2023-2024學(xué)年湖南省長沙市高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題合集2套（含解析）

2023-2024學(xué)年湖南省長沙市高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題一、單選題1．以下各幾何體中，是棱柱的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定的條件，利用棱柱的定義直接判斷作答.【詳解】對(duì)于A，幾何體是三棱錐，不是棱柱，A不是；對(duì)于B，幾何體有兩個(gè)平面平行，其余各面都是梯形，不是棱柱，B不是；對(duì)于C，幾何體有兩個(gè)平面平行，其余各面都是梯形，不是棱柱，C不是；對(duì)于D，幾何體有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，是棱柱，D是.故選：D2．已知點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的坐標(biāo)表示求解作答.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，所以.故選：B3．已知是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，下列向量中能作為平面的一個(gè)基底的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量基底的意義，逐項(xiàng)判斷即可作答.【詳解】是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，對(duì)于A，，即向量共線，A不是；對(duì)于B，，即向量共線，B不是；對(duì)于D，，即向量共線，D不是；對(duì)于C，因?yàn)椋聪蛄颗c不共線，則向量與能作為平面的一個(gè)基底，C是.故選：C4．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用虛數(shù)單位i的意義求出復(fù)數(shù)z即可判斷作答.【詳解】依題意，復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限.故選：C5．已知球的表面積為，則它的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出球O的半徑，再利用球的體積公式計(jì)算作答.【詳解】球的表面積為，設(shè)球O的半徑為R，則有，解得，所以球的體積為.故選：A6．已知復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別為和4，則實(shí)數(shù)和的值分別是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)的概念列式計(jì)算作答.【詳解】，復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別為和4，因此，解得，所以實(shí)數(shù)和的值分別是.故選：D7．設(shè)是空間中的兩條直線，是空間中的兩個(gè)平面，下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則與相交C．若，則D．若，則與沒有公共點(diǎn)【答案】D【分析】ABC可舉出反例，D選項(xiàng)可利用反證法得到證明.【詳解】A選項(xiàng)，若，則，或與異面，如圖1，滿足，但與不平行，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，若，則與平行或相交，如圖2，滿足，但與平行，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，若，則，或與異面，如圖3，滿足，但不滿足，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，結(jié)合C選項(xiàng)的分析可知：若，則，或與異面，即與沒有公共點(diǎn)，假設(shè)與有公共點(diǎn)，設(shè)公共點(diǎn)為，則，則，但，故矛盾，假設(shè)不成立，即與沒有公共點(diǎn)，D正確.故選：D8．在平行四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)為中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)，用表示出即可求解作答.【詳解】平行四邊形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，如圖，則，而點(diǎn)為的中點(diǎn)，有，由得：，則有，所以.故選：C二、多選題9．已知中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，則的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)給定條件，利用余弦定理求解判斷作答.【詳解】在中，，由余弦定理得：，即，解得或，所以的值可能是1或2.故選：AD10．下列四個(gè)命題中，真命題為（

