專題05導(dǎo)數(shù)與不等式（講）【解析版】

第一篇熱點(diǎn)、難點(diǎn)突破篇專題05導(dǎo)數(shù)與不等式（講）真題體驗(yàn)感悟高考1．（2022·全國·高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.【詳解】方法一：構(gòu)造法設(shè)，因?yàn)?，?dāng)時，，當(dāng)時，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.方法二：比較法解：，，，①，令則，故在上單調(diào)遞減，可得，即，所以；②，令則，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以故2．（2019·天津·高考真題（理））已知，設(shè)函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為A． B． C． D．【答案】C【解析】先判斷時，在上恒成立；若在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立．【詳解】∵，即，（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，故當(dāng)時，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當(dāng)函數(shù)單增，當(dāng)函數(shù)單減，故，所以．當(dāng)時，在上恒成立；綜上可知，的取值范圍是，故選C．3．（2022·全國·高考真題（理））已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個零點(diǎn)，則．【答案】(1)(2)證明見的解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為，再利用導(dǎo)數(shù)即可得證.【詳解】（1）[方法一]：常規(guī)求導(dǎo)的定義域?yàn)?，則令,得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增，若,則,即所以的取值范圍為[方法二]：同構(gòu)處理由得：令，則即令，則故在區(qū)間上是增函數(shù)故，即所以的取值范圍為（2）[方法一]：構(gòu)造函數(shù)由題知,一個零點(diǎn)小于1,一個零點(diǎn)大于1，不妨設(shè)要證,即證因?yàn)?即證又因?yàn)?故只需證即證即證下面證明時，設(shè)，則設(shè)所以,而所以,所以所以在單調(diào)遞增即,所以令所以在單調(diào)遞減即,所以；綜上,,所以.[方法二]：對數(shù)平均不等式由題意得：令，則，所以在上單調(diào)遞增，故只有1個解又因?yàn)橛袃蓚€零點(diǎn)，故兩邊取對數(shù)得：，即又因?yàn)椋?，即下證因?yàn)椴环猎O(shè)，則只需證構(gòu)造，則故在上單調(diào)遞減故，即得證【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題是極值點(diǎn)偏移問題，關(guān)鍵點(diǎn)是通過分析法，構(gòu)造函數(shù)證明不等式這個函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握總結(jié)規(guī)律預(yù)測考向（一）規(guī)律與預(yù)測1.高考對本部分的要求一般有三個層次：第一層次主要考查求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義；第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等；第三層次是綜合考查，如研究函數(shù)零點(diǎn)、證明不等式、恒成立問題、求參數(shù)等，包括解決應(yīng)用問題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式、數(shù)列及函數(shù)單調(diào)性有機(jī)結(jié)合，設(shè)計(jì)綜合題.2.涉及導(dǎo)數(shù)與不等式問題，主要有：單變量不等式的證明、雙變量不等式的證明、不等式恒成立時求參數(shù)的取值范圍、含導(dǎo)數(shù)不等式的求解問題、比較函數(shù)值大小問題等（二）本專題考向展示考點(diǎn)突破典例分析考向一導(dǎo)數(shù)與解不等式問題【核心知識】1.利用導(dǎo)數(shù)解決解不等式或取值范圍問題的兩個基本思路(1)將問題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍，然后檢驗(yàn)參數(shù)取“＝”時是否滿足題意．(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出參數(shù)的取值范圍后，再驗(yàn)證參數(shù)取“＝”時f(x)是否滿足題意．2.構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，，想到構(gòu)造等.一般：（1）條件含有，就構(gòu)造,（2）若，就構(gòu)造，（3），就構(gòu)造，（4）就構(gòu)造，等便于給出導(dǎo)數(shù)時聯(lián)想構(gòu)造函數(shù).【典例分析】典例1.（2022·寧夏六盤山高級高三階段練習(xí)（理））若，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性求得不等式的解集.【詳解】的定義域?yàn)?，，所以是奇函?shù)，在上遞增，所以由得，所以，解得，所以不等式的解集是.故選：C典例2.（2021·河南·溫縣第一高級高三月考（理））函數(shù)的定義域是，，對任意，，則不等式的解集為（）A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合已知條件可得恒成立，可得為上的減函數(shù)，再由，從而將不等式轉(zhuǎn)換為，根據(jù)單調(diào)性即可求解.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)椋詾樯系脑龊瘮?shù)．又因?yàn)?，所以原不等式轉(zhuǎn)化為，即，解得.所以原不等式的解集為，故選：A.典例3.（2022·上海市奉賢高三期中）定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對任意的實(shí)數(shù)x，都有，且，則不等式的解集是_________【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到在R上單調(diào)遞減，由得到，對變形后得到，從而，由單調(diào)性得到，求出不等式的解集.【詳解】因?yàn)?