湖南省長(zhǎng)沙市雅禮教育集團(tuán)2023--2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)能力測(cè)試

2023-2024學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市雅禮教育集團(tuán)九年級(jí)（上）能力測(cè)試數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________第II卷（非選擇題）一、填空題（本大題共16小題，共80.0分）1.下列因式分解正確的是______.(填序號(hào))

①x2-x+14=(x-122.已知a=(35)-13，b=(53)123.關(guān)于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則4.一個(gè)數(shù)x的小數(shù)部分用{x}表示，x-{x}為整數(shù)，且0≤{x}≤1，記9+13，9-5.關(guān)于x的不等式組x>m+35x-2<4x+16.一次函數(shù)y=43x+b(b<0)與y7.函數(shù)y=(a-3)x-1的函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小，下列描述中：①a<3；②函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)為(0,-1)8.我們知道，若ab>0.則有a>0b>0或a<0b<0.如圖，直線(xiàn)y=kx+b與y9.若直線(xiàn)AB：y=23x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B和點(diǎn)A，直線(xiàn)CD：y=-12x+2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D和點(diǎn)C，線(xiàn)段AB與CD的中點(diǎn)分別是M，N，點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)點(diǎn)M的坐標(biāo)為_(kāi)_____；

10.方程x2+ax+1=0和x2-x11.已知關(guān)于x的方程(a-1)x2+2x12.已知實(shí)數(shù)α，β滿(mǎn)足α2+3α-1=0，β2-3β13.有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時(shí)撲捉.把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線(xiàn)或點(diǎn)，模型如圖，∠ABC=90°，點(diǎn)M，N分別在射線(xiàn)BA，BC上，MN長(zhǎng)度始終保持不變.MN=4，E為MN的中點(diǎn)，點(diǎn)D到BA，BC的距離分別為3和2，在此滑動(dòng)過(guò)程中，貓與老鼠的距離DE的最小值為_(kāi)_____14.如圖，在正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF//CD，交AD于F，交對(duì)角線(xiàn)BD于G，取DG的中點(diǎn)H，連接AH，EH，F(xiàn)H.下列結(jié)論：

①FH//AE；

②AH=EH且AH⊥EH；

③∠BAH=∠HEC；

④△EHF≌△AHD；

15.已知x，y，z，a，b均為非零實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足xyx+y=1a316.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的大致圖象如圖所示，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-9a)，下列結(jié)論：

①abc>0；

②4a+2b+c>0；

③9a-b+c=0；

二、解答題（本大題共4小題，共40.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

已知x，y，z為正數(shù)，且x+y+xy=818.(本小題10.0分)

已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D為直線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與B、C重合).以AD為邊作正方形ADEF，連接CF．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上時(shí)，求證：

①BD⊥CF；

②CF=BC-CD．

(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，且點(diǎn)A、F分別在直線(xiàn)BC的兩側(cè)，其它條件不變：

①請(qǐng)直接寫(xiě)出CF、BC、CD三條線(xiàn)段之間的關(guān)系；

②若連接正方形對(duì)角線(xiàn)AE19.(本小題10.0分)

我們不妨約定：對(duì)角線(xiàn)互相垂直的凸四邊形叫做“十字形”．

(1)①在“平行四邊形，矩形，菱形、正方形”中，一定是“十字形”的有______；

②若凸四邊形ABCD是“十字形”，AC=a，BD=b，則該四邊形的面積為_(kāi)_____；

(2)如圖，以“十字形”ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC與BD為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，若計(jì)“十字形”ABCD的面積為S，記△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面積分別為：S1，S2，S3，S4，且同時(shí)滿(mǎn)足四個(gè)條件：①S=S1+S2；②S=S3+S4；③“十字形”ABCD的周長(zhǎng)為32；④∠ABC=60°；若E為OA的中點(diǎn)，20.(本小題10.0分)

如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3(a≠0)與x軸分別交于點(diǎn)A(-1,0)，B(3,0)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

(2)存在正實(shí)數(shù)m，n

答案和解析1.【答案】①

【解析】解：x2-x+14=(x-12)2，則①正確；

a4b-6a3b+9a2b=2.【答案】b>【解析】解：∵a=(35)-13=(53)13=(53)26=6259，3.【答案】k<94且【解析】【分析】

本題考查了根的判別式，根據(jù)方程根的個(gè)數(shù)結(jié)合二次項(xiàng)系數(shù)非0找出關(guān)于k的不等式組是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)根的判別式Δ>0，結(jié)合二次項(xiàng)系數(shù)非0，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式組，解不等式組即可得出結(jié)論．

