2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)上學(xué)期-第1章 一元二次方程（拔高卷）教師版

PAGE12023-2024學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)章節(jié)真題匯編檢測(cè)卷（拔高）第1章一元二次方程考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：100分難度系數(shù)：0.39一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023秋?淇濱區(qū)校級(jí)月考）關(guān)于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②；③3x2﹣4x+5＝0；④x2﹣1+2x2＝0．其中一元二次方程的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：①ax2+bx+c＝0，當(dāng)a＝0時(shí)，該方程不是一元二次方程；②屬于分式方程；③3x2﹣4x+5＝0符合一元二次方程的定義；④x2﹣1+2x2＝0是一元二次方程，綜上所述，其中一元二次方程的個(gè)數(shù)是2個(gè)．故選：B．2．（2分）（2023秋?江漢區(qū)校級(jí)月考）李師傅去年開了一家商店，今年1月份開始盈利，2月份盈利2000元，4月份的盈利達(dá)到2880元，且從2月到4月，若每月盈利的平均增長(zhǎng)率都相同．那么按照這個(gè)平均增長(zhǎng)率，預(yù)計(jì)五月份這家商店的盈利將達(dá)到（）元．A．3320 B．3440 C．3450 D．3456解：設(shè)每月盈利的平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，2000（1+x）2＝2880，解得：（舍去），五月份這家商店的盈利為（元）．故選：D．3．（2分）（2023春?大觀區(qū)校級(jí)期末）下列一元二次方程中，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根的是（）A．x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2﹣5x+2＝0 C．x2﹣4x+4＝0 D．4（x﹣1）（x+3）＝﹣5解：A．∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，∴x2﹣3x﹣1＝0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)不符合題意；B．∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×2×2＝9＞0，∴2x2﹣5x+2＝0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)不符合題意；C．∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×4＝0，∴x2﹣4x+4＝0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)符合題意；D．整理得4x2+8x﹣7＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝82﹣4×4×（﹣7）＝176＞0，∴x2﹣2x﹣3＝0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)不符合題意．故選：C．4．（2分）（2023?興寧區(qū)校級(jí)開學(xué)）在一次聚會(huì)上，每?jī)蓚€(gè)人之間都互相贈(zèng)送了一份禮物，若一共送出了90份禮物，則參加聚會(huì)的人有（）A．9人 B．10人 C．11人 D．12人解：設(shè)參加聚會(huì)的同學(xué)有x人，則每人需贈(zèng)送出（x﹣1）份禮物，依題意得：x（x﹣1）＝90，整理得：x2﹣x﹣90＝0，解得：x1＝10，x2＝﹣9（不符合題意，舍去），∴參加聚會(huì)的同學(xué)有10人．故選：B．5．（2分）（2022秋?天河區(qū)校級(jí)期末）若α，β是方程x2+2x﹣2024＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則α2+3α+β的值為（）A．2015 B．2022 C．﹣2015 D．4010解：∵α，β是方程x2+2x﹣2024＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴α+β＝﹣2，α2+2α＝2024，∴原式＝α2+2α+α+β＝2024+（﹣2）＝2022．故選：B．6．（2分）（2021?武進(jìn)區(qū)校級(jí)自主招生）設(shè)關(guān)于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．