，?gòu)造，則，所以在R上單調(diào)遞減，由,令得：，故，由得：，因?yàn)?，所以，故，因?yàn)樵赗上單調(diào)遞減，所以，解得：.故不等式的解集是.故答案為：.【總結(jié)提升】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式和已知的不等式構(gòu)造函數(shù)，利用不等關(guān)系得出函數(shù)的單調(diào)性，即可確定函數(shù)值的大小關(guān)系，關(guān)鍵是觀察已知條件構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)．(2)含有兩個變元的不等式，可以把兩個變元看作兩個不同的自變量，構(gòu)造函數(shù)后利用單調(diào)性確定其不等關(guān)系．考向二利用導(dǎo)數(shù)比較大小【核心知識】利用函數(shù)的單調(diào)性、構(gòu)造函數(shù)法（常見構(gòu)造函數(shù)法見考向一）等，是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)比較大小的常見方法.【典例分析】典例4.（2021·全國·高考真題（理））設(shè)，，．則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對a,b的大小作出判定，對于a與c，b與c的大小關(guān)系，將0.01換成x,分別構(gòu)造函數(shù),，利用導(dǎo)數(shù)分析其在0的右側(cè)包括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c，b與c的大小關(guān)系.【詳解】[方法一]：，所以；下面比較與的大小關(guān)系.記，則，，由于所以當(dāng)0<x<2時，，即，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即；令，則，，由于，在x>0時，，所以，即函數(shù)在[0，+∞)上單調(diào)遞減，所以，即，即b<c；綜上，，故選：B.[方法二]：令，即函數(shù)在（1，+∞)上單調(diào)遞減令，即函數(shù)在（1，3)上單調(diào)遞增綜上，，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查比較大小問題，難度較大，關(guān)鍵難點(diǎn)是將各個值中的共同的量用變量替換，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計(jì)計(jì)算往往是無法解決的.典例5.（2022·廣東·深圳實(shí)驗(yàn)光明部高三期中）定義在上的偶函數(shù)滿足,當(dāng)時,,則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)偶函數(shù)和,判斷出周期,根據(jù)的解析式判斷出單調(diào)性,將根據(jù)奇偶性,周期性,對稱性,轉(zhuǎn)化至同一單調(diào)區(qū)間,判斷的大小即可判斷函數(shù)值的大小比較,不好判斷時可利用放縮或構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行大小判斷.【詳解】解:由題知為偶函數(shù),,①,將代換為可得:②①-②可得,,周期為4,,,,,時單調(diào)遞增,由以上可知:;,,將代入上式,則有,,,,將代入上式,則有,,,若比較的大小,只需比較的大小,,只需要比較的大小,兩式相減可得:,記,,,單調(diào)遞增,則,即,故,時單調(diào)遞增,,,.故選:C【點(diǎn)睛】(1)若,則周期為,若滿足,周期均為,為非零常數(shù);(2)常用的放縮有:;當(dāng)時取等;,當(dāng)時取等,在大題中應(yīng)用時需進(jìn)行證明,做差求導(dǎo)求最值即可證明.典例6.（2022·湖北·荊門市龍泉高三階段練習(xí)）已知，，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)放縮求解即可．【詳解】解：，令，，則，在上遞增，，，，∵，∴，∵，令，，∴，∴是增函數(shù)．∴，∴，∴，∴，綜上所述．故選：D．【點(diǎn)睛】本題解題的關(guān)鍵是對常見三角不等式模型的理解記憶，對放縮的要求較高．【總結(jié)提升】從上述典型例題發(fā)現(xiàn)，無論是比較函數(shù)值的大小，還是比較某些自變量值的大小，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)，是常見方法，也是基本方法．考向三不等式恒成立問題中求參數(shù)值（范圍）【核心知識】1.不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合(圖象在上方即可)；③討論最值或恒成立；④討論參數(shù)，排除不合題意的參數(shù)范圍，篩選出符合題意的參數(shù)范圍.2.含參數(shù)的不等式恒成立的處理方法：①的圖象永遠(yuǎn)落在圖象的上方；②構(gòu)造函數(shù)法，一般構(gòu)造，；③參變分離法，將不等式等價變形為，或，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.3.利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.【典例分析】典例7.（2022·河南駐馬店·高三期中（理））已知函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)任取兩個實(shí)數(shù)，且，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化簡題目所給不等式，構(gòu)造函數(shù)，由在區(qū)間上恒成立分離常數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍.【詳解】不妨設(shè)，則，即，令，則，∴在單調(diào)遞增，對恒成立，而恒成立，令，，則在單調(diào)遞減，∴，∴，的取值范圍是.故選：A典例8.（2022·湖北·高三期中）若不等式對任意恒成立，則a的取值范圍是_______________.【答案】【分析】根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得在時為增函數(shù)，從而存在零點(diǎn)使得，即，由即可得解.【詳解】由，令，即對任意恒成立，易知時為增函數(shù)，且時，時，故存在使得，即，所以時為減函數(shù)，時為增函數(shù)，所以所以，即，所以，，故答案為：典例9.