VAR模型講義解讀

PAGEPAGE7VAR模型與協(xié)整8.1向量自回歸（VAR）模型1980年Sims提出向量自回歸模型（vectorautoregressivemodel）。這種模型采用多方程聯(lián)立的形式，它不以經(jīng)濟理論為基礎(chǔ)，在模型的每一個方程中，內(nèi)生變量對模型的全部內(nèi)生變量的滯后值進行回歸，從而估計全部內(nèi)生變量的動態(tài)關(guān)系。8.1.1VAR模型定義VAR模型是自回歸模型的聯(lián)立形式，所以稱向量自回歸模型。假設(shè)y1t，y2t之間存在關(guān)系，如果分別建立兩個自回歸模型y1,t=f(y1,t-1,y1,t-2,…)y2,t=f(y2,t-1,y2,t-2,…)則無法捕捉兩個變量之間的關(guān)系。如果采用聯(lián)立的形式，就可以建立起兩個變量之間的關(guān)系。VAR模型的結(jié)構(gòu)與兩個參數(shù)有關(guān)。一個是所含變量個數(shù)N，一個是最大滯后階數(shù)k。以兩個變量y1t，y2t滯后1期的VAR模型為例，y1,t=1+11.1y1,t-1+12.1y2,t-1+u1ty2,t=2+21.1y1,t-1+22.1y2,t-1+u2t(8.1)其中u1t,u2tIID(0,2),Cov(u1t,u2t)=0。寫成矩陣形式是，=++(8.2)設(shè)，Yt=,=,1=,ut=,則，Yt=+1Yt-1+ut(8.3)那么，含有N個變量滯后k期的VAR模型表示如下：Yt=+1Yt-1+2Yt-2+…+kYt-k+ut,utIID(0,)(8.4)其中，Yt=(y1,ty2,t…yN,t)'=(12…N)'j=,j=1,2,…,kut=(u1tu2,t…uNt)',Yt為N1階時間序列列向量。為N1階常數(shù)項列向量。1,…,k均為NN階參數(shù)矩陣，utIID(0,)是N1階隨機誤差列向量，其中每一個元素都是非自相關(guān)的，但這些元素，即不同方程對應(yīng)的隨機誤差項之間可能存在相關(guān)。因VAR模型中每個方程的右側(cè)只含有內(nèi)生變量的滯后項，他們與ut是不相關(guān)的，所以可以用OLS法依次估計每一個方程，得到的參數(shù)估計量都具有一致性。VAR模型的特點是：（1）不以嚴格的經(jīng)濟理論為依據(jù)。在建模過程中只需明確兩件事：①共有哪些變量是相互有關(guān)系的，把有關(guān)系的變量包括在VAR模型中；②確定滯后期k。使模型能反映出變量間相互影響的絕大部分。（2）VAR模型對參數(shù)不施加零約束。（參數(shù)估計值有無顯著性，都保留在模型中）（3）VAR模型的解釋變量中不包括任何當期變量，所有與聯(lián)立方程模型有關(guān)的問題在VAR模型中都不存在。（4）VAR模型的另一個特點是有相當多的參數(shù)需要估計。比如一個VAR模型含有三個變量，最大滯后期k=3，則有kN2=332=27個參數(shù)需要估計。當樣本容量較小時，多數(shù)參數(shù)的估計量誤差較大。（5）無約束VAR模型的應(yīng)用之一是預(yù)測。由于在VAR模型中每個方程的右側(cè)都不含有當期變量，這種模型用于預(yù)測的優(yōu)點是不必對解釋變量在預(yù)測期內(nèi)的取值做任何預(yù)測。西姆斯（Sims）認為VAR模型中的全部變量都是內(nèi)生變量。近年來也有學(xué)者認為具有單向因果關(guān)系的變量，也可以作為外生變量加入VAR模型。8.1.2VAR模型的穩(wěn)定性特征現(xiàn)在討論VAR模型的穩(wěn)定性特征。穩(wěn)定性是指當把一個脈動沖擊施加在VAR模型中某一個方程的新息（innovation）過程上時，隨著時間的推移，分析這個沖擊是否會逐漸地消失。如果是逐漸地消失，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。下面分析一階VAR模型Yt=+1Yt-1+ut(8.5)為例。當t=1時，有Y1=+1Y0+u1(8.6)當t=2時，采用迭代方式計算，Y2=+1Y1+u2=+1(+1Y0+u1)+u2=(I+1)+12Y0+1u1+u2(8.7)當t=3時，進一步迭代，Y3=+1Y2+u3=+1[(I+1)+12Y0+1u1+u2]+u3=(I+1+12)+13Y0+12u1+1u2+u3(8.8)……對于t期，按上述形式推導(dǎo)Yt=(I+1+12+…+1t-1)+1tY0+ut-i(8.9)由上式可知，10=I。通過上述變換，把Yt表示成了漂移項向量、初始值向量Y0和新息向量ut的函數(shù)?？梢娤到y(tǒng)是否穩(wěn)定就決定于漂移項向量、初始值向量Y0和新息向量ut經(jīng)受沖擊后的表現(xiàn)。假定模型是穩(wěn)定的，將有如下3個結(jié)論。（1）假設(shè)t=1時，對施加一個單位的沖擊，那么到t期的影響是(I+1+12+…+1t-1)當t時，此影響是一個有限值，(I-1)-1。（2）假設(shè)在初始值Y0上施加一個單位的沖擊。到t期的影響是1t。隨著t，1t0，影響消失（因為對于平穩(wěn)的VAR模型，1中的元素小于1，所以隨著t，取t次方后，1t0）。（3）從ut-i項可以看出，白噪聲中的沖擊離t期越遠，影響力就越小。=(I-1)-1，稱作長期乘子矩陣，是對ut-i求期望得到的。對單一方程的分析知道，含有單位根的自回歸過程對新息中的脈動沖擊有長久的記憶能力。同理，含有單位根的VAR模型也是非平穩(wěn)過程。當新息中存在脈動沖擊時，VAR模型中內(nèi)生變量的響應(yīng)不會隨時間的推移而消失。平穩(wěn)變量構(gòu)成的一定是穩(wěn)定（stability）的模型，但穩(wěn)定的模型不一定由平穩(wěn)變量構(gòu)成。也可能由非平穩(wěn)（nonstationary）變量（存在協(xié)整關(guān)系）構(gòu)成。8.1.3VAR模型穩(wěn)定的條件VAR模型穩(wěn)定的充分與必要條件是1（見(8.3)式）的所有特征值都要在單位圓以內(nèi)（在以橫軸為實數(shù)軸，縱軸為虛數(shù)軸的坐標體系中，以原點為圓心半徑為1的圓稱為單位圓），或特征值的模都要小于1。1．先回顧單方程情形。以AR(2)過程yt=1yt-1+2yt-2+ut(8.11)為例。改寫為(1-1L-2L2)yt=(L)yt=ut(8.12)yt穩(wěn)定的條件是(L)=0的根必須在單位圓以外。