湘教版（2023） 必修第二冊4.3直線與直線直線與平面的位置關(guān)系 課件+學(xué)案（共10份打包）

第第頁湘教版（2023）必修第二冊4.3直線與直線直線與平面的位置關(guān)系課件+學(xué)案（共10份打包）第1課時(shí)空間中直線與直線的位置關(guān)系

教材要點(diǎn)

要點(diǎn)一空間兩直線的位置關(guān)系

1．空間中兩條直線的位置關(guān)系

2．異面直線：把不同在________平面內(nèi)的兩條直線叫作異面直線．

狀元隨筆(1)異面直線的定義表明異面直線不具備確定平面的條件．異面直線既不相交，也不平行．

(2)不能把異面直線誤認(rèn)為分別在不同平面內(nèi)的兩條直線，如圖中，雖然有aα，bβ，即a，b分別在兩個(gè)不同的平面內(nèi)，但是因?yàn)閍∩b＝O，所以a與b不是異面直線．

要點(diǎn)二基本事實(shí)4

文字語言平行于同一條直線的兩條直線________

圖形語言

符號(hào)語言

作用證明兩條直線平行

說明基本事實(shí)4表述的性質(zhì)通常叫做平行線的

要點(diǎn)三等角定理

文字語言如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)，那么這兩個(gè)角或

符號(hào)語言O(shè)A∥O′A′，OB∥O′B′∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°

圖形語言

作用判定兩個(gè)角相等或互補(bǔ)

狀元隨筆等角定理實(shí)質(zhì)上是由如下兩個(gè)結(jié)論合成的：

①若一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行且方向都相同（或方向都相反），則這兩個(gè)角相等；

②若一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，有一組對(duì)應(yīng)邊方向相同，另一組對(duì)應(yīng)邊方向相反，則這兩個(gè)角互補(bǔ)．

基礎(chǔ)自測

1.思考辨析（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）

（1）兩條直線無公共點(diǎn)，則這兩條直線平行．（）

（2）分別平行于兩條異面直線的兩條直線一定是異面直線．（）

（3）若a∥b，b∥c，c∥d，則a∥d.（）

（4）如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等．（）

2.三棱錐ABCD中，E、F、M、N分別是AB、AD、BC、CD的中點(diǎn)，求EF與MN的位置關(guān)系（）

A．平行B．相交

C．異面D．都有可能

3.如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1的棱所在的直線中，與直線BC1為異面直線的條數(shù)為（）

A．1B．2

C．3D．4

4.在空間中，若直線a與b無公共點(diǎn)，則直線a，b的位置關(guān)系是Ｗ．

題型1兩直線的位置關(guān)系辨析

例1（1）若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是（）

A．l與l1，l2都不相交

B．l與l1，l2都相交

C．l至多與l1，l2中的一條相交

D．l至少與l1，l2中的一條相交

（2）如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，判斷下列直線的位置關(guān)系：

①直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是；

②直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是；

③直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是；

④直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是．

方法歸納

判斷空間中兩條直線位置關(guān)系的訣竅

（1）建立空間觀念，全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關(guān)系．特別關(guān)注異面直線．

（2）重視正方體等常見幾何體模型的應(yīng)用，會(huì)舉例說明兩條直線的位置關(guān)系．

跟蹤訓(xùn)練1（多選）如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是（）

A．直線AM與CC1是相交直線

B．直線AM與BN是平行直線

C．直線BN與MB1是異面直線

D．直線AM與DD1是異面直線

題型2基本事實(shí)4的應(yīng)用

例2在棱長為a的正方體ABCDA′B′C′D′中，M，N分別為棱CD，AD的中點(diǎn)．求證：四邊形MNA′C′是梯形．

方法歸納

證明兩條直線平行的兩種方法

（1）利用平行線的定義：證明兩條直線在同一平面內(nèi)且無公共點(diǎn)．

（2）利用基本事實(shí)4：尋找第三條直線，然后證明這兩條直線都與所找的第三條直線平行，根據(jù)基本事實(shí)4，顯然這兩條直線平行．若題設(shè)條件中含有中點(diǎn)，則常利用三角形的中位線性質(zhì)證明直線平行．

跟蹤訓(xùn)練2

如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，M1分別是棱AD和A1D1的中點(diǎn)．

求證：四邊形BB1M1M為平行四邊形．

題型3等角定理及其應(yīng)用

例3

如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1分別為棱AD，AB，B1C1，C1D1的中點(diǎn)．

求證：∠EA1F＝∠E1CF1.

方法歸納

（1）空間等角定理實(shí)質(zhì)上是由以下兩個(gè)結(jié)論組成的：①若一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行且方向都相同或相反，那么這兩個(gè)角相等；②若一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，有一組對(duì)邊方向相同，另一組對(duì)邊方向相反，那么這兩個(gè)角互補(bǔ)．

（2）證明角相等，一般采用三種途徑

①利用等角定理及推論；②利用三角形相似；③利用三角形全等．

跟蹤訓(xùn)練3在三棱柱ABCA1B1C1中，M，N，P分別為A1C1，AC和AB的中點(diǎn)．求證：∠PNA1＝∠BCM.

對(duì)兩直線的位置關(guān)系把握不準(zhǔn)致誤

例4分別和兩條異面直線相交的兩條不同直線的位置關(guān)系是Ｗ．

解析：分兩類進(jìn)行討論．（1）若兩條直線與兩異面直線的交點(diǎn)有4個(gè)，如圖（1），直線AB與異面直線a，b分別相交于點(diǎn)A，B，直線CD與異面直線a，b分別相交于點(diǎn)C，D，那么A，B，C，D四點(diǎn)不可能共面，否則與a，b異面矛盾，故直線AB與CD異面；

（2）若兩條直線與兩異面直線的交點(diǎn)有3個(gè)，如圖（2），兩條直線相交．

答案：異面或相交

易錯(cuò)警示

易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得

解題時(shí)易忽略兩條直線與兩異面直線的交點(diǎn)有3個(gè)的情況，認(rèn)為交點(diǎn)只有4個(gè)，此時(shí)兩條直線是異面直線，導(dǎo)致錯(cuò)填異面．在立體幾何中，空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系不確定時(shí)，要注意分類討論，避免片面地思考問題．在判斷兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，可通過畫出相關(guān)圖形幫助分析．

課堂十分鐘

1.若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是（）

A．異面或平行B．異面或相交

C．異面D．相交、平行或異面

2.

如圖所示，在長方體木塊AC1中，E，F(xiàn)分別是B1O和C1O的中點(diǎn)，則長方體的各棱中與EF平行的有（）

A．3條B．4條

C．5條D．6條

3.正方體ABCDA1B1C1D1中，P，Q分別為AA1，CC1的中點(diǎn)，則四邊形D1PBQ是（）

A．正方形B．菱形

C．矩形D．空間四邊形

4.空間中一個(gè)∠A的兩邊和另一個(gè)∠B的兩邊分別平行，∠A＝70°，則∠B＝Ｗ．

5.如圖，在正方體ABCDA′B′C′D′中，E，F(xiàn)，E′，F(xiàn)′分別是棱AB，AD，B′C′，C′D′的中點(diǎn)．

求證：四邊形EFF′E′為平行四邊形．

第1課時(shí)空間中直線與直線的位置關(guān)系

新知初探·課前預(yù)習(xí)

要點(diǎn)一

1．一個(gè)沒有沒有

2．任何一個(gè)

要點(diǎn)二

平行a∥c傳遞性

要點(diǎn)三

平行相等互補(bǔ)

[基礎(chǔ)自測]

1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×

2．解析：

∵E，F(xiàn)是AB、AD中點(diǎn)，

∴EF∥BD

∵M(jìn)，N是BC，CD中點(diǎn)

∴MN∥BD

∴EF∥MN.

答案：A

3．解析：與直線BC1成異面直線的有A1B1，AC，AA1，共3條．

答案：C

4．解析：a與b無公共點(diǎn)，a與b可能平行，可能異面．

答案：平行或異面

題型探究·課堂解透

例1解析：(1)由直線l1和l2是異面直線可知l1與l2不平行，故l1，l2中至少有一條與l相交．

(2)經(jīng)探究可知直線A1B與直線D1C在平面A1BCD1中，且沒有交點(diǎn)，則兩直線平行，所以①應(yīng)該填“平行”；點(diǎn)A1，B，B1在平面A1BB1內(nèi)，而C不在平面A1BB1內(nèi)，則直線A1B與直線B1C異面．同理，直線AB與直線B1C異面．所以②④應(yīng)該填“異面”；直線D1D與直線D1C相交于D1點(diǎn)，所以③應(yīng)該填“相交”．

答案：(1)D(2)①平行②異面③相交④異面

跟蹤訓(xùn)練1解析：直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，所以AB錯(cuò)誤．點(diǎn)B，B1，N在平面BB1C1C中，點(diǎn)M在此平面外，所以BN，MB1是異面直線．同理AM，DD1也是異面直線．故選CD.