）A．若復(fù)數(shù)滿足，則 B．若復(fù)數(shù)滿足，則C．若復(fù)數(shù)滿足，則 D．若復(fù)數(shù)，滿足，則【答案】AB【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)實(shí)部和虛部特點(diǎn)，利用特值法依次判斷選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，若復(fù)數(shù)，設(shè)，其中，則，則選項(xiàng)A正確；對(duì)選項(xiàng)B，若設(shè)，其中，且，則，則選項(xiàng)B正確；對(duì)選項(xiàng)C，若，設(shè)，則，但，則選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，若復(fù)數(shù)，滿足，設(shè)，，則，而，則選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AB.11．正四棱雉的底面邊長為，外接球的表面積為，則正四棱雉的高可能是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】作圖，根據(jù)圖中幾何關(guān)系求解.【詳解】依題意外接球的球心可能在錐內(nèi)，也可能在錐外，如果在錐內(nèi)如下圖：其中是正方形ABCD的中心，O是外接球的球心，∵是正四棱錐，平面ABCD，，設(shè)外接球的半徑為R，則，，在中，，；如果在錐外，如下圖：；故選：CD.12．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合平面向量數(shù)量積、用坐標(biāo)求向量的模、共線向量的坐標(biāo)表示逐項(xiàng)計(jì)算判斷作答.【詳解】對(duì)于A，，，與不垂直，A不正確；對(duì)于B，，有，B正確；對(duì)于C，，有，C不正確；對(duì)于D，，由選項(xiàng)C知，，D正確.故選：BD三、填空題13．已知復(fù)數(shù),則_______【答案】5【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，即可求解，得到答案.【詳解】由題意知，復(fù)數(shù)，則，故答案為5.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的模的計(jì)算，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于容易題.14．如圖，是水平放置的斜二測(cè)直觀圖，其中，，則原圖形的面積是_____________．【答案】【分析】根據(jù)圖形可知：在中，，再利用斜二測(cè)畫法可知：，，進(jìn)而可求的面積.【詳解】因?yàn)榕c軸重合，與軸重合，所以，所以在中，，故為直角三角形.又由斜二測(cè)畫法可知：在中，，，所以，故答案為：.15．若復(fù)數(shù)滿足，則___________．【答案】##【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求解作答.【詳解】復(fù)數(shù)滿足，所以.故答案為：16．已知，且，則與的夾角的余弦值______________________________．【答案】##-0.5【分析】利用，得到，根據(jù)，列出方程，可求出.【詳解】，，得，解得故答案為：四、解答題17．如圖，四面體的各棱長均為，求它的表面積．【答案】.【分析】利用四面體表面積的意義直接計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)樗拿骟w的各棱長均為，于是得四面體的四個(gè)面是全等的正三角形，所以四面體的表面積.18．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值．【答案】.【分析】根據(jù)給定條件，利用純虛數(shù)的定義列式計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，又，于是得，解得，所以實(shí)數(shù)的值為.19．如圖，在棱長為的正方體中，求三棱錐的體積．【答案】.【分析】根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，利用錐體體積公式求出體積作答.【詳解】在棱長為的正方體中，是三棱錐底面上的高，所以三棱錐的體積.20．如圖，正方形中，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，求的余弦值．【答案】【分析】運(yùn)用平面向量數(shù)量積的方法求解.【詳解】設(shè)正方形ABCD的邊長為2，，則有，

，，

；綜上，.21．已知復(fù)數(shù)是方程的一個(gè)根，求和的值．【答案】p=6，q=10【分析】根據(jù)一元二次方程的根的性質(zhì)和韋達(dá)定理求解.【詳解】由一元二次方程根的性質(zhì)可知：是方程的另一個(gè)根，由韋達(dá)定理知：；綜上，.22．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．(1)求．(2)若，求．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦求解作答.（2）利用（1）結(jié)合余弦定理，求出，再利用三角形面積定理求解作答.【詳解】（1）在中，由正弦定理及得：，即有，而，有，因此，又，所以.（2）由（1）知，，又，由余弦定理得，，解得，所以的面積.2023-2024學(xué)年湖南省長沙市高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．已知向量，，則（

）A． B． C． D．4．設(shè)非零實(shí)數(shù)滿足，則下列不等式中一定成立的是A． B． C． D．5．如圖，是水平放置的△AOB的直觀圖，但部分圖象被茶漬覆蓋，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)、均在坐標(biāo)軸上，且△AOB的面積為12，則的長度為（

）A．1 B．2 C．3 D．46．直線a⊥平面，b∥，則a與b的關(guān)系為A．a(chǎn)⊥b且a與b相交 B．a(chǎn)⊥b且a與b不相交C．a(chǎn)⊥b D．a(chǎn)與b不一定垂直7．在中，分別為角的對(duì)邊，若，則（

）A．1 B．C．2 D．8．平行四邊形中，，，，點(diǎn)在邊上，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有錯(cuò)選的得0分）9．下列關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題，其中為真命題的是（

）A． B．z的虛部為iC．z的共軛復(fù)數(shù)為 D．10．函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．為偶函數(shù)B．的最小正周期為C．在區(qū)間上先減后增D．的圖象關(guān)于對(duì)稱11．如圖，在正方體中，、、分別是、、的中點(diǎn)，有下列四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．與是異面直線； B．、、相交于一點(diǎn)；C．； D．平面.12．“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（

