中位線綜合應(yīng)用(練習(xí)一)難度偏大

中位線綜合應(yīng)用（練習(xí)一）難度偏大一．選擇題（共11小題）1．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位線，延長(zhǎng)DE交△ABC的外角∠ACM的平分線于點(diǎn)F，則線段DF的長(zhǎng)為（）A．7 B．8 C．9 D．102．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，AF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，∠ADE=30°，DF=4，則BF的長(zhǎng)為（）A．4 B．8 C．2 D．43．如圖，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，點(diǎn)D，E分別是直角邊BC，AC的中點(diǎn)，則DE的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C． D．1+4．如圖，矩形ABCD中，AD=10，點(diǎn)P為BC上任意一點(diǎn)，分別連接AP、DP，E、F、G、H分別為AB、AP、DP、DC的中點(diǎn)，則EF+GH的值為（）A．10 B．5 C．2.5 D．無(wú)法確定5．如圖，△ABC中，D、E分別是BC、AC的中點(diǎn)，BE平分∠ABC，交DE于點(diǎn)F，若AB=10，BC=8，則EF的長(zhǎng)是（）A． B．1 C． D．1.56．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=，點(diǎn)M、N分別為線段BC、AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為DM、MN的中點(diǎn)，則EF長(zhǎng)度的最大值為（）A．2 B．3 C．4 D．7．如圖，在?ABCD中，AB=3，AD=5，AM平分∠BAD，交BC于點(diǎn)M，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，DM與EF交于點(diǎn)N，則NF的長(zhǎng)等于（）A．0.5 B．1 C． D．28．如圖，在矩形ABCD中，P、R分別是BC和DC上的點(diǎn)，E、F分別是AP和RP的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在BC上從點(diǎn)B向點(diǎn)C移動(dòng)，而點(diǎn)R不動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論正確的是（）A．線段EF的長(zhǎng)逐漸增長(zhǎng)B．線段EF的長(zhǎng)逐漸減小C．線段EF的長(zhǎng)始終不變D．線段EF的長(zhǎng)與點(diǎn)P的位置有關(guān)9．如圖，DE是△ABC的中位線，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，CF的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)G，則S△CEF：S△DGF等于（）A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：110．如圖，在等邊△ABC中，M、N分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，D為MN上任意一點(diǎn)，BD，CD的延長(zhǎng)線分別交于AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．若=6，則△ABC的邊長(zhǎng)為（）A． B． C． D．111．已知：四邊形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分別是AD，BC的中點(diǎn)，則線段MN的取值范圍是（）A．1＜MN＜5 B．1＜MN≤5 C．＜MN＜ D．＜MN≤二．填空題（共3小題）12．如圖，四邊形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，點(diǎn)M，N分別為線段BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點(diǎn)，則EF長(zhǎng)度的最大值為．13．如圖，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是．14．如圖，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，EF為中位線，若AB=2b，EF=a，則陰影部分的面積．三．解答題（共26小題）15．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分別為AC，CD的中點(diǎn)，連接BM，MN，BN．（1）求證：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的長(zhǎng)．16．如圖，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，BC的中點(diǎn)為M，ME∥AD，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．（1）求證：AE=AF；（2）求證：BE=（AB+AC）．17．如圖，已知△ABC中，D為AB的中點(diǎn)．（1）請(qǐng)用尺規(guī)作圖法作邊AC的中點(diǎn)E，并連結(jié)DE（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2）在（1）的條件下，若DE=4，求BC的長(zhǎng)．18．如圖，在△ABC中，D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CF=BC，連結(jié)CD、EF．求證：CD=EF．19．如圖，E、F、G、H分別為四邊形ABCD四邊之中點(diǎn)．（1）求證：四邊形EFGH為平行四邊形；（2）當(dāng)AC、BD滿足時(shí)，四邊形EFGH為菱形．當(dāng)AC、BD滿足時(shí)，四邊形EFGH為矩形．當(dāng)AC、BD滿足時(shí)，四邊形EFGH為正方形．20．△ABC的中線BD、CE相交于O，F(xiàn)，G分別是BO、CO的中點(diǎn)，求證：EF∥DG，且EF=DG．21．如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，E．F分別是BC．AD的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)，分別與BA，CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，N，則∠BME=∠CNE（不必證明）（溫馨提示：在圖（1）中，連接BD，取BD的中點(diǎn)H，連接HE．HF，根據(jù)三角形中位線定理，證明HE=HF，從而∠1=∠2，再利用平行線的性質(zhì)，可證明∠BME=∠CNE）（1）如圖（2），在四邊形ADBC中，AB與CD相交于點(diǎn)O，AB=CD，E．F分別是BC．AD的中點(diǎn)，連接EF，分別交CD．BA于點(diǎn)M．N，判斷△OMN的形狀，請(qǐng)直接寫出結(jié)論．（2）如圖（3）中，在△ABC中，AC＞AB，D點(diǎn)在AC上，AB=CD，E．F分別是BC．AD的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，若∠EFC=60°，連接GD，判斷△AGD形狀并證明．22．如圖，在四邊形ABCD中，AB=DC，P是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)．