答案：CD

例2證明：

如圖，連接AC.

∵M(jìn)，N分別為棱CD，AD的中點(diǎn)，

∴MN綊AC.

由正方體的性質(zhì)可知AC綊A′C′，

∴MN綊A′C′，∴A′N與MC′相交，

即A′N不平行于MC′，MN平行于A′C′，

∴四邊形MNA′C′是梯形．

跟蹤訓(xùn)練2證明：∵ABCDA1B1C1D1為正方體．

∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，

又M，M1分別為棱AD，A1D1的中點(diǎn)，

∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，

∴四邊形AMM1A1為平行四邊形，

∴MM1＝AA1且MM1∥AA1.

又AA1＝BB1且AA1∥BB1，

∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，

∴四邊形BB1M1M為平行四邊形．

例3證明：如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，取A1B1的中點(diǎn)M，連接BM，F(xiàn)1M，則BF＝A1M.

又∵BF∥A1M，∴四邊形A1FBM為平行四邊形，

∴A1F∥BM.

而F1，M分別為C1D1，A1B1的中點(diǎn)，則F1M綊C1B1.

而C1B1綊BC，∴F1M綊BC，∴四邊形F1MBC為平行四邊形．

∴BM∥CF1.又BM∥A1F，

∴A1F∥CF1.

同理，取A1D1的中點(diǎn)N，連接DN，E1N，則有A1E∥CE1.

∴∠EA1F與∠E1CF1的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，且方向都相反，

∴∠EA1F＝∠E1CF1.

跟蹤訓(xùn)練3

證明：因?yàn)镻，N分別為AB，AC的中點(diǎn)，

所以PN∥BC.①

又因?yàn)镸，N分別為A1C1，AC的中點(diǎn)，

所以A1M綊NC.

所以四邊形A1NCM為平行四邊形，

于是A1N∥MC.②

由①②及∠PNA1與∠BCM對(duì)應(yīng)邊方向相同，得∠PNA1＝∠BCM.

[課堂十分鐘]

1．解析：異面直線不具有傳遞性，可以以長方體為載體加以說明，a，b異面，直線c的位置可如圖所示．故選D.

答案：D

2．解析：EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1.

答案：B

3．解析：設(shè)正方體的棱長為2，直接計(jì)算可知四邊形D1PBQ各邊均為，

又四邊形D1PBQ是平行四邊形，所以四邊形D1PBQ是菱形．故選B.

答案：B

4.

解析：①若∠A的兩邊和∠B的兩邊分別平行，且方向相同，則∠A與∠B相等，此時(shí)∠B＝∠A＝70°；

②當(dāng)∠A的兩邊和∠B的兩邊分別平行，且一邊方向相同另一邊方向相反，則∠A與∠B互補(bǔ)，此時(shí)∠B＝180°－∠A＝110°.

答案：70°或110°

5．證明：連接BD，B′D′，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，所以EF綊BD，

同理E′F′綊B′D′，在正方體ABCDA′B′C′D′中，四邊形BB′D′D為平行四邊形，所以BD綊B′D′，所以EF綊E′F′，

故四邊形EFF′E′為平行四邊形．

第2課時(shí)異面直線

教材要點(diǎn)

要點(diǎn)一異面直線的畫法

異面直線的表示，一般借助輔助平面．如圖，圖中的兩條直線a，b均為異面直線．

要點(diǎn)二異面直線的另一種判斷方法

與平面的直線與該平面內(nèi)不過該交點(diǎn)的直線是異面直線．

要點(diǎn)三異面直線所成的角

1.定義：過空間任意一點(diǎn)O，分別作與兩條異面直線平行的直線，這兩條直線所成的銳角或直角，叫作兩條異面直線所成的角．

2.范圍：．

3.如果兩條異面直線a與b所成的角為90°，則稱這兩條異面直線互相垂直，記作．

狀元隨筆（1）異面直線所成角的定義的理論依據(jù)是等角定理．

（2）兩異面直線所成角的大小與點(diǎn)O的選取無關(guān)，所以在具體計(jì)算兩條異面直線所成角的問題中，點(diǎn)

O經(jīng)常選在一些特殊的位置或兩異面直線的一條上．

（3）兩條直線垂直，既包括相交垂直，也包括異面垂直．

基礎(chǔ)自測

1.思考辨析（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）

（1）分別位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線是異面直線．（）

（2）某一平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面外的一條直線是異面直線．（）

（3）過直線外一點(diǎn)可以作無數(shù)條直線與該直線成異面直線．（）

（4）兩條直線垂直不一定相交，兩條相交直線不一定垂直．（）

2.已知a，b是異面直線，直線c∥直線a，那么c與b（）

A．一定是異面直線

B．一定是相交直線

C．不可能是平行直線

D．不可能是相交直線

3.在三棱錐SABC中，與SA是異面直線的是（）

A．SBB．SC

C．BCD．AB

4.若∠AOB＝120°，直線a∥OA，a與OB為異面直線，則a和OB所成的角的大小為．

題型1異面直線的判斷

例1（1）若兩個(gè)平面相交，則分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線（）

A．平行B．異面

C．相交D．以上皆有可能

（2）如圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原成正方體，那么AB，CD，EF，GH這四條線段所在的直線是異面直線的有幾對(duì)？分別是哪幾對(duì)？

方法歸納

判定異面直線的方法

（1）定義法：利用異面直線的定義，說明兩條直線不平行，也不相交，即不可能同在一個(gè)平面內(nèi)．

（2）利用異面直線的判定定理．

（3）反證法：假設(shè)兩條直線不是異面直線，根據(jù)空間兩條直線的位置關(guān)系，這兩條直線一定共面，即可能相交或平行，然后推出矛盾即可．

跟蹤訓(xùn)練1如圖，點(diǎn)P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點(diǎn)，則直線PQ與RS是異面直線的一個(gè)圖是．

題型2求異面直線所成的角

例2如圖，在正方體ABCDEFGH中，O為側(cè)面ADHE的中心．

求：（1）BE與CG所成的角；

（2）FO與BD所成的角．

變式探究1在本例正方體中，若P是平面EFGH的中心，其他條件不變，求OP和CD所成的角．

變式探究2（變換條件）在本例正方體中，若M，N分別是BF，CG的中點(diǎn)，且AG和BN所成的角為θ，求AM和BN所成的角．

方法歸納

求異面直線所成的角的步驟

（1）找出（或作出）適合題設(shè)的角——用平移法，遇題設(shè)中有中點(diǎn)，?？紤]中位線；若異面直線依附于某幾何體，且對(duì)異面直線平移有困難時(shí)，可利用該幾何體的特殊點(diǎn)，使異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線．

（2）求——轉(zhuǎn)化為求一個(gè)三角形的內(nèi)角，通過解三角形，求出所找的角．

（3）結(jié)論——設(shè)由（2）所求得的角的大小為θ.若0°<θ≤90°，則θ為所求；若90°<θ<180°，則180°－θ為所求．

提醒：求異面直線所成的角，通常把異面直線平移到同一個(gè)三角形中去，通過解三角形求得，但要注意異面直線所成的角θ的范圍是0°<θ≤90°.

跟蹤訓(xùn)練2如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為Ｗ．

易錯(cuò)辨析忽略異面直線所成的角的范圍致誤

例3如圖1，已知空間四邊形ABCD中，AD＝BC，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，且直線BC與MN所成的角為30°，求BC與AD所成的角．

解析：如圖2，連接BD，并取其中點(diǎn)E，連接EN，EM，則EN∥BC，ME∥AD，故∠ENM（或其補(bǔ)角）為BC與MN所成的角，∠MEN（或其補(bǔ)角）為BC與AD所成的角．由AD＝BC，知ME＝EN，∴∠EMN＝∠ENM＝30°，∴∠MEN＝180°－30°－30°＝120°.∵異面直線所成角θ∈（0°，90°]，∴BC與AD所成的角為60°.

易錯(cuò)警示

易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得

解本題時(shí)易忽略異面直線所成的角θ的范圍是0°<θ≤90°，從而由∠MEN＝120°直接得出BC與AD所成的角為120°這一錯(cuò)解．在未判斷出∠MEN是銳角、直角還是鈍角之前，不能斷定它就是兩條異面直線所成的角，如果∠MEN為鈍角，那么它的補(bǔ)角才是異面直線所成的角．

課堂十分鐘

1.若空間三條直線a，b，c滿足a⊥b，b∥c，則直線a與c（）

A．一定平行B．一定垂直

C．一定是異面直線D．一定相交

2.