（生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測試2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期11月測試）已知，，若對于任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【分析】先判斷與互為反函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，然后結(jié)合圖象變換以及導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍.【詳解】由，，，，交換，則，所以與互為反函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，當(dāng)時，，畫出的圖象如下圖所示，滿足，即.當(dāng)時，的圖象由的圖象向上平移所得；的圖象由向右平移所得；所以滿足.當(dāng)時，的圖象由的圖象向下平移所得；的圖象由向左平移所得；由得；由得，所以當(dāng)時，與的圖象都過原點(diǎn)，同時，與的圖象關(guān)于對稱.令，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以，所以（當(dāng)時等號成立），同理可證得（當(dāng)時等號成立），故（當(dāng)時等號成立），所以時，滿足.當(dāng)時，，不滿足.綜上所述，的取值范圍是.故答案為：【規(guī)律方法】1.不等式的恒成立問題，往往可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值的符號來討論，也可以參變分離后轉(zhuǎn)化不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題，轉(zhuǎn)化中注意等價轉(zhuǎn)化.2.在解題過程中，必要時可作出函數(shù)圖象，借助幾何圖形直觀分析轉(zhuǎn)化.通過圍繞參數(shù)分類討論不等式是否成立，不失為一種好的方法【如例9】.考向四單變量不等式的證明【核心知識】1.利用單調(diào)性證明單變量不等式一般地，要證f(x)>g(x)在區(qū)間(a，b)上成立，需構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，通過分析F(x)在端點(diǎn)處的函數(shù)值來證明不等式．若F(a)＝0，只需證明F(x)在(a，b)上單調(diào)遞增即可；若F(b)＝0，只需證明F(x)在(a，b)上單調(diào)遞減即可．2.利用最值證明單變量不等式利用最值證明單變量的不等式的常見形式是f(x)>g(x)．證明技巧：先將不等式f(x)>g(x)移項(xiàng)，即構(gòu)造函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)，轉(zhuǎn)化為證不等式h(x)>0，再次轉(zhuǎn)化為證明h(x)min>0，因此，只需在所給的區(qū)間內(nèi)，判斷h′(x)的符號，從而判斷其單調(diào)性，并求出函數(shù)h(x)的最小值，即可得證.3.通過題目中已有的或常用的不等式進(jìn)行證明．適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論，如和是兩個典型的不等式，可變形得，.4.利用賦值法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式.5.利用分析法，通過不等式的等價轉(zhuǎn)換，改證新的不等式成立.【典例分析】典例10.（2023·四川資陽·模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，過點(diǎn)作曲線的切線l，求l的方程；(2)當(dāng)時，對于任意，證明：．【答案】(1)或(2)證明見解析【分析】（1）易知不在上，設(shè)切點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，將代入求出對應(yīng)，即可求解對應(yīng)切線方程；（2）構(gòu)造，求得，再令，通過研究正負(fù)確定單調(diào)性，再由正負(fù)研究最值，進(jìn)而得證.【詳解】（1）由題，時，，，設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，該切線過點(diǎn)，則，即，所以或．又；；，．所以，切線方程為或；（2）設(shè)，則，令，則，可知，時，；時，，故時均有，則即在上單調(diào)遞增，，因?yàn)闀r，則，，故在上單調(diào)遞增，此時，．所以，當(dāng)時，對于任意，均有．典例11.（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)(3)見解析【分析】（1）求出，討論其符號后可得的單調(diào)性.（2）設(shè)，求出，先討論時題設(shè)中的不等式不成立，再就結(jié)合放縮法討論符號，最后就結(jié)合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.（3）由（2）可得對任意的恒成立，從而可得對任意的恒成立，結(jié)合裂項(xiàng)相消法可證題設(shè)中的不等式.（1）當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）設(shè)，則，又，設(shè)，則，若，則，因?yàn)闉檫B續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.若，則，下證：對任意，總有成立，證明：設(shè)，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當(dāng)時，有，

所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.（3）取，則，總有成立，令，則，故即對任意的恒成立.所以對任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.典例12.（2022·河南駐馬店·高三期中（理））已知函數(shù)(1)求的最大值；(2)求證：【答案】(1)0(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值；（2）由（1）可得，即可得到，再根據(jù)不等式的性質(zhì)、等差數(shù)列求和公式以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】（1）解：因?yàn)槎x域?yàn)?，所以，?dāng)時，，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴在時，取得最大值，即.（2）證明：當(dāng)，時，不等式左邊，不等式右邊，因此只需證明：，由（1）知，在時，取得最大值，∴在恒成立，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），∴，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），又，，所以，，，，，∴以上各式相加得：，∴得證.