吉林省白城市大安市第二中學2024屆數(shù)學高二上期末教學質量檢測試題含解析

吉林省白城市大安市第二中學2024屆數(shù)學高二上期末教學質量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2+6x+2=0的根，則的值為（）A. B.C. D.或2．已知直線方程為，則其傾斜角為（）A.30° B.60°C.120° D.150°3．如圖，已知四棱錐，底面ABCD是邊長為4的菱形，且，E為AD的中點，，則異面直線PC與BE所成角的余弦值為（）A. B.C. D.4．已知等差數(shù)列的公差，記該數(shù)列的前項和為，則的最大值為（）A.66 B.72C.132 D.1985．已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知數(shù)列的前n項和為，，，則（）A. B.C.1025 D.20497．在直三棱柱中，，，則直線與所成角的大小為（）A.30° B.60°C.120° D.150°8．設是橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，且.則的面積為（）A.6 B.C.8 D.9．若圓C：上有到的距離為1的點，則實數(shù)m的取值范圍為（）A. B.C. D.10．若函數(shù)有兩個不同的極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.11．設,則是的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件12．已知命題：，命題：，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，若，且，則的長為_________14．已知橢圓和雙曲線有相同的焦點和，設橢圓和雙曲線的離心率分別為，，P為兩曲線的一個公共點，且（O為坐標原點）．若，則的取值范圍是______15．如圖，在矩形中，，，將沿BD所在的直線進行翻折，得到空間四邊形.給出下面三個結論：①在翻折過程中，存在某個位置，使得；②在翻折過程中，三棱錐的體積不大于；③在翻折過程中，存在某個位置，使得異面直線與所成角45°.其中所有正確結論的序號是___________.16．若函數(shù)在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個零點,則a的值為_____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)在處的切線方程為.（1）求的解析式；（2）求函數(shù)圖象上的點到直線的距離的最小值.18．（12分）已知圓,直線（1）判斷直線與圓的位置關系；（2）若直線與圓交于不同兩點,且,求直線的方程19．（12分）如圖，在正方體中，是棱的中點.（1）試判斷直線與平面的位置關系，并說明理由；（2）求證：直線面.20．（12分）已知，其中.（1）若,求在處的切線方程；（2）若是函數(shù)的極小值點，求函數(shù)在區(qū)間上的最值；（3）討論函數(shù)的單調性.21．（12分）已知橢圓的離心率為，以橢圓兩個焦點與短軸的一個端點為頂點構成的三角形的面積為（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點作直線l與橢圓C相切于點Q，且直線l斜率大于0，過線段PQ的中點R作直線交橢圓于A，B兩點（點A，B不在y軸上），連結PA，PB，分別與橢圓交于點M，N，試判斷直線MN的斜率是否為定值；若是，請求出該定值22．（10分）已知函數(shù)，其中（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）①若恒成立，求的最小值；②證明：，其中.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由韋達定理得a3a15=2，由等比數(shù)列通項公式性質得：a92=a3a15=a2a16=2，由此求出答案【詳解】解：∵在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2-6x+2=0的根，∴a3a15=2＞0，a3+a15=-6<0∴a2a16=a3a15=2，a92=a3a15=2，∴a9=，∴，故選B【點睛】本題考查等比數(shù)列中兩項積與另一項的比值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質的合理運用2、D【解析】由直線方程可得斜率，根據(jù)斜率與傾斜角的關系即可求傾斜角大小.【詳解】由題設，直線斜率，若直線的傾斜角為，則，∵，∴.