第九章 二重積分習(xí)題課

習(xí)題課章二重積分

2021/5/91一基本要求

1.正確理解二重積分

2.了解二重積分的性質(zhì)。

3.熟練掌握二重積分的計(jì)算方法。

(1)直角坐標(biāo)系下(2)極坐標(biāo)系下

(4)問題與注意

5會(huì)用二重積分計(jì)算曲面的面積、立體的體積；以及平面薄片的質(zhì)量；

二典型例題

1.積分換序2.選擇坐標(biāo)系,確定積分限三課堂練習(xí)

1.填空2.選擇3.計(jì)算第六章

重積分

2021/5/92...幾何意義：當(dāng)f(x,y)0時(shí)，(1)(1)式表示：一基本要求特殊情況：若在域D上f(x,y)

1=域D的面積.存在定理：定義：x0y平面上的域D為底的曲頂柱體的體積。以z=f(x,y)為曲頂,...1.二重積分的定義2021/5/932.

二重積分的性質(zhì)比較定理:設(shè)f(x,y),g(x,y)在有界閉域D上可積:估值定理:中值定理:若在域D上，f(x,y)

g(x,y),s是D的面積，則點(diǎn)(,)D,除了一般性質(zhì)，特別要了解比較定理、估值定理、中值定理這三個(gè)性質(zhì)。設(shè)M,m為f(x,y)在D上的最大值和最小值，設(shè)f(x,y)在有界閉域D上連續(xù)，2021/5/943.二重積分的計(jì)算問題：計(jì)算方法：化二重積分為二次積分.(1)根據(jù)什么選擇坐標(biāo)系？根據(jù)被積函數(shù)和積分區(qū)域的特點(diǎn)。(2)根據(jù)什么選擇積分次序？根據(jù)積分區(qū)域D的邊界的特點(diǎn)：原則：分塊盡可能少，并且積分上、下限簡(jiǎn)單；容易根據(jù)第一次積分結(jié)果計(jì)算第二次積分。注意：(1)無論在什么坐標(biāo)系下，轉(zhuǎn)化成二次積分計(jì)算時(shí)，積分的下限要小于積分的上限。(2)靈活運(yùn)用二重積分的性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算過程。(3)善于利用被積函數(shù)在對(duì)稱積分區(qū)域上的奇偶性簡(jiǎn)化計(jì)算。具體如下：2021/5/95二、重積分計(jì)算的基本技巧分塊積分法利用對(duì)稱性1.交換積分順序的方法2.利用對(duì)稱性或重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算3.消去被積函數(shù)絕對(duì)值符號(hào)4.利用重積分換元公式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/96典型例題1.積分換序例1計(jì)算.此題必須換序。因?yàn)樵瘮?shù)不能用初等函數(shù)表示。換序：.2.選擇合適的坐標(biāo)系積分例2計(jì)算極坐標(biāo)系解：2021/5/97(1)若積分區(qū)域D關(guān)于x軸而f(x,y)是y的奇(偶)函數(shù)，則0當(dāng)f(x,–y)=–f(x,y)當(dāng)f(x,–y)=f(x,y)其中D1是D在上半平面的部分..(2)若積分區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱，而f(x,y)是x的奇(偶)函數(shù)，則0當(dāng)f(–x,y)=–f(x,y)當(dāng)f(–x,y)=f(x,y)其中D2是D在右半平面的部分...(3)若D分別關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱，而f(x,y)關(guān)于x,y同時(shí)為偶函數(shù)，則當(dāng)f(–x,y)=f(x,y)且f(x,–y)=f(x,y)其中D3是D在第一象限的部分.對(duì)稱，*證明舉例如下2021/5/98例3例4由對(duì)稱性，設(shè)D1是D在第一象限的部分..oxyD因積分區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱；被積函數(shù)是y的奇函數(shù),..x=12021/5/99例5.

計(jì)算二重積分其中:(1)D為圓域(2)D由直線解:(1)

利用對(duì)稱性.圍成.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/910(2)

積分域如圖:將D分為添加輔助線利用對(duì)稱性,得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/911例6.計(jì)算二重積分其中D是由曲所圍成的平面域.解:其形心坐標(biāo)為:面積為:積分區(qū)域線形心坐標(biāo)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/912例7.計(jì)算二重積分在第一象限部分.解:(1)兩部分,則其中D為圓域把與D分成作輔助線機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/913(2)提示:兩部分說明:若不用對(duì)稱性,需分塊積分以去掉絕對(duì)值符號(hào).作輔助線將D分成機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/914(1)計(jì)算其中D分別為:oxyaa–aD1D2xoy–aoxyaaD1D2oxy2aDaa2aD(a,a)（積分域D關(guān)于y軸對(duì)稱，xy2是x的奇函數(shù)）I=（D關(guān)于x軸對(duì)稱，xy2是y的偶函數(shù)）.（選什么系？）(選什么系?)...三課堂練習(xí)1.填空0I=I=I=（選極坐標(biāo)系）(先對(duì)哪個(gè)變量積分?)(直角系)(先對(duì)x).2021/5/9158

設(shè)D是矩形域：–

x

,–1

y1.則(3)

設(shè)則在極坐標(biāo)下的二次積分為...(4)

交換二次積分的積分順序：(5)...–

1(2)2021/5/9162.選擇(1)則下列關(guān)系式成立的是：(A)

I1

I2(B)

I1

I2(C)

I1<I2(D)

I1>I2答:（）(2)則I滿足（）.(A)(B)(C)(D)(3)(A)(B)(C)(D)1DAB2021/5/9173.計(jì)算(1)(2)(3)2021/5/918謝謝使用返回首頁(yè)習(xí)題課.2021/5/919證明：(1)若積分區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱，而f(x,y)是y的奇(偶)函數(shù)，則0當(dāng)f(x,–y)=–f(x,y)當(dāng)f(x,–y)=f(x,y)其中D1是D在上半平面的部分.設(shè)D=D1+D2其中D2是D在下半平面的部分.oxyD2D1abx0

(x0)–(x0)因?yàn)橛駾關(guān)于x軸對(duì)稱，∴取定x=x0時(shí)，相應(yīng)的D的邊界上的點(diǎn)必互為對(duì)稱點(diǎn)。∴縱坐標(biāo)滿足：原式右邊定積分性質(zhì)證畢.2021/5/920

設(shè)D是矩形域：–

x

,–1

y1.則8

（D關(guān)于x軸對(duì)稱，siny是y的奇函數(shù).）.解：1(2)證畢.2021/5/921則在極坐標(biāo)下的二次積分為.oxy圖形2y=xD1

1x=2...曲邊扇形解：即得答案.(3)證畢.2021/5/922交換二次積分的積分順序：.解：oxy121x+y=1D答案..(4)證畢..2021/5/923–

解：..(5)洛必達(dá)法則證畢.2021/5/924用二重積分估值定理11-1-1o區(qū)域D圖形:區(qū)域D面積:s=2解答(2).2021/5/925解答(3).2021/5/926解答:3.計(jì)算(1)而且必為一個(gè)