2023年中考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)+重點(diǎn)題型+高分秘籍+題組訓(xùn)練+過關(guān)檢測(cè)-圖形的相似

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)資料五合一《核心考點(diǎn)＋重點(diǎn)題型＋高分秘籍＋題組特訓(xùn)＋過關(guān)檢測(cè)》(全國通用版)第22講 圖形的相似核心考點(diǎn)1：比例的相關(guān)概念及性質(zhì)1．線段的比：兩條線段的比是兩條線段的長度之比．2．比例中項(xiàng)：如果eq\f(a,b)=eq\f(b,c)，即b2=ac，我們就把b叫做a，c的比例中項(xiàng)．3．比例的性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容性質(zhì)1=?ad=bc（a，b，c，d≠0）．性質(zhì)2如果=，那么．性質(zhì)3如果==…=（b+d+…+n≠0），則=（不唯一）．4.黃金分割：如果點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段，使，那么點(diǎn)C叫做線段AC的黃金分割點(diǎn)，AC是BC與AB的比例中項(xiàng)，AC與AB的比叫做黃金比．核心考點(diǎn)2：相似三角形的判定及性質(zhì)1．定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形，相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比．2．性質(zhì)：1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等；2）相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（邊、高、中線、角平分線）成比例；3）相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方．3．判定：1）有兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；3）三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似；4）兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似．【方法技巧】判定三角形相似的幾條思路：1）條件中若有平行線，可采用相似三角形的判定（1）；2）條件中若有一對(duì)等角，可再找一對(duì)等角[用判定（1）]或再找夾邊成比例[用判定（2）]；3）條件中若有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，可找夾角相等；4）條件中若有一對(duì)直角，可考慮再找一對(duì)等角或證明斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)成比例；5）條件中若有等腰條件，可找頂角相等，或找一個(gè)底角相等，也可找底和腰對(duì)應(yīng)成比例．核心考點(diǎn)3：相似多邊形1．定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做它們的相似比．2．性質(zhì)：1）相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例；2）相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等；3）相似多邊形周長的比等于相似比，相似多邊形面積的比等于相似比的平方．核心考點(diǎn)4：位似圖形1．定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行（或在同一條直線上），那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，相似比叫做位似比．2．性質(zhì)：1）在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或–k；2）位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比或相似比．3．找位似中心的方法：將兩個(gè)圖形的各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接起來，若它們的直線或延長線相交于一點(diǎn)，則該點(diǎn)即是位似中心．4．畫位似圖形的步驟：1）確定位似中心；2）確定原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；3）確定位似比，即要將圖形放大或縮小的倍數(shù)；4）作出原圖形中各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；5）按原圖形的連接順序連接所作的各個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)．圖形的相似是非常重要的一塊內(nèi)容，內(nèi)容相對(duì)較難，涉及到的題型也比較多。1——考查黃金分割、比例性質(zhì)1．如果點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)（），那么下列結(jié)論正確的為（

）A． B． C． D．【分析】根據(jù)黃金分割的概念進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，∴是和的比例中項(xiàng)，即，∴，∴選項(xiàng)A、B、C結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意，選項(xiàng)D結(jié)論正確，符合題意，故選：D．【反思】本題考查的是黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對(duì)應(yīng)線段是解決問題的關(guān)鍵．2．鸚鵡螺曲線的每個(gè)半徑和后一個(gè)半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如圖，是的黃金分割點(diǎn)，若線段的長為4cm，則的長為（

）A． B． C． D．【分析】根據(jù)黃金分割的定義可得據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵P是AB的黃金分割點(diǎn)，，∴；故選：A．【反思】本題主要考查了黃金分割比例，熟知黃金分割比例是解題的關(guān)鍵．2——考查相似的性質(zhì)3．已知兩個(gè)相似多邊形的面積之比是，則這兩個(gè)相似多邊形的相似比是（