解：方法1、∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a≠0且Δ＞0，由（a+2）2﹣4a×9a＝﹣35a2+4a+4＞0，解得﹣＜a＜，∵x1+x2＝﹣，x1x2＝9，又∵x1＜1＜x2，∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，即9++1＜0，解得＜a＜0，最后a的取值范圍為：＜a＜0．故選D．方法2、由題意知，a≠0，令y＝ax2+（a+2）x+9a，由于方程的兩根一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，∴拋物線與x軸的交點(diǎn)分別在1兩側(cè)，當(dāng)a＞0時(shí)，x＝1時(shí)，y＜0，∴a+（a+2）+9a＜0，∴a＜﹣（不符合題意，舍去），當(dāng)a＜0時(shí)，x＝1時(shí)，y＞0，∴a+（a+2）+9a＞0，∴a＞﹣，∴﹣＜a＜0，故選：D．7．（2分）（2018?鞍山）若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＞且k≠0 B．k＜且k≠0 C．k≤且k≠0 D．k＜解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有實(shí)數(shù)根，∴k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4k≥0，解得：k≤且k≠0．故選：C．8．（2分）（2022秋?歷下區(qū)期中）給定正實(shí)數(shù)a，b且2a＞b．若實(shí)數(shù)x，y滿足ax2﹣bxy+ay2＝1，那么x2+y2的最大值與最小值的和是（）A． B． C． D．解：∵（x﹣y）2≥0，∴xy≤（x2+y2），∴ax2﹣bxy+ay2≥a（x2+y2）﹣?b（x2+y2），∵ax2﹣bxy+ay2＝1，∴（a﹣b）（x2+y2）≤1，∵2a﹣b＞0，∴x2+y2≤，∴x2+y2的最大值為，∵（x+y）2≥0，∴xy≥﹣（x2+y2），∴ax2﹣bxy+ay2≤a（x2+y2）+?b（x2+y2），∵ax2﹣bxy+ay2＝1，∴（a+b）（x2+y2）≥1，∴x2+y2≥，∴x2+y2的最小值為，∴+＝，故選：C．9．（2分）（2022?揚(yáng)州一模）已知x1、x2、x3為方程x3+3x2﹣9x﹣4＝0的三個(gè)實(shí)數(shù)根，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．x1x2x3＜0 B．x1+x2﹣x3＞0 C．x1﹣x2﹣x3＞0 D．x1+x2+x3＜0解：∵x3+3x2﹣9x﹣4＝0，當(dāng)x＝0時(shí)，﹣4≠0，∴x2+3x﹣9﹣＝0，∴x1、x2、x3可以看作是拋物線y＝x2+3x﹣9與反比例函數(shù)y＝的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由函數(shù)圖象可知x1x2x3＞0，x1+x2+x3＜0，根據(jù)已知條件無(wú)法判定x1+x2﹣x3＞0，x1﹣x2﹣x3＞0，故選：D．10．（2分）（2021秋?鯉城區(qū)校級(jí)期中）如圖，M是△ABC三條角平分線的交點(diǎn)，過(guò)M作DE⊥AM，分別交AB、AC于D，E兩點(diǎn)，設(shè)BD＝a，DE＝b，CE＝c，關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（）A．一定有兩個(gè)相等實(shí)根 B．一定有兩個(gè)不相等實(shí)根 C．有兩個(gè)實(shí)根，但無(wú)法確定是否相等 D．無(wú)實(shí)根解：∵AM平分∠BAC，DE⊥AM，∴∠ADM＝∠AEM，MD＝ME＝DE＝b，∴∠BDM＝∠MEC＝90°+∠BAC，∴∠BMC＝90°+∠BAC，∴∠BDM＝∠MEC＝∠BMC，∵M(jìn)是△ABC的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，∴△DBM∽△MBC，同理可得出：△BMC∽△MEC，∴△DBM∽△EMC，∴，∴BD?EC＝MD?ME，即：ac＝b2，即Δ＝b2﹣4ac＝0，故選：A．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023秋?江岸區(qū)校級(jí)月考）設(shè)m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的兩個(gè)根，則2m2﹣5m+n的值為5．解：∵m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的兩個(gè)根，∴m2﹣3m＝1，m+n＝3，∴2m2﹣5m+n＝2（m2﹣3m）+（m+n）＝2+3＝5．故答案為：5．12．（2分）（2023春?