2．對于VAR模型，用特征方程判別穩(wěn)定性。以(8.3)式，Yt=+1Yt-1+ut，為例，改寫為(I-1L)Yt=+ut(8.13)其中A(L)=(I-1L)。VAR模型穩(wěn)定的條件是特征方程|1-I|=0的根都在單位圓以內(nèi)。特征方程|1-I|=0的根就是1的特征值。例8.1以二變量（N=2），k=1的VAR模型為例分析穩(wěn)定性。=+(8.14)其中1=特征方程|1-I|===0即(5/8-)2–1/8=(5/8-)2–=(0.978-)(0.271-)=0(8.15)得1=0.9786,2=0.2714。1，2是特征方程|1-I|=0的根，也是1的特征值。因為1=0.978,2=0.271，都小于1，所以對應(yīng)的VAR模型是穩(wěn)定的。3．VAR模型的穩(wěn)定性也可以用相反的特征方程（reversecharacteristicfunction），|I–L1|=0判別。即保持VAR模型平穩(wěn)的條件是相反的特征方程|I-L1|=0的根都在單位圓以外。例8.2仍以VAR模型(8.14)為例，相反的特征方程|I-L1|===(1-(5/8)L)2-1/8L2=(1-0.978L)(1-0.27L)=0(8.16)求解得L1=1/0.978=1.022,L2=1/0.27=3.690,因為L1，L2都大于1，所以對應(yīng)的VAR模型是穩(wěn)定的。注意：（1）特征方程與相反的特征方程的根互為倒數(shù)，=1/L。（2）在單方程模型中，通常用相反的特征方程(L)=0的根描述模型的穩(wěn)定性；而在VAR模型中通常用特征方程|1-I|=0的根描述模型的穩(wěn)定性。即單變量過程穩(wěn)定的條件是（相反的）特征方程(L)=0的根都要在單位圓以外。VAR模型穩(wěn)定的條件是，相反的特征方程|I–L1|=0的根都要在單位圓以外，或特征方程|1-I|=0的根都要在單位圓以內(nèi)。4．對于k>1的k階VAR模型可以通過友矩陣變換（companionform），改寫成1階分塊矩陣的VAR模型形式。然后利用其特征方程的根判別穩(wěn)定性。具體變換過程如下。給出k階VAR模型，Yt=+1Yt-1+2Yt-2+…+kYt-k+ut(8.17)再給出如下等式，Yt-1=Yt-1Yt-2=Yt-2…Yt-k+1=Yt-k+1把以上k個等式寫成分塊矩陣形式，=++(8.18)其中每一個元素都表示一個向量或矩陣。令Yt=(Yt-1Yt-2…Yt-k+1)'NK1A0=(00…0)'NK1A1=Ut=(ut00…0)'NK1上式可寫為Yt=A0+A1Yt-1+Ut(8.19)注意，用友矩陣變換的矩陣（向量）用正黑體字母表示。k階VAR模型用友矩陣表示成了1階分塊矩陣的VAR模型。例如，2變量2階VAR模型的友矩陣變換形式是=++(8.20)其中等式的每一個元素（項）都表示一個41階向量或44階矩陣。例如，2變量3階VAR模型的友矩陣變換形式是=++(8.21)其中等式的每一個元素（項）都表示一個61階向量或66階矩陣。VAR模型的穩(wěn)定性要求A1的全部特征值，即特征方程|A1-I|=0的全部根必須在單位圓以內(nèi)或者相反的特征方程|I-LA1|=0的全部根必須在單位圓以外。注意：特征方程中的A1是NkNk階的。特征方程中的I也是NkNk階的。以2階VAR模型的友矩陣變換為例，|I-LA1|===1-L1-L22=0(8.22)的全部根必須在單位圓以外。以3階VAR模型的友矩陣變換為例，|I-LA1|===|I-L1-L22-L33|=0(8.23)的全部根必須在單位圓以外。因此，對于k階VAR模型的友矩陣變換形式，特征方程是，|I-1L-2L2-…-kLk|=0(8.24)例8.3用以具體數(shù)字為系數(shù)的2變量、2階VAR模型做進一步說明。有Yt=+1Yt-1+2Yt-2+ut其中，1=,2=友矩陣變換形式是=++(8.25)或=++(8.26)或Yt=A0+A1Yt-1+Ut(8.27)因為A1的階數(shù)為44（注意，因為N=2，k=2，所以A1的階數(shù)為44），所以有4個特征根。特征方程是|A1-I|===0(8.28)4個根見下表：根模1=1.0001.0002=0.9470.9473=0.380-0.144i0.4064=0.380-0.144i0.406盡管有3個根在單位圓內(nèi)，因為有一個根為1，落在單位圓上，所以平穩(wěn)性條件未能得到滿足。8.1.4VAR模型的脈沖響應(yīng)函數(shù)和方差分解由于VAR模型參數(shù)的OLS估計量只具有一致性，單個參數(shù)估計值的經(jīng)濟解釋是很困難的。要想對一個VAR模型做出分析，通常是觀察系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)和方差分解。（1）脈沖響應(yīng)函數(shù)。脈沖響應(yīng)函數(shù)描述一個內(nèi)生變量對誤差沖擊的反應(yīng)。具體地說，它描述的是在隨機誤差項上施加一個標準差大小的沖擊后對內(nèi)生變量的當期值和未來值所帶來的影響。對于如下VAR模型，y1,t表示GDP，y2,t表示貨幣供應(yīng)量，y1,t=1+11.1y1,t-1+12.1y2,t-1+u1ty2,t=2+21.1y1,t-1+22.1y2,t-1+u2t(8.1)在模型（8.1）中，如果誤差u1t和u2t不相關(guān)，就很容易解釋。u1t是y1,t的誤差項；u2t是y2,t的誤差項。u2t的脈沖響應(yīng)函數(shù)衡量當期一個標準差的貨幣沖擊對GDP和貨幣存量的當前值和未來值的影響。對于每一個VAR模型都可以表示成為一個無限階的向量MA(∞)過程。具體方法是對于任何一個VAR(k)模型都可以通過友矩陣變換改寫成一個VAR(1)模型（見8.1.3節(jié)）。Yt=A1Yt-1+Ut(I-LA1)Yt=UtYt=(I-LA1)-1Ut=Ut+A1Ut-1+A12Ut-2+…+A1sUt-s+…這是一個無限階的向量MA(∞)過程?；?qū)懗?，Yt+s=Ut+s+A1Ut+s-1+A12Ut+s-2+…+A1sUt+…Yt+s=Ut+s+1Ut+s-1+2Ut+s-2+…+sUt+…(8.29)其中1=A1,2=A12,…,s=A1s,顯然，由(8.29)式有下式成立，s=s中第i行第j列元素表示的是，令其他誤差項在任何時期都不變的條件下，當?shù)趈個變量對應(yīng)的誤差項ujt在t期受到一個單位的沖擊后，對第i個內(nèi)生變量在t+s期造成的影響。