平拋運動建模

淺談平拋運動的物理情景建模與有效教學(xué)貴州省大方縣大方一中物理組彭焱芝（2014年獲貴州省教育科學(xué)院、貴州省教育學(xué)會教育教學(xué)科研論文、教學(xué)設(shè)計評選二等獎）內(nèi)容摘要：學(xué)習(xí)物理的過程也是一種建模的過程，學(xué)生之所以覺得物理問題難，往往是沒有建立物理模型，針對物理問題無法著手，分析和解決物理問題就會感覺難上加難，平拋運動的問題，分析方法是通過化曲為直，把運動分解為水平方向勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動，結(jié)合合運動與分運動所具有的同體性、等效性、等時性和獨立性原理進行分析，創(chuàng)設(shè)相應(yīng)的物理情景，問題即可輕松解決，從而提高課堂教學(xué)的有效性。關(guān)鍵詞：平拋運動，建模，水平面，斜面，曲面，豎直面，有效教學(xué)對于平拋運動中的物理情景，可大致分為以下幾種情形：做平拋運動的物體拋在水平面上，拋在斜面上，拋在曲面上，拋在豎直面上；分為以上幾種情形進行建模，可大大提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率；下面就以上幾種問題作具體分析。一、做平拋運動的物體拋在平面上。常見有飛機投彈模型，子彈打靶模型，打乒乓球模型，打網(wǎng)球模型等。例1：一架飛機水平地勻速飛行.從飛機上每隔1s釋放一個鐵球，先后共釋放4個.若不計空氣阻力，從飛機上觀察4個球（）在空中任何時刻總是排成拋物線，它們的落地點是等間距的在空中任何時刻總是排成拋物線，它們的落地點是不等間距的在空中任何時刻總是在飛機正下方排成豎直的直線，它們的落地點是等間距的在空中任何時刻總是在飛機正下方排成豎直的直線，它們的落地點是不等間距的點評：建立飛機投彈模型，可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維，也鞏固了學(xué)生對平拋運動的深刻理解；答案：C例2：如圖1所示，排球場的長為18m，網(wǎng)高2m,運動員站在離網(wǎng)3m遠(yuǎn)的線上，正對網(wǎng)前豎直跳起，把球垂直于網(wǎng)水平擊出，忽略空氣阻力，重力加速度為g。（1） 射擊球點的高度為2.5m，問球被水平擊出時的速度在什么范圍內(nèi)才能使球既不觸網(wǎng)也不出界？3m（2） 若擊球點的高度小于某個值，那么無論球被水平擊出時的速度為多大，球不是觸網(wǎng)就是出界，試求出此高度。3m解析：（1）要球不出界，水平位移不能超過18m圖112m，要不觸網(wǎng)，水平位移應(yīng)大于3m，運動草圖如圖18m圖1x二vt①01h=-gt2②1212.5m2m圖2x二v't③2.5m2m圖2021h=gt2④222其中x=12m,h=2.5m,x=3m,h=0.5m;由①1122②③④并代入數(shù)據(jù)得：v=17m/s,v'=9.5m/s00因此要球既不觸網(wǎng)又不出界，有：9.5m/svvV17m/S。0（2）運動軌跡剛好過網(wǎng)的最高點和邊界點時球的高度為臨界高度，如圖3所示：x二vt⑤101h圖3h=112⑥h圖321x二vt⑦2021h一2=gt2⑧22其中x=12m,x=3m;由⑤⑥⑦⑧并代入數(shù)據(jù)得：12h=2.13m.點評：通過分析這個問題，讓同學(xué)們熟悉有關(guān)臨界問題的狀態(tài)模型在物理中的運用。例3：拋體運動在各類體育運動項目中很常見，如乒乓球運動?，F(xiàn)討論乒乓球發(fā)球問題。設(shè)球臺長2L、網(wǎng)高h(yuǎn),乒乓球反彈前后水平分速度不變，豎直分速度大小不變、方向相反，且不考慮乒乓球的旋轉(zhuǎn)和空氣阻力（設(shè)重力加速度為g）。（1） 若球在球臺邊緣0點正上方高度為h1處以速度V］水平發(fā)出，落在球臺的P］點（如圖4實線所示），求P］點距0點的距離x；（2） 若球在0點正上方以速度v2水平發(fā)出后，恰好在最高點時越過球網(wǎng)落在球臺的P2點（如圖4虛線所示），求V2的大??；（3） 若球在0點正上方水平發(fā)出后，球經(jīng)反彈恰好越過球網(wǎng)且剛好落在對方球臺邊緣P3處，求發(fā)球點距0點的高度h3。h解析：（1）由分運動之間的獨立性與等時性可得：h1h=gt2②121由①②得：2h=v1叫g(shù)圖5圖5（2）由所給條件知整個軌跡可分為三段對稱軌跡，因此整個運動可等效為三段相同的平拋運動過程，由此可得：x=vt③2221h=gt2④222其中h=h,x=L/2;由③④并代入已知量得:22L叵v2 2\2h（3）如圖5所示，借助第（2）問的思維方法可得:x=vt⑤331h= 12⑥323x=vt⑦341h一h=gt2⑧3242其中x=2L/3,x=L-L=L/3;由⑤⑥⑦⑧并代入已知量得：3 4 3h=4h33點評：本題主要通過軌跡的對稱性及等效平拋運動的思維模型進行解決問題使復(fù)雜問題變得簡單化。二、做平拋運動的物體拋在斜面上。一般有兩種拋出模型：對著斜面平拋和在斜面上平拋。例4：一水平拋出的小球落到一傾角為0的斜面上時，其速度方向與斜面垂直，運動軌跡如圖6所示，忽略空氣阻力，重力加速度為g；則小球在豎直方向下落的距離與在水平方向通過的距離之比為多少？解析：方法一，由于是垂直打在斜面上，由合速度與分速度的關(guān)系，可構(gòu)造合速度與分速度中間的矢量三角形，得出兩分速度的關(guān)系如圖7所示，從而得解。1y=gt2tan0=Z③gt

