樂山市重點中學2023-2024學年數(shù)學高二上期末綜合測試模擬試題含解析

樂山市重點中學2023-2024學年數(shù)學高二上期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知圓的方程為，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.2．在正方體的12條棱中任選3條，其中任意2條所在的直線都是異面直線的概率為（）A. B.C. D.3．設函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.4．已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1作直線l交橢圓C于M，N兩點，則的周長為（）A.3 B.4C.6 D.85．設集合，，則（）A. B.C. D.6．當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.7．已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有2個極值點，則m的取值范圍是（）A. B.C. D.8．在長方體中，，，則與平面所成的角的正弦值為（）A. B.C. D.9．幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應用軟件.為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣，他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是A.440 B.330C.220 D.11010．已知數(shù)列滿足，（且），若恒成立，則M的最小值是（）A.2 B.C. D.311．在棱長為1的正方體中，為的中點，則點到直線的距離為（）A. B.1C. D.12．若等比數(shù)列滿足，，則數(shù)列的公比為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，SD是球O的直徑，A、B、C是球O表面上的三個不同的點，，當三棱錐的底面是邊長為3的正三角形時，則球O的半徑為______.14．若無論實數(shù)取何值，直線與圓恒有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍為___________.15．已知函數(shù)，則函數(shù)在上的最大值為_______16．如圖，正方體的棱長為1，C、D分別是兩條棱的中點，A、B、M是頂點，那么點M到截面ABCD的距離是____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，，點D，E分別在棱和棱上，且，，M為棱的中點（1）求證：；（2）求直線AB與平面所成角的正弦值18．（12分）已知的內(nèi)角的對邊分別為a，，若向量，且（1）求角的值；（2）已知的外接圓半徑為，求周長的最大值.19．（12分）已知橢圓的離心率為，且過點.（1）求橢圓的方程；（2）若，分別為橢圓的上，下頂點，過點且斜率為的直線交橢圓于另一點（異于橢圓的右頂點），交軸于點，直線與直線相交于點.求證：直線的斜率為定值.20．（12分）已知拋物線C的頂點在坐標原點，準線方程為（1）求拋物線C的標準方程；（2）若AB是過拋物線C的焦點F的弦，以弦AB為直徑的圓與直線的位置關系是什么？先給出你的判斷結論，再給出你的證明，并作出必要的圖形21．（12分）已知集合，，.（1）求；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.22．（10分）已知數(shù)列{}的首項＝2，(n≥2，)，，.（1）證明：{+1}為等比數(shù)列；（2）設數(shù)列{}的前n項和，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)可求得結果.【詳解】因為表示圓，所以，解得.故選：C【點睛】關鍵點點睛：掌握方程表示圓的條件是解題關鍵.2、B【解析】根據(jù)正方體的性質(zhì)確定3條棱兩兩互為異面直線的情況數(shù)，結合組合數(shù)及古典概率的求法，求任選3條其中任意2條所在的直線是異面直線的概率.【詳解】如下圖，正方體中如：中任意2條所在的直線都是異面直線，∴這樣的3條直線共有8種情況，∴任選3條，其中任意2條所在的直線都是異面直線的概率為.故選：B.3、A【解析】利用導數(shù)的幾何意義求解即可【詳解】由，得，所以切線的斜率為，所以切線方程為，即，故選：A4、D【解析】由的周長為，結合橢圓的定義，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，即，如圖所示，根據(jù)橢圓的定義，可得的周長為故選：D.5、C【解析】根據(jù)集合交集和補集的概念及運算，即可求解.【詳解】由題意，集合，，根據(jù)補集的運算，可得，所以.故選：C.6、A【解析】設，對實數(shù)的取值進行分類討論，求得，解不等式，綜合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】設，其中.①當時，即當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，此時不存在；②當時，，解得；③當時，即當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，解得，此時不存在.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：A.7、A【解析】根據(jù)導數(shù)的性質(zhì)，結合余弦型函數(shù)的性質(zhì)、極值的定義進行求解即可.【詳解】由，，因為在區(qū)間有且僅有2個極值點，所以令，解得，因此有，故選：A8、D【解析】過點作的垂線，垂足為，由線面垂直判定可知平面，則所求角即為，由長度關系求得即可.【詳解】在平面內(nèi)過點作的垂線，垂足為，連接.，，，平面，平面，的正弦值即為所求角的正弦值，，，.故選：D.9、A【解析】由題意得，數(shù)列如下：則該數(shù)列的前項和為，要使，有，此時，所以是第組等比數(shù)列的部分和，設，所以，則，此時，所以對應滿足條件的最小整數(shù)，故選A.點睛:本題非常巧妙地將實際問題和數(shù)列融合在一起，首先需要讀懂題目所表達的具體含義，以及觀察所給定數(shù)列的特征，進而判斷出該數(shù)列的通項和求和.另外，本題的難點在于數(shù)列里面套數(shù)列，第一個數(shù)列的和又作為下一個數(shù)列的通項，而且最后幾項并不能放在一個數(shù)列中，需要進行判斷.Ⅱ卷10、C【解析】根據(jù)，（且），利用累加法求得，再根據(jù)恒成立求解.【詳解】因為數(shù)列滿足，，（且）所以，，，，因為恒成立，所以，則M的最小值是，故選：C11、B【解析】建立空間直角坐標系，利用空間向量點到直線的距離公式進行求解即可【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，由已知，得，，，，，所以在上的投影為，所以點到直線的距離為故選：B12、D【解析】設等比數(shù)列的公比為，然后由已知條件列方程組求解即可【詳解】設等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，所以，解得，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由三棱錐是正三棱錐，利用正弦定理得出三角形外接圓的半徑，進而求出，再由余弦定理得出球O的半徑.【詳解】因為，所以平面，三棱錐是正三棱錐，設為三角形外接圓的圓心，則在上，連接，，由得出，所以，在中，，即，解得，則球O的半徑為.故答案為：14、【解析】根據(jù)點到直線的距離公式得到，根據(jù)，解不等式得到答案.【詳解】依題意有圓心到直線的距離，即，又無論取何值，，故，故.故答案：15、【解析】利用導數(shù)單調(diào)性求出的單調(diào)性，比較極小值與兩端點，的大小求出在上的最大值.【詳解】因為，則，令，即時，函數(shù)單調(diào)遞增.令，即時，函數(shù)單調(diào)遞減.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極小值也是函數(shù)的最小值.，兩端點為，，即最大值為.故答案為：.16、【解析】由題意建立空間直角坐標系，然后結合點面距離公式即可求得點M到截面ABCD的距離.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，可得A（0，0，0），B（1，1，0），D（0，，1），M（0，1，0），∴（0，1，0），（1，1，0），（0，，1），設（x，y，z）為平面ABCD的法向量，則，取y＝﹣2，可得x＝2，z＝1，∴（2，﹣2，1），∴M到截面ABCD的距離d故答案為.【點睛】本題主要考查空間直角坐標系及其應用，點面距離的計算等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）由線面垂直、等腰三角形的性質(zhì)易得、，再根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)證明結論；（2）構建空間直角坐標系，確定相關點坐標，進而求的方向向量、面的法向量，應用空間向量夾角的坐標表示求直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】在三棱柱中，平面，則平面，由平面，則，，則，又為的中點，則，又，則平面，由平面，因此，.【小問2詳解】以為原點，以，，為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，可得：，，，，，，.∴，，，，設為面的法向量，則，令得，設與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為.18、（1）（2）6【解析】（1）由可得，再利用正弦定理和三角函數(shù)恒等變換公可得，從而可求出角的值，（2）利用正弦定理求出，再利用余弦定理結合基本不等式可得的最大值為4，從而可求出三角形周長的最大值【小問1詳解】由，得

