河北省2023年各地區(qū)中考考數(shù)學(xué)模擬（二模）試題按題型難易度分層分類匯編-03解答題（提升題）③（含解析）

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一．整式的加減（共1小題）

1．（2023河北二模）一個(gè)三位正整數(shù)，將它的個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字交換位置，所得的新數(shù)恰好與原數(shù)相同，我們把這樣的三位正整數(shù)稱為“對稱數(shù)”，如555，323，191都是“對稱數(shù)”．

（1）請你寫出2個(gè)“對稱數(shù)”；

（2）嘉琪說：“任意一個(gè)“對稱數(shù)”減去其各位數(shù)字之和，所得的結(jié)果都是9的倍數(shù)．”他的說法是否正確，請說明理由．

二．分式的化簡求值（共1小題）

2．（2023青龍縣二模）先化簡，再求值：，在﹣1，0，2這三個(gè)數(shù)中選一個(gè)你喜歡的代入求值．

三．一元二次方程的應(yīng)用（共1小題）

3．（2023青龍縣二模）小明以20元/個(gè)的單價(jià)新進(jìn)一批玩具在網(wǎng)上銷售，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，在一段時(shí)間內(nèi)，銷售量y（個(gè)）與銷售單價(jià)x（元/個(gè)）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．

（1）AB的表達(dá)式為．

（2）若某段時(shí)間內(nèi)該商品的銷售單價(jià)為50元/個(gè)，則銷售利潤為元．

（3）要使銷售利潤達(dá)到800元，則銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元/個(gè)？

四．待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式（共1小題）

4．（2023河北二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝﹣x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，點(diǎn)D在y軸的負(fù)半軸上，若將△DAB沿直線AD折疊，點(diǎn)B恰好落在x軸正半軸上的點(diǎn)C處．

（1）求線段AB的長；

（2）若在y軸上有點(diǎn)P，使得S△PAB＝5，求P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）求點(diǎn)C的坐標(biāo)和直線DC的解析式．

五．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題（共1小題）

5．（2023遵化市二模）如圖，直線y1＝﹣x+4與雙曲線y＝（k≠0）交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，m），經(jīng)過點(diǎn)A直線y2＝x+b與x軸交于點(diǎn)C．

（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式以及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，若△ACP是△AOB的面積的一半，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

六．二次函數(shù)圖象與幾何變換（共1小題）

6．（2023河北二模）如圖，函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，將其沿y軸翻折，得到函數(shù)y2的圖象，把函數(shù)y1與y2的圖象合并后稱為函數(shù)L的圖象．

（1）a的值為；函數(shù)y2的解析式為（注明x的取值范圍）；

（2）對于函數(shù)L，當(dāng)函數(shù)值y隨x的增大而減小時(shí)，x的取值范圍是；

（3）當(dāng)中y＝x+b與函數(shù)L的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求b的值．

七．作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖（共1小題）

7．（2023遵化市二模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A，B，C均落在格點(diǎn)上，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示，并回答下列問題：

（1）以AB為直徑的半圓的圓心為O，作出⊙O的切線AD；

（2）在線段BC上確定一點(diǎn)E，使得OE∥AC；

（3）在⊙O上確定一點(diǎn)F，使得AF平分∠BAC；

（4）在直線AF上確定一點(diǎn)P，使得BP+OP最短．

八．幾何變換綜合題（共3小題）

8．（2023河北二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，在底邊BC上取點(diǎn)P，連接AP，將線段AP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得線段PE，過點(diǎn)E作EH⊥BC交BC或其延長線于點(diǎn)H．

（1）△ABC面積的最大值為．

（2）當(dāng)∠BAC＝60°時(shí)，求PH的值．

（3）“當(dāng)∠BAC＝120°時(shí)，把點(diǎn)P取在腰上，比如取在AC上，然后把BP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段PE，再過E作AC的垂線，交CA或其延長線于H，則PH的值也是確定不變的”你認(rèn)為這個(gè)結(jié)論對嗎？請?jiān)趥溆脠D上畫出示意圖，并說明理由．

（4）你能根據(jù)上面的解答過程得出更一般的結(jié)論嗎？

9．（2023遵化市二模）已知：在正方形ABCD中，E為對角線BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥BD，交BC于點(diǎn)F，連接DF，G為DF的中點(diǎn)，連接EG，CG．

