中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題模擬匯編經(jīng)典和答案解析1

中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題模擬匯編經(jīng)典和答案解析1一、中考幾何壓軸題1．綜合與實(shí)踐動(dòng)手實(shí)踐：一次數(shù)學(xué)興趣活動(dòng)，張老師將等腰的直角頂點(diǎn)與正方形的頂點(diǎn)重合（），按如圖（1）所示重疊在一起，使點(diǎn)在邊上，連接．則可證：______，______三點(diǎn)共線；發(fā)現(xiàn)問題：（1）如圖（2），已知正方形，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，，交的延長(zhǎng)線于，連結(jié)交于點(diǎn)．若，則______，______；嘗試探究：（2）如圖（3），在（1）的條件下若，求證：；拓展延伸：（3）如圖（4），在（1）的條件下，當(dāng)______時(shí)，為的6倍（直接寫結(jié)果，不要求證明）．2．（問題發(fā)現(xiàn)）（1）如圖1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合）將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連結(jié)EC，則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（探究證明）（2）如圖2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C，D，E在同一直線時(shí)，BD與CE具有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由；（拓展延伸）（3）如圖3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，將△ACD繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)E，設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠CAE為α（0°＜α＜360°），當(dāng)點(diǎn)C，D，E在同一直線時(shí)，畫出圖形，并求出線段BE的長(zhǎng)度．3．在中，，點(diǎn)D?E分別是的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度，連接．觀察猜想（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，填空：①______________；②直線所夾銳角為____________；類比探究（2）如圖②，當(dāng)時(shí)，試判斷的值及直線所夾銳角的度數(shù)，并說明理由；拓展應(yīng)用（3）在（2）的條件下，若，將繞著點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D落在射線AC上時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．4．某數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組在學(xué)習(xí)了勾股定理之后，針對(duì)圖1中所示的“由直角三角形三邊向外側(cè)作多邊形，它們的面積之間的關(guān)系問題”進(jìn)行了以下探究：類比探究：（1）如圖2，在中，為斜邊，分別以為直徑，向外側(cè)作半圓，則面積之間的關(guān)系式為_____________；推廣驗(yàn)證：（2）如圖3，在中，為斜邊，分別以為邊向外側(cè)作，，滿足，則（1）中所得關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說明理由；拓展應(yīng)用：（3）如圖4，在五邊形中，，點(diǎn)在上，，求五邊形的面積．5．《函數(shù)的圖象與性質(zhì)》拓展學(xué)習(xí)展示：（問題）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：與軸相交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，則______，______．（操作）將圖①中拋物線沿方向平移長(zhǎng)度的距離得到拋物線，在軸左側(cè)的部分與在軸右側(cè)的部分組成的新圖象記為，如圖②．請(qǐng)直接寫出圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．（探究）在圖②中，過點(diǎn)作直線平行于軸，與圖象交于，兩點(diǎn)，如圖③．求出圖象在直線上方的部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)隨的增大而增大時(shí)的取值范圍．（應(yīng)用）是拋物線對(duì)稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)是直角三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．6．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，直線BD，CE交于點(diǎn)F，直線BD，AC交于點(diǎn)G．則線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）類比探究如圖2，在△ABC和△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，直線BD，CE交于點(diǎn)F，AC與BD相交于點(diǎn)G．若AB＝kAC，試判斷線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系以及直線BD和CE相交所成的較小角的度數(shù)，并說明理由；（3）拓展延伸如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3.0），點(diǎn)N為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接MN．將線段MN繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段MP，連接NP，OP．請(qǐng)直接寫出線段OP長(zhǎng)度的最小值及此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．7．問題探究：（1）如圖①，已知在△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，則AB的最大值是．（2）如圖②，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且AD＝2，BD＝2．，CD＝6，請(qǐng)求出∠ADB的度數(shù)．問題解決：（3）如圖③，某戶外拓展基地計(jì)劃在一處空地上修建一個(gè)新的拓展游戲區(qū)△ABC，且AB＝AC．∠BAC＝120°，點(diǎn)A、B、C分別是三個(gè)任務(wù)點(diǎn)，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一個(gè)打卡點(diǎn)．按照設(shè)計(jì)要求，CP＝30米，打卡點(diǎn)P對(duì)任務(wù)點(diǎn)A、B的張角為120°，即∠APB＝120°．為保證游戲效果，需要A、P的距離與B、P的距離和盡可能大，試求出AP+BP的最大值．8．（1）問題探究：如圖1，在正方形中，點(diǎn)、、分別是、、上的點(diǎn)，且，求證：；（2）類比應(yīng)用：如圖2，在矩形中，，，將矩形沿折疊使點(diǎn)落在點(diǎn)處，得到矩形．①若點(diǎn)為的中點(diǎn)，試探究與的數(shù)量關(guān)系；②拓展延伸：連，當(dāng)時(shí)，，，求的長(zhǎng)．9．（1）（問題發(fā)現(xiàn)）如圖①，正方形的兩邊分別在正方形的邊和上，連接．