第十六屆“中環(huán)杯”中小學(xué)生思維能力訓(xùn)練活動四年級決賽詳解

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第十六屆“中環(huán)杯”中小學(xué)生思維能力訓(xùn)練活動四年級決賽計算：0.2631.91261969 【分析與解】計算：提取公因數(shù)0.2631.912619690.2631.963219690.2631.926319690.2633.86319690.23.863196946319694637479463747946374631746384632016【第2題】一個數(shù)a比一完平數(shù)b小10，則a的最小為 （明完平數(shù)指能示為個數(shù)平數(shù)和，如422,932，以4、9都完全方）【分析與解】數(shù)論，質(zhì)數(shù)，完全平方數(shù)若a2，則b21012不是完全平方數(shù)故a是奇數(shù)，則ba10也是奇數(shù)，b為奇數(shù)的平方根比10大的奇完全平方數(shù)從小到達依次為5225,7249,9281,25101535是合數(shù)491039313是合數(shù)811071是質(zhì)數(shù)故a最小是71【第3題】如圖，B三共，CBAB,AE//DC,AB8,CE5，則的面積為 因為AE//DC所以SAEDSAEC因為CBAB所以SAECCEAB258220所以SAED20【第4題】3040501020【分析與解】00003025分鐘【第5題】將一個88（512個111512個【分析與解】由題意，任意三個有公共頂點的面不能全都染同一種顏色故不妨設(shè)上、下、前染紅色，左、右、后染藍色染藍色即這821次故有88856個小立方體上既有紅色面又有藍色面【第6題】在11!11!11101的所有因數(shù)中，可以表示為6k1（其中k為自然數(shù)）的最大因數(shù)為【分析與解】數(shù)論，分解質(zhì)因數(shù)，同余將11!分解質(zhì)因數(shù)：設(shè)11!=2a3b5c7d11e11252221，a5218113，33b314115c2117，d111111,e1故11!28345271111因為1232相當(dāng)于求5271111的所有因數(shù)中，可以表示為6k1（其中k為自然數(shù)）的最大因數(shù)為幾？而52711115mod6于是我們考慮5711,57113851mod6故在11!的所有因數(shù)中，可以表示為6k1（其中k為自然數(shù)）的最大因數(shù)為385【第7題】67（0766次比共有位者這參者沒現(xiàn)并排為76117649的參賽的分分【說明】⑴此題為錯題若兩個人6道題每題得分完全相同則6道題目得分的乘積相同，6道題目得分的和也相同則這兩個人的排名相同，即這兩個人并列由題意，這86262144位參賽者中沒有出現(xiàn)并列則這86262144位參賽者每題得分均不完全相同而每題的得分為0~7的整數(shù)，由乘法原理一共有86種得分情況1~6題得分為11~6題得分為060,61則甲、乙兩人排名相同，即這兩個人并列這與“這些參賽者中沒有出現(xiàn)并列”矛盾故此題為錯題⑵若將原題中“這些參賽者中沒有出現(xiàn)并列”改為“這些參賽者中，任意兩人這6題的各7691分60606060這種情況下，每題的得分為1~7的整數(shù)，由乘法原理一共有76種得分情況故排名為76117649的參賽者的得分為乘積最小的正整數(shù)1~6題得分為11故排名為76117649的參賽者的得分為1分【第8題】99443點不一直，也在個圈，同的法種【分析與解】計數(shù)，乘法原理和加法原理434個點都不是中心O點4又因為這4個點中的任意3個點不在一個圓圈上所以在這4個點中，有2個點在小圓上，另外2個點在大圓上⑴如果小圓上的2個點在一條直線上，有2種可能：A、C或B、D此時，每種情況下對應(yīng)大圓上的2個點有1種可能例如：當(dāng)小圓上的2個點為A、C時，大圓上的2個點只能為B、D⑵如果小圓上的2個點不在一條直線上，有4種可能：A、B或B、C或C、D或D、A此時，每種情況下對應(yīng)大圓上的2個點有224種可能2B2FH或F或H綜上所述，不同的選法有214418種9DA：A1這個數(shù)小于12A27不能整除這個數(shù)A35乘以這個數(shù)的結(jié)果小于70B:11210B210能整除這個數(shù)B3這個數(shù)大于100C:142111039D:D1這個數(shù)小于20237整這個是 【分析與解】設(shè)這個數(shù)為n我們把條件整理一下：A:A1n12;A27不能整除n；A35n70，即n14B:B12n1000，即n831；B10n;Bn1001 3 2 3C:C4n;C11n1000,n9010;C9n1 2 11 3D:1n;2n37n首先，我們注意到2與3⑴若32是假話；即7n與但不可能為則是真話；則n14故故2注意到，符合n4且7n的正整數(shù)只有n772n⑵故若327不能整除n與但不可能為則是假話；則n12再對A1是假話，則n12再對D1進行討論①若D1是真話，即12n20故1與3則10n但不存在既滿足12n20，又滿足10n的正整數(shù)n②故D1是假話，即n20則2是真話，即n故2、1、3則2是真話，即0n0故B3是假話則1是真話，即4n0注意到，符合84n90且n為質(zhì)數(shù)的只有n89，即這個數(shù)是89【第10題】BCE，作等邊，聯(lián)結(jié)AF，作平行AF于點G，作EH平行AF交邊于點H，作G