）A． B． C． D．【分析】根據(jù)相似多邊形的面積之比等于相似比的平方計(jì)算選擇即可．【詳解】∵兩個(gè)相似多邊形的面積之比是，∴這兩個(gè)相似多邊形的相似比是，故選A．【反思】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似多邊形的面積之比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．3——考查平行線分線段成比例定理4．如圖，直線，直線和被，，所截，，，，則的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，代入求出即可．【詳解】解：，，，解得，故選：D．【反思】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關(guān)鍵．4——考查相似三角形的性質(zhì)與判定5．如圖，，若，，則與的相似比是()A． B． C． D．【分析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比求解．【詳解】解：∵，∴故選：B.【反思】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．如圖，，在邊上取點(diǎn)P，使得與相似，則滿足條件的點(diǎn)P有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè)【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分兩種情況列式計(jì)算：①若；②若．【詳解】解：，若與相似，可分兩種情況：①若，則，；解得．②若，則，，解得或6．則滿足條件的長為2.8或1或6．故選：C．【反思】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在中，，點(diǎn)D為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接，作，交線段于點(diǎn)E．下面是某學(xué)習(xí)小組根據(jù)題意得到的結(jié)論：甲同學(xué)：；乙同學(xué)：若，則；丙同學(xué)：當(dāng)時(shí)，D為的中點(diǎn)．則下列說法正確的是（

）A．只有甲同學(xué)正確 B．乙和丙同學(xué)都正確C．甲和丙同學(xué)正確 D．三個(gè)同學(xué)都正確【分析】在中，依據(jù)三角形外角及已知可得，結(jié)合等腰三角形易證；結(jié)合，易證，得到；當(dāng)時(shí)，結(jié)合已知求得，易證，依據(jù)等腰三角形“三線合一”得【詳解】解：在中，，，，，，，甲同學(xué)正確；，，，，，乙同學(xué)正確；當(dāng)時(shí)，，，，，，，D為的中點(diǎn)，丙同學(xué)正確；綜上所述：三個(gè)同學(xué)都正確故選：D．【反思】本題考查了三角形外角、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是通過“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和”得到．8．下列證方形方格中四個(gè)三角形中，與甲圖中的三角形相似的是（

）A．B． C． D．【分析】先根據(jù)勾股定理求出各三角形的邊長，再根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似，即可求解．【詳解】解：設(shè)網(wǎng)格中小正方形的邊長為1，則給出的三角形三邊長分別為，A、三角形三邊長分別是，因?yàn)?，所以與給出的三角形的各邊不成比例，故此選項(xiàng)不符合題意；B、三角形三邊長分別是，因?yàn)?，所以與給出的三角形的各邊成比例，故此選項(xiàng)符合題意；C、三角形三邊長分別是，因?yàn)榕c給出的三角形的各邊不成比例，故此選項(xiàng)不符合題意；D、三角形三邊長分別是，因?yàn)?，所以與給出的三角形的各邊不成比例，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【反思】本題主要考查了兩三角形相似的判定定理，熟練掌握三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似是解題的關(guān)鍵．5——考查相似三角形的應(yīng)用9．如圖，李老師用自制的直角三角形紙板去測(cè)“步云閣”的高度，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊保持水平，邊與點(diǎn)B在同一直線上．已知直角三角紙板中，，測(cè)得眼睛D離地面的高度為，他與“步云閣”的水平距離為，則“步云閣”的高度是（

）A． B． C． D．【分析】先證明，得到，求出，即可得到“步云閣”的高度．【詳解】解：，，，，，，，測(cè)得眼睛D離地面的高度為，，故選B．【反思】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)時(shí)解題關(guān)鍵．10．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)踐課上，小明在測(cè)量教學(xué)樓高度時(shí)，先測(cè)出教學(xué)樓落在地面上的影長為米（如圖），然后在處樹立一根高米的標(biāo)桿，測(cè)得標(biāo)桿的影長為4米，則樓高為（

）A．10米 B．12米 C．15米 D．25米【分析】根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求解．【詳解】∵，即，∴樓高米，故選：C．【反思】本題考查了相似三角形在測(cè)量高度時(shí)的應(yīng)用，找出相似三角形是解決問題的關(guān)鍵．6——考查位似圖形的性質(zhì)11．下圖所示的四種畫法中，能使得是位似圖形的有（