填空：①線段與的數(shù)量關(guān)系為______；②直線與所夾銳角的度數(shù)為_______．（2）（拓展探究）如圖②，將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)利用圖②進(jìn)行說明．（3）（解決問題）如圖③，在正方形中，，點(diǎn)M為直線上異于B，C的一點(diǎn)，以為邊作正方形，點(diǎn)N為正方形的中心，連接，若，直接寫出的長(zhǎng)．10．（問題探究）（1）如圖1，△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)B，D，E在同一直線上，連接AD，BD．①請(qǐng)?zhí)骄緼D與BD之間的位置關(guān)系？并加以證明．②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，求線段AD的長(zhǎng)．（拓展延伸）（2）如圖2，△ABC和△DEC均為直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．將△DCE繞點(diǎn)C在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠BCD為α（0°≤α＜360°），作直線BD，連接AD，當(dāng)點(diǎn)B，D，E在同一直線上時(shí)，畫出圖形，并求線段AD的長(zhǎng)．11．[探索發(fā)現(xiàn)]（1）如圖①，△ABC與△ADE為等腰三角形，且兩頂角∠ABC＝∠ADE，連接BD與CE，則△ABD與△ACE的關(guān)系是；[操作探究]（2）在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝100°，D是BC的中點(diǎn)，在線段AD上任取一點(diǎn)P，連接PB，將線段PB繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)80°，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E，連接BE，得到△BPE，隨著點(diǎn)P在線段AD上位置的變化，點(diǎn)E的位置也在變化，點(diǎn)E可能在直線AD的左側(cè)，也可能在直線AD上，還可能在直線AD的右側(cè)．請(qǐng)你探究，當(dāng)點(diǎn)E在直線AD上時(shí)，如圖②所示，連接CE，判斷直線CE與直線AB的位置關(guān)系，并說明理由．[拓展應(yīng)用]（3）在（2）的應(yīng)用下，請(qǐng)?jiān)趫D③中畫出△BPE，使得點(diǎn)E在直線AD的右側(cè)，連接CE，試求出點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AE的最小值．12．綜合與實(shí)踐操作探究（1）如圖1，將矩形折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，與交于點(diǎn)．請(qǐng)回答下列問題：①與全等的三角形為______，與相似的三角形為______．并證明你的結(jié)論：（相似比不為1，只填一個(gè)即可）：②若連接、，請(qǐng)判斷四邊形的形狀：______．并證明你的結(jié)論；拓展延伸（2）如圖2，矩形中，，，點(diǎn)、分別在、邊上，且，將矩形折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，與交于點(diǎn)，連接．①設(shè)，，則與的數(shù)量關(guān)系為______；②設(shè)，，請(qǐng)用含的式子表示：______；③的最小值為______．13．已知：，過平面內(nèi)一點(diǎn)分別向、、畫垂線，垂足分別為、、．（問題引入）如圖①，當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，求證：．（類比探究）（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部，點(diǎn)在射線上時(shí)，求證：．（2）當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部，點(diǎn)在射線的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，在圖③中畫出示意圖，并直接寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．（知識(shí)拓展）如圖④，、、是的三條弦，都經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)，且．判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．14．探究：如圖1和圖2，四邊形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，∠EAF＝45°．（1）①如圖1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，直接寫出線段BE、DF和EF之間的數(shù)量關(guān)系；②如圖2，若∠B、∠D都不是直角，但滿足∠B+∠D＝180°，線段BE、DF和EF之間的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由．（2）拓展：如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．點(diǎn)D、E均在邊BC邊上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的長(zhǎng)．15．（1）問題探究：如圖1所示，有公共頂點(diǎn)A的兩個(gè)正方形ABCD和正方形AEFG．AE＜AB，連接BE與DG，請(qǐng)判斷線段BE與線段DG之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．并請(qǐng)說明理由．（2）理解應(yīng)用：如圖2所示，有公共頂點(diǎn)A的兩個(gè)正方形ABCD和正方形AEFG，AE＜AB，AB＝10，將正方形AEFG繞點(diǎn)A在平面內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠ABE＝15°，且點(diǎn)D、E、G三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出AE的長(zhǎng)；（3）拓展應(yīng)用：如圖3所示，有公共頂點(diǎn)A的兩個(gè)矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，將矩形AEFG繞點(diǎn)A在平面內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，連接BD，DE，點(diǎn)M，N分別是BD，DE的中點(diǎn)，連接MN，當(dāng)點(diǎn)D、E、G三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出MN的長(zhǎng)16．如圖（1），已知點(diǎn)在正方形的對(duì)角線上，垂足為點(diǎn)，垂足為點(diǎn)．（1）證明與推斷：求證：四邊形是正方形；推斷：的值為__；（2）探究與證明：將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角，如圖（2）所示，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展與運(yùn)用：若，正方形在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，則．17．如圖1，已知，，點(diǎn)D在上，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，（1）猜想：線段與的數(shù)量關(guān)系為_____；（2）探究：若將圖1的繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)小于時(shí)，得到圖2，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，則（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）拓展：圖1中，過點(diǎn)E作，垂足為點(diǎn)G．