把s中第i行第j列元素看作是滯后期s的函數(shù),s=1,2,3,…稱作脈沖響應(yīng)函數(shù)（impulse-responsefunction），脈沖響應(yīng)函數(shù)描述了其他變量在t期以及以前各期保持不變的前提下，yi,t+s對yj,t時一次沖擊的響應(yīng)過程。對脈沖響應(yīng)函數(shù)的解釋出現(xiàn)困難源于誤差項從來都不是完全非相關(guān)的。當誤差項相關(guān)時，它們有一個共同的組成部分，不能被任何特定的變量所識別。為處理這一問題，常引入一個變換矩陣M與ut相乘，vt=Mut(0,)從而把ut的方差協(xié)方差矩陣變換為一個對角矩陣?，F(xiàn)在有多種方法。其中一種變換方法稱作喬利斯基（Cholesky）分解法，從而使誤差項正交。原誤差項相關(guān)的部分歸于VAR系統(tǒng)中的第一個變量的隨機擾動項。在上面的例子里，u1t和u2t的共同部分完全歸于u1t，因為u1t在u2t之前。雖然喬利斯基分解被廣泛應(yīng)用，但是對于共同部分的歸屬來說，它還是一種很隨意的方法。所以方程順序的改變將會影響到脈沖響應(yīng)函數(shù)。因此在解釋脈沖響應(yīng)函數(shù)時應(yīng)小心。對于每一個VAR模型都可以表示成為一個無限階的向量MA(∞)過程。Yt=+ut+1ut-1+2ut-2+…(8.29)對于ut中的每一個誤差項，內(nèi)生變量都對應(yīng)著一個脈沖響應(yīng)函數(shù)。這樣，一個含有4個內(nèi)生變量的VAR將有16個脈沖響應(yīng)函數(shù)。要得到VAR模型的脈沖響應(yīng)函數(shù)，可以在VAR的工具欄中選擇Impulse功能健。（2）方差分解。另一個評價VAR模型的方法是方差分解。VAR的方差分解能夠給出隨機新息的相對重要性信息。EViews對于每一個內(nèi)生變量都計算一個獨立的方差分解。3個變量的VAR跨時為10的方差分解如下圖。S.E.所對應(yīng)的列是相對于不同預(yù)測期的變量的預(yù)測誤差。這種預(yù)測誤差來源于新息的當期值和未來值。其他的幾欄給出關(guān)于源于某個特定的新息所引起的方差占內(nèi)生變量總方差的百分比。向前一個時期，一個變量的所有變動均來自其本身的新息。因此第一個數(shù)字總是100%。同樣，方差分解主要取決于方程的順序。8.1.5VAR模型滯后期k的選擇建立VAR模型除了要滿足平穩(wěn)性條件外，還應(yīng)該正確確定滯后期k。如果滯后期太少，誤差項的自相關(guān)會很嚴重，并導(dǎo)致參數(shù)的非一致性估計。正如在第4章介紹ADF檢驗的原理一樣，在VAR模型中適當加大k值（增加滯后變量個數(shù)），可以消除誤差項中存在的自相關(guān)。但從另一方面看，k值又不宜過大。k值過大會導(dǎo)致自由度減小，直接影響模型參數(shù)估計量的有效性。下面介紹幾種選擇k值的方法。用LR統(tǒng)計量選擇k值。LR（似然比）統(tǒng)計量定義為，LR=-2(logL(k)-logL(k+1))(8.34)其中l(wèi)ogL(k)和logL(k+1)分別是VAR(k)和VAR(k+1)模型的極大似然估計值。k表示VAR模型中滯后變量的最大滯后期。LR統(tǒng)計量漸近服從分布。顯然當VAR模型滯后期的增加不會給極大似然函數(shù)值帶來顯著性增大時，即LR統(tǒng)計量的值小于臨界值時，新增加的滯后變量對VAR模型毫無意義。應(yīng)該注意，當樣本容量與被估參數(shù)個數(shù)相比不夠充分大時，LR的有限樣本分布與LR漸近分布存在很大差異。用赤池（Akaike）信息準則(AIC)選擇k值。AIC=log+(8.35)其中表示殘差，T表示樣本容量，k表示最大滯后期。選擇k值的原則是在增加k值的過程中使AIC的值達到最小。EViews3.0的計算公式是AIC=-2+3．用施瓦茨（Schwartz）準則(SC)選擇k值。SC=log+(8.36)其中表示殘差，T表示樣本容量，k表示最大滯后期。選擇最佳k值的原則是在增加k值的過程中使SC值達到最小。EViews3.0的計算公式是SC=-2+8.1.6格蘭杰非因果性檢驗VAR模型還可用來檢驗一個變量與另一個變量是否存在因果關(guān)系。經(jīng)濟計量學(xué)中格蘭杰（Granger）非因果性定義如下：格蘭杰非因果性：如果由yt和xt滯后值所決定的yt的條件分布與僅由yt滯后值所決定的條件分布相同，即(ytyt-1,…,xt-1,…)=(ytyt-1,…),(8.37)則稱xt-1對yt存在格蘭杰非因果性。格蘭杰非因果性的另一種表述是其他條件不變，若加上xt的滯后變量后對yt的預(yù)測精度不存在顯著性改善，則稱xt-1對yt存在格蘭杰非因果性關(guān)系。為簡便，通?？偸前褁t-1對yt存在非因果關(guān)系表述為xt（去掉下標-1）對yt存在非因果關(guān)系（嚴格講，這種表述是不正確的）。在實際中，除了使用格蘭杰非因果性概念外，也使用“格蘭杰因果性”概念。顧名思義，這個概念首先由格蘭杰（Granger1969）提出。西姆斯（Sims1972）也提出因果性定義。這兩個定義是一致的。根據(jù)以上定義，xt對yt是否存在因果關(guān)系的檢驗可通過檢驗VAR模型以yt為被解釋變量的方程中是否可以把xt的全部滯后變量剔除掉而完成。比如VAR模型中以yt為被解釋變量的方程表示如下：yt=++u1t(8.38)如有必要，常數(shù)項，趨勢項，季節(jié)虛擬變量等都可以包括在上式中。則檢驗xt對yt存在格蘭杰非因果性的零假設(shè)是H0:1=2=…=k=0顯然如果（8.24）式中的xt的滯后變量的回歸參數(shù)估計值全部不存在顯著性，則上述假設(shè)不能被拒絕。換句話說，如果xt的任何一個滯后變量的回歸參數(shù)的估計值存在顯著性，則結(jié)論應(yīng)是xt對yt存在格蘭杰因果關(guān)系。上述檢驗可用F統(tǒng)計量完成。F=(8.39)其中SSEr表示施加約束（零假設(shè)成立）后的殘差平方和。SSEu表示不施加約束條件下的殘差平方和。k表示最大滯后期。N表示VAR模型中所含當期變量個數(shù)，本例中N=2，T表示樣本容量。在零假設(shè)成立條件下，F(xiàn)統(tǒng)計量近似服從F(k,T-kN)分布。用樣本計算的F值如果落在臨界值以內(nèi)，接受原假設(shè)，即xt對yt不存在格蘭杰因果關(guān)系。