）A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④【分析】根據(jù)每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)，且對(duì)應(yīng)邊互相平行，逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】解：∵每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)，且對(duì)應(yīng)邊互相平行∴①②③④能使得是位似圖形，故選：D．【反思】本題考查了位圖圖形的性質(zhì)與畫法，掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7——考查相似三角形的性質(zhì)與判定（解答題）12．已知，在中，，分別是邊，上的點(diǎn)，連接，，，和相交于點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)若，求的值．【分析】（1）用相似三角形的判定方法：兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似，找出，即可證明；（2）用相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，然后進(jìn)行轉(zhuǎn)換即可求解．【詳解】（1）證明：∵，，∴．（2）∵，∴，∴，∵，∴．【反思】本題考查了相似三角形的判定方法及性質(zhì)，掌握判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．【教材原題】如圖①，在中，，且，，圖中的相似三角形是__________，它們的相似比為__________；【改編】將圖①中的繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置，連接、．求證：；【應(yīng)用】如圖③，在和中，，，點(diǎn)D在邊上，連接，則與的面積比為__________．【分析】教材原題：根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，即可得出，再求出對(duì)應(yīng)邊的比，即可得出相似比；改編：根據(jù)得出，，進(jìn)而得出，，即可求證；應(yīng)用：根據(jù)，可得，則，進(jìn)而得出，根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方，即可求解．【詳解】教材原題解：∵，∴，，∴；∵，，∴，∴相似比為．故答案為：，；改編：證明：∵，∴，．∴，∴，．∴．應(yīng)用：∵，，∴，∴，則，∵，∵，∴，即，∴，∵，，∴．∴．故答案為：．【反思】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)．14．如圖，是等腰直角三角形，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊上，，的延長線與的延長線相交于點(diǎn)G．(1)不添加輔助線，在圖中找出一個(gè)與相似的三角形（不需證明）；(2)若，求的長；(3)若．求的值．【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，再說明即可解答；（2）如圖：過點(diǎn)E作，垂足為H，先證可得進(jìn)而得到，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得、，最后根據(jù)線段的和差即可解答．（3）過點(diǎn)C作，交于點(diǎn)M，可得，再根據(jù)三角函數(shù)可得，設(shè)，則，結(jié)合（2）可得，再證明可得，然后再證明可得即，解得，進(jìn)而求得，最后代數(shù)求解即可．【詳解】（1）解：結(jié)論：．如下：理由：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．（2）解：如圖：過點(diǎn)E作，垂足為H，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴（AAS），∴，∵，∴，∴，，∵，∴．（3）解：如圖：過點(diǎn)C作，交于點(diǎn)M，∴，∴，在中，，∴，設(shè)，則，由（2）得：，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴∴∴，∴，∴∴的值為5．【反思】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)以及構(gòu)造相似三角形是本題的關(guān)鍵．15．如圖所示，在正方形中，是上的點(diǎn)，且，是的中點(diǎn)．(1)與是否相似？為什么？(2)試問：與有什么關(guān)系？【分析】（1）在所要求證的兩個(gè)三角形中，已知的等量條件為：，若證明兩三角形相似，可證兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)直角邊成比例；（2），且．根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得與的數(shù)量關(guān)系；根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等即可證得與的位置關(guān)系．【詳解】（1）解：證明：四邊形是正方形，，；又是中點(diǎn)，；，，，又，；（2），且．理由如下：由（1）知，，，則，；，，，，．【反思】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．——從不同角度思考問題，你會(huì)有不同收獲在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，做數(shù)學(xué)題的過程中，我們對(duì)待一個(gè)問題或者說一個(gè)幾何問題或代數(shù)問題，可以從不同角度出發(fā)，從不同角度思考問題，收獲會(huì)更多，比如，平面幾何問題中，經(jīng)常會(huì)遇到計(jì)算線段長度的問題，我們可以從四個(gè)不同角度處理和思考這個(gè)問題，其一，我們從勾股定理方面想，可以構(gòu)造直角三角形解決；其二，我們從相似三角形的角度出發(fā)，可以構(gòu)造相似三角形解決；其三，我們也可以利用三角函數(shù)解決；其四，有時(shí)我們利用等積法來處理計(jì)算線段長度問題很簡單的，從不同角度出發(fā)，收獲會(huì)更大。秘籍十五：從不同角度思考問題，你會(huì)有不同收獲一、選擇題1．如圖，在中，點(diǎn)，，分別是邊，，上的點(diǎn)，，，且，那么等于（）A． B． C． D．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，，連接，過點(diǎn)O作交的延長線于P，若，則的長為（）A． B． C．2 D．33．如圖，在正方形中，點(diǎn)在邊上，且，連接，，平分，過點(diǎn)作于點(diǎn)，若正方形的邊長為4，則的面積是（

）A． B． C． D．4．如圖，在平行四邊形中，E為上一點(diǎn)，且，與相交于點(diǎn)F，，則為（

）A．9 B．12 C．27 D．365．如圖，在中，，，分別是邊，，上的點(diǎn)，若，則下列等式一定成立的是（

）A． B． C． D．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)．若點(diǎn)，在直線上，則的最大值是（