【猜想論證】

（1）猜想線段EG與CG的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

【拓展探究】

（2）將圖1中△BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到圖2，取DF中點(diǎn)G，連接EG，CG．你在（1）中得到的結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明．

10．（2023青龍縣二模）如圖1，在△ABC中，∠B＝∠BCA，D，E是BC邊上的點(diǎn)，連接AD、AE，將△ADE沿直線AE折疊，點(diǎn)D與點(diǎn)F對應(yīng)，連接CF，若∠BAC＝∠DAF．

（1）求證：△ABD≌△ACF；

（2）求證：AC平分∠BCF；

（3）如圖2，若∠B＝45°，BD＝8，CE＝6，求AB的長．

九．列表法與樹狀圖法（共2小題）

11．（2023遵化市二模）為了倡導(dǎo)“節(jié)約用水，從我做起”，某社區(qū)決定對該轄區(qū)200戶家庭用水情況進(jìn)行調(diào)查．調(diào)查小組隨機(jī)抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（單位：噸），調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，每戶家庭月平均用水量在3～7噸范圍內(nèi)，并將調(diào)查結(jié)果制成了如下尚不完整的統(tǒng)計(jì)表：

月平均用水量（噸）34567

頻數(shù)（戶數(shù)）4a9107

頻率0.080.40bc0.14

請根據(jù)統(tǒng)計(jì)表中提供的信息解答下列問題：

（1）填空：a＝，b＝，c＝．本組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是．

（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)該轄區(qū)200戶家庭中月平均用水量不超過5噸的約有多少戶？

（3）該社區(qū)決定從月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四戶家庭中，選取兩戶進(jìn)行“節(jié)水”經(jīng)驗(yàn)分享．請用列表或畫樹狀圖的方法，求出恰好選到甲、丙兩戶的概率，并列出所有等可能的結(jié)果．

12．（2023開發(fā)區(qū)二模）一個(gè)不透明的口袋中放有6個(gè)涂有紅、黑、白三種顏色的小球（除顏色外其余都相同），其中紅球個(gè)數(shù)比黑球個(gè)數(shù)多2個(gè)，從口袋中隨機(jī)取出一個(gè)球是白球的概率為．

（1）求紅球的個(gè)數(shù)；

（2）如下表，不同顏色小球分別標(biāo)上數(shù)字“1”、“2”、“3”，則6個(gè)球上面數(shù)字的眾數(shù)是；中位數(shù)是；取走一個(gè)紅球后，剩下球上數(shù)字的中位數(shù)是；

球種類紅球黑球白球

標(biāo)注數(shù)字123

（3）從口袋中隨機(jī)取出一個(gè)球不放回，之后又隨機(jī)取出一個(gè)球，用列表法或畫樹狀圖的方法，求兩次都取出紅球的概率．

河北省2023年各地區(qū)中考考數(shù)學(xué)模擬（二模）試題按題型難易度分層分類匯編-03解答題（提升題）③

參考答案與試題解析

一．整式的加減（共1小題）

1．（2023河北二模）一個(gè)三位正整數(shù)，將它的個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字交換位置，所得的新數(shù)恰好與原數(shù)相同，我們把這樣的三位正整數(shù)稱為“對稱數(shù)”，如555，323，191都是“對稱數(shù)”．