故選：D3、B【解析】根據(jù)異面直線的定義找出角即為所求，再利用余弦定理解三角形即可得出.【詳解】分別取BC，PB的中點F，G，連接DF，F(xiàn)G，DG，如圖，因為E為AD的中點，四邊形ABCD是菱形，所以，所以（其補角）是異面直線PC與BE所成的角因為底面ABCD是邊長為4菱形，且，，由余弦定理可知，所以，所以，所以異面直線PC與BE所成角的余弦值為，故選：B4、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的公差，求得其通項公式求解.【詳解】因為等差數(shù)列的公差,所以，則，所以，由，得，所以或12時，該數(shù)列的前項和取得最大值，最大值為，故選：A5、D【解析】根據(jù)已知條件可得出關于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為方程表示焦點在軸上的橢圓，則，解得.故選：D.6、B【解析】根據(jù)題意得，進而根據(jù)得數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式求解即可.【詳解】解：因為數(shù)列的前n項和為滿足，所以當時，，解得，當時，，即所以，解得或，因為，所以.所以，，所以當時，，所以，即所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，所以故選：B7、B【解析】根據(jù)三棱柱的特征補全為正方體，則，為直線與所成角，連接，則為等邊三角形即可得解.【詳解】根據(jù)直三棱柱的特征，補全可得如圖所示的正方體，易知，為直線與所成角，連接，則為等邊三角形，所以，所以直線與所成角的大小為.故選：B8、B【解析】利用橢圓的幾何性質，得到，，進而利用得出，進而可求出【詳解】解：由橢圓的方程可得，所以，得且，，在中，由余弦定理可得，而，所以，，又因為，，所以，所以，故選：B9、C【解析】利用圓與圓的位置關系進行求解即可.【詳解】將圓C的方程化為標準方程得，所以．因為圓C上有到的距離為1的點，所以圓C與圓：有公共點，所以因為，所以，解得，故選：C10、D【解析】計算，然后等價于在（0，+∞）由2個不同的實數(shù)根，然后計算即可.【詳解】的定義域是（0，+∞），，若函數(shù)有兩個不同的極值點，則在（0，+∞）由2個不同的實數(shù)根，故，解得：，故選：D.【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)極值點個數(shù)求參，考查計算能力以及思維轉變能力，屬基礎題.11、B【解析】,，所以是必要不充分條件，故選B.考點：1.指、對數(shù)函數(shù)的性質；2.充分條件與必要條件.12、B【解析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】因為命題：或，命題：，所以是的必要不充分條件，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】因為，所以，即，故14、【解析】設出半焦距c，用表示出橢圓的長半軸長、雙曲線的實半軸長，由可得為直角三角形，由此建立關系即可計算作答.【詳解】設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，它們的半焦距為c，于是得，，由橢圓及雙曲線的對稱性知，不妨令焦點和在x軸上，點P在y軸右側，由橢圓及雙曲線定義得：，解得，，因，即，而O是線段的中點，因此有，則有，即，整理得：，從而有，即有，又，則有，即，解得，所以的取值范圍是.故答案：15、②③【解析】在矩形中，過點作的垂線，垂足分別為，對于①，連接，假設存在某個位置，使得，則可得到，進而得矛盾，可判斷；對于②在翻折過程中，當平面平面時，三棱錐的體積取得最大值，再根據(jù)幾何關系計算即可；對于③，由題知，，設平面與平面所成的二面角為，進而得，進而得異面直線與所成角的余弦值的范圍為，即可判斷.【詳解】解：如圖1，在矩形中，過點作的垂線，垂足分別為，則在在翻折過程中，形成如圖2的幾何體，故對于①，連接，假設存在某個位置，使得，由于，，所以平面，所以，這與圖1中的與不垂直矛盾，故錯誤；對于②在翻折過程中，當平面平面時，三棱錐的體積取得最大值，此時，體積為，故三棱錐的體積不大于，故正確；對于③，，，由②的討論得，所以，所以，設翻折過程中，平面與平面所成的二面角為，所以，故，由于要使直線與為異面直線，所以，所以，所以，所以異面直線與所成角的余弦值的范圍為，由于，所以在翻折過程中，存在某個位置，使得異面直線與所成角為45°.故答案為：②③16、a＝3【解析】對函數(shù)進行求導,分類討論函數(shù)單調性,根據(jù)單調性結合已知可以求出a的值.