【解答】

解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴k≠0Δ=4.【答案】-3【解析】解：∵9+13，9-13的小數(shù)部分分別為a，b，

∴a=9+13-9-3=13-3，

b=9-13-5=4-13，

∴ab-5.【答案】-5≤【解析】解：解5x-2<4x+1得：x<3，

∵關(guān)于x的不等式組x>m+35x-2<4x+1的整數(shù)解僅有4個(gè)，

∴-2≤m+3<-16.【答案】-6【解析】解：設(shè)直線(xiàn)y=43x-1與x軸交點(diǎn)為C，與y軸交點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥直線(xiàn)y=43x+b于點(diǎn)D，如圖所示．

∵直線(xiàn)y=43x-1與x軸交點(diǎn)為C，與y軸交點(diǎn)為A，

∴點(diǎn)A(0,-1)，點(diǎn)C(34,0)，

∴OA=1，OC=34，AC=OA2+OC2=54，

∴cos∠ACO=OCAC=35．

∵∠BAD與∠CAO互余，∠ACO與∠CAO互余，

∴∠BAD=∠ACO．

∵AD=3，cos∠BAD=ADAB=35，

∴AB=5．7.【答案】①②④

【解析】解：①∵函數(shù)y=(a-3)x-1的函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小，

∴a-3<0，

∴a<3．

故正確；

②令x=0，則y=-1，所以函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)為(0,-1)．

故正確；

③∵函數(shù)y=(a-3)x-1中的a-3<0，

∴該函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)二、四象限，

又-1<0，

∴該函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)二、三、四象限，

故錯(cuò)誤；

④把x=a+3代入函數(shù)y=(a-3)8.【答案】-0.5<【解析】解：∵不等式(kx+b)(mx+n)>0，

∴kx+b>0mx+n>0或kx+b<0mx+n<0．

當(dāng)kx+b>0mx+n9.【答案】(-3,2)

(1【解析】解：(1)直線(xiàn)AB：y=23x+4中，

當(dāng)x=0時(shí)，y=4，當(dāng)y=0時(shí)，x=6，

∴A(0,4)，B(-6,0)，

∴0-62=-3，4+02=2，

∴M(-3,2)，

故答案為：(-3,2)；

(2)直線(xiàn)CD：y=-12x+2中，

當(dāng)x=0時(shí)，y=2，當(dāng)y=0時(shí)，x=4，

∴C(0,2)，D(4,0)，

∴0+42=2，2+02=1，

∴N(2,1)，

如圖，作M關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M'，它的坐標(biāo)(-3,-2)，連接M'N與x軸交于點(diǎn)P'，此時(shí)P'M+P'N=P'M'+P'N=M'N有最小值，

設(shè)直線(xiàn)M'N的解析式為y=kx+b，

將M'和N的坐標(biāo)分別代入得-10.【答案】2

【解析】解：∵方程x2+ax+1=0和x2-x-a=0有一個(gè)公共根，

∴(a+1)x+a+1=0，

∴(a+1)(x+1)=0，

解得，x=-1，

當(dāng)x=-111.【答案】1，-1，0，2，3【解析】解：①當(dāng)a=1時(shí)，x=1；

②當(dāng)a≠1時(shí)，原式可以整理為：[(a-1)x+a+1](x-1)=0，

易知x=1是方程的一個(gè)整數(shù)根，

再由x=a+11-a=-1+21-a且x是整數(shù)，知1-a=±1或±2，

∴a=-1，0，212.【答案】10

【解析】解：根據(jù)題意知，α≠0．

在α2+3α-1=0的兩邊同時(shí)除以-α2得到：1α2-3α-1=0，

∴1α、β是關(guān)于x的方程x2-3x-1=0的兩個(gè)根，

∴1α+β=3βα=-1．13.【答案】13【解析】解：連接BE，BD，

由勾股定理得：BD=32+22=13，

在Rt△MBN中，點(diǎn)E是MN的中點(diǎn)，

∴BE=12MN=2，

∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以B為圓心，2為半徑的弧，

∴當(dāng)點(diǎn)E落在線(xiàn)段BD上時(shí)，DE的值最小，

∴DE的最小值為：13-2，

故答案為：1314.【答案】②③④

【解析】解：①在正方形ABCD中，∠ADC=∠C=90°，∠ADB=45°，

∵EF/?/CD，

∴∠EFD=90°，

∴四邊形EFDC為矩形，

在Rt△FDG中，∠FDG=45°，

∴FD=FG，

∵H是DG中點(diǎn)，

∴FH⊥BD，

∵正方形對(duì)角線(xiàn)互相垂直，過(guò)A點(diǎn)只能有一條垂直于BD的直線(xiàn)，

∴AE不垂直于BD，

∴FH與AE不平行．

∴①不正確；

②∵四邊形ABEF是矩形，

∴AF=EB，∠BEF=90°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠EBG=∠EGB=45°，