如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，直線BD與A1C1的位置關(guān)系是（）

A．平行

B．相交

C．異面但不垂直

D．異面且垂直

3.（多選）如圖所示，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有（）

4.如圖，在正方體ABCDA′B′C′D′中，異面直線A′B′與BC所成的角的大小為Ｗ．

5.在空間四邊形ABCD中，AB＝CD，且AB與CD所成的角為60°，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，求EF與AB所成的角的大?。?/p>

第2課時(shí)異面直線

新知初探·課前預(yù)習(xí)

要點(diǎn)二

相交

要點(diǎn)三

2．(0°，90°]

3．a(chǎn)⊥b

[基礎(chǔ)自測]

1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)√

2．解析：假設(shè)c與b平行，由于c∥a，根據(jù)基本事實(shí)4可知a∥b，與a，b是異面直線矛盾，故c與b不可能是平行直線．

答案：C

3．解析：如圖所示，SB，SC，AB，AC與SA均是相交直線，BC與SA既不相交，又不平行，是異面直線．

答案：C

4．解析：因?yàn)閍∥OA，根據(jù)等角定理，又因?yàn)楫惷嬷本€所成的角為銳角或直角，所以a與OB所成的角為60°.

答案：60°

題型探究·課堂解透

例1

解析：(1)平面α，β相交，如圖所示：

則aα，bβ，a∥b；又aα，cβ，a、c異面；cβ，dα，c，d相交；所以分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線可能平行，也可能異面，也可能相交．

(2)分別為AB與CD，AB與GH，EF與GH.

還原的正方體如圖所示．

答案：(1)D(2)見解析

跟蹤訓(xùn)練1解析：①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．

答案：③

例2解析：(1)如圖，因?yàn)镃G∥BF，

所以∠EBF(或其補(bǔ)角)為異面直線BE與CG所成的角．

又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE與CG所成的角為45°.

(2)連接FH，因?yàn)镠D∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB.

又HD＝FB，所以四邊形HFBD為平行四邊形．

所以HF∥BD，所以∠HFO(或其補(bǔ)角)為異面直線FO與BD所成的角．

連接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH為等邊三角形．

又知O為AH的中點(diǎn)，所以∠HFO＝30°，即FO與BD所成的角為30°.

變式探究1解析：連接EG，HF，則P為HF的中點(diǎn)．連接AF，AH，則OP∥AF.

又CD∥AB，所以∠BAF(或其補(bǔ)角)為異面直線OP與CD所成的角．

由于△ABF是等腰直角三角形，所以∠BAF＝45°.

故OP與CD所成的角為45°.

變式探究2解析：連接MG.因?yàn)樗倪呅蜝CGF是正方形，所以BF綊CG.

因?yàn)镸，N分別是BF，CG的中點(diǎn)，所以BM綊NG.

所以四邊形BNGM是平行四邊形．

所以BN∥MG.所以∠AGM(或其補(bǔ)角)是異面直線AG和BN所成的角，∠AMG(或其補(bǔ)角)是異面直線AM和BN所成的角．

因?yàn)锳M＝MG，所以∠AGM＝∠MAG＝θ.

所以∠AMG＝180°－2θ，即AM和BN所成的角為180°－(180°－2θ)＝2θ.

跟蹤訓(xùn)練2解析：取圓柱下底面弧AB的另一中點(diǎn)D，連接C1D，AD.

因?yàn)镃是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，所以AD∥BC，所以直線AC1與AD所成的角即為異面直線AC1與BC所成的角．

因?yàn)镃1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，所以C1D⊥AD.

因?yàn)閳A柱的軸截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝AD，

所以直線AC1與AD所成角的正切值為，所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為.

答案：

[課堂十分鐘]

1．解析：因?yàn)閍⊥b，b∥c，所以a⊥c.

答案：B

2．解析：因?yàn)檎襟w的對(duì)面平行，且直線A1C1與BD不平行，所以直線BD與A1C1異面，連接AC，則AC∥A1C1，AC⊥BD，所以直線BD與A1C1垂直，所以直線BD與A1C1異面且垂直．

答案：D

3．解析：A中，直線GH∥MN；

B中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M平面GHN，且NGH，

因此直線GH與MN異面；

C中，連接MG(圖略)，GM∥HN，

因此，GH與MN共面；

D中，G，M，N三點(diǎn)共面，但H平面GMN，且GMN，

所以GH與MN異面．

答案：BD

4．解析：∵BC∥B′C′，∴∠A′B′C′即異面直線A′B′與BC所成的角，且∠A′B′C′＝90°.

答案：90°

5．解析：取AC的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，

則EG∥AB，EG＝AB，GF∥CD，GF＝CD，

由AB＝CD，知EG＝FG，

∴∠GEF(或其補(bǔ)角)為EF與AB所成的角，∠EGF(或其補(bǔ)角)為AB與CD所成的角．

∵AB與CD所成的角為60°，

∴∠EGF＝60°或120°.

由EG＝FG，知△EFG為等腰三角形，

當(dāng)∠EGF＝60°時(shí)，∠GEF＝60°；

當(dāng)∠EGF＝120°時(shí)，∠GEF＝30°.

∴EF與AB所成的角為60°或30°.(共64張PPT)

第1課時(shí)空間中直線與直線的位置關(guān)系

新知初探·課前預(yù)習(xí)

題型探究·課堂解透

新知初探·課前預(yù)習(xí)

教材要點(diǎn)

要點(diǎn)一空間兩直線的位置關(guān)系

1．空間中兩條直線的位置關(guān)系

一個(gè)

沒有

沒有

2．異面直線：把不同在________平面內(nèi)的兩條直線叫作異面直線．

狀元隨筆

(1)異面直線的定義表明異面直線不具備確定平面的條件．異面直線既不相交，也不平行．

(2)不能把異面直線誤認(rèn)為分別在不同平面內(nèi)的兩條直線，如圖中，雖然有aα，bβ，即a，b分別在兩個(gè)不同的平面內(nèi)，但是因?yàn)閍∩b＝O，所以a與b不是異面直線．

任何一個(gè)

要點(diǎn)二基本事實(shí)4

文字語言平行于同一條直線的兩條直線________

圖形語言

符號(hào)語言

作用證明兩條直線平行

說明基本事實(shí)4表述的性質(zhì)通常叫做平行線的

平行

a∥c

傳遞性

要點(diǎn)三等角定理

文字語言如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)，那么這兩個(gè)角或_________

符號(hào)語言O(shè)A∥O′A′，OB∥O′B′∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°

圖形語言

作用判定兩個(gè)角相等或互補(bǔ)

平行

相等

互補(bǔ)

狀元隨筆

等角定理實(shí)質(zhì)上是由如下兩個(gè)結(jié)論合成的：

①若一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行且方向都相同（或方向都相反），則這兩個(gè)角相等；

②若一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，有一組對(duì)應(yīng)邊方向相同，另一組對(duì)應(yīng)邊方向相反，則這兩個(gè)角互補(bǔ)．

基礎(chǔ)自測

1.思考辨析（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）

（1）兩條直線無公共點(diǎn)，則這兩條直線平行．（）

（2）分別平行于兩條異面直線的兩條直線一定是異面直線．（）

（3）若a∥b，b∥c，c∥d，則a∥d.（）

（4）如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等．（）

×

×

√

×

2.三棱錐ABCD中，E、F、M、N分別是AB、AD、BC、CD的中點(diǎn)，求EF與MN的位置關(guān)系（）

A．平行B．相交

C．異面D．都有可能

答案：A

解析：∵E，F(xiàn)是AB、AD中點(diǎn)，

∴EF∥BD

∵M(jìn)，N是BC，CD中點(diǎn)

∴MN∥BD

∴EF∥MN.

3.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1的棱所在的直線中，與直線BC1為異面直線的條數(shù)為（）

A．1B．2

C．3D．4

答案：C

解析：與直線BC1成異面直線的有A1B1，AC，AA1，共3條．

4.在空間中，若直線a與b無公共點(diǎn)，則直線a，b的位置關(guān)系是．

平行或異面

解析：a與b無公共點(diǎn)，a與b可能平行，可能異面．

題型探究·課堂解透

題型1兩直線的位置關(guān)系辨析

例1（1）若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是（）

A．l與l1，l2都不相交

B．l與l1，l2都相交

C．l至多與l1，l2中的一條相交

D．l至少與l1，l2中的一條相交

答案：D

解析：由直線l1和l2是異面直線可知l1與l2不平行，故l1，l2中至少有一條與l相交．

（2）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，判斷下列直線的位置關(guān)系：

①直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是；

②直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是；

③直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是；

④直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是．

平行

異面

相交

異面

解析：經(jīng)探究可知直線A1B與直線D1C在平面A1BCD1中，且沒有交點(diǎn)，則兩直線平行，所以①應(yīng)該填“平行”；點(diǎn)A1，B，B1在平面A1BB1內(nèi)，而C不在平面A1BB1內(nèi)，則直線A1B與直線B1C異面．同理，直線AB與直線B1C異面．所以②④應(yīng)該填“異面”；直線D1D與直線D1C相交于D1點(diǎn)，所以③應(yīng)該填“相交”．

方法歸納

判斷空間中兩條直線位置關(guān)系的訣竅

（1）建立空間觀念，全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關(guān)系．特別關(guān)注異面直線．

（2）重視正方體等常見幾何體模型的應(yīng)用，會(huì)舉例說明兩條直線的位置關(guān)系．

跟蹤訓(xùn)練1（多選）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是（）

A．直線AM與CC1是相交直線

B．直線AM與BN是平行直線

C．直線BN與MB1是異面直線

D．直線AM與DD1是異面直線

解析：直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，所以AB錯(cuò)誤．點(diǎn)B，B1，N在平面BB1C1C中，點(diǎn)M在此平面外，所以BN，MB1是異面直線．同理AM，DD1也是異面直線．故選CD.