（1）若AB=6，求PM的長(zhǎng)；（2）若∠PMN=20°，求∠MPN的度數(shù)．23．如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，AH是高．（1）若BC=10，AH=8，則四邊形ADEF的面積為．（2）求證：∠DHF=∠DEF．24．在△ABC中，AD平分∠BAC．BD⊥AD，垂足為D，過(guò)D作DE∥AC，交AB于E．（1）求證：AE=DE；（2）若AB=8，求線段DE的長(zhǎng)．25．如圖，在四邊形ABCD中，AB=DC，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，G、H分別是對(duì)角線BD、AC的中點(diǎn)．（1）求證：四邊形EGFH是菱形；（2）若AB=，則當(dāng)∠ABC+∠DCB=90°時(shí)，求四邊形EGFH的面積．26．已知如圖：在△ABC中，AB、BC、CA的中點(diǎn)分別是E、F、G，AD是高．求證：∠EDG=∠EFG．27．如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，求EF的長(zhǎng)．28．如圖，M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足為N，且AB=6，BC=10，MN=1.5，求△ABC的周長(zhǎng)．29．如圖，BE，CF是△ABC的角平分線，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M，求證：MN∥BC．30．如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，交BC于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形DBFE是平行四邊形；（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形DBFE是菱形？為什么？31．D、E分別是不等邊三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的邊AB、AC的中點(diǎn)．O是△ABC所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，連接OB、OC，點(diǎn)G、F分別是OB、OC的中點(diǎn)，順次連接點(diǎn)D、G、F、E．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部時(shí)，求證：四邊形DGFE是平行四邊形；（2）若四邊形DGFE是菱形，則OA與BC應(yīng)滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？（直接寫出答案，不需要說(shuō)明理由．）32．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，AH是邊BC上的高．（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；（2）求證：∠DHF=∠DEF．33．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)，分別與BA、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M、N，則∠BME=∠CNE，求證：AB=CD．（提示取BD的中點(diǎn)H，連接FH，HE作輔助線）（2）如圖2，在△ABC中，且O是BC邊的中點(diǎn)，D是AC邊上一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，直線OE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的長(zhǎng)度．34．如圖，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，且AD=AC，AE⊥CD，垂足是E，F(xiàn)是CB的中點(diǎn)．求證：BD=2EF．35．如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F是AD、BC的中點(diǎn)，EF分別交AC、BD于M、N，且OM=ON．求證：AC=BD．36．如圖，點(diǎn)D、E是Rt△ABC兩直角邊AB、AC上的一點(diǎn)，連接BE，已知點(diǎn)F、G、H分別是DE、BE、BC的中點(diǎn)．（1）求∠FGH度數(shù)；（2）連CD，取CD中點(diǎn)M，連接GM，若BD=8，CE=6，求GM的長(zhǎng)．37．△ABC中E是AB的中點(diǎn)，CD平分∠ACB，AD⊥CD與點(diǎn)D，求證：DE=（BC﹣AC）．38．如圖，M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點(diǎn)N，延長(zhǎng)BN交AC于點(diǎn)D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求證：BN=DN；（2）求△ABC的周長(zhǎng)．39．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=．以BC為底作等腰直角△BCD，E是CD的中點(diǎn)，求證：AE⊥EB．40．我們把依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形．如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，依次連接各邊中點(diǎn)得到的中點(diǎn)四邊形EFGH．（1）這個(gè)中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀是；（2）請(qǐng)證明你的結(jié)論．

中位線綜合應(yīng)用（練習(xí)一）難度偏大參考答案與試題解析一．選擇題（共11小題）1．（2016?陜西）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位線，延長(zhǎng)DE交△ABC的外角∠ACM的平分線于點(diǎn)F，則線段DF的長(zhǎng)為（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出DE，得到DF∥BM，再證明EC=EF=AC，由此即可解決問(wèn)題．【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴AC===10，∵DE是△ABC的中位線，∴DF∥BM，DE=BC=3，∴∠EFC=∠FCM，∵∠FCE=∠FCM，∴∠EFC=∠ECF，∴EC=EF=AC=5，∴DF=DE+EF=3+5=8．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形中位線定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用三角形中位線定理，掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，屬于中考常考題型．2．（2016?葫蘆島）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，AF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，∠ADE=30°，DF=4，則BF的長(zhǎng)為（）A．4 B．8 C．2 D．4【分析】先利用直角三角形斜邊中線性質(zhì)求出AB，再在RT△ABF中，利用30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，求出AF即可解決問(wèn)題．