當(dāng)?shù)拇笮“l(fā)生變化，其它條件不變時(shí)，若，，直接寫出的長(zhǎng)．18．如圖（1），在矩形中，，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，四邊形為矩形，連接．（1）問題發(fā)現(xiàn)在圖（1）中，_________；（2）拓展探究將圖（1）中的矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，的大小有無變化？請(qǐng)僅就圖（2）的情形給出證明；（3）問題解決當(dāng)矩形旋轉(zhuǎn)至三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．19．如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)．（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）探究證明：把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸：把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝4，AB＝10，請(qǐng)直接寫出△PMN面積的最大值．20．綜合與實(shí)踐背景閱讀：“旋轉(zhuǎn)”即物體繞一個(gè)點(diǎn)或一個(gè)軸做圓周運(yùn)動(dòng)．在中國(guó)古典專著《百喻經(jīng)·口誦乘船法而不解用喻》中記載：“船盤回旋轉(zhuǎn)，不能前進(jìn)．”而圖形旋轉(zhuǎn)即：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一點(diǎn)按某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的運(yùn)動(dòng)叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角．綜合實(shí)踐課上，“睿智”小組專門探究了正方形的旋轉(zhuǎn)，情況如下：在正方形中，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到正方形（點(diǎn)，，，分別是點(diǎn)，，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）．設(shè)旋轉(zhuǎn)角為（）．操作猜想：（1）如圖1，若點(diǎn)是中點(diǎn)，在正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，連接，，，則線段與的數(shù)量關(guān)系是_______；線段與的數(shù)量關(guān)系是________．探究驗(yàn)證：（2）如圖2，在（1）的條件下，在正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，順次連接點(diǎn)，，，，．判斷四邊形的形狀，并說明理由．拓展延伸：（3）如圖3，若，在正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程中，設(shè)直線交線段于點(diǎn)．連接，并過點(diǎn)作于點(diǎn)．請(qǐng)你補(bǔ)全圖形，并直接寫出的值．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、中考幾何壓軸題1．動(dòng)手實(shí)踐：，、、；（1）5，10；（2）見解析；（3）【分析】動(dòng)手實(shí)踐：由等腰Rt△AEF與正方形ABCD可得AF=AE，AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°，可得出∠BAF=∠DAE，即可得解析：動(dòng)手實(shí)踐：，、、；（1）5，10；（2）見解析；（3）【分析】動(dòng)手實(shí)踐：由等腰Rt△AEF與正方形ABCD可得AF=AE，AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°，可得出∠BAF=∠DAE，即可得△ADE≌△ABF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠ABF=∠D=90°，則∠ABF+∠ABC=180°，即F、B、C三點(diǎn)共線；（1）若n=2，則DC=2DE，即點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，可證出△ADE≌△ABF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得FB=DE=CD=AB，再證出△FBG∽△FCE，可得，可得BG=CE=AB，即可得出，根據(jù)三角形的面積公式分別表示S△AGE和S△BGF，即可得出S△AGE和S△BGF的比值；（2）若n=3，則DC=3DE，由（1）得△ADE≌△ABF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得FB=DE=CD=AB，再證出△FBG∽△FCE，可得，可得4BG=CE=AB，可得出BG==AB，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)AG為GB的6倍得AG=6GB，則AG=AB=CD，BG=CD，由（1）得△FBG∽△FCE，則，可得出BG?FC=EC?FB，即CD（BF+BC）=（DC-DE）BF，設(shè)CD=x，DE=a，由DE=BF，BC=CD可得x2-6ax+7a2=0，解得：x=（3+）a，或x=（3-）a，即CD=（3+）DE，或CD=（3-）DE，n=3+或3-．【詳解】解：動(dòng)手實(shí)踐：∵等腰Rt△AEF與正方形ABCD，∴AF=AE，AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°，∴∠BAF=∠DAE，∴△ADE≌△ABF，∴∠ABF=∠D=90°，∴∠ABF+∠ABC=180°，即F、B、C三點(diǎn)共線，故答案為：ABF，F(xiàn)、B、C；（1）若n=2，則DC=2DE，即點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，：∵等腰Rt△AEF與正方形ABCD，∴AF=AE，AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°，∴∠BAF=∠DAE，∴△ADE≌△ABF，∴FB=DE=CD=AB，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴△FBG∽△FCE，∴，∴BG=CE=AB，∴AG=AB-BG=AB，∴，∵S△AGE=AG?BC=×AB×AB=AB2，S△BGF=BG?BF=×AB×AB=AB2，∴，故答案為：5，10；（2）證明：若n=3，則DC=3DE，由（1）得△ADE≌△ABF，∴FB=DE=CD=AB，由（1）得△FBG∽△FCE，∴，∴4BG=CE=AB，∴BG=AB，∴AG=AB-BG=AB，∴AG=5GB；（3）∵AG為GB的6倍，∴AG=6GB，∴AG=AB=CD，BG=CD，由（1）得△FBG∽△FCE，∴，∴BG?FC=EC?FB，即CD（BF+BC）=（DC-DE）BF，設(shè)CD=x，DE=a，∵DE=BF，BC=CD，∴x（a+x）=（x-a）a，整理得：x2-6ax+7a2=0，解得：x=（3+）a，或x=（3-）a，即CD=（3+）DE，或CD=（3-）DE，∴n=3+或3-．故答案為：3+或3-．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題．2．（1）BD＝CE，BD⊥CE；（2）BD⊥CE，理由見解析；（3）畫出圖形見解析，線段BE的長(zhǎng)度為．【分析】（1）由題意易得AD=AE，∠CAE=∠BAD，從而可證△ABD≌△ACE，然后根據(jù)三解析：（1）BD＝CE，BD⊥CE；（2）BD⊥CE，理由見解析；（3）畫出圖形見解析，線段BE的長(zhǎng)度為．