由①②③得：y:x=1:2tan0方法二，由末速度反向延長線過水平位移的中點如圖8所示，可得：1xtan0=——yy:x=1:2tan0點評：通過斜面傾角構(gòu)造合速度與分速度的矢量三角形，建立各速度的關(guān)系，使問題得以解決；也可運用“平拋運動末速度反向延長線過水平位移的中點”此二級結(jié)論進行分析。例5：在傾角為a的斜面上某點A,以水平速度v0拋出一物體，物體落在斜面上B點，如圖9所示，求：（1） 物體在斜面運動的時間？（2） 小球飛行多長時間距離斜面最遠(yuǎn)？最遠(yuǎn)距離是多大？（空氣阻力不計，重力加速度為g）解析：方法一，構(gòu)造位移的矢量三角形，⑴如圖10所示，水平位移x,豎直位移y,得:x二v°t①1y-2gt2②tana=—③x2vtana由①②③得：t=—g2）如圖11所示，離斜面最遠(yuǎn)時末速度與斜面平行，構(gòu)造速度矢量三角形得：gtv0vgtv0圖11tana二亠圖11v0vt='tanag最遠(yuǎn)距離d為:d=(xtana-y)cosav2=—^tan2acosa2g方法二，如圖12所示沿斜面建立平面直角坐標(biāo)系，把初速度和重力加速度投影到坐標(biāo)軸上，分析兩坐標(biāo)軸上的分運動；（1）小球在y軸的分運動做勻減速運動，由離開斜面到再次回到斜面列方程有:

—vsina—vsina二一gcosat002vtana得：t= 0g(2)由離開斜面到據(jù)斜面距離最遠(yuǎn)處列方程有O2—(vsia)2=—2gcoa-d0點評：本題是建立做平拋運動的物體由斜面拋出落回斜面的模型，并讓同學(xué)們初步學(xué)會運用運動的不同分解方法（沿水平和豎直方向分解、沿斜面和垂直于斜面方向分解，也可沿初速度方向和重力方向分解）解決此類問題。三、做平拋運動的物體拋在曲面上。1、做平拋運動的物體拋在圓面上。例6：如圖13所示小球平拋在圓面內(nèi)，已知小球下落高度為h，圓的半徑為R,求小球的初速度？（忽略空氣阻力，重力加速度為g）解析：Vx=R+JR2—h2①h=-gt2②V2v= ③0t由①②③得：\2h由①②③得：\2h00圖14點評：抓住時間由下落高度決定這一規(guī)律，由半徑入手通過幾何關(guān)系，結(jié)合分運動的等時性原理即可求出初速度。2、做平拋運動的物體拋在拋物面上。例7：一質(zhì)量為m的物體以速度v0沿水平方向拋出打在拋物面上。如圖14所示，建立O點為原點坐標(biāo)系Oxy。已知拋出點到0點距離為h，坡面的拋物線方程為y=x2/h，忽略空氣阻力，重力加速度為g。求落到拋物面所用時間及速度？解析：x=vt①01y'=2gt2②h-yy=竺eh由①②③④聯(lián)立得：t二h\：gh+2v2I 2g2h2v=.v2+'0gh+2v20點評：運用平拋運動的知識結(jié)合拋物線（也可是橢圓曲線）的關(guān)系從而使問題得以解決。3、做平拋運動的物體拋在一般曲面上。例8：在同一平臺上的0點拋出的三個物體做平拋運動的軌跡如圖15所示，忽略空氣阻力比較三次所用時間的大小及初速度的大??？1解析：由于h=gt2得：，2u由此可知，時間由下落咼度決定;又由于h>h>h；所以：t>t>t。由于C點水平位移最大，所用時間ABCABC最小，由vo二牛分析可得，拋到C點時水平位移最大，所用時間最短，因此，初速度最大。綜上所述：v<v<v。ABC四、做平拋運動的物體拋在豎直面上。例9：在同一平臺上的0點拋出的三個物體，做平拋運動的軌跡如圖16所示，忽略空氣阻力比較三次所用時間的大小及初速度的大?。縊_解析：時間分析參考例8得，t>t>tABC圖16由于水平位移相同，由v=-分析可得，v<v<v。0t ABC總之，現(xiàn)在的課堂，必須是有效的課堂；教學(xué)，也必須是有效教學(xué)。有效教學(xué)法理論中有幾方面體現(xiàn)在：引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)意向、興趣，明確教學(xué)目標(biāo)；教師要