2018年考研數(shù)學(xué)一真題和答案與解析

...wd......wd......wd...2017年考研數(shù)學(xué)一真題及答案解析跨考教育數(shù)學(xué)教研室一、選擇題：1～8小題，每題4分，共32分，以下每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.〔1〕假設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，則〔〕【答案】A【解析】在處連續(xù)選A.〔2〕設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，且，則〔〕【答案】C【解析】或，只有C選項(xiàng)滿足且滿足，所以選C。〔3〕函數(shù)在點(diǎn)處沿向量的方向?qū)?shù)為〔〕【答案】D【解析】選D.〔4〕甲乙兩人賽跑，計(jì)時(shí)開場(chǎng)時(shí)，甲在乙前方10〔單位：m〕處，圖中實(shí)線表示甲的速度曲線〔單位：〕，虛線表示乙的速度曲線，三塊陰影局部面積的數(shù)值依次為10,20,3，計(jì)時(shí)開場(chǎng)后乙追上甲的時(shí)刻記為〔單位：s〕，則〔〕【答案】B【解析】從0到這段時(shí)間內(nèi)甲乙的位移分別為則乙要追上甲，則，當(dāng)時(shí)滿足，應(yīng)選C.〔5〕設(shè)是維單位列向量，為階單位矩陣，則〔〕【答案】A【解析】選項(xiàng)A,由得有非零解，故。即不可逆。選項(xiàng)B,由得的特征值為n-1個(gè)0，1.故的特征值為n-1個(gè)1，2.故可逆。其它選項(xiàng)類似理解?！?〕設(shè)矩陣,則〔〕【答案】B【解析】由可知A的特征值為2,2,1因?yàn)?，∴A可相似對(duì)角化，且由可知B特征值為2,2,1.因?yàn)?，∴B不可相似對(duì)角化，顯然C可相似對(duì)角化，∴，且B不相似于C〔7〕設(shè)為隨機(jī)概率，假設(shè)，則的充分必要條件是〔〕【答案】A【解析】按照條件概率定義展開，則Ａ選項(xiàng)符合題意?！?〕設(shè)為來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記，則以下結(jié)論中不正確的選項(xiàng)是〔〕【答案】B【解析】由于找不正確的結(jié)論，故B符合題意。二、填空題：914小題，每題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.(9)函數(shù)，則=__________【答案】【解析】(10)微分方程的通解為_________【答案】，〔為任意常數(shù)〕【解析】齊次特征方程為故通解為(11)假設(shè)曲線積分在區(qū)域內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，則__________【答案】【解析】由積分與路徑無(wú)關(guān)知(12)冪級(jí)數(shù)在區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)________【答案】【解析】〔13〕設(shè)矩陣，為線性無(wú)關(guān)的3維列向量組，則向量組的秩為_________【答案】2【解析】由線性無(wú)關(guān)，可知矩陣可逆，故再由得〔14〕設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，則_________【答案】2【解析】，故。令，則=因此.三、解答題：15—23小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解容許寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.〔15〕〔此題總分值10分〕設(shè)函數(shù)具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，，求，【答案】【解析】結(jié)論：〔16〕〔此題總分值10分〕求【答案】【解析】〔17〕〔此題總分值10分〕函數(shù)由方程確定，求的極值【答案】極大值為，極小值為【解析】?jī)蛇吳髮?dǎo)得：〔1〕令得對(duì)〔1〕式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得〔2〕將代入原題給的等式中，得，將代入〔2〕得將代入〔2〕得故為極大值點(diǎn)，；為極小值點(diǎn)，〔18〕〔此題總分值10分〕設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有2階導(dǎo)數(shù)，且，證明：方程在區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根；方程在區(qū)間內(nèi)至少存在兩個(gè)不同實(shí)根?！敬鸢浮俊窘馕觥俊睮〕二階導(dǎo)數(shù)，解：1〕由于，根據(jù)極限的保號(hào)性得有，即進(jìn)而又由于二階可導(dǎo)，所以在上必連續(xù)那么在上連續(xù)，由根據(jù)零點(diǎn)定理得：至少存在一點(diǎn)，使，即得證〔II〕由〔1〕可知，，令，則由羅爾定理，則，對(duì)在分別使用羅爾定理：且，使得，即在至少有兩個(gè)不同實(shí)根。得證?！?9〕〔此題總分值10分〕設(shè)薄片型物體是圓錐面被柱面割下的有限局部，其上任一點(diǎn)的密度為。記圓錐面與柱面的交線為求在平面上的投影曲線的方程；求的質(zhì)量?！敬鸢浮?4【解析】由題設(shè)條件知，的方程為則在平面的方程為〔2〕〔20〕〔此題總分值11分〕設(shè)3階矩陣有3個(gè)不同的特征值，且。證明；假設(shè)，求方程組的通解?！敬鸢浮俊睮〕略；〔II〕通解為【解析】〔I〕證明：由可得，即線性相關(guān)，因此，，即A的特征值必有0。又因?yàn)锳有三個(gè)不同的特征值，則三個(gè)特征值中只有1個(gè)0，另外兩個(gè)非0.且由于A必可相似對(duì)角化，則可設(shè)其對(duì)角矩陣為∴〔II〕由〔1〕，知，即的根基解系只有1個(gè)解向量，由可得，則的根基解系為，又，即，則的一個(gè)特解為，綜上，的通解為〔21〕〔此題總分值11分〕設(shè)二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型，求的值及一個(gè)正交矩陣【答案】【解析】，其中由于經(jīng)正交變換后，得到的標(biāo)準(zhǔn)形為，故，將代入，滿足，因此符合題意，此時(shí)，則，由，可得A的屬于特征值-3的特征向量為；由，可得A的屬于特征值6的特征向量為由，可得A的屬于特征值0的特征向量為令，則，由于彼此正交，故只需單位化即可：，則，〔22〕〔此題總分值11分〕設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且的概率分布為，的概率密度為求求的概率密度?！敬鸢浮俊窘馕觥慨?dāng)，而，則當(dāng)即時(shí)，〔3〕當(dāng)時(shí)，〔4〕當(dāng)時(shí)，〔5〕當(dāng)時(shí)，所以綜上所以〔23〕〔此題總分值11分〕某工程師為了解一臺(tái)天平的精度，用該天平對(duì)一物體的質(zhì)量做次測(cè)量，該物體的質(zhì)量是的，設(shè)次測(cè)量結(jié)果相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布。該工程師記錄的是次測(cè)量的絕對(duì)誤差，利用估計(jì)。求的概率密度；利用一階矩求的矩估計(jì)量【答案】【解析】當(dāng)當(dāng)當(dāng)時(shí)，綜上令由此可得的矩估計(jì)量對(duì)總體的個(gè)樣本，則相交的絕對(duì)誤差的樣本令其樣本值為則對(duì)應(yīng)的似然函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)，當(dāng)時(shí)令所以，為所求的最大似然估計(jì)。1、發(fā)生以下情形，本協(xié)議即終止：(1)、公司因客觀原因未能設(shè)立;(2)、公司營(yíng)業(yè)執(zhí)照被依法撤消;(3)、公司被依法宣告破產(chǎn);(4)、甲乙丙三方一致同意解除本協(xié)議。2、本協(xié)議解除后：