【分析】（1）由題意易得AD=AE，∠CAE=∠BAD，從而可證△ABD≌△ACE，然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可求解；（2）連接BD，由題意易得∠BAD=∠CAE，進(jìn)而可證△BAD≌△CAE，最后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)及角的等量關(guān)系可求證；（3）如圖，過A作AF⊥EC，由題意可知Rt△ABC∽R(shí)t△AED，∠BAC＝∠EAD＝90°，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及題意易證△BAE∽△CAD，最后根據(jù)勾股定理及等積法進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠BCE＝45°+45°＝90°，故答案為：BD＝CE，BD⊥CE；（2）BD⊥CE，理由：如圖2，連接BD，∵在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠AEC＝45°，∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AC＝AB，AE＝AD，∴△CEA≌△BDA（SAS），∴∠BDA＝∠AEC＝45°，∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°，∴BD⊥CE；（3）如圖3，過A作AF⊥EC，由題意可知Rt△ABC∽R(shí)t△AED，∠BAC＝∠EAD＝90°，∴，即，∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，∴∠ABE＝∠ACD，∵∠BEC＝180°﹣（∠CBE+∠BCE）＝180°﹣（∠CBA+∠ABE+∠BCE）＝180°﹣（∠CBA+∠ACD+∠BCE）＝90°，∴BE⊥CE，在Rt△BCD中，BC＝2CD＝4，∴BD＝，∵AC⊥BD，∴S△BCD＝AC?BD＝BC?AC，∴AC＝AE＝，AD＝，∴AF=，CE＝2CF＝2×，∴BE＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定及相似三角形的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到三角形的全等，然后利用全等三角形的性質(zhì)得到相似三角形，進(jìn)而求解．3．（1）①1，②；（2）直線所夾銳角為，見解析；（3）滿足條件的的值為【分析】（1）①②延長(zhǎng)BD交AE的延長(zhǎng)線于T，BT交AC于O．證明即可解決問題．（2）如圖②中，設(shè)AC交BD于O，AE交BD解析：（1）①1，②；（2）直線所夾銳角為，見解析；（3）滿足條件的的值為【分析】（1）①②延長(zhǎng)BD交AE的延長(zhǎng)線于T，BT交AC于O．證明即可解決問題．（2）如圖②中，設(shè)AC交BD于O，AE交BD于T．證明，推出，可得結(jié)論．（3）分兩種情形：①如圖③-1中，當(dāng)點(diǎn)D落在線段AC上時(shí)，作于H．②如圖③-2中，當(dāng)點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，分別利用勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）如圖①中，延長(zhǎng)BD交AE的延長(zhǎng)線于T，BT交AC于O．，是等邊三角形，，，，，，，，，∴直線所夾銳角為，故答案為1，．（2）如圖②中，設(shè)AC交于O，AE交于T．，是等腰直角三角形，，，，，，，，，∴直線所夾銳角為．（3）①如圖③-1中，當(dāng)點(diǎn)D落在線段AC上時(shí)，作于H．由題意，，，，，在中，②如圖③-2中，當(dāng)點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，同法可得，綜上所述，滿足條件的的值為．【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．4．（1）S1+S2=S3，(2)成立，證明見解析，（3）【分析】（1）分別寫出三個(gè)半圓的面積，再利用勾股定理轉(zhuǎn)化即可．（2）先證明三個(gè)三角形相似，再計(jì)算出三個(gè)三角形的面積，即可得出結(jié)論．（3）解析：（1）S1+S2=S3，(2)成立，證明見解析，（3）【分析】（1）分別寫出三個(gè)半圓的面積，再利用勾股定理轉(zhuǎn)化即可．（2）先證明三個(gè)三角形相似，再計(jì)算出三個(gè)三角形的面積，即可得出結(jié)論．（3）先添加輔助線，在第二問的思路下，先證明三個(gè)三角形相似，得出三個(gè)三角形的面積關(guān)系，再利用30°、45°的直角三角形計(jì)算出相應(yīng)的邊，計(jì)算出五邊形的面積即可．【詳解】解：（1）設(shè)AB=b,AC=a,BC=c.則有：所以在Rt△ABC中，有a2+b2=c2，且故答案為：S1+S2=S3（2）∵∴設(shè)AB、AC、BC邊上的高分別為h1，h2，h3∴，設(shè)AB=b,AC=a,BC=c則∴又在Rt△ABC中，有a2+b2=c2∴故依然成立（3）連接PD、BD，作AF⊥BP，EM⊥PD∵∠ABP=30°，∠BAP=105°∴∠APB=45°在Rt△ABF中，AF=AB=,BF=3,在Rt△AFP中,AF=PF=,則AP=，∵∠A=∠E,∴△ABP∽△EDP∴∠EPD=45°∠EDP=30°∴∠BPD=90°又PE=∴PM=EM=1,MD=則PD=1+∴=所以五邊形的面積為：【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、與勾股定理有關(guān)的圖形問題、相似三角形．是中考的?？贾R(shí)．5．【問題】，1；【操作】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；【探究】或；【應(yīng)用】點(diǎn)的坐標(biāo)為：或【分析】問題:即可求解；操作：拋物線G1沿BC方向平移BC長(zhǎng)度的距離得到拋物線G2，相當(dāng)于拋物線向左平移3個(gè)單位，向上平解析：【問題】，1；【操作】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；【探究】或；【應(yīng)用】點(diǎn)的坐標(biāo)為：或【分析】問題:即可求解；操作：拋物線G1沿BC方向平移BC長(zhǎng)度的距離得到拋物線G2，相當(dāng)于拋物線向左平移3個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，即可求解；探究：將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式，求出G1、G2的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解；應(yīng)用：證明∠EPN=∠MDP，利用tan∠EPN=tan∠MDP，即可求解．【詳解】解：?jiǎn)栴}：，解得：，，故答案為：，1；操作：拋物線沿方向平移長(zhǎng)度的距離得到拋物線，相當(dāng)于拋物線向左平移3個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，：，：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；探究：點(diǎn)的坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí)，，解得：，，∴，當(dāng)時(shí)，，解得：，，∴，∵，，∴拋物線的頂點(diǎn)為，拋物線的頂點(diǎn)為，∴或時(shí)，函數(shù)隨的增大而增大；應(yīng)用：如圖，過點(diǎn)作軸的平行線交過點(diǎn)與軸的垂線于點(diǎn)，交過點(diǎn)與軸的垂直的直線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則，，，，∵，，∴，∴，即，即，解得：，故點(diǎn)的坐標(biāo)為：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及解直角三角形、圖形的平移等，具有一定的綜合性，關(guān)鍵在于根據(jù)題意作出圖形進(jìn)行解答．