，由正弦定理，得，即.在中，由，得.又，所以.【小問2詳解】根據(jù)題意，得，由余弦定理，得，即，整理得，當且僅當時，取等號，所以的最大值為所以.所以的周長的最大值為

.19、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)條件求出，即可寫出橢圓方程；（2）設直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓，可表示出坐標，繼而得出直線的方程，令可得的坐標，即可求出直線的斜率并得出定值.【詳解】（1）設橢圓的焦距為，則①，②，又③，由①②③解得，，，所以橢圓的標準方程為.（2）證明：易得，，直線的方程為，因為直線不過點，所以，由，得，所以，從而，，直線的斜率為，故直線的方程為.令，得，直線斜率.所以直線的斜率為定值.【點睛】本題考查橢圓的方程的求法，考查橢圓中的定值問題，屬于中檔題.20、（1）；（2）相切，證明過程、圖形見解析.【解析】（1）根據(jù)拋物線的準線方程，結合拋物線標準方程進行求解即可；（2）設出直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)關系，結合圓的性質(zhì)進行求解即可.【小問1詳解】因為拋物線C的頂點在坐標原點，準線方程為，所以設拋物線C的標準方程為：，因為該拋物線的準線方程為，所以有，所以拋物線C的標準方程；小問2詳解】以弦AB為直徑的圓與直線相切，理由如下：因為AB是過拋物線C的焦點F的弦，所以直線AB的斜率不為零，設橢圓的焦點坐標為，設直線AB的方程為：，則有，設，則有，因此，所以弦AB為直徑的圓的圓心的橫坐標為：，以弦AB為直徑的圓的直徑為：所以弦AB為直徑的圓的半徑，以弦AB為直徑的圓的圓心到準線的距離為：，所以以弦AB為直徑的圓與直線相切.【點睛】關鍵點睛：利用一元二次方程的根與系數(shù)關系是解題的關鍵.21、(1).(2).【解析】分析：（1）先求出A,B集合的解集，A集合求定義，B集合解不等式即可，然后由交集定義即可得結論；（2）若“”是“”的必要不充分條件，說明且，然后根據(jù)集合關系求解.詳解：(1),.則(2)，因為“”是“”的必要不充分條件，所以且.由，得，解得.經(jīng)檢驗，當時，成立，故實數(shù)的取值范圍是.點睛：考查定