例：（file:stock）以661天（1999.1.4-2001.10.5）的上海（SH）和深圳（SZ）股票收盤價格綜合指數(shù)為例，滯后10期的Granger因果性檢驗結(jié)果如下：（當概率小于0.05時，表示推翻原假設(shè)）上表中概率定義為，P(F>1.36)=0.19316圖示如下：1.36臨界值1.36臨界值P(F>23.44)=0.00000因為F值（1.36）落在原假設(shè)接受域，所以原假設(shè)“上海股票價格綜合指數(shù)對深圳股票價格綜合指數(shù)不存在Granger因果關(guān)系”被接受。因為F值（23.44）落在原假設(shè)拒絕域，所以原假設(shè)“深圳股票價格綜合指數(shù)對上海股票價格綜合指數(shù)不存在Granger因果關(guān)系”被推翻。用滯后110期的檢驗式分別檢驗，結(jié)論都是深圳股票價格綜合指數(shù)是上海股票價格綜合指數(shù)變化的原因，但上海股票價格綜合指數(shù)不是深圳股票價格綜合指數(shù)變化的原因，EViews操作方法是，打開數(shù)劇組窗口，點View鍵，選GrangerCausility。在打開的對話窗口中填上滯后期（下面的結(jié)果取滯后期為10。），點擊OK鍵。VAR模型的EViews估計步驟。點擊Quick,選EstimateVAR功能。輸出結(jié)果如下（部分）:8.2VAR模型與協(xié)整如果VAR模型Yt=1Yt-1+2Yt-1+…+kYt-k+ut,utIID(0,)(8.40)的內(nèi)生變量都含有單位根，那么可以用這些變量的一階差分序列建立一個平穩(wěn)的VAR模型。Yt=1*Yt-1+2*Yt-2+…+k*Yt-k+ut*(8.41)然而，當這些變量存在協(xié)整關(guān)系時，這種建模方法不是最好的選擇。如果YtI(1)，且非平穩(wěn)變量間存在協(xié)整關(guān)系。那么非平穩(wěn)變量的由協(xié)整向量組成的線性組合則是平穩(wěn)的。這時，采用差分的方法構(gòu)造VAR模型雖然是平穩(wěn)的，但不是最好的選擇。建立單純的差分VAR模型將丟失重要的非均衡誤差信息。因為變量間的協(xié)整關(guān)系給出了變量間的長期關(guān)系。同時用這種非均衡誤差以及變量的差分變量同樣可以構(gòu)造平穩(wěn)的VAR模型。從而得到一類重要的模型，這就是向量誤差修正模型。下面推導(dǎo)向量誤差修正（VEC）模型的一般形式。對于k=1的VAR模型，Yt=1Yt-1+ut，兩側(cè)同減Yt-1，得Yt=(1–I)Yt-1+ut(8.42)對于k=2的VAR模型，Yt=1Yt-1+2Yt-2+ut，兩側(cè)同減Yt-1，在右側(cè)加、減2Yt-1，并整理得Yt=(1+2-I)Yt-1-2Yt-1+ut(8.43)對于k=3的VAR模型，Yt=1Yt-1+2Yt-2+3Yt-3+ut，兩側(cè)同減Yt-1，在右側(cè)加、減2Yt-1和3Yt-1并整理得Yt=(1+2+3-I)Yt-1-2Yt-1-3Yt-1+2Yt-2+3Yt-3+ut=(1+2+3-I)Yt-1–2Yt-1-3Yt-1+3Yt-3+ut在右側(cè)加、減3Yt-2并整理得Yt=(1+2+3-I)Yt-1-2Yt-1-3Yt-1+3Yt-2-3Yt-2+3Yt-3+ut=(1+2+3-I)Yt-1-2Yt-1-3Yt-1-3Yt-2+ut=(1+2+3-I)Yt-1–(2+3)Yt-1-3Yt-2+ut(8.44)對于k階VAR模型，Yt=1Yt-1+2Yt-2+…+kYt-k+ut，利用k=1,2,3的VAR模型的推導(dǎo)規(guī)律，見(8.42)-(8.44)式，其向量誤差修正模型（VEC）的表達式是Yt=(1+2+…+k-I)Yt-1-(2+3+…+k)Yt-1-(3+…+k)Yt-2-…-kYt-(k-1)+ut(8.45)令j=-,j=1,2,…,k-1，=-0-I=-I=1+2+…+k-I，(8.46)則上式寫為Yt=Yt-1+1Yt-1+2Yt-2+…+k-1Yt-(k-1)+ut(8.47)這是向量誤差修正模型（VEC）的一般表達式。稱為壓縮矩陣（影響矩陣）。是全部參數(shù)矩陣的和減一個單位陣。為多項式矩陣，其中每一個元素都是一個多項式。運算規(guī)則于一般矩陣相同。滯后期的延長不影響對協(xié)整向量個數(shù)的分析。根據(jù)Granger定理，向量誤差修正模型（VEC）的表達式是A?(L)(1-L)Yt='Yt-1+d(L)ut(8.48)其中A?(L)是多項式矩陣A(L)分離出因子(1-L)后降低一階的多項式矩陣，d(L)是由滯后算子表示的多項式矩陣。上式與(8.47)式完全相同。其中A?(L)(1-L)Yt=A?(L)Yt=Yt-1Yt-1-2Yt-2-…-k-1Yt-(k-1)d(L)ut=ut在這里d(L)退化為單位陣。若YtCI(1,1)，比較(8.47)和(8.48)式必然有='其中是協(xié)整矩陣，是調(diào)整系數(shù)矩陣。和都是Nr階矩陣。表示有r個協(xié)整向量，1,2…,r，存在r個協(xié)整關(guān)系。因為YtI(1)，所以YtI(0)。從模型(8.45)變換為模型(8.47)稱為協(xié)整變換。壓縮矩陣決定模型(8.47)中是否存在，以及以什么規(guī)模存在協(xié)整關(guān)系。因為YtI(0)，所以除了Yt-k，模型(8.47)中各項都是平穩(wěn)的。而對于Yt-k有如下三種可能。當Yt的分量不存在協(xié)整關(guān)系，的特征根為零，=0。若rank()=N（滿秩），保證Yt-k平穩(wěn)的唯一一種可能是YtI(0)。當YtI(1)，若保證Yt-k平穩(wěn)，只有一種可能，即Yt的分量存在協(xié)整關(guān)系。'YtI(0)VEC模型是帶有誤差修正機制的關(guān)于Yt的VAR模型。增加Yt-1滯后項的目的是吸收ut中的自相關(guān)成分，使其變?yōu)榘自肼?。沒有這些項，等于丟掉了動態(tài)成分。假定YtI(1)具有一般性。如果某個變量的單整階數(shù)高于1，可通過差分取其相應(yīng)單整階數(shù)為1的序列加入模型。上式也可以加入位移項與趨勢項。若='成立，且存在r個協(xié)整關(guān)系，則Yt-1的一般表達式是Yt-1='Yt-1===(8.49)為便于理解，現(xiàn)在以N=2,k=1的VEC模型為例，說明VEC模型中的協(xié)整關(guān)系。