6．（1）BD＝CE，BD⊥CE，理由見詳解；（2）AB=kAC，180°-α-β；（3）N(0，3)，OP的最小值為3【分析】（1）先證明△ABD≌△ACE，從而得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE解析：（1）BD＝CE，BD⊥CE，理由見詳解；（2）AB=kAC，180°-α-β；（3）N(0，3)，OP的最小值為3【分析】（1）先證明△ABD≌△ACE，從而得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，結(jié)合∠AGB＝∠FGC，即可得到結(jié)論；（2）先證明ABCADE，從而得，結(jié)合∠BAD=∠CAE，可得BADCAE，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（3）把OPM繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到（與N重合），則，，(3，3)，，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：（1）BD＝CE，BD⊥CE，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∵∠BAD＝∠BAC?∠DAC，∠CAE＝∠DAE?∠DAC∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠AGB＝∠FGC，∴∠CFG＝∠BAG＝90°，即BD⊥CE，故答案是：BD＝CE，BD⊥CE；（2）∵∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，∴ABCADE，∴，∵∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∴BADCAE，∴∠ABD=∠ACE，又∵∠AGB＝∠FGC，∴∠BFC=∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-α-β，∴AB=kAC，直線BD和CE相交所成的較小角的度數(shù)為：180°-α-β；（3）由題意得：MN=MP，∠NMP=90°，把OPM繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到（與N重合），則，，∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0），∴(3，3)∵OPM，∴，即線段OP長(zhǎng)度最小時(shí)，的長(zhǎng)度最小，∴當(dāng)⊥y軸時(shí)，的長(zhǎng)度最小，此時(shí)(0，3)，∴N(0，3)，OP的最小值為3.【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，通過旋轉(zhuǎn)變換，構(gòu)造相似三角形或全等三角形，是解題的關(guān)鍵．7．（1）4（2）135°（3）PA+PB的最大值為米【分析】（1）作△ABC的外接圓，連接OA，OB，OC，求出OA=OB=OC=2，可得結(jié)論；（2）將△ABD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBT解析：（1）4（2）135°（3）PA+PB的最大值為米【分析】（1）作△ABC的外接圓，連接OA，OB，OC，求出OA=OB=OC=2，可得結(jié)論；（2）將△ABD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBT，連接DT，利用勾股定理的逆定理證明∠CTD＝90°，可得結(jié)論；（3）將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACK，延長(zhǎng)CK交PA延長(zhǎng)線于J，作△PJC的外接圓，連接OP，OC，OJ，證明PA+PB=JC，再求出JC的最大值即可求解．【詳解】（1）如圖①，作△ABC的外接圓，連接OA，OB，OC，∵∠BOC=2∠BAC＝90°，OB=OC∴△OBC是等腰直角三角形∵BC=4∴OB=OC=2=OA∵AB≤OA+OB∴AB≤4∴AB的最大值為4故答案為：4；（2）如圖②，將△ABD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBT，連接DT由題意可得DT=BD=2，CT=AD=2∵CD=6∴∴∠CTD＝90°，∵△BDT是等腰直角三角形∴∠DTB=45°∴∠CTB=45°+90°=135°∴∠ADB=∠CTB=135°（3）如圖③，將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACK，延長(zhǎng)CK交PA延長(zhǎng)線于J，作△PJC的外接圓，連接OP，OC，OJ∵∠PAK＝120°，∠AKC＝∠APB＝120°∴∠JAK＝∠JKA＝60°∴∠AJK＝60°∴△JAK是等邊三角形∴AK=KJ∴∠COP＝2∠AJK＝120°∵PC=30∴OP=OC=OJ=∵CJ≤OJ+OC∴CJ≤∵PA+PB=AK+CK+KJ+KC=JC∴PA+PB的最大值為米．【點(diǎn)睛】此題主要考查旋轉(zhuǎn)的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟知三角形外接圓的性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用及三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用．8．（1）見解析；（2）①；②【分析】（1）過點(diǎn)作于，證，即可證得；（2）①設(shè)，則，利用勾股定理求得，再利用勾股定理表示出，再證明，可得，由此可得，進(jìn)而可求得答案；②過點(diǎn)P作于點(diǎn)，先由①得，再證解析：（1）見解析；（2）①；②【分析】（1）過點(diǎn)作于，證，即可證得；（2）①設(shè)，則，利用勾股定理求得，再利用勾股定理表示出，再證明，可得，由此可得，進(jìn)而可求得答案；②過點(diǎn)P作于點(diǎn)，先由①得，再證明∠BFE＝∠CGP，可得，進(jìn)而利用勾股定理可求得，，，最后根據(jù)，可得，計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：如圖，過點(diǎn)作于，則∠AHG＝∠FHG＝90°，∵在正方形中，∴∠HAD＝∠D＝∠B＝90°，AD＝AB，∴四邊形AHGD為矩形，∴AD＝HG，∴AB＝HG，∵，∴∠FQA＝90°，∴∠AFQ＋∠BAE＝90°，∵∠FHG＝90°，∴∠AFQ＋∠FGH＝90°，∴∠BAE＝∠FGH，∴在與中∴（ASA），∴；①∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∵折疊，∴設(shè)，∴，在RtBFE中，BF2＋BE2＝EF2，∴，解得：，又∵，∴，如圖，過點(diǎn)作于，則∠AHG＝∠FHG＝90°，∵在矩形中，∴∠HAD＝∠BCD＝∠B＝90°，∴四邊形AHGD為矩形，∴BC＝HG，∵∠FHG＝90°，∴∠AFQ＋∠FGH＝90°，∵，∴∠FQA＝90°，∴∠AFQ＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FGH，又∵∠FHG＝∠D＝90°，∴，，，，，，又∵，，∴，∴；②如圖，過點(diǎn)P作于點(diǎn)，∵，，∴由①得，∵∠EPG＝∠GCE＝90°，∠EOC＝∠GOP，∴∠CGP＝∠OEC，∵∠FEP＝∠B＝90°，∴∠OEC＋∠BEF＝90°，∠BFE＋∠BEF＝90°，∴∠BFE＝∠OEC，∴∠BFE＝∠CGP，又∵，∴，∴設(shè)，，則，，，解得：，，，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形和矩形的性質(zhì)，全等三角形和相似三角形的判定及性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，題目綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，熟練掌握并靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵．9．（1）①；②；（2）仍然成立，證明見解析；（3）或【分析】（1）【問題發(fā)現(xiàn)】連接．易證，，三點(diǎn)共線．易知．，推出，從而得出與所夾銳角的度數(shù)；（2）【拓展探究】連接，，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)解析：（1）①；②；（2）仍然成立，證明見解析；（3）或【分析】（1）【問題發(fā)現(xiàn)】連接．易證，，三點(diǎn)共線．易知．，推出，從而得出與所夾銳角的度數(shù)；（2）【拓展探究】連接，，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)四邊形的性質(zhì)得到，根據(jù)得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；（3）【解決問題】需分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時(shí)，連接AB，AN，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，可得∠BAM=∠CAN，根據(jù)，可得△ABM∽△CAN，從而得到CN=BM，根據(jù)，可得到BM=AC-CM=2，從而可求出CN的值；②當(dāng)點(diǎn)M在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AB，AN，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，可得∠BAM=∠CAN，根據(jù)，可得△ABM∽△CAN，從而得到CN=BM，根據(jù)，可得到BM=AC+CM=6，從而可求出CN的值．【詳解】解：（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖①中，①線段與的數(shù)量關(guān)系為；②直線與所夾銳角的度數(shù)為．理由：如圖①中，連接．易證，，三點(diǎn)共線．∵．，∴．故答案為，．（2）【拓展探究】結(jié)論不變．理由：連接，，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴．（3）【解決問題】①當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時(shí)，如圖，連接AB，AN，∵四邊形ADBC，四邊形AMEF為正方形，∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，∴∠BAC-∠MAC=∠MAN-∠MAC，即∠BAM=∠CAN，∵，∴△ABM∽△CAN，∴，∴CN=BM，∵，∴BM=AC-CM=2，∴CN=BM=；②當(dāng)點(diǎn)M在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，連接AB，AN，∵四邊形ADBC，四邊形AMEF為正方形，∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，∴∠BAC+∠MAC=∠MAN+∠MAC，即∠BAM=∠CAN,∵,∴△ABM∽△CAN，∴，∴CN=BM，∵，∴BM=AC+CM=2=6，∴CN=BM=．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題．10．（1）①，證明見解析；②4；（2）畫圖見解析，或【分析】（1）①由“”可證，可得，可得；②過點(diǎn)作于點(diǎn)，由勾股定理可求，，的長(zhǎng)，即可求的長(zhǎng)；（2）分點(diǎn)在左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論，根據(jù)勾股定理和相似解析：（1）①，證明見解析；②4；（2）畫圖見解析，或【分析】（1）①由“”可證，可得，可得；②過點(diǎn)作于點(diǎn)，由勾股定理可求，，的長(zhǎng)，即可求的長(zhǎng)；（2）分點(diǎn)在左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論，根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：（1）和均為等腰直角三角形，，，，，，且，，，，，，故答案為：；②如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，故答案為：4；（2）若點(diǎn)在右側(cè)，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，．，，，，，，，，，，，即，，，，，若點(diǎn)在左側(cè)，，，，，．，，，，，，，，，，，，即，，，，．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是添加恰當(dāng)輔助線．11．（1）相似；（2）AB∥EC，理由見解析；（3）3．【分析】（1）結(jié)論：相似．先判斷出△BAC∽△DAE，即可得出結(jié)論．（2）利用等腰三角形的性質(zhì)證明∠ABC＝40°，∠ECB＝40°，推出∠解析：（1）相似；（2）AB∥EC，理由見解析；（3）3．【分析】（1）結(jié)論：相似．先判斷出△BAC∽△DAE，即可得出結(jié)論．（2）利用等腰三角形的性質(zhì)證明∠ABC＝40°，∠ECB＝40°，推出∠ABC＝∠ECB即可．（3）如圖3中，以P為圓心，PB為半徑作⊙P．利用圓周角定理證明∠BCE＝∠BPE＝40°，推出AB∥CE，因?yàn)辄c(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)A重合時(shí)，AE的值最小，此時(shí)AE的最小值＝AB＝3．【詳解】解：（1）如圖①中，∵△ABC與△ACE為等腰三角形，且兩頂角∠ABC＝∠ADE，∴BA＝BC，DA＝DE，∴∠BAC＝∠DAE，∴△BAC∽△DAE，∴＝，∴＝，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE．故答案為：相似．（2）如圖2中，結(jié)論：AB∥EC．理由：∵∠BPE＝80°，PB＝PE，∴∠PEB＝∠PBE＝50°，∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠BDE＝90°，∴∠EBD＝90°﹣50°＝40°，∵AE垂直平分線段BC，∴EB＝EC，∴∠ECB＝∠EBC＝40°，∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∴∠ABC＝∠ECB，∴AB∥EC．故答案為50，AB∥EC．（2）如圖3中，以P為圓心，PB為半徑作⊙P．∵AD垂直平分線段BC，∴PB＝PC，∴∠BCE＝∠BPE＝40°，∵∠ABC＝40°，∴AB∥EC．如圖4中，作AH⊥CE于H，∵點(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)A重合時(shí)，AE的值最小，此時(shí)AE的最小值＝AB＝3．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定及圓的基本性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到三角形的相似，然后結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得到問題答案，關(guān)鍵是要利用圓的基本性質(zhì)求解最值問題．12．（1）①；或；證明見解析；②菱形，證明見解析；（2）①；②；③【分析】（1）①利用矩形的性質(zhì)與軸對(duì)稱的性質(zhì)證明如圖1，連接證明即可得到答案；②如圖1，由①得：再證明四邊形為平行四邊形解析：（1）①；或；證明見解析；②菱形，證明見解析；（2）①；②；③【分析】（1）①利用矩形的性質(zhì)與軸對(duì)稱的性質(zhì)證明如圖1，連接證明即可得到答案；②如圖1，由①得：再證明四邊形為平行四邊形與可得結(jié)論；（2）①如圖2，連接由折疊可得：再利用勾股定理可得答案；②如圖3，連接交于證明四邊形是菱形，可得從而可得答案；③由②得：可得，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：（1）①矩形由折疊可得：如圖1，連接由折疊可得：同理：故答案為：，或②如圖1，由①得：矩形四邊形為平行四邊形，四邊形為菱形，（2）①如圖2，連接由折疊可得：矩形，，故答案為：②如圖3，連接交于矩形重合，同理可得：由對(duì)折可得：四邊形是菱形，，，故答案為：③由②得：當(dāng)時(shí)，最小，最小值為的最小值為：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．