）A． B． C． D．7．已知∽，且，，則等于（

）A． B． C． D．8．如圖所示，與是位似圖形，點(diǎn)O為位似中心．若，的周長為3，則的周長為（

）A．12 B．6 C． D．9．如圖,在中，，，點(diǎn)從開始沿邊向點(diǎn)以2個(gè)單位/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以4個(gè)單位/秒的速度移動(dòng)，如果、分別同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過（

）秒后，與相似．A．2 B． C．或2 D．或210．如圖，在矩形中，點(diǎn)、分別在邊、上，，，，，則的長是（

）A．12 B．15 C． D．二、填空題11．已知，若的三邊分別長為6，8，10，的面積為96，則的周長為______．12．如圖，中，，，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，若與相似，則線段的長為________；13．如圖，矩形中，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)P為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)P作于點(diǎn)Q，當(dāng)與相似時(shí)，的長為_______．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若與是位似圖形，則的值是_______．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形與正方形是以O(shè)為位似中心的位似圖形，且位似比為，點(diǎn)，，在x軸上，延長交射線與點(diǎn)，以為邊作正方形；延長，交射線與點(diǎn)，以為邊作正方形；…按照這樣的規(guī)律繼續(xù)作下去，若，則正方形的面積為______．三、解答題16．如圖，為內(nèi)的一點(diǎn)，為外的一點(diǎn)，且，．(1)求證：；(2)若，A，直接寫出線段的長度為______．17．如圖，已知，，且，將邊反向延長至點(diǎn)D，使，連接．(1)求證：；(2)求的長．18．如圖，是的外接圓，點(diǎn)O在邊上，的平分線交于點(diǎn)D，連接、，過點(diǎn)D作的平行線與的延長線相交于點(diǎn)P．(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)若，，求的長．19．如圖，是等腰直角三角形，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊上，，的延長線與的延長線相交于點(diǎn)G．(1)不添加輔助線，在圖中找出一個(gè)與相似的三角形（不需證明）；(2)若，求的長；(3)若．求的值．20．（1）如圖1，中，，，，是上一點(diǎn)，，，垂足為，求的長．

（2）類比探究：如圖2，中，，，點(diǎn)，分別在線段，上，，，求的長．（3）拓展延伸：如圖3，中，點(diǎn)，點(diǎn)分別在線段，上，，延長，交于點(diǎn)，，，，求______．一、選擇題1．如圖，已知點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且滿足，則（

）A． B． C． D．2．在學(xué)習(xí)畫線段的黃金分割點(diǎn)時(shí)，小明過點(diǎn)B作的垂線，取的中點(diǎn)M，以點(diǎn)B為圓心，為半徑畫弧交射線于點(diǎn)D，連接，再以點(diǎn)D為圓心，為半徑畫弧，前后所畫的兩弧分別與交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，最后，以A為圓心，“■■”的長度為半徑畫弧交于點(diǎn)H，點(diǎn)H即為的其中一個(gè)黃金分割點(diǎn)，這里的“■■”指的是線段（

）A． B． C． D．3．如圖，P是重心，且經(jīng)過點(diǎn)P，則的值為（

）A． B． C． D．4．如圖，在矩形紙片中，，，點(diǎn)E在上，將沿折疊，點(diǎn)C恰好落在邊上的點(diǎn)F處，點(diǎn)G在上，將沿折疊，點(diǎn)A恰好落在線段上的H處，有下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④5．四邊形中，點(diǎn)在邊上，的延長線交的延長線于點(diǎn)，下列式子中能判斷的式子是（

）A． B． C． D．6．如圖，在中，點(diǎn)，分別在，上，，，且，，則的長為（

）A． B．4 C．5 D．7．如圖，正方形中，為上一點(diǎn)，，交的延長線于點(diǎn)，若，，則的長為（）A． B． C． D．8．如圖，在中，平分交于點(diǎn)過點(diǎn)作DE//BC交于點(diǎn)，若：：，且的面積為，則的面積為（

）A． B． C． D．9．如圖，在△ABC中，，，，點(diǎn)D在AC邊上，且，動(dòng)點(diǎn)P在BC邊上，將△PDC沿直線PD翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，則△AEB面積的最小值是（

）A． B． C．2 D．10．如圖，在中，，，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)，連結(jié)，將沿翻折得到，點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在邊上．若以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，則的長為（