例8.4有VEC模型y1,t=-(y1,t-1–y2,t-1)+u1t(8.50)y2,t=(y1,t-1–y2,t-1)+u2t(8.51)看(8.50)式，令誤差修正項[y1,t-1–(1/8)y2,t-1]=v1,t-1。當v1,t-1增加，系統(tǒng)偏離了均衡點，y1,t-1>(1/8)y2,t-1，因為調(diào)整系數(shù)為負（-1/2），在t期將導(dǎo)致y1,t減小，也即y1,t減小。從而使y1,t移向均衡點。反之亦然。把(8.51)式改寫如下，y2,t=-(y2,t-1–8y1,t-1)+v2t誤差修正機制的解釋與上類似。把(8.50)，(8.51)寫成矩陣形式。=+=Yt-1+ut(8.52)現(xiàn)在分析矩陣。因為==0，是降秩的。為求的特征值，解如下特征方程，|-I|===1/32+9/16+2–1/32=2+9/16=(+9/16)=0(8.53)兩個根是1=0，2=-9/16。1=0，說明是降秩的。一般來說，非零根的個數(shù)既是的秩。有三種情形。（1）當完全降秩，即rank()=0時，任意形式的通過適當線性變換，可以得到=0。于是（8.52）式變?yōu)?，Yt=ut這是一階差分形式的平穩(wěn)的VAR模型。說明Yt中含有一個單位根。VAR模型中沒有協(xié)整向量?，F(xiàn)在討論多于一個協(xié)整關(guān)系的情形。例8.5設(shè)三個變量的k=1的誤差修正模型如下，y1,t=-(1/2)[y1,t-1-(1/8)y2t-1]+(1/4)[y2,t-1-(1/4)y3t-1]+u1ty2,t=(1/8)[y1,t-1-(1/8)y2t-1]–(5/8)[y2,t-1-(1/4)y3t-1]+u2ty3,t=(1/4)[y1,t-1-(1/8)y2t-1]+(3/8)[y2,t-1-(1/4)y3t-1]+u3t矩陣形式是=+(8.54)='==的特征值是-0.7928，-0.4416，0。存在兩個協(xié)整關(guān)系。注意：在第一個協(xié)整向量中，y3,t的系數(shù)被約束為零。在第二個協(xié)整向量中，y1,t的系數(shù)被約束為零。這說明兩個均衡關(guān)系是不一樣的，可識別的。例8.6設(shè)k=2的VAR模型=++與其相應(yīng)的誤差修正模型是，=++(8.55)=(1-)++=(y1,t-1-y2t–1)++其中==(1-)='。若YtCI(1,1)，則協(xié)整向量是(1-)'。8.3存在單位根與降秩的關(guān)系。下面分析VAR模型中存在單位根與壓縮矩陣降秩的關(guān)系。以k=1的VAR模型為例，Yt=1Yt-1+ut(8.56)它的VEC表達式是Yt=Yt-1+ut。(8.56)式還可以寫為(I-1L)Yt=A(L)Yt=ut(8.57)其中A(L)=(I-1L)。8.1.3節(jié)已經(jīng)介紹，對于1階VAR模型，變量穩(wěn)定的條件是1的所有特征值的模都要比1小，或者說相反的特征方程的根應(yīng)在單位圓以外。根據(jù)矩陣運算規(guī)則，對于方陣A，有A(L)-1=adj(A(L))/A(L)，或A(L)A(L)-1=adj(A(L))(8.58)其中adj(A(L))是A的伴隨矩陣。用adj(A(L))左乘(8.57)式adj(A(L))A(L)Yt=adj(A(L))ut把(8.58)式關(guān)系代入上式，得A(L)Yt=adj(A(L))ut(8.59)其中A(L)是一個以滯后算子L為變數(shù)的k階多項式（標量）。A(L)與Yt中每一個分量相乘。因為ut是平穩(wěn)的，如果YtI(1)，A(L)就可以被分解為(1-L)A*(L)。其中A*(L)是分解出因子(1-L)后，相應(yīng)k-1階多項式（標量）。單位根算子(1-L)將與Yt中每一個變量相乘。為了評價VEC模型中協(xié)整向量的個數(shù)，需要考察=-I（見(8.46)式）非零特征值的個數(shù)，也即的秩。存在協(xié)整關(guān)系就意味著降秩。為了考察Yt中是否含有單位根，需要計算A(L)=I-(L)的值。注意：上面所說的協(xié)整向量個數(shù)與單位根個數(shù)的關(guān)系是，若存在單位根，則必有A(1)=I-(1)=-=0。所以如果VAR模型中存在單位根，一定是降秩的，而這意味著至少存在一個協(xié)整向量。例8.4一階2變量VAR模型如下：Yt=1Yt-1+ut其中1=A(L)=I-1L=-A(L)=1-(23/16)L+(7/16)L2=(1-7/16L)(1-L)其中A*(L)=(1-7/16L)。上式顯示存在兩個根，一個是L=1，一個是L=7/16。條件A(1)=0與單變量過程中的條件是一致的。A(1)=0，意味著=0，降秩。把結(jié)論代入(8.59)式，A(L)Yt=adj(A(L))ut。(1-7/16L)(1-L)Yt=(1-7/16L)(1-L)=(1-7/16L)==整理上式=7/16+因為存在一個單位根，所以原變量的差分變量Yt寫成的表達式是平穩(wěn)的。8.3VAR模型中協(xié)整向量的估計與檢驗8.3.1VAR模型中協(xié)整向量的估計此估計方法由Johansen提出。假定條件是，utIID(0,)。實際中這個條件比較容易滿足。當ut中存在自相關(guān)時，只要在VAR模型中適當增加內(nèi)生變量的滯后階數(shù)，就能達到ut非自相關(guān)的要求。此估計方法為極大似然估計法。給定VAR模型Yt=1Yt-1+2Yt-1+…+kYt-k+Dt+ut,utIID(0,)(8.60)其中Yt是N1階列向量。Dt表示d1階確定項向量（d表示確定性變量個數(shù)）。用來描述常數(shù)項、時間趨勢項t、季節(jié)虛擬變量（如果需要）和其他一些有必要設(shè)置的虛擬變量。是確定性變量Dt的Nd階系數(shù)矩陣。其中每一行對應(yīng)VAR模型中的一個方程。上式的向量誤差修正模型形式（推導(dǎo)過程見8.1.6節(jié)）是Yt=Yt-1+1Yt-1+2Yt-2+…+k-1Yt-(k-1)+Dt+ut(8.61)其中j=,j=1,2,…,k-1，=0-I=-I=1+2+…+k-I，正確地估計協(xié)整參數(shù)矩陣的秩r非常重要。若r被正確估計，則所有誤差修正項都是平穩(wěn)的。那么模型(8.61)中的所有項都是平穩(wěn)的。參數(shù)估計量具有一致性。任何高估或低估r值都會給參數(shù)估計與推斷帶來錯誤。當?shù)凸纑值時，將導(dǎo)致把余下的誤差修正項并入模型的隨機誤差項Ut。