèn)3詳解】由（2）知，是平面EFGHKL的一個(gè)法向量，設(shè)與平面EFGHKL所成角為，，,.所以,所以與平面EFGHKL所成角的余弦值為.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）點(diǎn)Q恒在直線上，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）求出直線過(guò)定點(diǎn)，得到在圓內(nèi)部，故證明直線l與圓C相交；（2）設(shè)出點(diǎn)，利用垂直得到等量關(guān)系，整理后即為軌跡方程；（3）利用Q、A、B、C四點(diǎn)共圓，得到此圓方程，聯(lián)立，求出相交弦的方程，即直線的方程，根據(jù)直線過(guò)的定點(diǎn)，得到，從而得到點(diǎn)Q恒在直線上.【小問(wèn)1詳解】證明：直線過(guò)定點(diǎn)，代入得：，故在圓內(nèi)，故直線l與圓C相交；【小問(wèn)2詳解】圓的圓心為，設(shè)點(diǎn)，由垂徑定理得：，即，化簡(jiǎn)得：，點(diǎn)M的軌跡方程為：【小問(wèn)3詳解】設(shè)點(diǎn)，由題意得：Q、A、B、C四點(diǎn)共圓，且圓的方程為：，即，與圓C的方程聯(lián)立，消去二次項(xiàng)得：，即為直線的方程，因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)，所以，解得：，所以當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)Q恒在直線上.【點(diǎn)睛】本題的第三問(wèn)是稍有難度的，處理方法是根據(jù)四點(diǎn)共圓，直徑的端點(diǎn)坐標(biāo)，求出此圓的方程，與曲線聯(lián)立后得到相交弦的方程，是處理此類問(wèn)題的關(guān)鍵.20、（1）a=4或a=-2（2）a=【解析】（1）根據(jù)，由a(a-2)-2×4=0求解；（2）根據(jù)，由4a=-2(a-2）求解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，所以a(a-2)-2×4=0，解得a=4或a=-2所以當(dāng)時(shí)，a=4或a=-2；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所?a=-2(a-2），解得a=檢驗(yàn)：此時(shí)，，成立所以當(dāng)時(shí)，a=.21、（1），；（2）.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，求出導(dǎo)函數(shù)，求出函數(shù)得單調(diào)區(qū)間，即可求出在區(qū)間上的最值；（2）由，分離參數(shù)得，根據(jù)函數(shù)得單調(diào)性作圖，結(jié)合圖像即可得出答案.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，，∴，（2），則，∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)和得圖像，∴由圖象可得，.22、（1），；（2）過(guò)，.【解