）A． B． C．或 D．或二、填空題11．在矩形中，，，點(diǎn)在邊上，若與相似，則的長為______．12．中，，，點(diǎn)、點(diǎn)分別為邊、邊上的點(diǎn)，連接，將沿直線折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，若與相似，則的長為______．13．如圖，在中，，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，作交邊于點(diǎn)，若設(shè)，，則關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式是_____________。14．如圖，正方形中，，，點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)（不與B、C重合），過點(diǎn)P作，交于點(diǎn)Q，設(shè)．（1）y與x的函數(shù)關(guān)系為______．（2）______時(shí)，______．15．如圖，在矩形中，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，若與是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為______．三、解答題16．如圖，，且，點(diǎn)D在內(nèi)部，連接．(1)求證：．(2)若，且，求的長．17．如圖，在三邊互不相等的中，，．動(dòng)點(diǎn)從開始沿邊運(yùn)動(dòng)，速度為秒，動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)開始沿邊運(yùn)動(dòng)，速度為秒，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)時(shí)，，就不再運(yùn)動(dòng)．設(shè)，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，解決以下問題：(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)若與相似，求的值．18．如圖，在平行四邊形中，過點(diǎn)B作，垂足為E，連接為上一點(diǎn)，且(1)求證：(2)若，，求的長19．如圖1，在矩形中，，動(dòng)點(diǎn)P從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，沿射線方向移動(dòng)，作關(guān)于直線的對(duì)稱，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)若．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，求證：，②是否存在異于圖2的時(shí)刻，使得是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合題意的t的值？若不存在，請(qǐng)說明理由．(2)當(dāng)P點(diǎn)不與C點(diǎn)重合時(shí)，若直線與直線相交于點(diǎn)M，且當(dāng)時(shí)存在某一時(shí)刻有結(jié)論成立，試探究：對(duì)于的任意時(shí)刻，結(jié)論“”是否總是成立？請(qǐng)說明理由．20．【初步探索】(1)如圖1，已知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)，在直線的同側(cè)，，，，求證：；【問題解決】在【初步探索】的基礎(chǔ)上，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，直線，交于點(diǎn)，如圖2所示．(2)當(dāng)?shù)拿娣e達(dá)到最大時(shí)，的度數(shù)為__________(3)根據(jù)圖2，求證：；(4)根據(jù)圖2，求的度數(shù)；【類比應(yīng)用】(5)如圖3，在矩形和矩形中，，，，連接，，請(qǐng)直接寫出的值．中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)資料五合一《核心考點(diǎn)+重點(diǎn)題型+高分秘籍+題組特訓(xùn)+過關(guān)檢測(cè)》(全國通用版)第22講 圖形的相似題組特訓(xùn)詳解選擇題1．如圖，在中，點(diǎn)，，分別是邊，，上的點(diǎn)，，，且，那么等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行線分線段成比例推導(dǎo)即可．【詳解】解：，，，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理．注意掌握比例線段的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，，連接，過點(diǎn)O作交的延長線于P，若，則的長為（）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】由得，根據(jù)，有，即得，故．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)定理．3．如圖，在正方形中，點(diǎn)在邊上，且，連接，，平分，過點(diǎn)作于點(diǎn)，若正方形的邊長為4，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求得，，，延長交于，過點(diǎn)，點(diǎn)分別作的垂線交于，，可證，，進(jìn)而可得，，，根據(jù)，可求得，再通過的面積為即可求得答案．【詳解】解：∵四邊形是正方形，，∴，，，，則，，∴，延長交于，過點(diǎn)，點(diǎn)分別作的垂線交于，，則，∴，則，∵平分，，∴，，又∵，∴，∴，則，，則，∴，∴的面積為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，解直角三角形，添加輔助線構(gòu)造相似三角形和全等三角形，求得的長度是解決問題的關(guān)鍵．4．如圖，在平行四邊形中，E為上一點(diǎn)，且，與相交于點(diǎn)F，，則為（