而高估r值將會把非協(xié)整向量帶入?yún)f(xié)整參數(shù)矩陣中。N1階的Yt-k將由I(0)項（協(xié)整向量與變量的積）和I(1)項（非協(xié)整向量與變量的積）混合而成，從而導(dǎo)致回歸參數(shù)估計量及其相應(yīng)統(tǒng)計量的非正態(tài)性分布。當用t檢驗臨界值做顯著性檢驗時就會得出錯誤結(jié)論。估計的第一步是用樣本數(shù)據(jù)Yt,(t=-k+1,-k+2,…,0,1,2,…,T)確定協(xié)整參數(shù)矩陣的秩r。對于任何rN情形，模型(8.61)的零假設(shè)是H0:rk()r或='(8.62)其中和是Nr階矩陣。注意，這一步只能估計r，無法估計和，因為對VAR模型(8.61)來說，和是“過多參數(shù)”的，無法與r同時估計。接下來構(gòu)造協(xié)整檢驗統(tǒng)計量LR，估計協(xié)整向量個數(shù)r，估計和。把模型(8.61)看作數(shù)據(jù)生成系統(tǒng)，且0rN,UtIID(0,)成立，則對數(shù)似然函數(shù)是logL(1,…,k-1,,Y1,…,YT)=-log(2)-log-(8.63)利用上式求關(guān)于的集中對數(shù)似然函數(shù)（見《計量經(jīng)濟分析》第274-277頁），即把看作是給定值條件下的對數(shù)似然函數(shù)。logL(1,…,k-1,Y1,…,YT)=C0-log(8.64)其中=為便于書寫，給出如下符號，Z0t=YtZ1t=Yt-1Z2t=(Yt-1,Yt-2,…,Yt-(k-1),Dt)'=(1,2,…,k-1,)'其中Z0t和Z1t是N1階的，列向量Z2t是[N(k-1)+d]1階的，是N[N(k-1)+d]階的。則(8.61)式Y(jié)t=Yt-1+1Yt-1+2Yt-2+…+k-1Yt-(k-1)+Dt+ut(8.61)改寫為，Z0t=Z1t+Z2t+ut(8.65)對集中對數(shù)似然函數(shù)(8.64)求極大，就是對求極小。則估計的OLS正規(guī)方程是Z0t-Z1t-Z2t)Z2t'=0[對照(x2t)=0]其中是對(8.65)式中的估計。破括號、移項上式變?yōu)?，Z0tZ2t')=Z1tZ2t')+Z2tZ2t')則=Z0tZ2t')(Z2tZ2t')-1-Z1tZ2t')[Z2tZ2t']-1(8.66)用的表達式代替(8.65)式中并整理，=Z0t-Z1t–Z0tZ2t')(Z2tZ2t')-1Z2t+Z1tZ2t')(Z2tZ2t')-1Z2t=Z0t-Z0tZ2t')(Z2tZ2t')-1Z2t–[Z1t–Z1tZ2t')(Z2tZ2t')-1Z2t](8.67)現(xiàn)在考慮如下回歸（目的是把上式表達為以為參數(shù)的回歸式），Z0t=Z2t+u0t(8.68)則的OLS估計量=Z0tZ2t')(Z2tZ2t')-1(8.69)若u0t的估計量用R0t表示，則R0t=Z0t-Z0tZ2t')(Z2tZ2t')-1Z2t(8.70)考慮如下回歸，Z1t=Z2t+u1t(8.71)則的OLS估計量=Z1tZ2t')(Z2tZ2t')-1(8.72)若u1t的估計量用R1t表示，則R1t=Z1t-Z1tZ2t')(Z2tZ2t')-1Z2t(8.73)比較(8.67)，(8.70)和(8.73)式。=Z0t-Z0tZ2t')(Z2tZ2t')-1Z2t–[Z1t–Z1tZ2t'](Z2tZ2t')-1Z2t](8.67)R0t=Z0t-Z0tZ2t')(Z2tZ2t')-1Z2t(8.70)(8.70)式等號右側(cè)兩項是(8.67)式等號右側(cè)第1，2項。(8.73)式等號右側(cè)兩項是(8.67)式等號右側(cè)第3項中括號內(nèi)部分。用R0t和R1t分別代替(8.67)式中相應(yīng)部分，=R0t-R1t整理上式，R0t=R1t+(8.74)上式表示殘差R0t對R1t回歸。R0t和R1t分別表示Z0t,Z1t在排除Z2t影響以后的殘差（見(8.68)和(8.71)式）。比較(8.74)和(8.65)式，Z0t=Z1t+Z2t+ut(8.65)(8.74)式是排除Z2t影響以后的回歸式。因為對數(shù)似然函數(shù)對是非約束的，所以可先排除Z2t的影響，進一步求R0t和R1t的關(guān)于Z2t的集中對數(shù)似然函數(shù)log()。（把Z2t當作給定值的似然函數(shù)）logL()=C0-logT-1-R1t)(R0t-R1t)'(8.75)其中C0是常量。如果是非約束的，則很容易計算的估計值。現(xiàn)在感興趣的是在施加='約束條件下求(8.61)式中的估計量。把約束條件='代入上式和(8.74)式，LogL(,)=C0-logT-1-'R1t)(R0t-'R1t)'(8.76)R0t='R1t+(8.77)先設(shè)定不變，通過R0t對'R1t回歸估計，從而進一步求關(guān)于的集中對數(shù)似然函數(shù)。的OLS計算公式是，==(8.78)定義殘差R0t和Rkt的積矩量矩陣Sij如下，Sij=T-1,i,j=0,1,(8.79)則(8.78)式表達為，=S01('S11)-1(8.80)用代替(8.76)式中的，得='R1t的估計量，(8.76)式中絕對值部分，T-1-'R1t)(R0t-'R1t)'，的估計量表達為=T-1-'R1t)(R0t-'R1t)'=T-1R0t'-'R1tR0t'-R0tR1t''+'R1tR1t'')'=S00-'S10-S01'+'S11'(8.81)用的表達式(8.80)代換(8.81)式中的，得=S00-S01('S11)-1'S10(8.82)對集中對數(shù)似然函數(shù)(8.76)求極大，即對上式求極小。這種極小化是通過對Nr階矩陣的取值來實現(xiàn)的。依據(jù)拉奧(Rao,1973)，對于矩陣A,B,C有如下關(guān)系存在。=AC-B'A-1B=CA-BC-1B'(8.83)移項A-BC-1B'=C-1AC-B'A-1B令A(yù)=S00,B=S01,C='S11,于是有=S00-S01('S11)-1'S10='S11-1S00'S11-'S10S00-1S01='S11-1S00'(S11–S10S00-1S01)(8.84)因為S00是常量，所以對關(guān)于的對數(shù)似然函數(shù)（8.76）求極大即是對'S11-1'(S11–S10S00-1S01)求極?。ê雎許00）。把上述求極小問題再轉(zhuǎn)化為設(shè)定'S11=I條件下，通過對'(S11–S10S00-1S01)的極小化求的極大似然估計量。