（1）請你寫出2個(gè)“對稱數(shù)”；

（2）嘉琪說：“任意一個(gè)“對稱數(shù)”減去其各位數(shù)字之和，所得的結(jié)果都是9的倍數(shù)．”他的說法是否正確，請說明理由．

【答案】（1）616，626；

（2）正確，理由見解析．

【解答】解：（1）由題意可得，

“對稱數(shù)”為616，626；

（2）正確，理由：

設(shè)一個(gè)對稱數(shù)為100a+10b+a，

由題意可得，（100a+10b+a）﹣（a+b+a）＝101a+10b﹣2a﹣b＝99a+9b，

∵99a+9b能被9整除，

∴任意一個(gè)“對稱數(shù)”減去其各位數(shù)字之和，所得的結(jié)果都是9的倍數(shù)．

二．分式的化簡求值（共1小題）

2．（2023青龍縣二模）先化簡，再求值：，在﹣1，0，2這三個(gè)數(shù)中選一個(gè)你喜歡的代入求值．

【答案】﹣，﹣4．

【解答】解：

＝÷

＝÷

＝

＝﹣，

要使分式有意義，必須x﹣1≠0且x≠0且x+1≠0，

所以x不能為1，0，﹣1，

取x＝2，

當(dāng)x＝2時(shí)，原式＝﹣＝﹣4．

三．一元二次方程的應(yīng)用（共1小題）

3．（2023青龍縣二模）小明以20元/個(gè)的單價(jià)新進(jìn)一批玩具在網(wǎng)上銷售，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，在一段時(shí)間內(nèi)，銷售量y（個(gè)）與銷售單價(jià)x（元/個(gè)）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．

（1）AB的表達(dá)式為y＝﹣x+80（20≤x≤80）．

（2）若某段時(shí)間內(nèi)該商品的銷售單價(jià)為50元/個(gè)，則銷售利潤為900元．

（3）要使銷售利潤達(dá)到800元，則銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元/個(gè)？

【答案】（1）y＝﹣x+80（20≤x≤80）；

（2）900；

（3）要使銷售利潤達(dá)到800元，銷售單價(jià)應(yīng)定為每千克40元或60元．

【解答】解：（1）當(dāng)20≤x≤80時(shí)，設(shè)直線AB的表達(dá)式為y＝kx+b（k≠0），

把（20，60），（80，0）代入，可得，

解得，

故直線AB的表達(dá)式為y＝﹣x+80．

故答案為：y＝﹣x+80（20≤x≤80）；

（2）把x＝50代入y＝﹣x+80，得y＝﹣50+80＝30，

故銷售利潤位為：（50﹣20）×30＝900（元）；

故答案為：900；

（3）若銷售利潤達(dá)到800元，

若20≤x≤80，則（x﹣20）（﹣x+80）＝800，

解得x1＝40，x2＝60，

若0＜x＜20，則（x﹣20）×60＝800，

解得x＝（不合題意），

所以要使銷售利潤達(dá)到800元，銷售單價(jià)應(yīng)定為每千克40元或60元．

四．待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式（共1小題）

4．（2023河北二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝﹣x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，點(diǎn)D在y軸的負(fù)半軸上，若將△DAB沿直線AD折疊，點(diǎn)B恰好落在x軸正半軸上的點(diǎn)C處．

（1）求線段AB的長；

（2）若在y軸上有點(diǎn)P，使得S△PAB＝5，求P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）求點(diǎn)C的坐標(biāo)和直線DC的解析式．

【答案】（1）5；（2）（0，）或（0，）；（3）C（8，0），直線CD的解析式為y＝x﹣6．

【解答】解：（1）令x＝0得：y＝4，

∴B（0，4）．

∴OB＝4

令y＝0得：0＝﹣x+4，解得：x＝3，

∴A（3，0）．

∴OA＝3．

在Rt△OAB中，AB＝＝5；

（2）設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y，則|4﹣y|×3＝5，

解得y＝或，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）或（0，）；

（3）OC＝OA+AC＝3+5＝8，

∴C（8，0），

設(shè)OD＝x，則CD＝DB＝x+4．

在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6，

∴D（0，﹣6）．

設(shè)CD的解析式為y＝kx﹣6，將C（8，0）代入得：8k﹣6＝0，解得：k＝，

∴直線CD的解析式為y＝x﹣6．

五．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題（共1小題）

5．（2023遵化市二模）如圖，直線y1＝﹣x+4與雙曲線y＝（k≠0）交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，m），經(jīng)過點(diǎn)A直線y2＝x+b與x軸交于點(diǎn)C．

（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式以及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，若△ACP是△AOB的面積的一半，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）把A（1，m）代入y1＝﹣x+4得，m＝﹣1+4＝3，