）A．9 B．12 C．27 D．36【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，證明得到，再證明，即可得到，，則．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴，，∵，∴，，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，證明，得到是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在中，，，分別是邊，，上的點(diǎn)，若，則下列等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)外角關(guān)系可得，結(jié)合即可得到，即可得到，即可得到答案；【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)外角關(guān)系，三角形相似的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是得到相似的條件．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)．若點(diǎn)，在直線上，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】當(dāng)點(diǎn)M在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，交軸于點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)N在y軸的負(fù)半軸移動(dòng)，定有；只要求出的最小值，也就是最大值時(shí)，就能確定點(diǎn)N的坐標(biāo)，而直線與y軸交于點(diǎn)，此時(shí)b的值最大，因此根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，設(shè)未知數(shù)構(gòu)造二次函數(shù)，通過求二次函數(shù)的最值得以解決．【詳解】解：連接，如圖所示：∵，，，∴軸，軸，∴，∴四邊形是矩形，，又，，，，，設(shè)．則，，即：，當(dāng)時(shí)，，直線與軸交于，且點(diǎn)N在y軸的負(fù)半軸上，∴當(dāng)最大時(shí)，最小，點(diǎn)越往上，的值最大，，此時(shí)，，的最大值為，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值以及一次函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造相似三角形、利用二次函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．7．已知∽，且，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和等于和相似三角形的性質(zhì)定理解答．【詳解】解：因?yàn)椋鶕?jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等可得：，因?yàn)?，，所?故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)定理并學(xué)會(huì)應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵.8．如圖所示，與是位似圖形，點(diǎn)O為位似中心．若，的周長為3，則的周長為（

）A．12 B．6 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)位似得出兩個(gè)三角形的相似比，再根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比解答即可．【詳解】與是位似圖形，，，，∵，∴，與的周長比是2，由于的周長為3，所以的周長為6，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換、相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的周長比等于相似比是解題的關(guān)鍵．9．如圖,在中，，，點(diǎn)從開始沿邊向點(diǎn)以2個(gè)單位/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以4個(gè)單位/秒的速度移動(dòng)，如果、分別同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過（

）秒后，與相似．A．2 B． C．或2 D．或2【答案】C【分析】設(shè)x秒后，與相似，可表示出，再分與是對(duì)應(yīng)邊和與是對(duì)應(yīng)邊兩種情況，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可．【詳解】解：設(shè)經(jīng)過x秒后，與相似，則，（1）當(dāng)與是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，，即，解得：，（2）當(dāng)與是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，，即，解得：，故經(jīng)過2或秒后，與相似，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．注意分兩種情況討論求解．10．如圖，在矩形中，點(diǎn)、分別在邊、上，，，，，則的長是（

）A．12 B．15 C． D．【答案】C【分析】利用相似三角形的性質(zhì)求出AE的長，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∵矩形中，，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理，解題關(guān)鍵是求出的長后利用勾股定理求解．二、填空題11．已知，若的三邊分別長為6，8，10，的面積為96，則的周長為______．【答案】48【分析】首先根據(jù)勾股定理的逆定理，可證得是直角三角形，即可求得的面積，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：的三邊分別長為6，8，10，，是直角三角形，的面積為：，設(shè)的周長為x，，，解得，故答案為：48．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握和運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．12．如圖，中，，，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，若與相似，則線段的長為________；【答案】或【分析】當(dāng)時(shí)，，得到，，由勾股定理得到的長；當(dāng)，，設(shè)，利用平行線分線段成比例定理得到，利用比例式求出，根據(jù)列方程求出，即可得到的長．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，即，，∵，∴，垂直平分，∴，，∴；當(dāng)，∴，∵，∴，設(shè)，則，∴，∴，∵，解得，∴，故答案為：或【點(diǎn)睛】此題考查了相似的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、勾股定理等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合和準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．13．如圖，矩形中，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)P為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)P作于點(diǎn)Q，當(dāng)與相似時(shí)，的長為_______．【答案】或4【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)得出，，，，，分時(shí)，，或時(shí)，，求出的長即可．【詳解】解：∵四邊形為矩形，∴，，，，，∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，如圖所示：∵，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴；當(dāng)時(shí)，，如圖所示：過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，∴，∴，∴四邊形為矩形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，在中，即，解得：；綜上分析可知，或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出圖形，并注意分類討論．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若與是位似圖形，則的值是_______．【答案】【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)得到，易得，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，即，與是位似圖形，，，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了位似圖形的概念和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形與正方形是以O(shè)為位似中心的位似圖形，且位似比為，點(diǎn)，，在x軸上，延長交射線與點(diǎn)，以為邊作正方形；延長，交射線與點(diǎn)，以為邊作正方形；…按照這樣的規(guī)律繼續(xù)作下去，若，則正方形的面積為______．【答案】【分析】先根據(jù)位似比求出，再證明，得到，，，，同理證明，得到，從而得到正方形的面積為，正方形的面積為，正方形的面積為，……，據(jù)此發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可得到答案．【詳解】解：∵正方形與正方形是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為，，軸，軸，，，，，，，正方形的邊長為，，，正方形的邊長為，，，同理可得，，，正方形的邊長為，正方形的面積為，正方形的面積為，正方形的面積為，……∴正方形的面積是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題為位似的實(shí)際應(yīng)用，考查了位似比，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，理解題意，根據(jù)相似三角形和正方形的知識(shí)分別求出正方形的邊長，從而表示出正方形的面積并發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題關(guān)鍵．三、解答題16．如圖，為內(nèi)的一點(diǎn)，為外的一點(diǎn)，且，．(1)求證：；(2)若，A，直接寫出線段的長度為______．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可判斷；（2）先利用得，根據(jù)比例的性質(zhì)得到得出，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，又∵，∴；（2）∵，∴，∴，又，∴，∴，∵，A，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．17．如圖，已知，，且，將邊反向延長至點(diǎn)D，使，連接．(1)求證：；(2)求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)及，可得，結(jié)合，利用有兩個(gè)角分別相等的三角形相似可得結(jié)論；（2）由已知線段的長得利用得出比例式，從而解得的值，根據(jù)（1）可知，則可求得的值．【詳解】（1）證明：∵，∴∠∵是的外角，∴∠又