招遠(yuǎn)市期末）小華在解一元二次方程x2＝x時(shí)，只得出一個(gè)根是x＝1，則被他漏掉的一個(gè)根是x＝0．解：x2＝x，x2﹣x＝0，x（x﹣1）＝0，x＝0，x﹣1＝0，x＝0，x＝1，故答案為：x＝0．13．（2分）（2023春?乳山市期末）已知m是方程x2﹣2x﹣2＝0的一個(gè)根，則1﹣m2+2m的值為﹣1．解：∵m是方程x2﹣2x﹣2＝0的一個(gè)根，∴m2﹣2m﹣2＝0，即m2﹣2m＝2，∴1﹣m2+2m＝1﹣（m2﹣2m）＝1﹣2＝﹣1．故答案為：﹣1．14．（2分）（2023?越秀區(qū)校級(jí)開學(xué)）最近國(guó)家出臺(tái)了一系列的政策，全國(guó)各地房市遇冷，以上海某地一處小區(qū)二手房為例，原價(jià)600萬(wàn)元，經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)，現(xiàn)價(jià)為486萬(wàn)元，則平均降價(jià)率為10%．解：設(shè)平均降價(jià)率為x，由題意可得，600（1﹣x）2＝486x1＝0.1，x2＝1.9（舍去）；0.1×100%＝10%，故答案為：10%．15．（2分）（2023春?上城區(qū)期末）有學(xué)者認(rèn)為，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米的《代數(shù)學(xué)》關(guān)于一元二次方程的幾何求解法與中國(guó)古代數(shù)學(xué)的“出入相補(bǔ)原理”相近，可能受到中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的影響．花拉子米關(guān)于x2+10x＝39的幾何求解方法如圖1，在邊長(zhǎng)為x的正方形的四個(gè)邊上向外做邊長(zhǎng)為x和的矩形，再把它補(bǔ)充成一個(gè)邊長(zhǎng)為x+5的大正方形，我們得到大正方形的面積為（x+5）2＝x2+10x+25＝39+25＝64（因?yàn)閤2+10x＝39）．所以大正方形邊長(zhǎng)為x+5＝8，得到x＝3．思考：當(dāng)我們用這種方法尋找x2+6x＝7的解時(shí)，如圖2中間小正方形的邊長(zhǎng)x為1；陰影部分每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為．?解：∵x2+6x+4×（）2＝7+9＝16＝42＝（x+3）2，∴x+3＝4，∴x＝1，∴如圖2中間小正方形的邊長(zhǎng)x為1；陰影部分每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，故答案為：1，．16．（2分）（2023春?定遠(yuǎn)縣期中）如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另外一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關(guān)于倍根方程的說(shuō)法，正確的有②③④（填序號(hào)）①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：則4m2+5mn+n2＝0；③若p，q滿足pq＝2，則關(guān)于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，則必有2b2＝9ac．解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2，∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；故①不正確；②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，因此x2＝1或x2＝4，當(dāng)x2＝1時(shí)，m+n＝0，當(dāng)x2＝4時(shí)，4m+n＝0，∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，故②正確；③∵pq＝2，則：px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，∴x1＝﹣，x2＝﹣q，∴x2＝﹣q＝﹣＝2x1，因此是倍根方程，故③正確；④方程ax2+bx+c＝0的根為：x1＝，x2＝，若x1＝2x2，則，＝×2，即，﹣×2＝0，∴＝0，∴＝0，∴3＝﹣b∴9（b2﹣4ac）＝b2，∴2b2＝9ac．若2x1＝x2時(shí)，則，×2＝，即，則，×2﹣＝0，∴＝0，∴﹣b+3＝0，∴b＝3，∴b2＝9（b2﹣4ac），∴2b2＝9ac．故④正確，故答案為：②③④17．（2分）（2023?沂源縣一模）如果恰好只有一個(gè)實(shí)數(shù)a是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0的根，則k的值為±3或﹣5．