∴A（1，3），

∵點(diǎn)A在雙曲線y＝（k≠0）上，

∴k＝1×3＝3，

∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝，

∵直線y2＝x+b經(jīng)過點(diǎn)A，

∴b＝2，

∴直線y2＝x+2，

令y2＝0，求得x＝﹣2，

∴C（﹣2，0）；

（2）連接OA、OB，分別作AM⊥x軸于M，BN⊥x軸于N，

由題意得，

解得或，

∴A（1，3），B（3，1），

∴AM＝3，BN＝1，MN＝2，

∴S△AOB＝S△AOM+S梯形AMNB﹣S△BON＝S梯形AMNB＝＝4，

設(shè)P（x，0），

∴CP＝|x+2|，

∴S△ACP＝＝S△AOB，

∴|x+2|＝，則x＝±﹣2，

∴x＝﹣或﹣

∴P點(diǎn)為（﹣，0）或（﹣，0）．

六．二次函數(shù)圖象與幾何變換（共1小題）

6．（2023河北二模）如圖，函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，將其沿y軸翻折，得到函數(shù)y2的圖象，把函數(shù)y1與y2的圖象合并后稱為函數(shù)L的圖象．

（1）a的值為3；函數(shù)y2的解析式為y2＝﹣3（x﹣1）2+3（x＞0）（注明x的取值范圍）；

（2）對于函數(shù)L，當(dāng)函數(shù)值y隨x的增大而減小時(shí)，x的取值范圍是﹣1＜x＜0或x＞1；

（3）當(dāng)中y＝x+b與函數(shù)L的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求b的值．

【答案】（1）3，y2＝﹣3（x﹣1）2+3（x＞0）；

（2）﹣1＜x＜0或x＞1；

（3）b＝．

【解答】解：（1）∵函數(shù)y1＝﹣a（x+1）2+3（x＜0）的圖象過原點(diǎn)，

∴0＝﹣a（0+1）2+3，

解得：a＝3，

∴y1＝﹣3（x+1）2+3（x＜0），

∵將函數(shù)y1沿y軸翻折，得到函數(shù)y2的圖象，

∴y2＝﹣3（x﹣1）2+3（x＞0），

故答案為：3，y2＝﹣3（x﹣1）2+3（x＞0）；

（2）函數(shù)L：y＝，

當(dāng)函數(shù)值y隨x的增大而減小時(shí)，x的取值范圍是﹣1＜x＜0或x＞1；

故答案為：﹣1＜x＜0或x＞1；

（3）函數(shù)y2＝﹣3（x﹣1）2+3（x＞0）與y＝x+b聯(lián)立得：﹣3（x﹣1）2+3＝x+b，

整理得：3x2﹣5x+b＝0，

當(dāng)Δ＝（﹣5）2﹣12b＝0時(shí)，則b＝，此時(shí)直線y＝x+b與函數(shù)L的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，

∴當(dāng)y＝x+b與函數(shù)L的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b＝．

七．作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖（共1小題）

7．（2023遵化市二模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A，B，C均落在格點(diǎn)上，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示，并回答下列問題：