13．【問題引入】見解析；【類比探究】（1）見解析；（2）圖見解析，；【知識(shí)拓展】，證明見解析【分析】[問題引入]利用AAS證明△POE≌△POD，即可得出結(jié)論；[類比探究]（1）過點(diǎn)F作FN解析：【問題引入】見解析；【類比探究】（1）見解析；（2）圖見解析，；【知識(shí)拓展】，證明見解析【分析】[問題引入]利用AAS證明△POE≌△POD，即可得出結(jié)論；[類比探究]（1）過點(diǎn)F作FN⊥OB，F(xiàn)M⊥OA，垂足分別為N、M，F(xiàn)M與PE交于點(diǎn)Q，先證明△PFQ為等邊三角形，得出FG=PH，再運(yùn)用矩形性質(zhì)得出OM=OF，ON=OF，即可證得結(jié)論；（2）作FN⊥OB于點(diǎn)N，F(xiàn)M⊥OA于點(diǎn)M，射線FM交PE于點(diǎn)Q，作PH⊥FQ于點(diǎn)H，F(xiàn)G⊥PQ于點(diǎn)G，同（1）可證：NE=FG=PH=MD，ON=OM=OF，即可得出結(jié)論；[知識(shí)拓展]過點(diǎn)O作OM⊥AB，ON⊥EF，OQ⊥CD，垂足分別為M、N、Q，利用垂徑定理可得出PB-PA=2PM，PF-PE=2PN，PD-PC=2PQ，再運(yùn)用[類比探究]得：PM+PN=PQ，從而證得結(jié)論．【詳解】[問題引入]證明：∵，，，∴．∵，∴．∴．[類比探究]（1）過點(diǎn)作，，垂足分別為、，與交于點(diǎn)．∵，，，則為等邊三角形，、邊上的高相等，即．在矩形、矩形中，有，，∴．∴．∵，，∴，同理，，∴，∴．（2）結(jié)論：．作于點(diǎn)，于點(diǎn)，射線與的交點(diǎn)為，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，同（1）可證，，∴．[知識(shí)拓展]數(shù)量關(guān)系：．理由如下：過點(diǎn)作，，，垂足分別為、、．由垂徑定理可得．∴．同理，，由[類比探究]得，∴，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了全等三角形判定和性質(zhì)，等邊三角形判定和性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，矩形性質(zhì)，垂徑定理等，熟練掌握全等三角形判定和性質(zhì)及垂徑定理等相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．14．（1）①EF＝BE+DF；②成立，理由詳見解析；（2）DE＝．【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根據(jù)SAS推出△EAF解析：（1）①EF＝BE+DF；②成立，理由詳見解析；（2）DE＝．【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF＝GF，即可求出答案；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作輔助線，得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G在一條直線上，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF＝GF，即可求出答案；（2）如圖3，同理作旋轉(zhuǎn)三角形，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)和勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝4，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD＝∠DAE＝45°，證△FAD≌△EAD，根據(jù)全等得出DF＝DE，設(shè)DE＝x，則DF＝x，BF＝CE＝3﹣x，根據(jù)勾股定理得出方程，求出x即可．【詳解】解：（1）∵把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°，∵∠ADC＝90°，∴∠ADC+∠ADG＝90°∴F、D、G共線，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠EAF＝∠GAF＝45°，在△EAF和△GAF中，∵，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，∵BE＝DG，∴EF＝GF＝DF+DG＝BE+DF，故答案為：EF＝BE+DF；②成立，理由：如圖2，把△ABE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△ADG，使AB和AD重合，則AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADC+∠ADG＝180°，∴C、D、G在一條直線上，與①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°，在△EAF和△GAF中，∵，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，∵BE＝DG，∴EF＝GF＝BE+DF；（2）解：∵△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，由勾股定理得：BC＝＝4，如圖3，把△AEC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△AFB，使AB和AC重合，連接DF，則AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，∵∠DAE＝45°，∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，∴∠FAD＝∠DAE＝45°，在△FAD和△EAD中，∴△FAD≌△EAD（SAS），∴DF＝DE，設(shè)DE＝x，則DF＝x，∵BC＝4，∴BF＝CE＝4﹣1﹣x＝3﹣x，∵∠FBA＝45°，∠ABC＝45°，∴∠FBD＝90°，由勾股定理得：DF2＝BF2+BD2，x2＝（3﹣x）2+12，解得：x＝，即DE＝．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的綜合題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，此題是開放性試題，運(yùn)用類比的思想；首先在特殊圖形中找到規(guī)律，然后再推廣到一般圖形中，對(duì)學(xué)生的分析問題，解決問題的能力要求比較高．15．（1）BE＝DG，BE⊥DG，見解析；（2）5﹣5；（3）6或8【分析】（1）由“SAS”可證△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，由直角三角形的性質(zhì)可得BE⊥DG；（2）由解析：（1）BE＝DG，BE⊥DG，見解析；（2）5﹣5；（3）6或8【分析】（1）由“SAS”可證△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，由直角三角形的性質(zhì)可得BE⊥DG；（2）由“SAS”可證△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE＝15°，可得∠DEB＝90°，由直角三角形的性質(zhì)可求解；（3）分兩種情況討論，通過證明△AGD∽△AEB，可得，∠DGA＝∠AEB，由勾股定理和三角形中位線定理可求解．