高三北師大版文科數(shù)學(xué)第22講 正弦定理和余弦定理 含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精課時(shí)作業(yè)(二十二)[第22講正弦定理和余弦定理](時(shí)間:45分鐘分值：100分）eq\a\vs4\al\co1(基礎(chǔ)熱身)1．［2012·上海卷]在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，則△ABCA．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不能確定2．［2012·廣東卷］在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3eq\r(2），則AC＝（）A．4eq\r(3）B．2eq\r（3)C.eq\r(3）D。eq\f（\r(3)，2）3．在△ABC中，下列關(guān)系式：①asinB＝bsinA；②a＝bcosC＋ccosB;③a2＋b2－c2＝2abcosC；④b＝csinA＋asinC，一定成立的有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)4．△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a,b,c，若c＝2eq\r（3）b，sin2A－sin2B＝eq\r(3）sinBsinC,則A＝________．eq\a\vs4\al\co1（能力提升)5．判斷下列說(shuō)法,其中正確的是(）A．a(chǎn)＝7，b＝14，A＝30°有兩解B．a(chǎn)＝30,b＝25，A＝150°只有一解C．a(chǎn)＝6，b＝9,A＝45°有兩解D．b＝9，c＝10，B＝60°無(wú)解6．［2012·丹東模擬]已知△ABC內(nèi)角A,B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a＝3，b＝2，A＝60°，則cosB＝（)A.eq\f（\r(3),3）B．±eq\f（\r(3),3)C.eq\f（\r（6）,3)D．±eq\f（\r(6），3）7．［2012·湖北卷]設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若三邊的長(zhǎng)為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù),且A＞B＞C，3b＝20acosA，則sinA∶sinB∶sinC為（）A．4∶3∶2B．5∶6∶7C．5∶4∶3D．6∶5∶48．[2012·鷹潭一中模擬］在△OAB(O為原點(diǎn))中，eq\o（OA,\s\up6（→))＝(2cosα，2sinα）,eq\o（OB,\s\up6(→))＝（5cosβ，5sinβ），若eq\o(OA，\s\up6(→)）·eq\o（OB,\s\up6（→））＝－5，則△OAB的面積S＝（）A。eq\r(3)B.eq\f(\r（3）,2）C．5eq\r（3）D。eq\f(5\r（3）,2)9．在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c。若C＝120°，c＝eq\r(2)a，則()A．a(chǎn)〉bB．a(chǎn)<bC．a(chǎn)＝bD．a(chǎn)與b的大小關(guān)系不能確定10．已知a,b，c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B,C的對(duì)邊,若c＝2，b＝eq\r(3）,A＋C＝3B，則sinC＝________．11．[2012·商丘模擬]在△ABC中,內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c,若a＝4，A＝eq\f(π，3），則該三角形面積的最大值是________．12．△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)分別是a，b，c，設(shè)向量m＝(a＋b，sinC),n＝(eq\r（3）a＋c，sinB－sinA)，若m∥n，則角B的大小為_(kāi)_______．13．在△ABC中，內(nèi)角A，B,C所對(duì)的邊分別為a，b,c,且acosB－bcosA＝eq\f(1,2）c，當(dāng)tan（A－B)取最大值時(shí)，角C的值為_(kāi)_______．14．(10分）［2012·遼寧卷]在△ABC中,內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c，角A,B，C成等差數(shù)列．(1）求cosB的值；（2)邊a，b，c成等比數(shù)列,求sinAsinC的值．15．