根據(jù)典型相關(guān)理論，上述求極小問題可以轉(zhuǎn)化為求廣義特征值問題，S11–S10S00-1S01=0,(8.85)其中是關(guān)于S11的S10S00-1S01的特征值。相應(yīng)特征向量vi,i=1,…,r則構(gòu)成，即=（v1v2…vr）（其中vi與r個最大的特征值相對應(yīng)，而r值則由假設(shè)檢驗（8.62）確定。）求出的極大似然估計量后，其他參數(shù)的極大似然估計量都可求出。利用約束條件'S11=I，由(8.80)式得，=S01,(8.86)='(8.87)由(8.82)式得，=S00-S01('S11)-1'S10=S00-S01'S10=S00-S10.(8.88)和分別是和的一致估計量。由(8.77)式，的非約束估計量是=S01S11-1.(8.89)由(8.81)式，的非約束估計量是=S00-S10.(8.90)用D表示關(guān)于S11的S10S00-1S01的按大小排列的特征值…組成的對角矩陣，Dr表示前r個特征值組成的對角矩陣。依據(jù)(8.84)式，因為有條件'S11=I，并可證明Dr='S10S00-1S01，所以集中對數(shù)似然函數(shù)（去掉常數(shù)項）表示為，logL()r=-log'(S11-S10S00-1S01)-log'S11-'S10S00-1S01=-logI-Dr=-[(1-i)](8.91)其中l(wèi)ogL()r表示約束對數(shù)似然函數(shù)。約束條件是零假設(shè)(8.62)，含有r個協(xié)整向量。當對不施加約束時，即rk()N時（保留N個特征值），無約束集中對數(shù)似然函數(shù)是logL()u=-logI-D=-[(1-i)](8.92)檢驗零假設(shè)(8.62)所用的統(tǒng)計量是LR=-2(logL()r-logL()u)=-T[(1-i)],r=0,1,…,N-1.(8.93)LR統(tǒng)計量(8.94)在零假設(shè)0rN或“存在N-r個單位根”成立條件下不服從2分布。Johansen證明LR統(tǒng)計量漸近服從如下分布。tr,(8.94)其中tr(·)表示跡，W(i)是N-r維的Wiener過程。上述統(tǒng)計量也稱作跡統(tǒng)計量。該分布不能用解析的方法計算。用蒙特卡羅模擬方法得到的上述分布的百分位數(shù)表見8.3.4節(jié)。8.3.2VAR模型中協(xié)整向量的檢驗檢驗存在r個協(xié)整向量，即（N–r）個非協(xié)整向量，或者（N–r）個單位根，可以表達為相應(yīng)（N–r）個特征值，r+1,…,N，為零。上述LR檢驗是一個連續(xù)檢驗過程。Yt=Yt-1+1Yt-1+2Yt-2+…+k-1Yt-(k-1)+Dt+ut(8.61)(1)首先從檢驗r=0開始。意即在VAR模型(8.61)中不存在協(xié)整向量（含有N個單位根）。如果r=0不能被拒絕（LR<臨界值），說明N個變量間不存在協(xié)整關(guān)系。檢驗到此終止。不能建立VEC模型。如果r=0被拒絕（LR>臨界值），則應(yīng)繼續(xù)進行下面的檢驗。(2)r1。意即在VAR模型(8.61)中存在1個協(xié)整向量（含有N-1個單位根）。如果r1不能被拒絕（LR<臨界值），檢驗到此終止。如果r1被拒絕，則應(yīng)進一步作如下檢驗?！?3)rN–1。意即在VAR模型(8.61)中存在N–1個協(xié)整向量（含有1個單位根）。如果rN–1不能被拒絕（LR<臨界值），檢驗到此終止。如果rN–1被拒絕，說明r=N。在檢驗過程中，比如rr*-1已經(jīng)被拒絕，但rr*不能被拒絕，則結(jié)論是VAR模型(8.61)中存在r*個協(xié)整向量。（4）協(xié)整檢驗過程中的每一步檢驗都屬于右單端檢驗。例8.7N=3的VAR模型的3個特征根分別是1=0.9,2=0.5,3=0.04。樣本容量T=100，臨界值相應(yīng)給出。見表8.1。練習(xí)協(xié)整向量個數(shù)的檢驗過程。首先檢驗r=0。LR=-T[(1-i)]=-100=-100(-2.302-0.693-0.04)=303.6>34.91（臨界值）接著檢驗r=1。LR=-100=-100(-0.693-0.04)=73.30>19.96（臨界值）接著檢驗r=2。LR=-100Ln(1-3)=-100(-0.04)=4.082<9.24（臨界值）因為r1已經(jīng)被拒絕，但r2未能被拒絕，所以結(jié)論是該VAR模型中存在2個協(xié)整向量。表8.1協(xié)整檢驗過程零假設(shè)N-r特征值跡統(tǒng)計量5%水平臨界值r=rk()=030.90303.6>34.91r=rk()120.5073.30>19.96r=rk()210.044.082<9.24注：臨界值取自附表1的b部分。8.3.3VEC模型中確定項的處理1．常數(shù)項的處理VEC模型中常數(shù)項的位置可分3種情形討論。位置不同，相應(yīng)的協(xié)整檢驗用表也不同。（1）常數(shù)項完全屬于協(xié)整空間。那么可以把寫成如下形式：=1其中是N1階的，是Nr階的，1是r1階的。以VAR模型Yt=+1Yt-1+ut為例，相應(yīng)VEC模型形式是Yt='Yt-1+1+ut=(',1)+ut(8.100)（2）常數(shù)項的一部分進入?yún)f(xié)整空間，一部分屬于數(shù)據(jù)空間（VAR的常數(shù)項）。下面介紹怎樣把分離成兩部分。因為是Nr階的，構(gòu)造一個N(N–r)階矩陣，使'=0。與正交。定義的目的是要把分離成相互無關(guān)的兩部分。=1+2(8.101)顯然1能進入?yún)f(xié)整空間（見(8.100)式）。1屬于協(xié)整空間的常數(shù)項。因為與是正交，2不能進入?yún)f(xié)整空間。2屬于數(shù)據(jù)空間的常數(shù)項。Yt=+'Yt-1+ut=1+2+'Yt-1+ut=2+(',1)+ut(8.102)下面介紹1，2的求法。用(')-1'左乘(8.101)式，得(')-1'=(')-1'1+(')-1'2=1(8.103)上式是1的計算公式。用(')-1'左乘(8.101)式，得(')-1'=(')–1'1+(')-1'2=2(8.104)上式是2的計算公式。例8.6舉例說明的位置。設(shè)N=2的VAR模型如下=++(8.105)先求。