FH

A

。若BDF的面積為45，DEF的面積為30，則GIHJ【分析與解】幾何，等積變形，燕尾模型延長AF交BC于點K，分別聯(lián)結(jié)AD、AE由共邊模型，得BD:DESBDF:SDEF45:303:2又因為BC3DE326:CE32:1因為//所以DK:BKDF:AB1:3所以DK:BD=1:2因為FED=ACB60//所以EK:CKEF:AC1:3所以EK:CK1:2因為BD:DE:CE3:2:1BDDKEKCE

313::22

6:3:1:2根據(jù)燕尾模型，SADF:SAEFDK:EK3:1而注意到，SADFAFGI2,SAEFAFHJ2故GI:HJSADF:SAEF3:1即GJHJ3【第11題】一個55的方由25個11的格組，個方都分成個同等三形，其中三個被涂成了黑色如圖a所示。小正方形的如果位于黑色部分，就為黑邊，反之就白在55的方有共方的公邊須同那么55方格四邊（圖b所示）最有 黑邊【分析與解】角上的小方格，每個有2條邊在外面，故其中至少有1條是黑邊這樣55方格的四條長邊上，黑邊不少于144條35525個小方格一共有3而在55（）則四條長邊上的黑邊的條數(shù)為奇數(shù)所以55方格的四條長邊上，黑邊不少于5條如圖所示為55方格的四條長邊上有5條黑邊的例子綜上所述，55方格的四條長邊上至少有5條黑邊【第12題】如圖，在88的正方網(wǎng)格，B兩點各有一臭蟲（A點處的蟲我們其為a臭蟲，B點處臭我稱為b臭臭每走1（向、下向、右這個方向選中一個方向走。若b臭蟲走兩個，a臭蟲走三格，最后b臭蟲與A點的距離小于等于a臭與A點距的法有 種【分析與解】計數(shù)，乘法原理，加法原理，排列，組合⑴b臭蟲走2格，最后bA3格，最后bA1格5或，后b臭蟲離A點 格（21長方的角）5或以及其排列，最后bA1格或以及其排列，最后bA1格以及其排列，最后b臭蟲距離A點1格2最后b臭蟲距離A點1格，有14P29種走法252最后b臭蟲離A點 格（21長形的角有22P26種走法52最后b臭蟲距離A點3格，有1種走法⑵a臭蟲走3格或或或，最后a臭蟲距離A點3格或或或以及其排列的，最后a臭蟲距離A點1格或或或或或或或以及其排列5最后aA點5

格（21）53 2 或或或以及其排列，最后a臭蟲距離A點1格最后a臭出距離A點1格，有4C1C24P33653 2 最后aA點

格（21，有8C1C24種走法3 最后a抽出距離A點3格，有43 ⑶最后b臭蟲與A點的距離小于等于a臭蟲與A點距離⑷當(dāng)最后b臭出距離A點1格5則最后a臭出距離A點1格或有936244964576種5

格（213格5②當(dāng)后b臭出離A點 格（21長方的角）55則最后a臭出距離A點5有6244168種

格（213格③當(dāng)最后bA3則最后aA3格有144種綜上所述，最后b臭蟲與A點的距離小于等于a臭蟲與A點的距離的走法有5761684748種三、動手動腦題【第13題】甲、乙兩車分別從B兩地同時出發(fā)（甲從A地出發(fā)40千米50B900BA50AB40/AB40BA50/B40/502016【分析與解】行程問題，多次相遇40/AB50/BA50/BA40/AB在甲、乙各走了一個來回的過程中，甲、乙相遇了2次210082016次2016B甲的速度為50千米/時，乙的速度為40千米/時則甲、乙的速度比為50:405:4甲、乙的路程比也為5:4其中甲行駛了900

55

500km故當(dāng)兩車第2016次相遇時，甲車行駛的路程相等于1008個來回再去掉這500千米，即為900100825001813900km【第14題】DyyxxyAxy的值BB（Byx1）Bxy的值A(chǔ)xy的值不超過20xy的值，那xy的值了B說：我知道xy的值了求：x和y的值了【分析與解】邏輯推理⑴由“B不知道xy的值”可得將xy的乘積折成兩個正整數(shù)的乘積方法不唯一即xy既不是1也不是質(zhì)數(shù)，xy為合數(shù)⑵再由“xy20這個提示下，B知道了xy的值”可得將合數(shù)xy的乘積折成兩個和不大于20的正整數(shù)的乘積方法唯一確定2137,22211,2555,26213,2739,33311,34217,3557，39313,44411,4977,50510,51317,52413,5469,55511，6379,65513,66611,75515,77711,80810,8199,888112137222112555262137222112555262132739333113421735573710211135510213153912311142171957123931344411497750510513175241354695551