（13分)［2012·衡水質(zhì)檢］設(shè)△ABC是銳角三角形，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a,b，c，并且cos2A＝cos2B－sineq\f(π,3)＋Bcoseq\f(π,6)＋B。(1）求角A的值；(2）若△ABC的面積為6eq\r（3），求邊a的最小值．eq\a\vs4\al\co1(難點(diǎn)突破）16．（12分）[2012·吉林一中二模］在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b,c.若eq\f（cosA，cosB)＝eq\f(b,a)且sinC＝cosA.(1)求角A，B，C的大小;（2)設(shè)函數(shù)f（x)＝sin(2x＋A）＋cos2x－eq\f（C，2），求函數(shù)f(x）的單調(diào)遞增區(qū)間,并指出它相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸間的距離．

課時(shí)作業(yè)（二十二）【基礎(chǔ)熱身】1．C[解析］由正弦定理可把不等式轉(zhuǎn)化為a2＋b2〈c2，cosC＝eq\f（a2＋b2－c2,2ab）<0，所以三角形為鈍角三角形．故選C.2．B[解析]根據(jù)正弦定理得eq\f（BC，sinA)＝eq\f(AC,sinB)，即eq\f（3\r（2),sin60°)＝eq\f（AC，sin45°)。解得AC＝2eq\r（3）.3．C[解析］由正、余弦定理知①③一定成立，對(duì)于②，由正弦定理知sinA＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C），顯然成立．對(duì)于④，sinB＝sinCcosA＋sinAcosC，即b＝ccosA＋acosC，故b＝csinA＋asinC不一定成立．4.eq\f（π,6)[解析］∵c＝2eq\r(3）b,又a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，∴sinC＝2eq\r（3)sinB,∵sin2A－sin2B＝eq\r(3)sinBsinC＝6sin2B，∴sin2A＝7sin2B,sinA＝eq\r（7）sinB,所以，a＝eq\r（7)b,由余弦定理得cosA＝eq\f（b2＋c2－a2，2bc)＝eq\f(b2＋（2\r(3)b）2－（\r（7）b)2，2b×2\r（3)b）＝eq\f(6b2，4\r（3）b2）＝eq\f（\r（3）,2)，所以A＝eq\f(π，6）.【能力提升】5．B[解析]A中，由正弦定理得sinB＝eq\f(bsinA，a)＝eq\f（14×\f(1，2）,7)＝1，所以B＝90°，故只有一解，A錯(cuò)誤；B中，由正弦定理得sinB＝eq\f（bsinA，a）＝eq\f(25×\f（1,2),30）〈1，又A為鈍角，故只有一解，B正確；C中，由正弦定理得sinB＝eq\f(bsinA,a）＝eq\f（9×\f(\r（2）,2)，6）〉1，所以角B不存在，故無(wú)解，C錯(cuò)誤；D中，由正弦定理得sinC＝eq\f（csinB,b）＝eq\f(10×\f（\r(3）,2），9)〈1，因?yàn)閎<c，B＝60°,且0°〈C<180°,所以角C有兩解，D錯(cuò)誤．故選B。6．C[解析]由正弦定理得sinB＝eq\f（bsinA，a）＝eq\f(2×\f（\r(3），2），3）＝eq\f（\r(3),3）,又b＜a,∴cosB＞0，∴cosB＝eq\r（1－（sinB）2)＝eq\r(1－\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（\r(3),3)）)\s\up12（2）)＝eq\f（\r（6)，3）.7．D[解析］因?yàn)閍，b，c為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，且A>B>C,可得a＝c＋2，b＝c＋1①.又因?yàn)?b＝20acosA，由余弦定理可知cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc),則3b＝20a·eq\f(b2＋c2－a2,2bc）②，聯(lián)立①②，化簡(jiǎn)可得7c2－13c－60＝0,解得c＝4或c＝－eq\f(15,7)(舍去）,則a＝6,b＝5.又由正弦定理可得，sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝6∶5∶4。故選D。8．