變化上式，=++(8.106)因為=，所以=，則'==0。=。按（8.103）式，(')-1'=1計算，1=(')-1'==1/10按（8.104）式，(')-1'=2計算，2=(')-1'==1/20驗證，=1+2。=1+2=(1/10)+(1/20)=+=按（8.102）式，VEC模型表示為Yt=+'Yt-1+ut=1+2+'Yt-1+ut=2+('1)+ut(8.107)=++的一部分進入?yún)f(xié)整空間，一部分進入數(shù)據(jù)空間。（3）常數(shù)項只進入數(shù)據(jù)空間（VAR的常數(shù)項），不進入?yún)f(xié)整空間。對于(8.101)式，當1=0時，=2。常數(shù)項只進入數(shù)據(jù)空間Yt=+'Yt-1+ut=2+'Yt-1+ut(8.108)2．趨勢項的處理同理，對時間趨勢項t的系數(shù)也可以做上述分解。=1+2(8.109)1進入?yún)f(xié)整空間，表示變量協(xié)整關(guān)系中也存在線性趨勢。2進入數(shù)據(jù)空間（VAR的常數(shù)項）。表示原變量中存在二次方的時間趨勢項，或差分變量中存在一次方的時間趨勢項，例如VAR模型為，Yt=+t+1Yt-1+ut相應(yīng)的VEC模型形式是Yt=+t+Yt-1+ut=1+2+1t+2t+'Yt-1+ut=2+2t+('Yt-1+1+1t)+ut(8.111)=(2+2t)+('Yt-1+1+1t)+ut(8.112)=(2,2)+(',1,1)+ut8.3.4協(xié)整檢驗用表根據(jù)和t所在位置不同，檢驗協(xié)整關(guān)系的LR統(tǒng)計量的分布也不同。檢驗時應(yīng)選擇相應(yīng)的臨界值表。附表1給出了5種模型條件下所對應(yīng)的臨界值。附表1VAR模型協(xié)整檢驗臨界值表（跡統(tǒng)計量）單位根個數(shù)模型類型N-r0.100.050.0112.863.846.51模型（1）210.4712.5316.31=0,=0321.6324.3129.75協(xié)整空間中無常數(shù)項、無趨勢項。436.5839.8945.58數(shù)據(jù)空間中無均值、無趨勢項。555.4459.4666.52678.3682.4990.457104.77109.99119.808135.24141.20152.329169.45175.77187.3110206.05212.67226.4011248.45255.27269.8117.529.2412.97模型（2）217.8519.9624.6010,2=0,=0332.0034.9141.07協(xié)整空間中有常數(shù)項、無趨勢項。449.6553.1260.16數(shù)據(jù)空間中無均值、無趨勢項。571.8676.0784.45697.18102.14111.017126.58131.70143.098159.48165.58177.209196.37202.92215.7410236.54244.15257.6811282.45291.40307.6412.693.766.65模型（3）213.3315.4120.0410,20,=0326.7929.6835.65協(xié)整空間中有常數(shù)項、無趨勢項。443.9547.2154.46數(shù)據(jù)空間中有線性趨勢、無二次趨勢項。564.8468.5276.07689.4894.15103.187118.50124.24133.578150.53156.00168.369186.39192.89204.9510225.85233.13247.1811269.96277.71293.44110.4912.2516.26模型（4）222.7625.3230.4510,20,10,2=0339.0642.4448.45協(xié)整空間中有常數(shù)項、有線性趨勢項。459.1462.9970.05數(shù)據(jù)空間中有線性趨勢、無二次趨勢項。583.2087.3196.586110.42114.90124.757141.01146.76158.498176.67182.82196.089215.17222.21234.4110256.72263.42279.0711303.13310.81327.4512.573.746.40模型（5）216.0618.1723.4610,20,10,20331.4234.5540.49協(xié)整空間中有常數(shù)項、有線性趨勢項。450.7454.6461.24數(shù)據(jù)空間中有線性趨勢、有二次趨勢項。573.4077.7485.786100.14104.94114.367130.84136.61146.998164.34170.80182.519201.95208.97222.4610244.12250.84263.9411288.08295.99312.58注：1．模型(1)-(5)分別摘自O(shè)sterwald-Lenum(1992)表0，表1*，表1，表2*，表2。2．表示檢驗水平，N表示VAR模型中變量個數(shù)，r表示協(xié)整向量個數(shù)。案例分析1：關(guān)于中國GDP、宏觀消費與基本建設(shè)投資的VEC模型分析。(293-302)用EViews估計VAR、VEC模型。1．建立VAR模型對任何一組有關(guān)系的經(jīng)濟變量都可以直接建立VAR模型。最大滯后期k的選擇可以依據(jù)LR檢驗、赤池準則、Schwartz準則。建立VAR模型的EViews步驟是（1）點擊Quick鍵，選EstimateVAR功能，得如下對話框：問題：（1）非平穩(wěn)經(jīng)濟變量之間可以建立VAR模型嗎？若不存在協(xié)整關(guān)系不可以；若存在協(xié)整關(guān)系，在滯后項充分多的前提下可以建立VAR模型。這相當于每個方程都是AEG協(xié)整回歸式。2．建立VEC模型建立VEC模型的步驟是（1）檢驗變量間是否存在協(xié)整關(guān)系。從工作文件中選中變量，打開數(shù)據(jù)組窗口，點擊View鍵，選CointegrationTest功能，得如下對話框：其中有5種選擇。①協(xié)整空間無常數(shù)項、無時間趨勢項；②協(xié)整空間有常數(shù)項、無時間趨勢項，數(shù)據(jù)空間無常數(shù)項；③協(xié)整空間有常數(shù)項、無時間趨勢項；④協(xié)整空間有常數(shù)項、有時間趨勢項，數(shù)據(jù)空間無時間趨勢