）A．若，則為的重心B．若為的內(nèi)心，則C．若，，為的外心，則D．若為的垂心，，則三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．化簡(jiǎn)：_______．14．若一個(gè)圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開圖的圓心角大小為，則該圓錐的高為__________.15．寫出使“不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立”的的一個(gè)取值______．16．如圖，中，為邊的中點(diǎn)，為線段上的任意一點(diǎn)（不含，），且，（x，），若恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為_______．

四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．）17．若函數(shù)的部分圖象如下圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)，且，求的值.18．在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足，．（Ⅰ）求的面積；（Ⅱ）若，求的值．19．如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓上一點(diǎn)，M是PB的中點(diǎn)，平面ABC，且，，.（1）求證:平面PAC；（2）求三棱錐M—ABC體積.20．如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個(gè)截面，若截面為平行四邊形.(1)求證：AB∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長的取值范圍.21．已知函數(shù)滿足：①；②.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若對(duì)任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為200萬元，每生產(chǎn)千件，需另投入成本為，當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí)，（萬元）．當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí)，（萬元）．每件商品售價(jià)為0.05萬元．通過市場(chǎng)分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完．（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？答案解析1．B【分析】由題得，再求.【詳解】由題得，所以.故選：B2．B【分析】計(jì)算出，則可選出答案.【詳解】，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第二象限.故選：B3．A【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量共線、垂直的條件逐項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)即可求解.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，所以，則，所以，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以，則不存在實(shí)數(shù)λ使得，所以與不共線，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，，且不存在?shí)數(shù)λ使得，所以與不共線，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，，且，所以與不垂直，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：A.4．D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可得正確的選項(xiàng).【詳解】取，則，故A錯(cuò).取，則，，故B、C錯(cuò).∵，∴．故選：D．本題考查不等式的性質(zhì)，說明一個(gè)不等式不成立，需舉出反例，本題屬于基礎(chǔ)題.5．B【分析】畫出△AOB的原圖，根據(jù)三角形△AOB的面積為12可得答案.【詳解】畫出△AOB的原圖為直角三角形，且，因?yàn)?，所以，所?故選：B.6．C【詳解】，則存在直線有．又因?yàn)?，所以，從而可得．而可能相交也可能異面，故選C7．B【分析】利用余弦定理求解即可.【詳解】因?yàn)樵谥?，，所以，解?故選：B.8．C【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，把的取值范圍轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的值域問題，即可求得本題答案.【詳解】作，垂足為，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，軸建立如下圖的平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，?所以，在直角中，因?yàn)?，，所以，，則，設(shè)，所以，所以，因?yàn)槎魏瘮?shù)開口向上，對(duì)稱軸為，且，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，當(dāng)時(shí)，取最大值，所以的取值范圍是.故選：C9．AD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】,故虛部為1，B錯(cuò)誤；其共軛復(fù)數(shù)為，C錯(cuò)誤；，A正確；，故D正確，故選：AD10．AC【分析】由題可得，然后結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)分析即得.