應(yīng)用時(shí)間序列分析

白鵬)于是，當(dāng)充分大時(shí)，實(shí)值連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖像具有如下形狀:(1)在每個(gè)的鄰域內(nèi)有一峰群,其最高峰的高度大于.最高峰下面隱藏著.(2)峰群個(gè)數(shù)就是角頻率個(gè)數(shù)的估計(jì).時(shí)間序列的譜估計(jì)§8.1平穩(wěn)序列的譜表示A.隨機(jī)積分定義1.1設(shè)是方差有限的零均值復(fù)值時(shí)間序列,若則稱是正交增量過程.定義1.2設(shè)是一過程,若則稱是右連續(xù)的.定理1.1設(shè)是一右連續(xù)的正交增量過程,,則有上唯一的分布函數(shù)(即為上的單調(diào)不減,右連續(xù)的非負(fù)有界函數(shù)),致 證明:令 則為上的非負(fù)有界函數(shù),且對(duì),有 這說明了在上單調(diào)不減.而由 及的右連續(xù)性可知,即在上右連續(xù).?當(dāng)是由定理1.1中確定的分布函數(shù)時(shí),記 (1.1)下面對(duì),定義隨機(jī)積分 A1當(dāng)是階梯函數(shù) (1.2)其中,為復(fù)常數(shù),定義的隨機(jī)積分為 (1.3)A2以表示形如(1.2)的上階梯函數(shù)的全體 (1.4)對(duì)于復(fù)常數(shù)和，有,且有和,致 從而 (1.5)故由A1知 (1.6) (1.7)在(1.7)中取均為可得 (1.8)A3對(duì),有中的階梯函數(shù)序列,致 注意到 因此由Cauchy定理知,隨機(jī)變量序列均方收斂于某一隨機(jī)變量,稱其為的隨機(jī)積分,記為 可以證明不依賴于的選取.其實(shí),若又有中的階梯函數(shù)序列,致 則由(1.8)知故也是在均方收斂意義下的極限.定理1.2設(shè)是一右連續(xù)的零均值正交增量過程,,相應(yīng)的分布函數(shù).對(duì)于,有(1)(2)(3)(4)證明:從略.?B.平穩(wěn)序列的譜表示定理1.3(平穩(wěn)序列的譜表示)設(shè)為一零均值平穩(wěn)序列,則有唯一右連續(xù)的零均值正交增量過程,,致 且相應(yīng)于的分布函數(shù)是的譜分布函數(shù).設(shè)是獨(dú)立增量過程,,且 即是上的Brown運(yùn)動(dòng).是一零均值正交增量過程,相應(yīng)的分布函數(shù)為.定義平穩(wěn)序列如下: 則有譜分布函數(shù)和譜密度函數(shù).因此,是白噪聲.B.線性平穩(wěn)序列的譜表示設(shè),由定理1.3知,有唯一右連續(xù)的零均值正交增量過程,,致 且的譜分布函數(shù)為 設(shè)是由下式定義的線性平穩(wěn)序列: 其中平方可和,則有以下譜密度和譜分布: 故 其中 參考文獻(xiàn)[1]嚴(yán)士健,王雋驤.概率論基礎(chǔ),科學(xué)出版社,1997.[2]HallPandHeydeCC.MartingaleLimitTheoryandItsApplication.NewYork:AcademicPress,1980.[3]HeShuyuan.Anoteonasymptoticnormalityofsampleautocorrelationsforalinearstationaryseq