【解答】解：在RT△ABF中，∵∠AFB=90°，AD=DB，DF=4，∴AB=2DF=8，∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC，∴∠ADE=∠ABF=30°，∴AF=AB=4，∴BF===4．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形中位線性質(zhì)、含30度角的直角三角形性質(zhì)、直角三角形斜邊中線性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．3．（2016?南充）如圖，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，點(diǎn)D，E分別是直角邊BC，AC的中點(diǎn)，則DE的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C． D．1+【分析】由“30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”求得AB=2BC=2．然后根據(jù)三角形中位線定理求得DE=AB．【解答】解：如圖，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴AB=2BC=2．又∵點(diǎn)D、E分別是BC，AC的中點(diǎn)，∴DE是△ACB的中位線，∴DE=AB=1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是三角形中位線的性質(zhì)，即三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．4．（2016?路北區(qū)二模）如圖，矩形ABCD中，AD=10，點(diǎn)P為BC上任意一點(diǎn)，分別連接AP、DP，E、F、G、H分別為AB、AP、DP、DC的中點(diǎn)，則EF+GH的值為（）A．10 B．5 C．2.5 D．無(wú)法確定【分析】E、F、G、H分別是AB、AP、DP、DC的中點(diǎn)，則EF，GH分別是△ABP，△DCP的中位線，得到EF+GH=BC．【解答】解：在矩形ABCD中，BC=AD=10．∵E、F、G、H分別為AB、AP、DP、DC的中點(diǎn)，∴EF是△ABP的中位線，GH是△DPC的中位線，∴EF+GH=BP+PC=BC=5．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的中位線定理．三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．5．（2016?碑林區(qū)校級(jí)一模）如圖，△ABC中，D、E分別是BC、AC的中點(diǎn)，BE平分∠ABC，交DE于點(diǎn)F，若AB=10，BC=8，則EF的長(zhǎng)是（）A． B．1 C． D．1.5【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到DE∥AB，DE=AB=5，根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義求出DF，計(jì)算即可．【解答】解：∵D、E分別是BC、AC的中點(diǎn)，∴DE∥AB，DE=AB=5，BD=BC=4，∴∠ABF=∠BFD，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF=∠DBF，∴∠DBF=∠BFD，∴DF=DB=4，∴EF=DE﹣DF=1，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的定義、三角形中位線定理，掌握平行線的性質(zhì)、角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．6．（2016?碑林區(qū)校級(jí)一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=，點(diǎn)M、N分別為線段BC、AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為DM、MN的中點(diǎn)，則EF長(zhǎng)度的最大值為（）A．2 B．3 C．4 D．【分析】根據(jù)勾股定理求出BD，根據(jù)三角形中位線定理解答即可．【解答】解：連接BD、ND，由勾股定理得，BD==4，∵點(diǎn)E、F分別為DM、MN的中點(diǎn)，∴EF=DN，當(dāng)DN最長(zhǎng)時(shí)，EF長(zhǎng)度的最大，∴當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)B重合時(shí)，DN最長(zhǎng)，∴EF長(zhǎng)度的最大值為BD=2，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的中位線定理的應(yīng)用，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．7．（2016?定州市一模）如圖，在?ABCD中，AB=3，AD=5，AM平分∠BAD，交BC于點(diǎn)M，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，DM與EF交于點(diǎn)N，則NF的長(zhǎng)等于（）A．0.5 B．1 C． D．2【分析】過(guò)點(diǎn)M作MG∥AB交AD于點(diǎn)G，根據(jù)AD∥BC，AB∥MG可得出四邊形ABMG是菱形，故可得出BM的長(zhǎng)，再由三角形中位線定理即可得出結(jié)論．【解答】解：過(guò)點(diǎn)M作MG∥AB交AD于點(diǎn)G，∵AD∥BC，AB∥MG，∴四邊形ABMG是平行四邊形，∴∠AGM=∠ABM．∵AM平分∠BAD，∴∠GAM=∠MAB，∴∠AMB=∠AMG．在△AGM與△ABM中，，∴△AGM≌△ABM，∴AB=AG=3，∴四邊形ABMG是菱形，∴MC=5﹣3=2．∵EF∥BC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴NF是△DCM的中位線，∴NF=MC=1．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．8．（2016秋?衡陽(yáng)期末）如圖，在矩形ABCD中，P、R分別是BC和DC上的點(diǎn)，E、F分別是AP和RP的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在BC上從點(diǎn)B向點(diǎn)C移動(dòng)，而點(diǎn)R不動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論正確的是（）A．線段EF的長(zhǎng)逐漸增長(zhǎng)B．線段EF的長(zhǎng)逐漸減小C．線段EF的長(zhǎng)始終不變D．線段EF的長(zhǎng)與點(diǎn)P的位置有關(guān)【分析】連接AR，根據(jù)勾股定理得出AR的長(zhǎng)不變，根據(jù)三角形的中位線定理得出EF=AR，即可得出答案．【解答】解：連接AR，∵矩形ABCD固定不變，R在CD的位置不變，∴AD和DR不變，∵由勾股定理得：AR=，∴AR的長(zhǎng)不變，∵E、F分別為AP、RP的中點(diǎn)，∴EF=AR，即線段EF的長(zhǎng)始終不變，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形性質(zhì)，勾股定理，三角形的中位線等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是推出AR的長(zhǎng)不變和得出EF=AR．9．（2012?