（1）以AB為直徑的半圓的圓心為O，作出⊙O的切線AD；

（2）在線段BC上確定一點(diǎn)E，使得OE∥AC；

（3）在⊙O上確定一點(diǎn)F，使得AF平分∠BAC；

（4）在直線AF上確定一點(diǎn)P，使得BP+OP最短．

【答案】（1）作圖及理由見解答；

（2）作圖及理由見解答；

（3）作圖及理由見解答；

（4）作圖及理由見解答．

【解答】解：（1）如圖1，取格點(diǎn)D，作直線AD，

直線AD是⊙O的切線，

理由：取格點(diǎn)G、H，連接DG，GH、BH，

在△DGA和△AHB中，

，

∴△DGA≌△AHB（SAS），

∴∠GDA＝∠HAB，

∴∠GAD+∠HAB＝∠GAD+∠GDA＝90°，

∴∠OAD＝90°，

∵AD經(jīng)過⊙O的半徑OA的外端，且AD⊥OA，

∴AD是⊙O的切線．

（2）如圖1，BC交網(wǎng)格線于點(diǎn)E，連接OE，

點(diǎn)E就是所求的點(diǎn)，

理由：取格點(diǎn)I、J，連接CJ、EI、BJ，

∵EI∥BJ，JI＝CI，

∴＝＝1，

∴BE＝CE，

∵AO＝BO，

∴OE∥AC，

∴點(diǎn)E就是所求的點(diǎn)．

（3）如圖2，延長OE交⊙O于點(diǎn)F，連接AF，

點(diǎn)F就是所求的點(diǎn)，

理由：∵OA＝OF，

∴∠BAF＝∠OFA，

∵OE∥AC，

∴∠CAF＝∠OFA，

∴∠BAF＝∠CAF，

∴AF平分∠BAC，

∴點(diǎn)F就是所求的點(diǎn)．

（4）如圖3，連接并延長BF交AC的延長線于點(diǎn)Q，連接OQ交AF于點(diǎn)P，連接BP，

點(diǎn)P就是所求的點(diǎn)，

理由：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AFB＝90°，

∴∠AFQ＝∠AFB＝90°，

在△AFQ和△AFB中，

，

∴△AFQ≌△AFB（ASA），

∴QF＝BF，

∴AF垂直平分BQ，

∴點(diǎn)Q與點(diǎn)B關(guān)于直線AF對稱，

∵QP＝BP，

∴BP+OP＝QP+OP＝OQ，

∴BP+OP最短，

∴點(diǎn)P就是所求的點(diǎn)．

八．幾何變換綜合題（共3小題）

8．（2023河北二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，在底邊BC上取點(diǎn)P，連接AP，將線段AP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得線段PE，過點(diǎn)E作EH⊥BC交BC或其延長線于點(diǎn)H．

（1）△ABC面積的最大值為18．

（2）當(dāng)∠BAC＝60°時(shí)，求PH的值．

（3）“當(dāng)∠BAC＝120°時(shí)，把點(diǎn)P取在腰上，比如取在AC上，然后把BP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段PE，再過E作AC的垂線，交CA或其延長線于H，則PH的值也是確定不變的”你認(rèn)為這個(gè)結(jié)論對嗎？請?jiān)趥溆脠D上畫出示意圖，并說明理由．

（4）你能根據(jù)上面的解答過程得出更一般的結(jié)論嗎？

【答案】（1）18；

（2）3；

（3）結(jié)論對，PH為定值，理由見解析；

（4）圖形見解析，點(diǎn)P是△ABC的BC邊上一點(diǎn)，連接AP，將線段AP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得線段PE，過點(diǎn)E作EH⊥BC交BC或其延長線于點(diǎn)H．則PH的長是定值，

【解答】解：（1）∵AB＝AC＝6，

∴當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，△ABC的面積最大，最大值為＝18，

故答案為：18；

（2）如圖，作AD⊥BC于D，

由題意得，AP＝EP，∠APE＝90°，

∴∠1+∠2＝90°，

∵HE⊥BC，

∴∠2+∠E＝90°，

∴∠1＝∠E．

在△APD與△PEH中，

，

∴△APD≌△PEH（AAS），

∴AD＝PH，

在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∵AD⊥BC，

∴∠BAD＝30°，

∴，

∴；

（3）結(jié)論對．如圖，

理由：過點(diǎn)B作BD⊥AC，交CA的延長線于D，

由（2）可知△BPD≌△PEH．

∴PH＝BD＝AB×sin．

即PH為定值．

（4）如圖，

△ABC中（這里不能有其它附加條件），點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn)，

連接AP，將線段AP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得線段PE，過點(diǎn)E作EH⊥BC交BC或其延長線于點(diǎn)H．

則PH的長是定值，（或“等于BC邊上的高”）．

9．（2023遵化市二模）已知：在正方形ABCD中，E為對角線BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥BD，交BC于點(diǎn)F，連接DF，G為DF的中點(diǎn)，連接EG，CG．

【猜想論證】

（1）猜想線段EG與CG的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

【拓展探究】

（2）將圖1中△BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到圖2，取DF中點(diǎn)G，連接EG，CG．你在（1）中得到的結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明．