【詳解】由輔助角公式可得：，對(duì)A，由題可知，為偶函數(shù)，A正確；對(duì)B，最小正周期，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，令，，在區(qū)間先減后增，故C正確；對(duì)D，，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，D錯(cuò)誤.故選：AC．11．BD【分析】本題首先可根據(jù)、判斷出A錯(cuò)誤，然后根據(jù)平面平面得出B正確，再然后根據(jù)得出C錯(cuò)誤，最后根據(jù)線面平行的判定即可證得D正確.【詳解】A項(xiàng)：如圖，連接、、，因?yàn)?、分別是、的中點(diǎn)，多面體是正方體，所以，，，因?yàn)椋耘c是同一平面內(nèi)的相交直線，A錯(cuò)誤；B項(xiàng)：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面，所以、、相交于一點(diǎn)，B正確；C項(xiàng)：如圖，連接與交于點(diǎn)，連接、，由正方體性質(zhì)易知，是中點(diǎn)，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，，因?yàn)?，，所以，，故四邊形是平行四邊形，，易知C錯(cuò)誤；D項(xiàng)：因?yàn)?，平面，平面，所以平面，D正確，故選：BD.12．ABD【分析】對(duì)A，取BC的中點(diǎn)D，連接MD，AM，結(jié)合奔馳定理可得到，進(jìn)而即可判斷A；對(duì)B，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，從而可用表示出，，，再結(jié)合奔馳定理即可判斷B；對(duì)C，設(shè)的外接圓半徑為，根據(jù)圓的性質(zhì)結(jié)合題意可得，，，從而可用表示出，，，進(jìn)而即可判斷C；對(duì)D，延長AM交BC于點(diǎn)D，延長BO交AC于點(diǎn)F，延長CO交AB于點(diǎn)E，根據(jù)題意結(jié)合奔馳定理可得到，，從而可設(shè)，，則，，代入即可求解，進(jìn)而即可判斷D．【詳解】對(duì)于A，取BC的中點(diǎn)D，連接MD，AM，由，則，所以，所以A，M，D三點(diǎn)共線，且，設(shè)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，同理可得，，所以為的重心，故A正確；對(duì)于B，由為的內(nèi)心，則可設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則有，，，所以，即，故B正確；對(duì)于C，由為的外心，則可設(shè)的外接圓半徑為，又，，則有，，，所以，，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖，延長AM交BC于點(diǎn)D，延長BM交AC于點(diǎn)F，延長CM交AB于點(diǎn)E，由為的垂心，，則，又，則，，設(shè)，，則，，所以，即，所以，所以，故D正確；故選：ABD．關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答D選項(xiàng)的關(guān)鍵是通過做輔助線（延長AM交BC于點(diǎn)D，延長BO交AC于點(diǎn)F，延長CO交AB于點(diǎn)E），根據(jù)題意，結(jié)合奔馳定理得到，，再設(shè)，，得到，，進(jìn)而即可求解．13．##【分析】利用兩角差的正弦公式即可求解.【詳解】.故14．【分析】設(shè)圓錐的母線長為，由已知得，求得，由勾股定理可得解.【詳解】圓錐的底面半徑為1，故圓錐的底面周長為，設(shè)圓錐的母線長為根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長等于圓錐底面周長可得：，解得：所以圓錐的高故15．（答案不唯一）【分析】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和不等式的性質(zhì)，可得所求取值．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，由，可得；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，由，可得．因?yàn)椴坏仁綄?duì)一切實(shí)數(shù)都成立，所以，所以的取值可為．故（答案不唯一）．16．8【分析】由題意易知，由此即可求出的最小值，即為a的最大值.【詳解】因?yàn)?，?三點(diǎn)共線，則，,所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取“=”.所以的最大值為8.故817．(1)，(2)．【分析】（1）根據(jù)圖象結(jié)合正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)，即可求出；（2）根據(jù)同角三角函數(shù)之間的關(guān)系求，再利用角的變換技巧，利用兩角和的正弦公式即可求出.【詳解】（1）由圖得，．，解得，于是由，得．所以，因?yàn)楹瘮?shù)圖象過點(diǎn)，所以所以，所以，即又，所以，所以．（2）因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋?，所以?/p>

所以=．18．（1）；（2）.【分析】（1）利用二倍角公式由已知可得；根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算，由得，再由三角形面積公式去求的面積；（2）由（1）知，又，解方程組可得或，再由余弦定理去求的值．【詳解】（1）因?yàn)?，所以又，所以，由，得，所以故的面積（2）由，且，得或由余弦定理得，故考點(diǎn)：（1）二倍角公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式；（2）余弦定理．19．（1）證明見解析（2）2【分析】（1）依題意可得，再由平面，得到，即可證明平面；（2）連接，可證，即可得到平面，為三棱錐的高，再根據(jù)錐體的體積公式計(jì)算可得；【詳解】（1）證明:因?yàn)槭前雸A的直徑，所以.因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，且所以平?（2）解:因?yàn)椋?，所以?連接.因?yàn)?、分別是，的中點(diǎn)，所以，.又平面.所以平面.因此為三棱錐的高.所以.本題考查線面垂直的證明，錐體的體積的計(jì)算，屬于中檔題.20．(1