河南模擬）如圖，DE是△ABC的中位線，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，CF的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)G，則S△CEF：S△DGF等于（）A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1【分析】取CG的中點(diǎn)H，連接EH，根據(jù)三角形的中位線定理可得EH∥AD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠GDF=∠HEF，然后利用“角邊角”證明△DFG和△EFH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得FG=FH，全等三角形的面積相等可得S△EFH=S△DGF，再求出FC=3FH，再根據(jù)等高的三角形的面積比等于底邊的比求出兩三角形的面積的比，從而得解．【解答】解：如圖，取CG的中點(diǎn)H，連接EH，∵E是AC的中點(diǎn)，∴EH是△ACG的中位線，∴EH∥AD，∴∠GDF=∠HEF，∵F是DE的中點(diǎn)，∴DF=EF，在△DFG和△EFH中，，∴△DFG≌△EFH（ASA），∴FG=FH，S△EFH=S△DGF，又∵FC=FH+HC=FH+GH=FH+FG+FH=3FH，∴S△EFC=3S△EFH，∴S△EFC=3S△DGF，因此，S△CEF：S△DGF=3：1．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線，利用三角形的中位線進(jìn)行解題是解題的關(guān)鍵．10．（2005?湖州）如圖，在等邊△ABC中，M、N分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，D為MN上任意一點(diǎn)，BD，CD的延長(zhǎng)線分別交于AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．若=6，則△ABC的邊長(zhǎng)為（）A． B． C． D．1【分析】過(guò)點(diǎn)A作直線PQ∥BC，延長(zhǎng)BE交PQ于點(diǎn)P；延長(zhǎng)CF，交PQ于點(diǎn)Q．證明△BCE∽△PAE，△CBF∽△QAF，構(gòu)造+與BC的關(guān)系求解．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作直線PQ∥BC，延長(zhǎng)BD交PQ于點(diǎn)P；延長(zhǎng)CD，交PQ于點(diǎn)Q．∵PQ∥BC，∴△PQD∽△BCD，∵點(diǎn)D在△ABC的中位線上，∴△PQD與△BCD的高相等，∴△PQD≌△BCD，∴PQ=BC，∵AE=AC﹣CE，AF=AB﹣BF，在△BCE與△PAE中，∠PAE=∠ACB，∠APE=∠CBE，∴△BCE∽△PAE，=…①同理：△CBF∽△QAF，=…②①+②，得：+=．∴+=3，又∵=6，AC=AB，∴△ABC的邊長(zhǎng)=．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了三角形中位線定理及三角形的相似的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造相似，從而得到已知與所求線段的關(guān)系．11．（2002?無(wú)錫）已知：四邊形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分別是AD，BC的中點(diǎn)，則線段MN的取值范圍是（）A．1＜MN＜5 B．1＜MN≤5 C．＜MN＜ D．＜MN≤【分析】當(dāng)AB∥CD時(shí)，MN最短，利用中位線定理可得MN的最長(zhǎng)值，作出輔助線，利用三角形中位線及三邊關(guān)系可得MN的其他取值范圍．【解答】解：連接BD，過(guò)M作MG∥AB，連接NG．∵M(jìn)是邊AD的中點(diǎn)，AB=2，MG∥AB，∴MG是△ABD的中位線，BG=GD，MG=AB=×2=1；∵N是BC的中點(diǎn)，BG=GD，CD=3，∴NG是△BCD的中位線，NG=CD=×3=，在△MNG中，由三角形三邊關(guān)系可知NG﹣MG＜MN＜MG+NG，即﹣1＜MN＜+1，∴＜MN＜，當(dāng)MN=MG+NG，即MN=時(shí)，四邊形ABCD是梯形，故線段MN長(zhǎng)的取值范圍是＜MN≤．故選D．【點(diǎn)評(píng)】解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，利用三角形中位線定理及三角形三邊關(guān)系解答．二．填空題（共3小題）12．（2015?廣州）如圖，四邊形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，點(diǎn)M，N分別為線段BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點(diǎn)，則EF長(zhǎng)度的最大值為3．【分析】根據(jù)三角形的中位線定理得出EF=DN，從而可知DN最大時(shí)，EF最大，因?yàn)镹與B重合時(shí)DN最大，此時(shí)根據(jù)勾股定理求得DN=DB=6，從而求得EF的最大值為3．【解答】解：∵ED=EM，MF=FN，∴EF=DN，∴DN最大時(shí)，EF最大，∵N與B重合時(shí)DN最大，此時(shí)DN=DB==6，∴EF的最大值為3．故答案為3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．13．（2013?鞍山）如圖，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是11．【分析】利用勾股定理列式求出BC的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出EH=FG=AD，EF=GH=BC，然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，∴BC===5，∵E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，∴EH=FG=AD，EF=GH=BC，∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)=EH+GH+FG+EF=AD+BC，又∵AD=6，∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)=6+5=11．故答案為：11．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，熟記三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．14．（2013?寧波模擬）如圖，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，EF為中位線，若AB=2b，EF=a，則陰影部分的面積ab．【分析】根據(jù)陰影部分的面積等于△DEF和△CEF兩個(gè)三角形的面積列式計(jì)算即可得解．【解答】解：∵AB⊥BC，∴AB為梯形ABCD的高，∴陰影部分的面積=S△DEF+S△CEF=EF?AB=×2b?a=ab．故答案為：ab．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了梯形的中位線，直角梯形，三角形的面積，把陰影部分分成兩個(gè)三角形的面求解是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共26小題）15．（2016?北京）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分別為AC，CD的中點(diǎn)，連接BM，MN，BN．（1）求證：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理得MN=AD，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理得BM=AC，由此即可證明．