D［解析]eq\o(OA,\s\up6（→))·eq\o(OB，\s\up6(→))＝｜eq\o(OA，\s\up6（→)）｜｜eq\o（OB，\s\up6（→))｜c(diǎn)os〈eq\o(OA，\s\up6（→）），eq\o(OB,\s\up6（→））〉＝－5?cos〈eq\o（OA，\s\up6(→）），eq\o（OB,\s\up6（→）)〉＝－eq\f（1，2），∴sin〈eq\o（OA,\s\up6（→）），eq\o(OB,\s\up6（→））〉＝eq\f（\r（3),2),則S＝eq\f（1，2）｜eq\o（OA,\s\up6(→））||eq\o（OB，\s\up6（→））|sin〈eq\o（OA，\s\up6(→）），eq\o（OB,\s\up6（→)）〉＝eq\f(5\r（3）,2)，故選D。9．A［解析]方法一:由余弦定理得2a2＝a2＋b2－2abcos120°b2＋ab－a2＝0，即eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（b，a))）eq\s\up12（2)＋eq\f（b,a)－1＝0,eq\f（b,a）＝eq\f(－1＋\r(5),2)〈1,故b<a。方法二：由余弦定理得2a2＝a2＋b2－2abcos120°，b2＋ab－a2＝0，b2＝a2－ab＝a(a－b)>0，∴a>b.方法三：由c＝eq\r(2）a，∴sinC＝eq\r（2）sinA，∴sin120°＝eq\r（2）sinA.∴sinA＝eq\f(\r(6），4)〉eq\f（1,2）.又A＋B＝60°，∴A>30°，∴A〉B，∴a>b.10。eq\f（\r（6），3）[解析］∵A＋C＝3B且A＋C＋B＝180°，∴B＝45°，由正弦定理得eq\f(\r（3)，sin45°）＝eq\f（2,sinC）,∴sinC＝eq\f(\r（6)，3).11．4eq\r（3)［解析］a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，∴bc≤16，∴S＝eq\f（1,2)bcsinA≤eq\f(1，2)×16×sineq\f（π,3)＝4eq\r（3)。12．150°[解析]由m∥n，∴(a＋b）(sinB－sinA)－sinC(eq\r（3)a＋c）＝0,由正弦定理有（a＋b）（b－a)＝c（eq\r（3)a＋c)，即a2＋c2－b2＝－eq\r（3)ac，再由余弦定理得cosB＝－eq\f(\r（3），2),∴B＝150°.13.eq\f(π,2)［解析］由正弦定理有eq\f(a,sinA）＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c，sinC)，而已知acosB－bcosA＝eq\f（1，2)c，那么sinAcosB－sinBcosA＝eq\f(1,2）sinC，即sin(A－B)＝eq\f(1，2）sinC，則可知0〈sin（A－B)≤eq\f（1,2),而－π〈A－B<π，可解得0<A－B≤eq\f(π，6）或eq\f（5π,6）≤A－B〈π，所以當(dāng)A－B＝eq\f（π，6），即sin(A－B）＝eq\f(1，2）sinC＝eq\f(1，2）時(shí)，tan（A－B）有最大值為eq\f(\r（3）,3).此時(shí)sin（A－B)＝eq\f（1，2)sinC＝eq\f（1,2）,即sinC＝1，解得C＝eq\f(π，2).14．解:（1）由已知2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°，解得B＝60°,所以cosB＝eq\f(1，2)。（2)方法一:由已知b2＝ac，及cosB＝eq\f(1，2),根據(jù)正弦定理得sin2B＝sinAsinC，所以sinAsinC＝1－cos2B＝eq\f（3，4）。解法二：由已知b2＝ac,及cosB＝eq\f(1,2),根據(jù)余弦定理得cosB＝eq\f（a2＋c2－ac,2ac），解得a＝c，所以B＝A＝C＝60°，故sinAsinC＝eq\f（3,4）.15．解:(1）由cos2A＝cos2B－sineq\f（π,3)＋Bcoseq\f（π,6)＋B得cos2A＝cos2B－sineq\f(π，3）cosB＋coseq\f(π，3）sinB·coseq\f(π，6）cosB－sineq\f(π,6）sinB＝cos2B－eq\f（\r(3)，2）cosB＋eq\f（1，2）sinBeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（\r（3)，2）cosB－\f(1,2）sinB))＝cos2B－eq\f(3，4）cos2B－eq\f（1，4)sin2B＝eq\f（1,4)cos2B＋eq\f(1,4)sin2B＝eq\f（1，4)，得cosA＝±eq\f（1,2).又A為銳角,所以A＝eq\f（π,3).(2）由△ABC的面積為6eq\r(3）得eq\f(1,2）bcsinA＝6eq\r(3）.由（1）知A＝eq\f（π，3），所以bc＝24,由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－24，由基本不等式得b2＋c2≥2bc，所以a