答案：CD

題型2基本事實(shí)4的應(yīng)用

例2在棱長為a的正方體ABCD-A′B′C′D′中，M，N分別為棱CD，AD的中點(diǎn)．求證：四邊形MNA′C′是梯形．

證明：如圖，連接AC.

∵M(jìn)，N分別為棱CD，AD的中點(diǎn)，

∴MN綊AC.

由正方體的性質(zhì)可知AC綊A′C′，

∴MN綊A′C′，∴A′N與MC′相交，

即A′N不平行于MC′，MN平行于A′C′，

∴四邊形MNA′C′是梯形．

方法歸納

證明兩條直線平行的兩種方法

（1）利用平行線的定義：證明兩條直線在同一平面內(nèi)且無公共點(diǎn)．

（2）利用基本事實(shí)4：尋找第三條直線，然后證明這兩條直線都與所找的第三條直線平行，根據(jù)基本事實(shí)4，顯然這兩條直線平行．若題設(shè)條件中含有中點(diǎn)，則常利用三角形的中位線性質(zhì)證明直線平行．

跟蹤訓(xùn)練2如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分別是棱AD和A1D1的中點(diǎn)．

求證：四邊形BB1M1M為平行四邊形．

證明：∵ABCDA1B1C1D1為正方體．

∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，

又M，M1分別為棱AD，A1D1的中點(diǎn)，

∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，

∴四邊形AMM1A1為平行四邊形，

∴MM1＝AA1且MM1∥AA1.

又AA1＝BB1且AA1∥BB1，

∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，

∴四邊形BB1M1M為平行四邊形．

題型3等角定理及其應(yīng)用

例3如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1分別為棱AD，AB，B1C1，C1D1的中點(diǎn)．

求證：∠EA1F＝∠E1CF1.

證明：如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，取A1B1的中點(diǎn)M，連接BM，F(xiàn)1M，則BF＝A1M.

又∵BF∥A1M，∴四邊形A1FBM為平行四邊形，

∴A1F∥BM.

而F1，M分別為C1D1，A1B1的中點(diǎn)，則F1M綊C1B1.

而C1B1綊BC，∴F1M綊BC，

∴四邊形F1MBC為平行四邊形．

∴BM∥CF1.又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.

同理，取A1D1的中點(diǎn)N，連接DN，E1N，則有A1E∥CE1.

∴∠EA1F與∠E1CF1的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，且方向都相反，

∴∠EA1F＝∠E1CF1.

方法歸納

（1）空間等角定理實(shí)質(zhì)上是由以下兩個(gè)結(jié)論組成的：①若一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行且方向都相同或相反，那么這兩個(gè)角相等；②若一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，有一組對(duì)邊方向相同，另一組對(duì)邊方向相反，那么這兩個(gè)角互補(bǔ)．

（2）證明角相等，一般采用三種途徑

①利用等角定理及推論；②利用三角形相似；③利用三角形全等．

跟蹤訓(xùn)練3在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N，P分別為A1C1，AC和AB的中點(diǎn)．求證：∠PNA1＝∠BCM.

證明：因?yàn)镻，N分別為AB，AC的中點(diǎn)，

所以PN∥BC.①

又因?yàn)镸，N分別為A1C1，AC的中點(diǎn)，

所以A1M綊NC.

所以四邊形A1NCM為平行四邊形，

于是A1N∥MC.②

由①②及∠PNA1與∠BCM對(duì)應(yīng)邊方向相同，得∠PNA1＝∠BCM.

易錯(cuò)辨析對(duì)兩直線的位置關(guān)系把握不準(zhǔn)致誤

例4分別和兩條異面直線相交的兩條不同直線的位置關(guān)系是．

異面或相交

解析：分兩類進(jìn)行討論．（1）若兩條直線與兩異面直線的交點(diǎn)有4個(gè)，如圖（1），直線AB與異面直線a，b分別相交于點(diǎn)A，B，直線CD與異面直線a，b分別相交于點(diǎn)C，D，那么A，B，C，D四點(diǎn)不可能共面，否則與a，b異面矛盾，故直線AB與CD異面；

（2）若兩條直線與兩異面直線的交點(diǎn)有3個(gè)，如圖（2），兩條直線相交．

易錯(cuò)警示

易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得

解題時(shí)易忽略兩條直線與兩異面直線的交點(diǎn)有3個(gè)的情況，認(rèn)為交點(diǎn)只有4個(gè)，此時(shí)兩條直線是異面直線，導(dǎo)致錯(cuò)填異面．在立體幾何中，空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系不確定時(shí)，要注意分類討論，避免片面地思考問題．在判斷兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，可通過畫出相關(guān)圖形幫助分析．

課堂十分鐘

1.若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是（）

A．異面或平行B．異面或相交

C．異面D．相交、平行或異面

答案：D

解析：異面直線不具有傳遞性，可以以長方體為載體加以說明，a，b異面，直線c的位置可如圖所示．故選D.

2.如圖所示，在長方體木塊AC1中，E，F(xiàn)分別是B1O和C1O的中點(diǎn)，則長方體的各棱中與EF平行的有（）

A．3條B．4條

C．5條D．6條

答案：B

解析：EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1.

3.正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分別為AA1，CC1的中點(diǎn)，則四邊形D1PBQ是（）

A．正方形B．菱形

C．矩形D．空間四邊形

答案：B

解析：設(shè)正方體的棱長為2，直接計(jì)算可知四邊形D1PBQ各邊均為，

又四邊形D1PBQ是平行四邊形，所以四邊形D1PBQ是菱形．故選B.

4.空間中一個(gè)∠A的兩邊和另一個(gè)∠B的兩邊分別平行，∠A＝70°，則∠B＝．

70°或110°

解析：①若∠A的兩邊和∠B的兩邊分別平行，且方向相同，則∠A與∠B相等，此時(shí)∠B＝∠A＝70°；

②當(dāng)∠A的兩邊和∠B的兩邊分別平行，且一邊方向相同另一邊方向相反，則∠A與∠B互補(bǔ)，此時(shí)∠B＝180°－∠A＝110°.

5.如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，E，F(xiàn)，E′，F(xiàn)′分別是棱AB，AD，B′C′，C′D′的中點(diǎn)．

求證：四邊形EFF′E′為平行四邊形．

證明：連接BD，B′D′，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，所以EF綊BD，同理E′F′綊B′D′，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，四邊形BB′D′D為平行四邊形，所以BD綊B′D′，所以EF綊E′F′，故四邊形EFF′E′為平行四邊形．

第2課時(shí)異面直線

新知初探·課前預(yù)習(xí)

題型探究·課堂解透

新知初探·課前預(yù)習(xí)

教材要點(diǎn)

要點(diǎn)一異面直線的畫法

異面直線的表示，一般借助輔助平面．如圖，圖中的兩條直線a，b均為異面直線．

要點(diǎn)二異面直線的另一種判斷方法

與平面的直線與該平面內(nèi)不過該交點(diǎn)的直線是異面直線．

相交

要點(diǎn)三異面直線所成的角

1.定義：過空間任意一點(diǎn)O，分別作與兩條異面直線平行的直線，這兩條直線所成的銳角或直角，叫作兩條異面直線所成的角．

2.范圍：．

3.如果兩條異面直線a與b所成的角為90°，則稱這兩條異面直線互相垂直，記作．

(0°，90°]

a⊥b

狀元隨筆

（1）異面直線所成角的定義的理論依據(jù)是等角定理．

（2）兩異面直線所成角的大小與點(diǎn)O的選取無關(guān)，所以在具體計(jì)算兩條異面直線所成角的問題中，點(diǎn)

O經(jīng)常選在一些特殊的位置或兩異面直線的一條上．

（3）兩條直線垂直，既包括相交垂直，也包括異面垂直．

基礎(chǔ)自測

1.思考辨析（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）

（1）分別位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線是異面直線．（）

（2）某一平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面外的一條直線是異面直線．（）

（3）過直線外一點(diǎn)可以作無數(shù)條直線與該直線成異面直線．（）

（4）兩條直線垂直不一定相交，兩條相交直線不一定垂直．（）

×

×

√

√

2.已知a，b是異面直線，直線c∥直線a，那么c與b（）

A．一定是異面直線

B．一定是相交直線

C．不可能是平行直線

D．不可能是相交直線

答案：C

解析：假設(shè)c與b平行，由于c∥a，根據(jù)基本事實(shí)4可知a∥b，與a，b是異面直線矛盾，故c與b不可能是平行直線．

3.在三棱錐SABC中，與SA是異面直線的是（）

A．SBB．SC

C．BCD．AB

答案：C

解析：如圖所示，SB，SC，AB，AC與SA均是相交直線，BC與SA既不相交，又不平行，是異面直線．

4.若∠AOB＝120°，直線a∥OA，a與OB為異面直線，則a和OB所成的角的大小為．

60°

解析：因?yàn)閍∥OA，根據(jù)等角定理，又因?yàn)楫惷嬷本€所成的角為銳角或直角，所以a與OB所成的角為60°.

