四川省成都市彭州市2023-2024學年上學期高三期中考試數(shù)學(理科)試題

彭州市2023~2024學年度上期高三期中教學質(zhì)量調(diào)研理科數(shù)學考試時間120分鐘，滿分150分注意事項：1.答題前，考生務必在答題卡上將自己的姓名?座位號和考號用0.5毫米的黑色簽字筆填寫清楚，考生考試條形碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“貼條形碼區(qū)”2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對應題目標號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它答案；非選擇題用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡的對應區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域答題的答案無效；在草稿紙上?試卷上答題無效.3.考試結(jié)束后由監(jiān)考老師將答題卡收回.一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，則（）A.B.C.D.2.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點的坐標是，則（）A.B.C.D.3.已知命題不是素數(shù)，則為（）A.是素數(shù)B.是素數(shù)C.是素數(shù)D.是素數(shù)4.已知等差數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的公差為（）A.1B.2C.3D.4

5.已知向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件6.2023年“三月三”期間，四川交通部門統(tǒng)計了2023年4月19日至4月25日的高速公路車流量（單位：萬車次），并與2022年比較，得到同比增長率[同比增長率（今年車流量-去年同期車流量）去年同期車流量）]數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的統(tǒng)計圖，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.2023年4月19日至4月25日的高速公路車流量的極差為23B.2023年4月19日至4月25日的高速公路車流量的中位數(shù)為17C.2023年4月19日至4月21日的高速公路車流量的標準差小于2023年4月23日至4月25日的高速公路車流量的標準差D.2022年4月23日的高速公路車流量為20萬車次7.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.C.1D.-1

8.根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復雜度的上限約為，而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)約為，則下列各數(shù)中與最接近的是（）（參考數(shù)據(jù)：）A.B.C.D.9.已知雙曲線的左?右焦點分別為，過斜率為的直線與的右支交于點，若線段與軸的交點恰為的中點，則的離心率為（）A.B.C.2D.3

10.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當時，.若函數(shù)在區(qū)間上有10個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.11.已知，則不等式的解集為（）A.B.C.D.12.已知，對任意，都存在，使得成立，則下列選項中，可能的值為（）A.B.C.D.二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開式中常數(shù)項為__________.14.已知數(shù)列滿足，且，則__________.15.拋物線有如下光學性質(zhì)：過焦點的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線的焦點為，一條平行于軸的光線從點射出，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點射出，則__________.16.已知正數(shù)滿足（e為自然對數(shù)的底數(shù)），有下列四個關(guān)系式：①②③④其中正確的是__________（填序號）.三?解答題：共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.（12分）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若，求的面積.18.（12分）如圖，在四棱錐中，底面，分別為的中點.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.19.（12分）某地區(qū)對某次考試成績進行分析，隨機抽取100名學生的兩門學科成績作為樣本.將他們的學科成績整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，且規(guī)定成績不小于70分為良好.已知他們中學科良好的有50人，兩門學科均良好的有40人.（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有的把握認為這次考試學生的學科良好與學科良好有關(guān)；學科良好學科不夠良好合計學科良好學科不夠良好合計（2）用樣本頻率估計總體概率，從該地區(qū)參加考試的全體學生中隨機抽取3人，記這3人中學科均良好的人數(shù)為隨機變量，求的分布列與數(shù)學期望.附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820.（12分）已知橢圓的左?右頂點分別為，點在橢圓上，且.（1）求橢圓的方程；（2）設橢圓的右焦點為，過點斜率不為0的直線交橢圓于兩點，記直線與直線的斜率分別為，當時，求的面積.21.（12分）已知函數(shù)，其中.（1）當時，證明：；（2）設函數(shù)，若為的極大值點，求的取值范圍.（二）選考題：共10分.請考生在22?23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.22.（10分）在平面直角坐標系中，曲線，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求曲線的極坐標方程；（2）在極坐標系中，射線與曲線分別交于兩點（異于極點），求的長度.23.（10分）已知.（1）當時，求不等式的解集；（2）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍.彭州市2023~2024學年度上期高三期中教學質(zhì)量調(diào)研理科數(shù)學參考答案及評分標準一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.123456789101112AADBBCDDDABC二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.2414.15.16.①②③④解析：16.由題意得，令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，②正確，，①正確，，④正確，，，又在上單調(diào)遞增，，故，從而，設，，又恒成立，在上單調(diào)遞增.從而.三?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.（12分）解：（1），由正弦定理得，，可得，即.，所以；（2）解法1：由正弦定理，，可得，，所以，的面積為.解法2：因為，且，，可得，，，，可得，，，由余弦定理得，即，解得，即，的面積為.18.（12分）解：（1）方法一：綜合法——平行平面的性質(zhì)取的中點，連結(jié)（如圖），由分別為的中點及中位線定理得，，平面平面，平面平面.又平面，平面平面.平面，平面方法二：綜合法——直線與平面平行的判定連結(jié)延長交的延長線于，連結(jié)，，即，又，，又，平面平面，平面.方法三：空間向量方法底面底面，，又，故兩兩垂直，以為原點，分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖：由知：，，，設平面的一個法向量為由得，取得，，又平面，平面（2）方法一：由（1）方法三可得：，，設平面的一個法向量為，由，得，取，得，設平面的一個法向量為，由，得，取，得，，由幾何體的空間結(jié)構(gòu)知，二面角為銳角，故二面角的余弦值為方法二：連結(jié)，由得：，，，在中，，由余弦定理得：，則，底面底面，平面，平面.又平面，為二面角的平面角，在直角三角形中，，在直角三角形中，，在三角形中，由余弦定理得：，二面角的余弦值為19.（12分）解：（1）由直方圖可得學科良好的人數(shù)為（人），所以列聯(lián)表如下：學科良好學科不夠良好合計學科良好403070學科不夠良好102030合計5050100假設學科良好與學科良好無關(guān)，，所以有把握認為學科良好與學科良好有關(guān)；（2）學科均良好的概率，的可能取值為，且.所以，，所以的分布列為0123因為，所以.20.（12分）解：（1）由題意知，又，則，，解得（負值舍去），由在橢圓上及得，解得，橢圓的方程為；（2）由（1）知，右焦點為，據(jù)題意設直線的方程為，則，于是由得，化簡得由，消去整理得，，由根與系數(shù)的關(guān)系得：，代入式得：，解得，直線的方程為，方法一：，由求根公式與弦長公式得：，設點到直線的距離為，則，方法二：由題意可知，代入消去得，，.21.（12分）解：（1）證明：若，則，且，則，令，得.在上，單調(diào)遞減；在上，單調(diào)遞增；故；（2）.當時，易得，若，則，在上單調(diào)遞增，這與為函數(shù)的極大值點相矛盾.若，令，則，又令，則對恒成立，在上單調(diào)遞增.又，，存在唯一，使得，在上，單調(diào)遞減，又，在上，，故單調(diào)遞增，在上，，故單調(diào)遞減，為函數(shù)的極大值點，滿足題意，綜上，的取值范圍為.22.（10分）解：（1）曲線的極坐標方程為：，曲線的普通方程為：