解：①當(dāng)原方程是一個(gè)一元一次方程時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則k2﹣9＝0，解得k＝±3，②如果方程是一元二次方程時(shí)，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即Δ＝b2﹣4ac＝0，即：4（k+1）2﹣4（k2﹣9）＝0解得：k＝﹣5．故答案為±3或﹣5．18．（2分）（2022?新市區(qū)校級(jí)三模）已知：m、n是方程x2+2x﹣1＝0的兩根，則（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝7．解：∵m、n是方程x2+2x﹣1＝0的兩根，∴m+n＝﹣2，mn＝﹣1，m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，∴（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝（m2+2m﹣1+m+4）（n2+2n﹣1+n+4）＝（m+4）（n+4）＝mn+4（m+n）+16＝﹣1+4×（﹣2）+16＝7，故答案為：7．19．（2分）（2022秋?曲陽(yáng)縣期中）一個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)是6，腰長(zhǎng)是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一個(gè)根，則此三角形的周長(zhǎng)是14．解：解方程x2﹣7x+12＝0得：x＝3或4，當(dāng)腰為3時(shí)，三角形的三邊為3，3，6，3+3＝6，此時(shí)不符合三角形三邊關(guān)系定理，此時(shí)不行；當(dāng)腰為4時(shí)，三角形的三邊為4，4，6，此時(shí)符合三角形三邊關(guān)系定理，三角形的周長(zhǎng)為4+4+6＝14，故答案為：14．20．（2分）（2022?溫江區(qū)校級(jí)自主招生）若關(guān)于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是m＝1或m＞2．解：當(dāng)1﹣m2＝0時(shí)，m＝±1．當(dāng)m＝1時(shí)，可得2x﹣1＝0，x＝，符合題意；當(dāng)m＝﹣1時(shí)，可得﹣2x﹣1＝0，x＝﹣，不符合題意；當(dāng)1﹣m2≠0時(shí)，（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0，[（1+m）x﹣1][（1﹣m）x+1]＝0，∴x1＝，x2＝．∵關(guān)于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正實(shí)數(shù)，∴0＜＜1，解得m＞0，0＜＜1，解得m＞2．綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m＝1或m＞2．故答案為：m＝1或m＞2．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023秋?吉安縣校級(jí)月考）解方程：（1）；（2）（x﹣2）（x+2）＝2x﹣4．解：（1）方程可化為（x+1）2＝100，直接開平方，得x+1＝±10，x1＝﹣11，x2＝9；（2）（x﹣2）（x+2）＝2（x﹣2），（x﹣2）（x+2﹣2）＝0，x（x﹣2）＝0，x＝0或x﹣2＝0，x1＝0，x2＝2．22．（6分）（2023秋?五華區(qū)校級(jí)月考）解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0時(shí)，我們可以將x2﹣1視為一個(gè)整體，設(shè)x2﹣1＝y(tǒng)，則y2＝（x2﹣1）2，原方程化為y2﹣5y+4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4．當(dāng)y＝1時(shí)，x2﹣1＝1，x2＝2，∴x＝±；當(dāng)y＝4時(shí)，x2﹣1＝4，x2＝5，∴x＝±．∴原方程的解為，，，．以上方法就叫換元法，達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．運(yùn)用上述方法解答下列問(wèn)題：（1）x4﹣3x2﹣4＝0；（2）（x2+2x）2﹣（x2+2x）﹣6＝0．解：（1）x4﹣3x2﹣4＝0，（x2）2﹣3x2﹣4＝0，（x2﹣4）（x2+1）＝0，x2﹣4＝0，x2+1＝0，解得：x2＝4，x2＝﹣1（不合題意，舍去），則x1＝2，x2＝﹣2．（2）設(shè)y＝x2+2x，則y2﹣y﹣6＝0∵（y﹣3）（y+2）＝0，y＝3，y＝﹣2當(dāng)y＝3時(shí)，x2+2x﹣3＝0，x1＝﹣3，x2＝1，當(dāng)y＝﹣2時(shí)，x2+2x+2＝0，無(wú)解．故方程的解為x1＝﹣3，x2＝1，23．（8分）（2023秋?五華區(qū)校級(jí)月考）加強(qiáng)勞動(dòng)教育，落實(shí)五育并舉．