【詳解】∵函數(shù)在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個零點,∴f′（x）＝2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），①當a≤0時，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0,函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調遞增,f（0）＝1，f（x）在（0，+∞）上沒有零點,舍去；②當a＞0時，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0的解為x，∴f（x）在（0,）上遞減,在（,+∞）遞增，又f（x）只有一個零點,∴f（）1＝0，解得a＝3故答案為：a＝3【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究已知函數(shù)的零點求參數(shù)取值問題,考查了分類討論和數(shù)學運算能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由題可得，然后利用導數(shù)的幾何意義即求；（2）由題可得切點到直線的距離最小，即得.【小問1詳解】∵函數(shù)，∴的定義域為，，∴在處切線的斜率為，由切線方程可知切點為，而切點也在函數(shù)圖象上，解得，∴的解析式為；【小問2詳解】由于直線與直線平行，直線與函數(shù)在處相切，所以切點到直線的距離最小，最小值為，故函數(shù)圖象上的點到直線的距離的最小值為.18、（1）直線與圓相交；（2）或【解析】（1）通過比較圓心到直線的距離與半徑的關系，不難發(fā)現(xiàn)直線和圓相交．（2）根據(jù)垂徑定理，得到圓心與直線的距離，進而列方程求解即可試題解析：（1）將圓方程化為標準方程,所以圓的圓心,半徑,圓心到直線的距離,因此直線與圓相交（2）設圓心到直線的距離為,則,又,解得所求直線為或考點：直線與圓的位置關系19、（1）平面AEC，理由見解析（2）證明見解析【解析】（1）以線面平行的判定定理去證明直線與平面平行即可；（2）以線面垂直的判定定理去證明直線面即可.【小問1詳解】連接BD，設，連接OE.在中，O、E分別是BD、的中點，則.因為直線OE在平面AEC上，而直線不在平面AEC上，根據(jù)直線與平面平行的判定定理，得到直線平面AEC.【小問2詳解】正方體中，故，又，故同理故，又，故又根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，得直線平面.20、（1）；（2）最大值為5，最小值為；（3）答案見解析.【解析】（1）求出導函數(shù)，進而根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，然后求出切線方程；（2）根據(jù)求出a，進而求出函數(shù)的單調區(qū)間，然后求出函數(shù)的最值；（3）先求出導函數(shù)，然后討論a的取值范圍，進而求出函數(shù)的單調區(qū)間.【小問1詳解】當時，，，切點坐標為，，切線的斜率為，切線方程為，即.【小問2詳解】，是函數(shù)的極小值點，，即，，令，得或，令，得，的單調遞增區(qū)間為，，的單調遞減區(qū)間為，，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為5，最小值為.【小問3詳解】函數(shù)的定義域為，，令得，.①當時，，函數(shù)在R上單調遞增；②當時，，令，得或，令，得，的單調遞增區(qū)間為，，的單調遞減區(qū)間為；③當時，，令，得或，令，得，的單調遞增區(qū)間為，，的單調遞減區(qū)間為.綜上：時，，函數(shù)R上單調遞增；時，的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為；時，的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為.21、（1）（2）是，【解析】（1）根據(jù)離心率以及橢圓兩個焦點與短軸的一個端點為頂點構成的三角形的面積列出等式即可求解；（2）設出相關直線與相關點的坐標，直線與橢圓聯(lián)立，點的坐標配合斜率公式化簡，再運用韋達理化簡可證明.【小問1詳解】由題意得，解得，則橢圓C的標準方程為【小問2詳解】設切線PQ的方程為，，，，，由，消去y得①，則，解得或（舍去），將代入①得，，解得，則，所以，又R為PQ中點，則，因為PA，PB斜率都存在，不妨設，，由①可得，所以，，同理，，則，又R，A，B三點共線，則，化簡得，所以.2