【總結(jié)提升】1.常見的放縮公式如下：(1)ex≥1＋x，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時取等號；(2)ex≥ex，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號；(3)當(dāng)x≥0時，ex≥1＋x＋eq\f(1,2)x2,當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時取等號；(4)當(dāng)x≥0時，ex≥eq\f(e,2)x2＋1,當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時取等號；(5)eq\f(x－1,x)≤lnx≤x－1≤x2－x，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號；(6)當(dāng)x≥1時，eq\f(2x－1,x＋1)≤lnx≤eq\f(x－1,\r(x))，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號．2.數(shù)列不等式的證明，常利用以下方法：（1）數(shù)學(xué)歸納法；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式；（3）利用遞推關(guān)系證明．考向五雙變量不等式的證明【核心知識】破解含雙變量（參）不等式的證明的關(guān)鍵一是分析轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參所滿足的關(guān)系式，并把含雙參的不等式轉(zhuǎn)化為含單參的不等式；二是巧構(gòu)造函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果．【典例分析】典例13.（2021·全國·高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.【分析】(1)首先確定函數(shù)的定義域，然后求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，由導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性.(2)方法二：將題中的等式進(jìn)行恒等變換，令，命題轉(zhuǎn)換為證明：，然后構(gòu)造對稱差函數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的特征和函數(shù)的單調(diào)性即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)的定義域?yàn)椋傻?，，?dāng)時，；當(dāng)時；當(dāng)時，．故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，(2)[方法一]：等價轉(zhuǎn)化由得，即．由，得．由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，①令，則，當(dāng)時，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，從而，所以，由（1）得即．①令，則，當(dāng)時，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，從而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．令．則上式變?yōu)?，于是命題轉(zhuǎn)換為證明：．令，則有，不妨設(shè)．由（1）知，先證．要證：．令，則，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．再證．因?yàn)?，所以需證．令，所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．所以．故，即．綜合可知．[方法三]：比值代換證明同證法2．以下證明．不妨設(shè)，則，由得，，要證，只需證，兩邊取對數(shù)得，即，即證．記，則.記，則，所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．由得，所以，即．[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法由已知得，令，不妨設(shè)，所以．由（Ⅰ）知，，只需證．證明同證法2．再證明．令．令，則．所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以，即又因?yàn)?，所以，即．因?yàn)椋?，即．綜上，有結(jié)論得證．【整體點(diǎn)評】(2)方法一：等價轉(zhuǎn)化是處理導(dǎo)數(shù)問題的常見方法，其中利用的對稱差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導(dǎo)數(shù)問題必備的知識和技能.方法二：等價轉(zhuǎn)化是常見的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造對稱差函數(shù)是最基本的極值點(diǎn)偏移問題的處理策略.方法三：比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.方法四：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關(guān)于的式子，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.典例14.（2020·天津·高考真題）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時，（i）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（ii）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）當(dāng)時，求證：對任意的，且，有．【答案】（Ⅰ）（i）；（ii）的極小值為，無極大值；（Ⅱ）證明見解析.【分析】(Ⅰ)(i)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程即可；(ii)首先求得的解析式，然后利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值即可；（Ⅱ）首先確定導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后令，將原問題轉(zhuǎn)化為與有