【答案】（1）EG＝CG，證明見解析；

（2）（1）中結(jié)論仍然成立，證明見解析．

【解答】（1）EG＝CG．

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠DCF＝90°，

在Rt△FCD中，

∵G為DF的中點(diǎn)，

∴CG＝FD，

同理，在Rt△DEF中，

EG＝FD，

∴CG＝EG．

（2）解：（1）中結(jié)論仍然成立，即EG＝CG．

連接AG，過G點(diǎn)作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點(diǎn)．

在△DAG與△DCG中，

∵AD＝CD，∠ADG＝∠CDG，DG＝DG，

∴△DAG≌△DCG（SAS），

∴AG＝CG；

在△DMG與△FNG中，

∵∠DGM＝∠FGN，F(xiàn)G＝DG，∠MDG＝∠NFG，

∴△DMG≌△FNG（ASA），

∴MG＝NG；

∵∠EAM＝∠AEN＝∠AMN＝90°，

∴四邊形AENM是矩形，

在矩形AENM中，AM＝EN，

在△AMG與△ENG中，

∵AM＝EN，∠AMG＝∠ENG，MG＝NG，

∴△AMG≌△ENG（SAS），

∴AG＝EG，

∴EG＝CG．

證法二：延長CG至M，使MG＝CG，連接MF，ME，EC，

在△DCG與△FMG中，

∵FG＝DG，∠MGF＝∠CGD，MG＝CG，

∴△DCG≌△FMG（SAS）．

∴MF＝CD，∠FMG＝∠DCG，

∴MF∥CD∥AB，

∴EF⊥MF．

在Rt△MFE與Rt△CBE中，

∵M(jìn)F＝CB，∠MFE＝∠EBC，EF＝BE，

∴△MFE≌△CBE（SAS），

∴∠MEF＝∠CEB．

∴∠MEC＝∠MEF+∠FEC＝∠CEB+∠CEF＝90°，

∴△MEC為直角三角形．

∵M(jìn)G＝CG，

∴EG＝MC，

∴EG＝CG．

10．（2023青龍縣二模）如圖1，在△ABC中，∠B＝∠BCA，D，E是BC邊上的點(diǎn)，連接AD、AE，將△ADE沿直線AE折疊，點(diǎn)D與點(diǎn)F對應(yīng)，連接CF，若∠BAC＝∠DAF．

（1）求證：△ABD≌△ACF；

（2）求證：AC平分∠BCF；

（3）如圖2，若∠B＝45°，BD＝8，CE＝6，求AB的長．

【答案】（1）證明見解答；（2）證明見解答；（3）12．

【解答】（1）證明：由折疊知，AD＝AF，

∵∠BAC＝∠DAF，

∴∠BAD+∠CAD＝∠CAD+∠CAF，

∴∠BAD＝∠CAF，

∵∠B＝∠BCA，

∴AB＝AC，

∴△ABD≌△ACF（SAS）；

（2）證明：由（1）知，△ABD≌△ACF，

∴∠B＝∠ACF，

∵∠B＝∠BCA，

∴∠BCA＝∠ACF，

∴AC平分∠BCF；

（3）解：∵∠B＝∠BCA，∠B＝45°，

∴∠BCA＝45°，

∴∠BAC＝90°，

由（2）知，∠BCA＝∠ACF，

∴∠ACF＝45°

∴∠ECF＝∠ACB+∠ACF＝90°，

由（1）知，△ABD≌△ACF，

∴CF＝BD＝8，

在Rt△ECF中，根據(jù)勾股定理得，EF＝＝10，

由折疊知，DE＝EF＝10，

∴BC＝BD+DE+CE＝24，

在Rt△ABC中，AB＝BC＝12．

九．列表法與樹狀圖法（共2小題）

11．（2023遵化市二模）為了倡導(dǎo)“節(jié)約用水，從我做起”，某社區(qū)決定對該轄區(qū)200戶家庭用水情況進(jìn)行調(diào)查．調(diào)查小組隨機(jī)抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（單位：噸），調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，每戶家庭月平均用水量在3～7噸范圍內(nèi)，并將調(diào)查結(jié)果制成了如下尚不完整的統(tǒng)計(jì)表：

月平均用水量（噸）34567

頻數(shù)（戶數(shù)）4a9107

頻率0.080.40bc0.14

請根據(jù)統(tǒng)計(jì)表中提供的信息解答下列問題：

（1）填空：a＝，20，b＝0.18，c＝0.20．本組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5．

（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)該轄區(qū)200戶家庭中月平均用水量不超過5噸的約有多少戶？

（3）該社區(qū)決定從月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四戶家庭中，選取兩戶進(jìn)行“節(jié)水”經(jīng)驗(yàn)分享．請用列表或畫