（2）首先證明∠BMN=90°，根據(jù)BN2=BM2+MN2即可解決問(wèn)題．【解答】（1）證明：在△CAD中，∵M(jìn)、N分別是AC、CD的中點(diǎn)，∴MN∥AD，MN=AD，在RT△ABC中，∵M(jìn)是AC中點(diǎn)，∴BM=AC，∵AC=AD，∴MN=BM．（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）可知，BM=AC=AM=MC，∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，∵M(jìn)N∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，∴BN2=BM2+MN2，由（1）可知MN=BM=AC=1，∴BN=【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形中位線定理、直角三角形斜邊中線定理、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．16．（2016?淄博）如圖，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，BC的中點(diǎn)為M，ME∥AD，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．（1）求證：AE=AF；（2）求證：BE=（AB+AC）．【分析】（1）欲證明AE=AF，只要證明∠AEF=∠AFE即可．（2）作CG∥EM，交BA的延長(zhǎng)線于G，先證明AC=AG，再證明BE=EG即可解決問(wèn)題．【解答】證明：（1）∵DA平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵AD∥EM，∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF．（2）作CG∥EM，交BA的延長(zhǎng)線于G．∵EF∥CG，∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE，∵∠AEF=∠AFE，∴∠G=∠ACG，∴AG=AC，∵EM∥CG，∴=，∵BM=CM，∴BE=EG，∴BE=BG=（BA+AG）=（AB+AC）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形中位線定理、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造等腰三角形，以及三角形中位線，屬于中考?？碱}型．17．（2016?廣東）如圖，已知△ABC中，D為AB的中點(diǎn)．（1）請(qǐng)用尺規(guī)作圖法作邊AC的中點(diǎn)E，并連結(jié)DE（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2）在（1）的條件下，若DE=4，求BC的長(zhǎng)．【分析】（1）作線段AC的垂直平分線即可．（2）根據(jù)三角形中位線定理即可解決．【解答】解：（1）作線段AC的垂直平分線MN交AC于E，點(diǎn)E就是所求的點(diǎn)．（2）∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC，DE=BC，∵DE=4，∴BC=8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本作圖、三角形中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的作法，記住三角形的中位線定理，屬于中考?？碱}型．18．（2016?長(zhǎng)春模擬）如圖，在△ABC中，D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CF=BC，連結(jié)CD、EF．求證：CD=EF．【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DE∥BC，DE=BC，然后求出四邊形DEFC是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等證明即可．【解答】證明：∵D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，∴DE∥BC，DE=BC，∵CF=BC，∴DE=CF，∴四邊形DEFC是平行四邊形，∴CD=EF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟記定理并確定出平行四邊形是解題的關(guān)鍵．19．（2016春?莘縣期中）如圖，E、F、G、H分別為四邊形ABCD四邊之中點(diǎn)．（1）求證：四邊形EFGH為平行四邊形；（2）當(dāng)AC、BD滿足AC=BD時(shí)，四邊形EFGH為菱形．當(dāng)AC、BD滿足AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH為矩形．當(dāng)AC、BD滿足AC=BD且AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH為正方形．【分析】（1）連接BD，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EH∥BD且EH=BD，F(xiàn)G∥BD且FG=BD，從而得到EH∥FG且EH=FG，再根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明即可；（2）連接AC，同理可得EF∥AC且EF=AC，再根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形，鄰邊垂直的平行四邊形是矩形，鄰邊相等且垂直的平行四邊形是正方形解答．【解答】（1）證明：如圖，連接BD，∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四邊之中點(diǎn)，∴EH是△ABD的中位線，F(xiàn)G是△BCD的中位線，∴EH∥BD且EH=BD，F(xiàn)G∥BD且FG=BD，∴EH∥FG且EH=FG，∴四邊形EFGH為平行四邊形；（2）解：連接AC，同理可得EF∥AC且EF=AC，所以，AC=BD時(shí)，四邊形EFGH為菱形；AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH為矩形；AC=BD且AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH為正方形．故答案為：AC=BD；AC⊥BD；AC=BD且AC⊥BD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，矩形、菱形、正方形與平行四邊形的關(guān)系，（1）作輔助線構(gòu)造出三角形是解題的關(guān)鍵，（2）熟練掌握矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形是解題的關(guān)鍵．20．（2016春?灤縣期中）△ABC的中線BD、CE相交于O，F(xiàn)，G分別是BO、CO的中點(diǎn)，求證：EF∥DG，且EF=DG．【分析】利用三角形中線的性質(zhì)、中位線的定義和性質(zhì)證得四邊形EFGD的對(duì)邊DE∥GF，且DE=GF=BC；然后由平行四邊形的判定﹣﹣對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，繼而證得結(jié)論．【解答】證明：連接DE，F(xiàn)G，∵BD、CE是△ABC的中線，∴D，E是AB，AC邊中點(diǎn)，∴DE∥BC，DE=BC，同理：FG∥BC，F(xiàn)G=BC，∴DE∥FG，DE=FG，∴四邊形DEFG是平行四邊形，∴EF∥DG，EF=DG．