【詳解】解：（1）BE＝DG，BE⊥DG，理由如下：如圖1：延長(zhǎng)BE交AD于N，交DG于H，∵四邊形ABCD是正方形，四邊形AEFG是正方形，∴AG＝AE，AB＝AD，∠GAE＝∠DAB＝90°，∴∠GAD＝∠EAB，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，∵∠ABE+∠ANB＝90°，∴∠ADG+∠DNH＝90°，∴∠DHN＝90°，∴BE⊥DG；（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)G在線段DE上時(shí)，連接BD，∵四邊形ABCD是正方形，四邊形AEFG是正方形，∴AG＝AE，AB＝AD＝10，∠GAE＝∠DAB＝90°，∠ADB＝45°＝∠ABD，BD＝AB＝10，GE＝AE，∴∠GAD＝∠EAB，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE＝15°，∴∠BDE＝45°﹣15°＝30°，∠DBE＝45°+15°＝60°，∴∠DEB＝90°，∴BE＝BD＝5＝DG，DE＝BE＝5，∴GE＝5﹣5，∴AE＝＝5﹣5，當(dāng)點(diǎn)E在線段DG上時(shí)，同理可求AE＝5﹣5，故答案為：5﹣5；（3）如圖，若點(diǎn)G在線段DE上時(shí)，∵AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，∴DB＝＝＝8，GE＝＝＝8，∠DAB＝∠GAE＝90°，∴∠DAG＝∠BAE，又∵，∴△AGD∽△AEB，∴，∠DGA＝∠AEB，∴BE＝DG，∵∠DGA＝∠GAE+∠DEA，∠AEB＝∠DEB+∠AED，∴∠GAE＝∠DEB＝90°，∵DB2＝DE2+BE2，∴64×13＝（DG+8）2+3DG2，∴DG＝12或DG＝﹣16（舍去），∴BE＝12，∵點(diǎn)M，N分別是BD，DE的中點(diǎn)，∴MN＝BE＝6；如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段DG上時(shí)，同理可求：BE＝16，∵點(diǎn)M，N分別是BD，DE的中點(diǎn)，∴MN＝BE＝8，綜上所述：MN為6或8，故答案為：6或8．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．16．（1）證明見解析；；（2）線段與之間的數(shù)量關(guān)系為；（3）或【分析】（1）①由、結(jié)合可得四邊形CEGF是矩形，再由即可得證；②由正方形性質(zhì)知、，據(jù)此可得、，利用平行線分線段成比例定理可得；（2解析：（1）證明見解析；；（2）線段與之間的數(shù)量關(guān)系為；（3）或【分析】（1）①由、結(jié)合可得四邊形CEGF是矩形，再由即可得證；②由正方形性質(zhì)知、，據(jù)此可得、，利用平行線分線段成比例定理可得；（2）連接CG，只需證即可得；（3）由（2）證出就可得到，再根據(jù)三點(diǎn)在同一直線上分在CD左邊和右邊兩種不同的情況求出AG的長(zhǎng)度，即可求出BE的長(zhǎng)度．【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，四邊形是矩形，四邊形是正方形；解：由①知四邊形CEGF是正方形，∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴，GE∥AB，∴故答案為：．（2）如下圖所示連接由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知在和中，，線段與之間的數(shù)量關(guān)系為；（3）解：當(dāng)正方形在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如下圖所示時(shí)：當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，由（2）可知，，∠CEG=∠CEA=∠ABC=90°，，當(dāng)正方形在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如下圖所示時(shí)：當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，由（2）可知，，∠CEA=∠ABC=90°，，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確添加輔助線，熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．(1)AF=EF；(2)成立，理由見解析；(3)12【分析】(1)延長(zhǎng)DF到G點(diǎn)，并使FG=DC，連接GE，證明△ACF△EDG，進(jìn)而得到△GEF為等腰三角形，即可證明AF=GE=EF；(2解析：(1)AF=EF；(2)成立，理由見解析；(3)12【分析】(1)延長(zhǎng)DF到G點(diǎn)，并使FG=DC，連接GE，證明△ACF△EDG，進(jìn)而得到△GEF為等腰三角形，即可證明AF=GE=EF；(2)證明原理同(1)，延長(zhǎng)DF到G點(diǎn)，并使FG=DC，連接GE，證明△ACF△EDG，進(jìn)而得到△GEF為等腰三角形，即可證明AF=GE=EF；(3)補(bǔ)充完整圖后證明四邊形AEGC為矩形，進(jìn)而得到∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°即可求解．【詳解】解：(1)延長(zhǎng)DF到G點(diǎn)，并使FG=DC，連接GE，如下圖所示∵，∴DE=AC，BD=BC，∴∠CDB=∠DCB，且∠CDB=∠ADF，∴∠ADF=∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，∵∠EDB=90°，∴∠ADF+∠FDE=90°，∴∠ACD=∠FDE，又延長(zhǎng)DF使得FG=DC，∴FG+DF=DC+DF，∴DG=CF，在△ACF和△EDG中，，∴△ACF△EDG(SAS)，∴GE=AF，∠G=∠AFC，又∠AFC=∠GFE，∴∠G=∠GFE∴GE=EF∴AF=EF，故AF與EF的數(shù)量關(guān)系為：AF=EF.故答案為：AF=EF；(2)仍舊成立，理由如下：延長(zhǎng)DF到G點(diǎn)，并使FG=DC，連接GE，如下圖所示設(shè)BD延長(zhǎng)線DM交AE于M點(diǎn)，∵，∴DE=AC，BD=BC，∴∠CDB=∠DCB，且∠CDB=∠MDF，∴∠MDF=∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，∵∠EDB=90°，∴∠MDF+∠FDE=90°，∴∠ACD=∠FDE，又延長(zhǎng)DF使得FG=DC，∴FG+DF=DC+DF，∴DG=CF，在△ACF和△EDG中，，∴△ACF△EDG(SAS)，∴GE=AF，∠G=∠AFC，又∠AFC=∠GFE，∴∠G=∠GFE∴GE=EF，∴AF=EF，故AF與EF的數(shù)量關(guān)系為：AF=EF.故答案為：AF=EF；(3)如下圖所示：∵BA=BE，∴∠BAE=∠BEA，∵∠BAE=∠EBG,∴∠BEA=∠EBG，∴AECG，∴∠AEG+∠G=180°，∴∠AEG=90°，∴∠ACG=∠G=∠AEG=90°，∴四邊形AEGC為矩形，∴AC=EG，且AB=BE，∴Rt△ACBRt△EGB(HL)，∴BG=BC=6，∠ABC=∠EBG，又∵ED=AC=EG，且EB=EB，∴Rt△EDBRt△EGB(HL)，∴DB=GB=6，∠EBG=∠ABE，∴∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°，∴∠BAC=30°，∴在Rt△ABC中由30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可知：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形的綜合題，考查了三角形全等的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定，本題的關(guān)鍵是延長(zhǎng)DF到G點(diǎn)并使FG=DC，進(jìn)而構(gòu)造全等，本題難度稍大，需要作出合適的輔助線．18．（1）；（2）的大小無變化，證明見解析；（3）或【分析】（1延長(zhǎng)FG交BC于點(diǎn)H，可根據(jù)題意分別求出，的長(zhǎng)，即可求的值；（2）連接，先由勾股定理計(jì)算的值，再計(jì)算，最后根據(jù)相似三角形