∴BE=GE，

∴AF=EG．

在Rt△FGD中，H是DG的中點(diǎn)，

∴FH=GH，F(xiàn)H⊥BD，

∴∠AFH=∠AFE+∠GFH=90°+45°=135°，

∠EGH=180°-∠EGB=180°-45°=135°，

∴∠AFH=∠EGH，

∴△AFH≌△EGH(SAS)，

∴AH=EH，∠AHF=∠EHG，

∴∠AHF+AHG=∠EHG+∠AHG，

即∠FHG=∠AHE=90°，

∴AH⊥EH．

∴②正確；

③∵△AFH≌△EGH，

∴∠FAH=∠GEH，

∵∠BAF=∠CEG=90°，

∴∠BAH=∠15.【答案】3

【解析】解：∵xyx+y=1a3-b3,yzy+16.【答案】②③④⑤

【解析】解：∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-9a)，

∴y=a(x+2)2-9a=ax2+4ax-5a，

∵拋物線(xiàn)的開(kāi)口向上，

∴a>0，

∴b=4a>0，c=-5a<0，

∴abc<0，所以①錯(cuò)誤；

當(dāng)y=0時(shí)，ax2+4ax-5a=0，解得x1=-5，x2=1，

∴拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-5,0)，(1,0)，

∵x=2時(shí)，y>0，

∴4a+2b+c>0，所以②正確；

∵5a-b+c=5a-4a-5a=-4a，

∴9a-b+c=0，所以③正確；

∵方程a(x+5)(x-1)=-1有兩個(gè)根x1和x2，

∴拋物線(xiàn)y=a(x+5)(x-1)與直線(xiàn)y=-1有兩個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1和x2，

∴-5<x1<x2<1，所以④正確；

∵方程|ax2+bx+c|=1有四個(gè)根，

∴方程ax2+bx+c=1有2個(gè)根，方程ax2+bx+c=-1有2個(gè)根，

∴所有根之和為2×(-17.【答案】解：∵x+y+xy=8，

∴x+y+xy+1=8+1=9，

∴(x+1)(y+1)=9，

同理可得：【解析】根據(jù)ab+a+b+1=(a+1)(b+1)，把每一個(gè)方程變形，然后進(jìn)行因式分解，分別求出x18.【答案】(1)證明：①∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵四邊形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°，

∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，4∠DAF=∠CAF+∠DAC=90，

∴∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中，

AB=AC，

∴△BAD≌△CAF(SAS)，

∴∠ACF=∠ABD=45°，

∴∠ACF+∠ACB=90°，

∴BD⊥CF；

②由①△BAD≌△CAF可得BD=CF，

∵BD=BC-CD，

∴CF=BC-CD；

(2)解：①與(1)【解析】(1)①△ABC是等腰直角三角形，利用“SAS”即可證明△BAD≌△CAF，得出∠ACF=∠ABD=45°，即可得答案；

②由△BAD≌△CAF得出BD=CF，即可得出故答案；

(2)與(1)相同，可證明BD=CF，又點(diǎn)D、B、C共線(xiàn)，故：CD=19.【答案】正方形，菱形

12【解析】解：(1)①∵正方形，菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直，

則正方形、菱形是“十字形”，

故答案為：正方形，菱形；

②如圖1中，∵四邊形ABCD是“十字形”．

∴AC⊥BD，

則四邊形ABCD的面積=S△ABD+S△BDC=12BD?(OA+OC)=12BD?AC=12ab，

故答案為12ab；

(2)當(dāng)S=S1+S2，S=S3+S4，S=S1+S2+S3+S4時(shí)，

∴S=S1+2S1S2+S2，S=S3+2S3S4+S4，

∴S3+S4=2S1S2，S1+S2=2S3S4，

∵四邊形ABCD中，AC⊥BD，

∴S1S2=S3S4，

∴S3+S4=2S3S4，

∴S32+2S3S4+S42=4S3S4，

∴(S3-S4)2=0，

∴S3=S4，

同法可證S1=20.【答案】解：(Ⅰ)∵拋物線(xiàn)y=ax2+b