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線定理、平行四邊形的判定．平行四邊形的判定：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形21．（2016春?姜堰區(qū)校級(jí)月考）如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，E．F分別是BC．AD的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)，分別與BA，CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，N，則∠BME=∠CNE（不必證明）（溫馨提示：在圖（1）中，連接BD，取BD的中點(diǎn)H，連接HE．HF，根據(jù)三角形中位線定理，證明HE=HF，從而∠1=∠2，再利用平行線的性質(zhì)，可證明∠BME=∠CNE）（1）如圖（2），在四邊形ADBC中，AB與CD相交于點(diǎn)O，AB=CD，E．F分別是BC．AD的中點(diǎn)，連接EF，分別交CD．BA于點(diǎn)M．N，判斷△OMN的形狀，請(qǐng)直接寫出結(jié)論．（2）如圖（3）中，在△ABC中，AC＞AB，D點(diǎn)在AC上，AB=CD，E．F分別是BC．AD的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，若∠EFC=60°，連接GD，判斷△AGD形狀并證明．【分析】（1）作出兩條中位線，根據(jù)中位線定理，找到相等的同位角和線段，進(jìn)而判斷出三角形的形狀．（2）利用平行線和中位線定理，可以證得三角形△FAG是等邊三角形，再進(jìn)一步確定∠FGD=∠FDG=30°，進(jìn)而求出∠AGD=90°，故△AGD的形狀可證．【解答】解：（1）取AC中點(diǎn)P，連接PF，PE，可知PE=，PE∥AB，∴∠PEF=∠ANF，同理PF=，PF∥CD，∴∠PFE=∠CME，又PE=PF，∴∠PFE=∠PEF，∴∠OMN=∠ONM，∴△OMN為等腰三角形．（2）判斷出△AGD是直角三角形．證明：如圖連接BD，取BD的中點(diǎn)H，連接HF、HE，∵F是AD的中點(diǎn)，∴HF∥AB，HF=AB，同理，HE∥CD，HE=CD，∵AB=CD∴HF=HE，∴∠HEF=∠HFE，∵∠EFC=60°，∴∠HEF=60°，∴∠HEF=∠HFE=60°，∴△EHF是等邊三角形，∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°，∴△AGF是等邊三角形．∵AF=FD，∴GF=FD，∴∠FGD=∠FDG=30°∴∠AGD=90°即△AGD是直角三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理，解答此題的關(guān)鍵是作出三條輔助線，構(gòu)造出和中位線定理相關(guān)的圖形．此題結(jié)構(gòu)精巧，考查范圍廣，綜合性強(qiáng)．22．（2016春?梅河口市校級(jí)月考）如圖，在四邊形ABCD中，AB=DC，P是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)．（1）若AB=6，求PM的長(zhǎng)；（2）若∠PMN=20°，求∠MPN的度數(shù)．【分析】（1）由題意可知PM是△ADC的中位線，進(jìn)而可求出MP的長(zhǎng)；（2）易證△PMN是等腰三角形，由等腰三角形的性質(zhì)即可求出∠MPN的度數(shù)．【解答】解：（1）∵AB=DC，AB=6，∴DC=6，∵點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，∴PM=DC=×6=3；（2）∵點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，∴PN=BC，∵AB=DC，∴PM=PN，∴∠PNM=∠PMN=20°，∴∠MPN=180°﹣∠PMN﹣∠PNM=140°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形中位線定理，以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．23．（2015?福州校級(jí)模擬）如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，AH是高．（1）若BC=10，AH=8，則四邊形ADEF的面積為20．（2）求證：∠DHF=∠DEF．【分析】（1）由三角形面積公式可知：△BDE、△EFC的面積都等于△ABC面積的四分之一，進(jìn)而可求出四邊形ADEF的面積．（2）首先證明四邊形ADEF是平行四邊形，進(jìn)而可得∠DEF=∠DAF，再利用三角形的中位線定理證明四邊形ADEF是平行四邊形，可得到∠DAF=∠DEF，即可證出∠DHF=∠DEF．【解答】（1）解：∵BC=10，AH=8，∴S△ABC=×8×10=40，∵點(diǎn)D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，∴△BDE、△EFC的面積都等于△ABC面積的，∴四邊形ADEF的面積=40﹣20=20，故答案為：20；（2）證明：∵D、E、F分別是△ABC各邊中點(diǎn)，∴DE∥AC，EF∥AB，∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴∠DEF=∠DAF，∵AH是△ABC的高∴△ABH、△ACH是直角三角形，∵點(diǎn)D、點(diǎn)F是斜邊AB、AC中點(diǎn)，∴DH=DA，HF=AF，∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，∴∠DAH+∠FAH=∠FHA+∠DHA，即∠DAF=∠DHF，∴∠DEF=∠DHF．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，三角形的中位線定理，直角三角形的性質(zhì)，解決題目的關(guān)鍵是證明∠DHF=∠DAF與∠DAF=∠DEF．24．（2015?靖江市校級(jí)二模）在△ABC中，AD平分∠BAC．BD⊥AD，垂足為D，過(guò)D作DE∥AC，交AB于E．（1）求證：AE=DE；（2）若AB=8，求線段DE的長(zhǎng)．【分析】（1）欲證明AE=DE，只需推知∠EAD=∠EDA．（2）證明DE為直角△ABD斜邊的中線，即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE∥AC，∴∠EAD=∠CAD，∠EDA=∠CAD，∴∠EAD=∠EDA，∴AE=DE；（2）由（1）知，∠EAD=∠EDA．∵BD⊥AD，∴∠EBD+∠EAD=∠BDE+∠EDA∴∠EBD=∠BDE，∴DE=BE．又由（1）知，DE=BE，∴DE=AB=×8=4．【點(diǎn)評(píng)】該題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用問(wèn)題；靈活運(yùn)用有關(guān)定理來(lái)分析、判斷是解題的關(guān)鍵．25．（2015?巴東縣模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AB=DC，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，G、H分別是對(duì)角線BD、AC的中點(diǎn)．（1）求證：四邊形EGFH是菱形；（2）若AB=，則當(dāng)∠ABC+∠DCB=90°時(shí)，求四邊形EGFH的面積．【分析】（1）利用三角形中位線定理可以證得四邊形EGFH是平行四邊形；然后由菱形的判定定理進(jìn)行解答．（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可以證得∠GFH=90°，得到菱形EGFH是正方形，利用三角形的中位線定理求得GE的長(zhǎng)，則正方形的面積可以求得．