題型探究·課堂解透

題型1異面直線的判斷

例1（1）若兩個(gè)平面相交，則分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線（）

A．平行B．異面

C．相交D．以上皆有可能

答案：D

解析：平面α，β相交，如圖所示：

則aα，bβ，a∥b；又aα，cβ，a、c異面；cβ，dα，c，d相交；所以分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線可能平行，也可能異面，也可能相交．

（2）如圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原成正方體，那么AB，CD，EF，GH這四條線段所在的直線是異面直線的有幾對(duì)？分別是哪幾對(duì)？

解析：分別為AB與CD，AB與GH，EF與GH.

還原的正方體如圖所示．

方法歸納

判定異面直線的方法

（1）定義法：利用異面直線的定義，說明兩條直線不平行，也不相交，即不可能同在一個(gè)平面內(nèi)．

（2）利用異面直線的判定定理．

（3）反證法：假設(shè)兩條直線不是異面直線，根據(jù)空間兩條直線的位置關(guān)系，這兩條直線一定共面，即可能相交或平行，然后推出矛盾即可．

跟蹤訓(xùn)練1如圖，點(diǎn)P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點(diǎn)，則直線PQ與RS是異面直線的一個(gè)圖是．

③

解析：①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．

題型2求異面直線所成的角

例2如圖，在正方體ABCDEFGH中，O為側(cè)面ADHE的中心．

求：（1）BE與CG所成的角；

（2）FO與BD所成的角．

解析：(1)如圖，因?yàn)镃G∥BF，

所以∠EBF(或其補(bǔ)角)為異面直線BE與CG所成的角．

又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE與CG所成的角為45°.

(2)連接FH，因?yàn)镠D∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB.

又HD＝FB，所以四邊形HFBD為平行四邊形．

所以HF∥BD，所以∠HFO(或其補(bǔ)角)為異面直線FO與BD所成的角．

連接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH為等邊三角形．

又知O為AH的中點(diǎn)，所以∠HFO＝30°，即FO與BD所成的角為30°.

變式探究1在本例正方體中，若P是平面EFGH的中心，其他條件不變，求OP和CD所成的角．

解析：連接EG，HF，則P為HF的中點(diǎn)．連接AF，AH，則OP∥AF.

又CD∥AB，所以∠BAF(或其補(bǔ)角)為異面直線OP與CD所成的角．

由于△ABF是等腰直角三角形，所以∠BAF＝45°.

故OP與CD所成的角為45°.

變式探究2（變換條件）在本例正方體中，若M，N分別是BF，CG的中點(diǎn)，且AG和BN所成的角為θ，求AM和BN所成的角．

解析：連接MG.因?yàn)樗倪呅蜝CGF是正方形，所以BF綊CG.

因?yàn)镸，N分別是BF，CG的中點(diǎn)，所以BM綊NG.

所以四邊形BNGM是平行四邊形．

所以BN∥MG.所以∠AGM(或其補(bǔ)角)是異面直線AG和BN所成的角，∠AMG(或其補(bǔ)角)是異面直線AM和BN所成的角．

因?yàn)锳M＝MG，所以∠AGM＝∠MAG＝θ.

所以∠AMG＝180°－2θ，即AM和BN所成的角為180°－(180°－2θ)＝2θ.

方法歸納

求異面直線所成的角的步驟

（1）找出（或作出）適合題設(shè)的角——用平移法，遇題設(shè)中有中點(diǎn)，?？紤]中位線；若異面直線依附于某幾何體，且對(duì)異面直線平移有困難時(shí)，可利用該幾何體的特殊點(diǎn)，使異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線．

（2）求——轉(zhuǎn)化為求一個(gè)三角形的內(nèi)角，通過解三角形，求出所找的角．

（3）結(jié)論——設(shè)由（2）所求得的角的大小為θ.若0°<θ≤90°，則θ為所求；若90°<θ<180°，則180°－θ為所求．

提醒：求異面直線所成的角，通常把異面直線平移到同一個(gè)三角形中去，通過解三角形求得，但要注意異面直線所成的角θ的范圍是0°<θ≤90°.

跟蹤訓(xùn)練2如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為．

解析：取圓柱下底面弧AB的另一中點(diǎn)D，連接C1D，AD.

因?yàn)镃是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，所以AD∥BC，所以直線AC1與AD所成的角即為異面直線AC1與BC所成的角．

因?yàn)镃1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，所以C1D⊥AD.

因?yàn)閳A柱的軸截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝AD，

所以直線AC1與AD所成角的正切值為，所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為.

易錯(cuò)辨析忽略異面直線所成的角的范圍致誤

例3如圖1，已知空間四邊形ABCD中，AD＝BC，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，且直線BC與MN所成的角為30°，求BC與AD所成的角．

解析：如圖2，連接BD，并取其中點(diǎn)E，連接EN，EM，則EN∥BC，ME∥AD，故∠ENM（或其補(bǔ)角）為BC與MN所成的角，∠MEN（或其補(bǔ)角）為BC與AD所成的角．由AD＝BC，知ME＝EN，∴∠EMN＝∠ENM＝30°，∴∠MEN＝180°－30°－30°＝120°.∵異面直線所成角θ∈（0°，90°]，∴BC與AD所成的角為60°.

易錯(cuò)警示

易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得

解本題時(shí)易忽略異面直線所成的角θ的范圍是0°<θ≤90°，從而由∠MEN＝120°直接得出BC與AD所成的角為120°這一錯(cuò)解．在未判斷出∠MEN是銳角、直角還是鈍角之前，不能斷定它就是兩條異面直線所成的角，如果∠MEN為鈍角，那么它的補(bǔ)角才是異面直線所成的角．

課堂十分鐘

1.若空間三條直線a，b，c滿足a⊥b，b∥c，則直線a與c（）

A．一定平行B．一定垂直

C．一定是異面直線D．一定相交

答案：B

解析：因?yàn)閍⊥b，b∥c，所以a⊥c.

2.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線BD與A1C1的位置關(guān)系是（）

A．平行

B．相交

C．異面但不垂直

D．異面且垂直

答案：D

解析：因?yàn)檎襟w的對(duì)面平行，且直線A1C1與BD不平行，所以直線BD與A1C1異面，連接AC，則AC∥A1C1，AC⊥BD，所以直線BD與A1C1垂直，所以直線BD與A1C1異面且垂直．

3.（多選）如圖所示，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有（）

答案：BD

解析：A中，直線GH∥MN；

B中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M平面GHN，且NGH，

因此直線GH與MN異面；

C中，連接MG(圖略)，GM∥HN，

因此，GH與MN共面；

D中，G，M，N三點(diǎn)共面，但H平面GMN，且GMN，

所以GH與MN異面．

4.如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，異面直線A′B′與BC所成的角的大小為．

90°

解析：∵BC∥B′C′，∴∠A′B′C′即異面直線A′B′與BC所成的角，且∠A′B′C′＝90°.

5.在空間四邊形ABCD中，AB＝CD，且AB與CD所成的角為60°，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，求EF與AB所成的角的大?。?/p>

解析：取AC的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，

則EG∥AB，EG＝AB，GF∥CD，GF＝CD，

由AB＝CD，知EG＝FG，

∴∠GEF(或其補(bǔ)角)為EF與AB所成的角，

∠EGF(或其補(bǔ)角)為AB與CD所成的角．

∵AB與CD所成的角為60°，

∴∠EGF＝60°或120°.

由EG＝FG，知△EFG為等腰三角形，

當(dāng)∠EGF＝60°時(shí)，∠GEF＝60°；

當(dāng)∠EGF＝120°時(shí)，∠GEF＝30°.