∴∠又

∴（2）∵∠

∴∵∴∵∴

解得，【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．如圖，是的外接圓，點(diǎn)O在邊上，的平分線交于點(diǎn)D，連接、，過點(diǎn)D作的平行線與的延長線相交于點(diǎn)P．(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)若，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）先判斷出，進(jìn)而判斷出，得出即可得出結(jié)論；（2）先判斷出，再判斷出，即可得出結(jié)論；（3）先求出，再判斷出，利用勾股定理求出，最后用得出比例式求解即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接．∵，∴，∴，∵，∴，即，∴是的切線；（2）證明：∵，∴．∵，∴，∵，，∴，∴．（3）解：∵是直徑，∴，∵，，由勾股定理得：，由（1）知，是等腰直角三角形，∴，∵，∴，．【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，主要考查了圓的性質(zhì)，切線的性質(zhì)和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，同角的余角相等，判斷出是解本題的關(guān)鍵．19．如圖，是等腰直角三角形，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊上，，的延長線與的延長線相交于點(diǎn)G．(1)不添加輔助線，在圖中找出一個(gè)與相似的三角形（不需證明）；(2)若，求的長；(3)若．求的值．【答案】(1)(2)(3)5【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，再說明即可解答；（2）如圖：過點(diǎn)E作，垂足為H，先證可得進(jìn)而得到，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得、，最后根據(jù)線段的和差即可解答．（3）過點(diǎn)C作，交于點(diǎn)M，可得，再根據(jù)三角函數(shù)可得，設(shè)，則，結(jié)合（2）可得，再證明可得，然后再證明可得即，解得，進(jìn)而求得，最后代數(shù)求解即可．【詳解】（1）解：結(jié)論：．如下：理由：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．（2）解：如圖：過點(diǎn)E作，垂足為H，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴（AAS），∴，∵，∴，∴，，∵，∴．（3）解：如圖：過點(diǎn)C作，交于點(diǎn)M，∴，∴，在中，，∴，設(shè)，則，由（2）得：，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴∴∴，∴，∴∴的值為5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)以及構(gòu)造相似三角形是本題的關(guān)鍵．20．（1）如圖1，中，，，，是上一點(diǎn)，，，垂足為，求的長．