【解答】（1）證明：∵在四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，G、H分別是對(duì)角線BD、AC的中點(diǎn)，∴EG∥AB，EG=AB，HF∥AB，HF=AB，∴EG∥HE，EG=HE，∴四邊形EGFH是平行四邊形．又EH=CD，AB=CD，∴EG=EH，∴平行四邊形EGFH是菱形；（2）解：∵四邊形ABCD中，G、F、H分別是BD、BC、AC的中點(diǎn)，∴GF∥DC，HF∥AB．∴∠GFB=∠DCB，∠HFC=∠ABC．∴∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90°．∴∠GFH=90°．∴菱形EGFH是正方形．∵AB=，∴EG=AB=．∴正方形EGFH的面積=（）2=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理，菱形的判定以及正方形的判定，理解三角形的中位線定理是關(guān)鍵．26．（2015春?臨清市期中）已知如圖：在△ABC中，AB、BC、CA的中點(diǎn)分別是E、F、G，AD是高．求證：∠EDG=∠EFG．【分析】先連接EG，作出三角形的中位線，利用中位線的性質(zhì)求三角形全等即△EFG≌△GDE即可．【解答】證明：連接EG，∵E、F、G分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，∴EF為△ABC的中位線，EF=AC．（三角形的中位線等于第三邊的一半）又∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，DG為直角△ADC斜邊上的中線，∴DG=AC．（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）∴DG=EF．同理DE=FG，EG=GE，∴△EFG≌△GDE（SSS）．∴∠EDG=∠EFG．【點(diǎn)評(píng)】三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn)，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．27．（2015春?宜春期末）如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，求EF的長(zhǎng)．【分析】如圖，取BC邊的中點(diǎn)G，連接EG、FG．根據(jù)三角形中位線定理易求EG、FG的長(zhǎng)度，并且∠EGF=90°，所以在直角△EGF中，利用勾股定理來(lái)求EF的長(zhǎng)度．【解答】解：如圖，取BC邊的中點(diǎn)G，連接EG、FG．∵E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，∴EG是△ABC的中位線，F(xiàn)G是△BCD的中位線，∴EGAC，F(xiàn)GBD．又BD=12，AC=16，AC⊥BD，∴EG=8，F(xiàn)G=6，EG⊥FG，∴在直角△EGF中，由用勾股定理，得EF===10，即EF的長(zhǎng)度是10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線定理、勾股定理．根據(jù)已知條件推知△EGF是直角三角形是解題的關(guān)鍵．28．（2015秋?太康縣期中）如圖，M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足為N，且AB=6，BC=10，MN=1.5，求△ABC的周長(zhǎng)．【分析】延長(zhǎng)線段BN交AC于E，從而構(gòu)造出全等三角形，（△ABN≌△AEN），進(jìn)而證明MN是中位線，從而求出CE的長(zhǎng)．【解答】解：延長(zhǎng)線段BN交AC于E．∵AN平分∠BAC，在△ABN和△AEN中，∴△ABN≌△AEN（ASA），∴AE=AB=6，BN=NE，又∵M(jìn)是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，∴CE=2MN=2×1.5=3，∴△ABC的周長(zhǎng)是AB+BC+AC=6+10+6+3=25．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了中位線定理和全等三角形的判定．解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線，利用全等三角形來(lái)得出線段相等，進(jìn)而應(yīng)用中位線定理解決問(wèn)題．29．（2015春?泗洪縣校級(jí)期中）如圖，BE，CF是△ABC的角平分線，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M，求證：MN∥BC．【分析】延長(zhǎng)AN、AM分別交BC于點(diǎn)D、G，根據(jù)BE為∠ABC的角平分線，BE⊥AG可知∠BAN=∠BGN故△ABG為等腰三角形，所以BN也為等腰三角形的中線，即AM=GN．同理AM=DM，根據(jù)三角形中位線定理即可得出結(jié)論．【解答】證明：延長(zhǎng)AN、AM分別交BC于點(diǎn)D、G．∵BE為∠ABC的角平分線，BE⊥AG，∴∠BAG=∠BGA，∴△ABG為等腰三角形，∴BN也為等腰三角形的中線，即AN=GN．同理AM=DM，∴MN為△ADG的中位線，∴MN∥BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理，熟知三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解答此題的關(guān)鍵．30．（2014?南京）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，交BC于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形DBFE是平行四邊形；（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形DBFE是菱形？為什么？【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DE∥BC，然后根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形證明；（2）根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明．【解答】（1）證明：∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，又∵EF∥AB，∴四邊形DBFE是平行四邊形；（2）解：當(dāng)AB=BC時(shí)，四邊形DBFE是菱形．理由如下：∵D是AB的中點(diǎn)，∴BD=AB，∵DE是△ABC的中位線，∴DE=BC，∵AB=BC，∴BD=DE，又∵四邊形DBFE是平行四邊形，∴四邊形DBFE是菱形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，平行四邊形的判定，菱形的判定以及菱形與平行四邊形的關(guān)系，熟記性質(zhì)與判定方法是解題的關(guān)鍵．31．（2014?白銀）D、E分別是不等邊三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的邊AB、AC的中點(diǎn)．O是△ABC所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，連接OB、OC，點(diǎn)G、F分別是OB、OC的中點(diǎn)，順次連接點(diǎn)D、G、F、E．