∴EF與AB所成的角為60°或30°.第1課時(shí)直線與平面平行的判定

教材要點(diǎn)

要點(diǎn)一空間中直線與平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系圖形寫法公共點(diǎn)情況

直線在平面內(nèi)____________直線上所有的點(diǎn)都是公共點(diǎn)

直線和平面相交____________有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

直線和平面平行____________沒有公共點(diǎn)

狀元隨筆直線與平面位置關(guān)系的分類

(1)按有無公共點(diǎn)分類

(2)按是否在平面內(nèi)進(jìn)行分類

要點(diǎn)二直線與平面平行的判定定理

文字語言如果________一條直線與此________的一條直線平行，那么該直線與此平面平行

圖形語言

符號(hào)語言________________

狀元隨筆(1)直線與平面平行的判定定理，主要作用是可以證明直線與平面平行．

(2)應(yīng)用直線與平面平行的判定定理，必須具備三個(gè)條件：

①直線a在平面外，即aα.

②直線b在平面內(nèi)，即bα.

③兩直線a，b平行，即a∥b.

(3)線面平行的判定定理，可簡記為“線線平行，則線面平行”．

基礎(chǔ)自測

1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)

(1)若直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l∥α.()

(2)若直線與平面不相交，則直線與平面平行．()

(3)兩條平行線中的一條直線與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行．()

(4)若直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則l∥α.()

2．下列結(jié)論正確的是()

A．過直線外一點(diǎn)，與該直線平行的平面只有一個(gè)

B．過直線外一點(diǎn)，與該直線平行的直線有無數(shù)條

C．過平面外一點(diǎn)，與該平面平行的直線有無數(shù)條

D．過兩條平行線中的一條的任一平面均與另一條直線平行

3．如圖，在長方體ABCDA′B′C′D′的六個(gè)面所在的平面中，與AB平行的平面是________．

題型1直線與平面位置關(guān)系的判定

例1下列條件為直線a與平面α平行的充分條件的是()

A．bα，a∥b

B．bα，c∥α，a∥b，a∥c

C．bα，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BD

D．a(chǎn)α，bα，a∥b

方法歸納

1．平行問題是以無公共點(diǎn)為主要特征的，直線和平面平行即直線與平面沒有任何公共點(diǎn)，緊緊抓住這一點(diǎn)，平行的問題就可以順利解決．

2．解決此類題目，可以采用直接法，也可以使用排除法．

跟蹤訓(xùn)練1(多選)下列結(jié)論正確的是()

A．直線a∥平面α，直線bα，則a∥b

B．若aα，bα，則a，b無公共點(diǎn)

C．若aα，則a∥α或a與α相交

D．若a＝A，則aα

題型2直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用

角度1中位線模型

例2如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，D是AB的中點(diǎn)．證明：BC1∥平面A1CD.

方法歸納

“要證線面平行，先證線線平行”，三角形的中位線，梯形的中位線是證明線線平行的主要工具．當(dāng)條件中出現(xiàn)“中點(diǎn)”字樣的條件時(shí)，要想到中位線，如中點(diǎn)不夠，往往需要再“找”或“作”中點(diǎn)，即“由中點(diǎn)想中位線，取中點(diǎn)連中位線”．

角度2平行四邊形模型

例3如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，C1D1的中點(diǎn)，求證：EF∥平面BDD1B1.

方法歸納

使用直線與平面平行的判定定理時(shí)，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，一般遵循“先找后作”的原則，即現(xiàn)有的平面中沒有出現(xiàn)與已知直線平行的直線時(shí)，我們再考慮添加輔助線．

跟蹤訓(xùn)練2(1)如圖所示，四棱錐PABCD的底面是邊長為1的正方形，E為PC的中點(diǎn)，PF＝2FD，求證：BE∥平面AFC.

(2)已知公共邊為AB的兩個(gè)全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面內(nèi)，P，Q分別是對(duì)角線AE，BD上的點(diǎn)，且AP＝DQ，如圖所示．求證：PQ∥平面CBE.

易錯(cuò)辨析判斷直線與平面平行時(shí)忽略直線在平面內(nèi)的情形致誤

例4已知M是兩條異面直線a，b外一點(diǎn)，則過點(diǎn)M且與直線a，b都平行的平面()

A．有且只有一個(gè)B．有兩個(gè)

C．沒有或只有一個(gè)D．有無數(shù)個(gè)

解析：過點(diǎn)M作直線a′∥a，過點(diǎn)M作直線b′∥b，則直線a′，b′確定平面α.當(dāng)a，b都不在由a′，b′確定的平面α內(nèi)時(shí)，過點(diǎn)M且與a，b都平行的平面只有一個(gè)；當(dāng)aα或bα?xí)r，過點(diǎn)M且與a，b都平行的平面不存在．

答案：C

易錯(cuò)警示

易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得

解題時(shí)易忽略aα或bα的情況，從而錯(cuò)選A.直線與平面的位置關(guān)系的分類要清晰，一種分法是直線在平面內(nèi)與不在平面內(nèi)(包括直線與平面平行和相交)；另一種分法是直線與平面平行(無公共點(diǎn))和直線與平面不平行(直線在平面內(nèi)和直線與平面相交)．

課堂十分鐘

1．下列選項(xiàng)中，一定能得出直線m與平面α平行的是()

A．直線m在平面α外

B．直線m與平面α內(nèi)的兩條直線平行

C．平面α外的直線m與平面內(nèi)的一條直線平行

D．直線m與平面α內(nèi)的一條直線平行

2．圓臺(tái)的底面內(nèi)的任意一條直徑與另一個(gè)底面的位置關(guān)系是()

A．平行B．相交

C．在平面內(nèi)D．不確定

3．點(diǎn)M，N是正方體ABCDA1B1C1D1中A1A，A1B1的中點(diǎn)，P是正方形ABCD的中心，則MN與平面PCB1的位置關(guān)系是()

A．平行

B．相交

C．MN平面PCB1

D．以上三種情況都有可能

4．正方體ABCDA1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，則BD1與過A，C，E三點(diǎn)的平面的位置關(guān)系是________．

5．在四面體ABCD中，M，N分別是△ABD和△BCD的重心，求證：MN∥平面ADC.

第1課時(shí)直線與平面平行的判定

新知初探·課前預(yù)習(xí)

要點(diǎn)一

aαa＝Aa∥α

要點(diǎn)二

平面外平面內(nèi)若aα，bα，a∥b，則a∥α

[基礎(chǔ)自測]

1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×

2．解析：過平面外一點(diǎn)，與該平面平行的直線有無數(shù)條，只要直線與平面無公共點(diǎn)，就是直線與平面平行．

答案：C

3．解析：由于AB∥A′B′，AB平面A′B′C′D′，A′B′平面A′B′C′D′，所以AB∥平面A′B′C′D′，同理證得AB∥平面DCC′D′.

答案：平面A′B′C′D′，平面DCC′D′

題型探究·課堂解透

例1解析：若bα，a∥b，則a∥α或aα，故選項(xiàng)A不是．若bα，c∥α，a∥b，a∥c，則a∥α或aα，故選項(xiàng)B不是．若滿足此條件，則a∥α或aα或a與α相交，故選項(xiàng)C不是．選項(xiàng)D是直線與平面平行的充分條件．

答案：D

跟蹤訓(xùn)練1解析：結(jié)合直線與平面位置關(guān)系可知AB錯(cuò)誤，CD正確．

答案：CD

例2證明：如圖，連接AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1的中點(diǎn)．

又因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，連接DF，則DF∥BC1.

因?yàn)镈F平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.

例3證明：如圖，取D1B1的中點(diǎn)O，連接OF，OB.

∵OF綊B1C1，BE綊B1C1，∴OF綊BE，

∴四邊形OFEB是平行四邊形，∴EF∥BO.

∵EF平面BDD1B1，BO平面BDD1B1，

∴EF∥平面BDD1B1.

跟蹤訓(xùn)練2證明：(1)如圖，連接BD，交AC于點(diǎn)O，取PF的中點(diǎn)G，連接EG，ED，ED交CF于點(diǎn)M，連接MO.

在△PCF中，E，G分別為PC，PF的中點(diǎn)，則EG∥FC.

在△EDG中，MF∥EG，且F為DG的中點(diǎn)，則M為ED的中點(diǎn)．

在△BED中，O，M分別為BD，ED的中點(diǎn)，則BE∥MO.

又因?yàn)镸O平面AFC，BE平面AFC，所以BE∥平面AFC.

(2)

作PM∥AB交BE于點(diǎn)M，作QN∥AB交BC于點(diǎn)N，連接MN，如圖所示，

即PM∥QN，＝＝，

∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ，

又因?yàn)锳B＝CD，∴PM綊QN，

∴四邊形PMNQ是平行四邊形，∴PQ∥MN，

又因?yàn)镻Q平面CBE，MN平面CBE，

∴PQ∥平面CBE.

