2018年考研數(shù)學一真題和答案與解析

...wd......wd......wd...2017年考研數(shù)學一真題及答案解析跨考教育數(shù)學教研室一、選擇題：1～8小題，每題4分，共32分，以下每題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.〔1〕假設函數(shù)在處連續(xù)，則〔〕【答案】A【解析】在處連續(xù)選A.〔2〕設函數(shù)可導，且，則〔〕【答案】C【解析】或，只有C選項滿足且滿足，所以選C?！?〕函數(shù)在點處沿向量的方向導數(shù)為〔〕【答案】D【解析】選D.〔4〕甲乙兩人賽跑，計時開場時，甲在乙前方10〔單位：m〕處，圖中實線表示甲的速度曲線〔單位：〕，虛線表示乙的速度曲線，三塊陰影局部面積的數(shù)值依次為10,20,3，計時開場后乙追上甲的時刻記為〔單位：s〕，則〔〕【答案】B【解析】從0到這段時間內甲乙的位移分別為則乙要追上甲，則，當時滿足，應選C.〔5〕設是維單位列向量，為階單位矩陣，則〔〕【答案】A【解析】選項A,由得有非零解，故。即不可逆。選項B,由得的特征值為n-1個0，1.故的特征值為n-1個1，2.故可逆。其它選項類似理解?！?〕設矩陣,則〔〕【答案】B【解析】由可知A的特征值為2,2,1因為，∴A可相似對角化，且由可知B特征值為2,2,1.因為，∴B不可相似對角化，顯然C可相似對角化，∴，且B不相似于C〔7〕設為隨機概率，假設，則的充分必要條件是〔〕【答案】A【解析】按照條件概率定義展開，則Ａ選項符合題意?！?〕設為來自總體的簡單隨機樣本，記，則以下結論中不正確的選項是〔〕【答案】B【解析】由于找不正確的結論，故B符合題意。二、填空題：914小題，每題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.(9)函數(shù)，則=__________【答案】【解析】(10)微分方程的通解為_________【答案】，〔為任意常數(shù)〕【解析】齊次特征方程為故通解為(11)假設曲線積分在區(qū)域內與路徑無關，則__________【答案】【解析】由積分與路徑無關知(12)冪級數(shù)在區(qū)間內的和函數(shù)________【答案】【解析】〔13〕設矩陣，為線性無關的3維列向量組，則向量組的秩為_________【答案】2【解析】由線性無關，可知矩陣可逆，故再由得〔14〕設隨機變量的分布函數(shù)為，其中為標準正態(tài)分布函數(shù)，則_________【答案】2【解析】，故。令，則=因此.三、解答題：15—23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.〔15〕〔此題總分值10分〕設函數(shù)具有2階連續(xù)偏導數(shù)，，求，【答案】【解析】結論：〔16〕〔此題總分值10分〕求【答案】【解析】〔17〕〔此題總分值10分〕函數(shù)由方程確定，求的極值【答案】極大值為，極小值為【解析】兩邊求導得：〔1〕令得對〔1〕式兩邊關于x求導得〔2〕將代入原題給的等式中，得，將代入〔2〕得將代入〔2〕得故為極大值點，；為極小值點，〔18〕〔此題總分值10分〕設函數(shù)在區(qū)間上具有2階導數(shù)，且，證明：方程在區(qū)間內至少存在一個實根；方程在區(qū)間內至少存在兩個不同實根?！敬鸢浮俊窘馕觥俊睮〕二階導數(shù)，解：1〕由于，根據(jù)極限的保號性得有，即進而又由于二階可導，所以在上必連續(xù)那么在上連續(xù)，由根據(jù)零點定理得：至少存在一點，使，即得證〔II〕由〔1〕可知，，令，則由羅爾定理，則，對在分別使用羅爾定理：且，使得，即在至少有兩個不同實根。得證。〔19〕〔此題總分值10分〕設薄片型物體是圓錐面被柱面割下的有限局部，其上任一點的密度為。記圓錐面與柱面的交線為求在平面上的投影曲線的方程；求的質量?！敬鸢浮?4【解析】由題設條件知，的方程為則在平面的方程為〔2〕〔20〕〔此題總分值11分〕設3階矩陣有3個不同的特征值，且。證明；假設，求方程組的通解?！敬鸢浮俊睮〕略；〔II〕通解為【解析】〔I〕證明：由可得，即線性相關，因此，，即A的特征值必有0。又因為A有三個不同的特征值，則三個特征值中只有1個0，另外兩個非0.且由于A必可相似對角化，則可設其對角矩陣為∴〔II〕由〔1〕，知，即的根基解系只有1個解向量，由可得，則的根基解系為，又，即，則的一個特解為，綜上，的通解為〔21〕〔此題總分值11分〕設二次型在正交變換下的標準型，求的值及一個正交矩陣【答案】【解析】，其中由于經正交變換后，得到的標準形為，故，將代入，滿足，因此符合題意，此時，則，由，可得A的屬于特征值-3的特征向量為；由，可得A的屬于特征值6的特征向量為由，可得A的屬于特征值0的特征向量為令，則，由于彼此正交，故只需單位化即可：，則，〔22〕〔此題總分值11分〕設隨機變量相互獨立，且的概率分布為，的概率密度為求求的概率密度?！敬鸢浮俊窘馕觥慨?，而，則當即時，〔3〕當時，〔4〕當時，〔5〕當時，所以綜上所以〔23〕〔此題總分值11分〕某工程師為了解一臺天平的精度，用該天平對一物體的質量做次測量，該物體的質量是的，設次測量結果相互獨立且均服從正態(tài)分布。該工程師記錄的是次測量的絕對誤差，利用估計。求的概率密度；利用一階矩求的矩估計量【答案】【解析】當當當時，綜上令由此可得的矩估計量對總體的個樣本，則相交的絕對誤差的樣本令其樣本值為則對應的似然函數(shù)兩邊取對數(shù)，當時令所以，為所求的最大似然估計。1、發(fā)生以下情形，本協(xié)議即終止：(1)、公司因客觀原因未能設立;(2)、公司營業(yè)執(zhí)照被依法撤消;(3)、公司被依法宣告破產;(4)、甲乙丙三方一致同意解除本協(xié)議。2、本協(xié)議解除后：