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部時(shí)，求證：四邊形DGFE是平行四邊形；（2）若四邊形DGFE是菱形，則OA與BC應(yīng)滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？（直接寫出答案，不需要說(shuō)明理由．）【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DE∥BC且DE=BC，GF∥BC且GF=BC，從而得到DE∥GF，DE=GF，再利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明即可；（2）根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形解答．【解答】（1）證明：∵D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，∴DE∥BC，且DE=BC，同理，GF∥BC，且GF=BC，∴DE∥GF且DE=GF，∴四邊形DEFG是平行四邊形；（2）解：當(dāng)OA=BC時(shí)，平行四邊形DEFG是菱形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，平行四邊形的判定，菱形的判定以及平行四邊形與菱形的關(guān)系，熟記的定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．32．（2014?宿遷）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，AH是邊BC上的高．（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；（2）求證：∠DHF=∠DEF．【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EF∥AB，DE∥AC，再根據(jù)平行四邊形的定義證明即可；（2）根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等可得∠DEF=∠BAC，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DH=AD，F(xiàn)H=AF，再根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，然后求出∠DHF=∠BAC，等量代換即可得到∠DHF=∠DEF．【解答】證明：（1）∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，∴DE、EF都是△ABC的中位線，∴EF∥AB，DE∥AC，∴四邊形ADEF是平行四邊形；（2）∵四邊形ADEF是平行四邊形，∴∠DEF=∠BAC，∵D，F(xiàn)分別是AB，CA的中點(diǎn)，AH是邊BC上的高，∴DH=AD，F(xiàn)H=AF，∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，∠DHA+∠FHA=∠DHF，∴∠DHF=∠BAC，∴∠DHF=∠DEF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．33．（2014?鞍山一模）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)，分別與BA、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M、N，則∠BME=∠CNE，求證：AB=CD．（提示取BD的中點(diǎn)H，連接FH，HE作輔助線）（2）如圖2，在△ABC中，且O是BC邊的中點(diǎn)，D是AC邊上一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，直線OE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的長(zhǎng)度．【分析】（1）連結(jié)BD，取DB的中點(diǎn)H，連結(jié)EH、FH，證明出EH∥AB，EH=AB，F(xiàn)H∥CD，F(xiàn)H=CD，證出HE=HF，進(jìn)而證出AB=CD；（2）連結(jié)BD，取DB的中點(diǎn)H，連結(jié)EH、OH，證明出EH=OH，可證明證出△OEH是等邊三角形，進(jìn)而求出OE=．【解答】（1）證明：連結(jié)BD，取DB的中點(diǎn)H，連結(jié)EH、FH．∵E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，∴EH∥AB，EH=AB，F(xiàn)H∥CD，F(xiàn)H=CD，∵∠BME=∠CNE，∴HE=HF，∴AB=CD；（2）解：連結(jié)BD，取DB的中點(diǎn)H，連結(jié)EH、OH，∵AB=CD，∴HO=HE，∴∠HOE=∠OEC，∵∠OEC=60°，∴∠HEO=∠AGO=60°，∴△OEH是等邊三角形，∵AB=DC=5，∴OE=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是參考題目給出的思路，作出輔助線，有一定難度．34．（2014?山東模擬）如圖，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，且AD=AC，AE⊥CD，垂足是E，F(xiàn)是CB的中點(diǎn)．求證：BD=2EF．【分析】根據(jù)三角形的中位線定理，在三角形中準(zhǔn)確應(yīng)用，并且求證E為CD的中點(diǎn)，再求證EF為△BCD的中位線．【解答】證明：在△ACD中，因?yàn)锳D=AC且AE⊥CD，所以根據(jù)等腰三角形中底邊的垂線與底邊的交點(diǎn)即中點(diǎn)，可以證明：E為CD的中點(diǎn)，又因?yàn)镕是CB的中點(diǎn)，所以，EF∥BD，且EF為△BCD的中位線，因此EF=BD，即BD=2EF．【點(diǎn)評(píng)】此題主要是中位線定理在三角形中的應(yīng)用，考查在三角形中位線為對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)的的定理．35．（2014春?無(wú)錫期末）如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F是AD、BC的中點(diǎn)，EF分別交AC、BD于M、N，且OM=ON．求證：AC=BD．【分析】取AB和CD的中點(diǎn)分別為G、H，連接EG、GF、FH、EH，推出EH∥AC，EH=AC，HF∥BD，F(xiàn)H=BD，根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠3=∠2，∠1=∠4，根據(jù)OM=ON推出∠4=∠3=∠1=∠2，同理∠EFH=∠GFE=∠1=∠2，推出∠4=∠EFH，得出EH=HF即可．【解答】證明：取AB和CD的中點(diǎn)分別為G、H，連接EG、GF、FH、EH，則EH∥AC，EH=AC，HF∥BD，F(xiàn)H=BD，∴∠3=∠2，∠1=∠4，∵OM=ON，∴∠1=∠2，∴∠4=∠3=∠1=∠2，同理∠EFH=∠GFE=∠1=∠2，∴∠4=∠EFH，∴EH=HF，∵EH=AC，F(xiàn)H=BD，∴AC=BD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是正確作輔助線后得出EH=HF，題目比較典型，有一定的難度．36．（2014春?張家港市校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)D、E是Rt△ABC兩直角邊AB、AC上的一點(diǎn)，連接BE，已知點(diǎn)F、G、H分別是DE、BE、BC的中點(diǎn)．（1）求∠FGH度數(shù)；（2）連CD，取CD中點(diǎn)M，連接GM，若BD=8，CE=6，求GM的長(zhǎng)．【分析】（1）首先證明FG∥DB，GH∥EC，由平行線的性質(zhì)可知∠DBE=∠FGE，∠EHG=∠A