[課堂十分鐘]

1．解析：選項(xiàng)A不符合題意，因?yàn)橹本€m在平面α外也包括直線與平面相交；選項(xiàng)B與D不符合題意，因?yàn)槿鄙贄l件mα；選項(xiàng)C中，由直線與平面平行的判定定理，知直線m與平面α平行，故選項(xiàng)C符合題意．

答案：C

2．解析：圓臺(tái)底面內(nèi)的任意一條直徑與另一個(gè)底面無公共點(diǎn)，則它們平行．

答案：A

3.

解析：平面PCB1即平面B1AC，

∵M(jìn)N∥AB1，MN平面B1AC，AB1平面B1AC，

∴MN∥平面ACB1，即MN∥平面PCB1.

答案：A

4．解析：

如圖所示，連接BD交AC于點(diǎn)O.在正方體中容易得到點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)．又因?yàn)镋為DD1的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥BD1.又因?yàn)镺E平面ACE，BD1平面ACE，所以BD1∥平面ACE.

答案：平行

5．證明：如圖，連接BM，BN并延長，分別交AD，DC于P，Q兩點(diǎn)，連接PQ.

∵M(jìn)，N分別是△ABD和△BCD的重心，

∴BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1，

∴MN∥PQ.

又MN平面ADC，PQ平面ADC，

∴MN∥平面ADC.(共30張PPT)

第1課時(shí)直線與平面平行的判定

新知初探·課前預(yù)習(xí)

題型探究·課堂解透

新知初探·課前預(yù)習(xí)

教材要點(diǎn)

要點(diǎn)一空間中直線與平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系圖形寫法公共點(diǎn)情況

直線在平面內(nèi)__________直線上所有的點(diǎn)都是公共點(diǎn)

直線和平面相交__________有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

直線和平面平行__________沒有公共點(diǎn)

aα

a＝A

a∥α

狀元隨筆

直線與平面位置關(guān)系的分類

(1)按有無公共點(diǎn)分類

(2)按是否在平面內(nèi)進(jìn)行分類

要點(diǎn)二直線與平面平行的判定定理

文字語言如果________一條直線與此________的一條直線平行，那么該直線與此平面平行

圖形語言

符號(hào)語言________________

平面外

平面內(nèi)

若aα，bα，a∥b，則a∥α

狀元隨筆

(1)直線與平面平行的判定定理，主要作用是可以證明直線與平面平行．

(2)應(yīng)用直線與平面平行的判定定理，必須具備三個(gè)條件：

①直線a在平面外，即aα.

②直線b在平面內(nèi)，即bα.

③兩直線a，b平行，即a∥b.

(3)線面平行的判定定理，可簡記為“線線平行，則線面平行”．

基礎(chǔ)自測

1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)

(1)若直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l∥α.()

(2)若直線與平面不相交，則直線與平面平行．()

(3)兩條平行線中的一條直線與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行．()

(4)若直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則l∥α.()

×

×

×

×

2．下列結(jié)論正確的是()

A．過直線外一點(diǎn)，與該直線平行的平面只有一個(gè)

B．過直線外一點(diǎn)，與該直線平行的直線有無數(shù)條

C．過平面外一點(diǎn)，與該平面平行的直線有無數(shù)條

D．過兩條平行線中的一條的任一平面均與另一條直線平行

答案：C

解析：過平面外一點(diǎn)，與該平面平行的直線有無數(shù)條，只要直線與平面無公共點(diǎn)，就是直線與平面平行．

3．如圖，在長方體ABCD-A′B′C′D′的六個(gè)面所在的平面中，與AB平行的平面是_______________________．

平面A′B′C′D′，平面DCC′D′

解析：由于AB∥A′B′，AB平面A′B′C′D′，A′B′平面A′B′C′D′，所以AB∥平面A′B′C′D′，同理證得AB∥平面DCC′D′.

題型探究·課堂解透

題型1直線與平面位置關(guān)系的判定

例1下列條件為直線a與平面α平行的充分條件的是()

A．bα，a∥b

B．bα，c∥α，a∥b，a∥c

C．bα，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BD

D．a(chǎn)α，bα，a∥b

答案：D

解析：若bα，a∥b，則a∥α或aα，故選項(xiàng)A不是．若bα，c∥α，a∥b，a∥c，則a∥α或aα，故選項(xiàng)B不是．若滿足此條件，則a∥α或aα或a與α相交，故選項(xiàng)C不是．選項(xiàng)D是直線與平面平行的充分條件．

方法歸納

1．平行問題是以無公共點(diǎn)為主要特征的，直線和平面平行即直線與平面沒有任何公共點(diǎn)，緊緊抓住這一點(diǎn)，平行的問題就可以順利解決．

2．解決此類題目，可以采用直接法，也可以使用排除法．

跟蹤訓(xùn)練1(多選)下列結(jié)論正確的是()

A．直線a∥平面α，直線bα，則a∥b

B．若aα，bα，則a，b無公共點(diǎn)

C．若aα，則a∥α或a與α相交

D．若a＝A，則aα

答案：CD

解析：結(jié)合直線與平面位置關(guān)系可知AB錯(cuò)誤，CD正確．

題型2直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用

角度1中位線模型

例2如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中點(diǎn)．證明：BC1∥平面A1CD.

證明：如圖，連接AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1的中點(diǎn)．

又因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，連接DF，則DF∥BC1.

因?yàn)镈F平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.

方法歸納

“要證線面平行，先證線線平行”，三角形的中位線，梯形的中位線是證明線線平行的主要工具．當(dāng)條件中出現(xiàn)“中點(diǎn)”字樣的條件時(shí)，要想到中位線，如中點(diǎn)不夠，往往需要再“找”或“作”中點(diǎn)，即“由中點(diǎn)想中位線，取中點(diǎn)連中位線”．

角度2平行四邊形模型

例3如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，C1D1的中點(diǎn)，求證：EF∥平面BDD1B1.

證明：如圖，取D1B1的中點(diǎn)O，連接OF，OB.

∵OF綊B1C1，BE綊B1C1，∴OF綊BE，

∴四邊形OFEB是平行四邊形，∴EF∥BO.

∵EF平面BDD1B1，BO平面BDD1B1，

∴EF∥平面BDD1B1.

方法歸納

使用直線與平面平行的判定定理時(shí)，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，一般遵循“先找后作”的原則，即現(xiàn)有的平面中沒有出現(xiàn)與已知直線平行的直線時(shí)，我們再考慮添加輔助線．

跟蹤訓(xùn)練2(1)如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，E為PC的中點(diǎn)，PF＝2FD，求證：BE∥平面AFC.

證明：如圖，連接BD，交AC于點(diǎn)O，取PF的中點(diǎn)G，連接EG，ED，ED交CF于點(diǎn)M，連接MO.

在△PCF中，E，G分別為PC，PF的中點(diǎn)，則EG∥FC.

在△EDG中，MF∥EG，且F為DG的中點(diǎn)，則M為ED的中點(diǎn)．

在△BED中，O，M分別為BD，ED的中點(diǎn)，則BE∥MO.

又因?yàn)镸O平面AFC，BE平面AFC，所以BE∥平面AFC.

(2)已知公共邊為AB的兩個(gè)全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面內(nèi)，P，Q分別是對(duì)角線AE，BD上的點(diǎn)，且AP＝DQ，如圖所示．求證：PQ∥平面CBE.

證明：作PM∥AB交BE于點(diǎn)M，作QN∥AB交BC于點(diǎn)N，連接MN，如圖所示，

即PM∥QN，＝＝，

∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ，

又因?yàn)锳B＝CD，∴PM綊QN，

∴四邊形PMNQ是平行四邊形，∴PQ∥MN，

又因?yàn)镻Q平面CBE，MN平面CBE，

∴PQ∥平面CBE.

易錯(cuò)辨析判斷直線與平面平行時(shí)忽略直線在平面內(nèi)的情形致誤

例4已知M是兩條異面直線a，b外一點(diǎn)，則過點(diǎn)M且與直線a，b都平行的平面()

A．有且只有一個(gè)B．有兩個(gè)

C．沒有或只有一個(gè)D．有無數(shù)個(gè)

答案：C

解析：過點(diǎn)M作直線a′∥a，過點(diǎn)M作直線b′∥b，則直線a′，b′確定平面α.當(dāng)a，b都不在由a′，b′確定的平面α內(nèi)時(shí)，過點(diǎn)M且與a，b都平行的平面只有一個(gè)；當(dāng)aα或bα?xí)r，過點(diǎn)M且與a，b都平行的平面不存在．

易錯(cuò)警示

易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得

解題時(shí)易忽略aα或bα的情況，從而錯(cuò)選A.直線與平面的位置關(guān)系的分類要清晰，一種分法是直線在平面內(nèi)與不在平面內(nèi)(包括直線與平面平行和相交)；另一種分法是直線與平面平行(無公共點(diǎn))和直線與平面不平行(直線在平面內(nèi)和直線與平面相交)．

課堂十分鐘

1．下列選項(xiàng)中，一定能得出直線m與平面α平行的是()