為培養(yǎng)學(xué)生的勞動(dòng)實(shí)踐能力，學(xué)校計(jì)劃在長(zhǎng)為12m．寬為9m的矩形土地正中間建一座矩形的勞動(dòng)實(shí)踐大棚，并使大棚的占地面積為88m2．建成后，大棚外圍留下寬度都相同的區(qū)域，這個(gè)寬度應(yīng)設(shè)計(jì)為多少米？解：設(shè)這個(gè)寬度應(yīng)設(shè)計(jì)為xm，則矩形大棚的長(zhǎng)為（12﹣2x）m，寬為（9﹣2x）m，由題意得：（12﹣2x）（9﹣2x）＝88，解得x＝0.5或x＝10，因?yàn)楫?dāng)x＝10時(shí)，12﹣2x＝﹣8＜0，不符題意，舍去，所以這個(gè)寬度應(yīng)設(shè)計(jì)為0.5m．24．（8分）（2023春?龍口市期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別以3cm/s，2cm/s的速度從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，沿規(guī)定路線移動(dòng)．（1）若點(diǎn)P從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B停止，點(diǎn)Q隨點(diǎn)P的停止而停止移動(dòng)，問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間P，Q兩點(diǎn)之間的距離是10cm？（2）若點(diǎn)P沿著AB→BC→CD移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D停止時(shí)，點(diǎn)P隨點(diǎn)Q的停止而停止移動(dòng)，試探求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間△PBQ的面積為12cm2？解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥CD于E，設(shè)x秒后，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10cm．（16﹣2x﹣3x）2+62＝102，∴，；∴經(jīng)過(guò)或，P、Q兩點(diǎn)之間的距離是10cm；（2）連接BQ．設(shè)經(jīng)過(guò)ys后△PBQ的面積為12cm2．①當(dāng)時(shí)，PB＝16﹣3y，∴，即，解得y＝4；②當(dāng)時(shí)，BP＝3y﹣16，QC＝2y，則，解得（舍去）；③時(shí)，QP＝CQ﹣PC＝22﹣y，則，解得y＝18（舍去）．綜上所述，經(jīng)過(guò)4秒或6秒，△PBQ的面積為12cm2．25．（8分）（2023?長(zhǎng)陽(yáng)縣一模）甲，乙兩工程隊(duì)共同承建某高速鐵路橋梁工程，橋梁總長(zhǎng)5000米．甲，乙分別從橋梁兩端向中間施工，計(jì)劃每天各施工5米，因地質(zhì)情況不同，兩支隊(duì)伍每合格完成1米橋梁施工所需成本不一樣；甲每合格完成1米橋梁施工成本為10萬(wàn)元，乙每合格完成1米橋梁施工成本為12萬(wàn)．（1）若工程結(jié)算時(shí)，乙總施工成本不低于甲總施工成本的，求甲最多施工多少米．（2）實(shí)際施工開始后，因地質(zhì)情況及實(shí)際條件比預(yù)估更復(fù)雜，甲乙兩隊(duì)每日完成量和成本都發(fā)生變化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a萬(wàn)元時(shí)，則每天可多挖a米．乙在施工成本不變的情況下，比計(jì)劃每天少挖a米．若最終每天實(shí)際總成本在少于150萬(wàn)的情況下比計(jì)劃多（7a﹣12）萬(wàn)元，求a的值．解：（1）設(shè)甲工程隊(duì)施工x米，則乙工程隊(duì)施工（5000﹣x）米，依題意，得：12（5000﹣x）≥×10x，解得：x≤2500．答：甲最多施工2500米．（2）依題意，得：（10+a）（5+a）+12（5﹣a）＝5×（10+12）+7a﹣12，整理，得：a2﹣18a+72＝0，解得：a1＝12，a2＝6．實(shí)際成本：a2+4a+110．當(dāng)a＝12時(shí)，×122+4×12+110＝182＞150，故舍去．當(dāng)a＝6時(shí)，×62+4×6+110＝140＜150，符合題意．答：a的值為6．26．（8分）（2022秋??？谄谀┌儇浬痰攴b柜在銷售中發(fā)現(xiàn)：某品牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了迎接“六一”國(guó)際兒童節(jié)，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝降價(jià)1元，那么平均每天就可多售出2件．（1）現(xiàn)在每件童裝降價(jià)5元，那么每天可售出多少件，每天可盈利多少