A．直線m在平面α外

B．直線m與平面α內(nèi)的兩條直線平行

C．平面α外的直線m與平面內(nèi)的一條直線平行

D．直線m與平面α內(nèi)的一條直線平行

答案：C

解析：選項(xiàng)A不符合題意，因?yàn)橹本€m在平面α外也包括直線與平面相交；選項(xiàng)B與D不符合題意，因?yàn)槿鄙贄l件mα；選項(xiàng)C中，由直線與平面平行的判定定理，知直線m與平面α平行，故選項(xiàng)C符合題意．

2．圓臺(tái)的底面內(nèi)的任意一條直徑與另一個(gè)底面的位置關(guān)系是()

A．平行B．相交

C．在平面內(nèi)D．不確定

答案：A

解析：圓臺(tái)底面內(nèi)的任意一條直徑與另一個(gè)底面無公共點(diǎn)，則它們平行．

3．點(diǎn)M，N是正方體ABCD-A1B1C1D1中A1A，A1B1的中點(diǎn)，P是正方形ABCD的中心，則MN與平面PCB1的位置關(guān)系是()

A．平行

B．相交

C．MN平面PCB1

D．以上三種情況都有可能

答案：A

解析：平面PCB1即平面B1AC，

∵M(jìn)N∥AB1，MN平面B1AC，AB1平面B1AC，

∴MN∥平面ACB1，即MN∥平面PCB1.

4．正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，則BD1與過A，C，E三點(diǎn)的平面的位置關(guān)系是________．

平行

解析：如圖所示，連接BD交AC于點(diǎn)O.在正方體中容易得到點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)．又因?yàn)镋為DD1的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥BD1.又因?yàn)镺E平面ACE，BD1平面ACE，所以BD1∥平面ACE.

5．在四面體A-BCD中，M，N分別是△ABD和△BCD的重心，求證：MN∥平面ADC.

證明：如圖，連接BM，BN并延長，分別交AD，DC于P，Q兩點(diǎn)，連接PQ.

∵M(jìn)，N分別是△ABD和△BCD的重心，

∴BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1，

∴MN∥PQ.

又MN平面ADC，PQ平面ADC，

∴MN∥平面ADC.第2課時(shí)直線與平面平行的性質(zhì)

教材要點(diǎn)

要點(diǎn)直線與平面平行的性質(zhì)

文字語言一條直線與一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行．

符號(hào)語言

圖形語言

狀元隨筆(1)定理中有三個(gè)條件：①直線a和平面α平行，即a∥α；②直線a在平面β內(nèi)，即aβ；③平面α，β相交，即α＝b.三個(gè)條件缺一不可．

(2)線面平行的性質(zhì)定理的作用，主要是證明線線平行．

(3)線面平行的性質(zhì)定理可以簡記為“線面平行，則線線平行”．

基礎(chǔ)自測

1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)

(1)若直線a∥平面α，則直線a與平面α內(nèi)的任意一條直線都無公共點(diǎn)．()

(2)若直線a∥平面α，則直線a平行于平面α內(nèi)的任意一條直線．()

(3)若直線a與平面α不平行，則直線a就與平面α內(nèi)的任一直線都不平行．()

(4)若直線a，b和平面α滿足a∥α，b∥α，則a∥b.()

2．如果直線a∥平面α，那么直線a與平面α內(nèi)的()

A．一條直線不相交

B．兩條直線不相交

C．無數(shù)條直線不相交

D．任意一條直線都不相交

3．如果直線a∥平面α，bα，那么a與b的關(guān)系是()

A．相交B．平行或異面

C．平行D．異面

4.

如圖，α＝CD，α＝EF，β＝AB，AB∥α，則CD與EF的位置關(guān)系為________．

題型1利用線面平行的性質(zhì)定理證明線線平行

例1如圖所示，已知兩條異面直線AB與CD，平面MNPQ與AB，CD都平行，且點(diǎn)M，N，P，Q依次在線段AC，BC，BD，AD上，求證：四邊形MNPQ是平行四邊形．

方法歸納

運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理時(shí)，應(yīng)先確定線面平行，再尋找過已知直線的平面與這個(gè)平面相交的交線，然后確定線線平行．證題過程應(yīng)認(rèn)真領(lǐng)悟線線平行與線面平行的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系．簡記為“過直線，作平面，得交線，得平行”．

跟蹤訓(xùn)練1一平面截空間四邊形的四邊得到四個(gè)交點(diǎn)，如果該空間四邊形只有一條對(duì)角線與這個(gè)截面平行，判斷這四個(gè)交點(diǎn)圍成的四邊形的形狀．

題型2利用線面平行的性質(zhì)求線段比

例2如圖，已知E，F(xiàn)分別是菱形ABCD的邊BC，CD的中點(diǎn)，EF與AC交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在平面ABCD之外，M是線段PA上一動(dòng)點(diǎn)，若PC∥平面MEF，試求PM∶MA的值．

方法歸納

解此類題的關(guān)鍵：一是轉(zhuǎn)化，即把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行；二是計(jì)算，把要求的線段長或線段比問題，轉(zhuǎn)化為同一個(gè)平面內(nèi)的線段長或線段比問題去求解，此時(shí)需認(rèn)真運(yùn)算，才能得出正確的結(jié)果．

跟蹤訓(xùn)練2

如圖，AB，CD為異面直線，且AB∥α，CD∥α，AC，BD分別交α于M，N兩點(diǎn)．求證：AM∶MC＝BN∶ND.

題型3線面平行性質(zhì)定理與判定定理的綜合運(yùn)用

例3如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)P∈BB1(P不與B，B1重合)，PA＝M，PC＝N.求證：MN∥平面ABCD.

方法歸納

直線與平面平行的性質(zhì)定理和直線與平面平行的判定定理經(jīng)常綜合使用，即通過線線平行推出線面平行，再通過線面平行推出新的線線平行．

跟蹤訓(xùn)練3

如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，AC與BD交于點(diǎn)O，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：AP∥GH.

課堂十分鐘

1．已知直線l∥平面α，l平面β，α＝m，則直線l，m的位置關(guān)系是()

A．相交B．平行

C．異面D．相交或異面

2.

如圖所示，在空間四邊形ABCD中，F(xiàn)，G分別是線BC，CD的中點(diǎn)，EH∥平面CBD，則EH與FG的位置關(guān)系是()

A．平行B．相交

C．異面D．不確定

3．過平面α外的直線l，作一組平面與α相交，如果所得的交線為a，b，c，…，則這些交線的位置關(guān)系為()

A．都平行B．都相交且一定交于同一點(diǎn)

C．都相交不一定交于同一點(diǎn)D．平行或相交于同一點(diǎn)

4．如圖所示，棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，設(shè)D是A1C1上的點(diǎn)且A1B∥平面B1CD，則A1D∶DC1的值為________．

5．如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，P為平面ABC外一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點(diǎn)．記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系，并加以證明．

第2課時(shí)直線與平面平行的性質(zhì)

新知初探·課前預(yù)習(xí)

要點(diǎn)

aβα＝b

[基礎(chǔ)自測]

1．答案：(1)√(2)×(3)×(4)×

2．解析：因?yàn)閍∥平面α，直線a與平面α無公共點(diǎn)，因此a和平面α內(nèi)的任意一條直線都不相交．

答案：D

3．答案：B

4．解析：由線面平行的性質(zhì)得，AB∥CD，AB∥EF，由基本事實(shí)4得CD∥EF.

答案：平行

題型探究·課堂解透

例1證明：∵AB∥平面MNPQ，且過AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，

∴AB∥MN.

又過AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，∴AB∥PQ，

∴MN∥PQ.

同理可證NP∥MQ.

∴四邊形MNPQ為平行四邊形．

跟蹤訓(xùn)練1解析：

如圖所示，AC∥平面EFGH，則EF∥HG.而對(duì)角線BD與平面EFGH不平行，所以EH與FG不平行．所以EFGH是梯形．

例2解析：如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O1，連接OM，

因?yàn)镻C∥平面MEF，PC平面PAC，平面PAC∩平面MEF＝OM，

所以PC∥OM，所以＝.

在菱形ABCD中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是邊BC，CD的中點(diǎn)，所以＝.

又AO1＝CO1，所以＝＝，故PM∶MA＝1∶3.

跟蹤訓(xùn)練2證明：連接AD交平面α于點(diǎn)E，連接ME和NE.

如圖所示，

因?yàn)槠矫鍭CD＝ME，CD∥α，

所以CD∥ME，所以＝.

同理可得EN∥AB，

所以＝.

所以＝，即AM∶MC＝BN∶ND.

例3證明：連接AC，A1C1在長方體ABCDA1B1C1D1中，

AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四邊形ACC1A1是平行四邊形，

所以AC∥A1C1，因?yàn)锳C平面A1BC1，A1C1平面A1BC1，

所以AC∥平面A1BC1，

因?yàn)?/p>