（2）類比探究：如圖2，中，，，點(diǎn)，分別在線段，上，，，求的長．（3）拓展延伸：如圖3，中，點(diǎn)，點(diǎn)分別在線段，上，，延長，交于點(diǎn)，，，，求______．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】(1)證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算，求出；(2)在上截取，連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可；(3)過點(diǎn)B作于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作于點(diǎn)N，設(shè)，用表示出、，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．【詳解】(1)，，，，，，解得：．(2)如圖2，在上截取，連接，，為等邊三角形，，，，，，，，，，，即，解得：．(3)如圖3，過點(diǎn)B作于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作于點(diǎn)N，，，，，則，，設(shè)，，，，BD=2a，，，，，，，∴，，，即，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線、熟記三角形相似的判定定理是解題的關(guān)鍵．過關(guān)檢測(cè)詳細(xì)解析一．選擇題1．如圖，已知點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，，根據(jù)求出x，得到和，再計(jì)算結(jié)果即可．【詳解】解：設(shè)，，則，∵，∴，解得：或（舍），即，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程和黃金分割的應(yīng)用，根據(jù)題意列出比例式是關(guān)鍵．2．在學(xué)習(xí)畫線段的黃金分割點(diǎn)時(shí)，小明過點(diǎn)B作的垂線，取的中點(diǎn)M，以點(diǎn)B為圓心，為半徑畫弧交射線于點(diǎn)D，連接，再以點(diǎn)D為圓心，為半徑畫弧，前后所畫的兩弧分別與交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，最后，以A為圓心，“■■”的長度為半徑畫弧交于點(diǎn)H，點(diǎn)H即為的其中一個(gè)黃金分割點(diǎn)，這里的“■■”指的是線段（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)作圖可知，，，設(shè)，則，，求出，得出，即可得出結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)作圖可知，，，設(shè)，則，∴根據(jù)勾股定理可得：，∴，∴，∴以A為圓心，“”的長度為半徑畫弧交于點(diǎn)H，點(diǎn)H即為的其中一個(gè)黃金分割點(diǎn)，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，黃金分割，解的關(guān)鍵是求出．3．如圖，P是重心，且經(jīng)過點(diǎn)P，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)重心可得，結(jié)合可得，即可得到答案；【詳解】解：∵P是重心，∴，∵，∴，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查平行線所截線段對(duì)應(yīng)成比例，三角形重心的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知三角形重心到頂點(diǎn)距離與到頂點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)的距離比為．4．如圖，在矩形紙片中，，，點(diǎn)E在上，將沿折疊，點(diǎn)C恰好落在邊上的點(diǎn)F處，點(diǎn)G在上，將沿折疊，點(diǎn)A恰好落在線段上的H處，有下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】C【分析】①根據(jù)折疊、矩形的性質(zhì)進(jìn)行推理即可；②根據(jù)等高三角形的面積比等于等邊的比計(jì)算分析即可；③由矩形的性質(zhì)、勾股定理及相似三角形的判定定理計(jì)算分析即可；④由矩形的性質(zhì)可得的長，根據(jù)求得的值，即可求得答案．【詳解】解：①由折疊的性質(zhì)可知：，，∵四邊形是矩形，，，故①正確；②由折疊的性質(zhì)可知：，，，，，故②正確；③∵四邊形是矩形，，在中，，設(shè)，即，在中，，即，解得，，；同理可得，，，，與不相似，故③錯(cuò)誤；④，，，，，故④正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．5．四邊形中，點(diǎn)在邊上，的延長線交的延長線于點(diǎn)，下列式子中能判斷的式子是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定方法逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A．，結(jié)合不能證明，不能推出，因此不能判斷，不合題意；B．，結(jié)合，可證，可得，可以判斷，不能判斷，不合題意；C．，結(jié)合，不能證明，不能判斷，也不能判斷，不合題意；D．，結(jié)合可證，推出，能夠判斷，符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法．6．如圖，在中，點(diǎn)，分別在，上，，，且，，則的長為（

）A． B．4 C．5 D．【答案】C【分析】根據(jù)，可得，從而得到，可證明，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，解得：，∴．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．如圖，正方形中，為上一點(diǎn)，，交的延長線于點(diǎn)，若，，則的長為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由勾股定理可求出的長，通過證明，可得，即可求解．【詳解】∵，，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在中，平分交于點(diǎn)過點(diǎn)作DE//BC交于點(diǎn)，若：：，且的面積為，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出△BDE的面積，再根據(jù)AD：DC＝3：2，可得結(jié)論．【詳解】解：∵AE：BE＝3：2，∴AE：BA＝3：5，∴△ADE與△DEB的面積之比為：3：2，∵△ADE的面積為3，∴△BDE的面積＝2，∴△ABD的面積為5，∵DE//CB，∴△AED∽△ABC，∴，∴△BCD的面積＝×5＝故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理是解決此題的關(guān)鍵．9．如圖，在△ABC中，，，，點(diǎn)D在AC邊上，且，動(dòng)點(diǎn)P在BC邊上，將△PDC沿直線PD翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，則△AEB面積的最小值是（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】連接BD，作點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)N，以點(diǎn)D為圓心，以DC為半徑作，過點(diǎn)D作DM⊥AB于M，交于Q．根據(jù)勾股定理，相似三角形的判定定理和性質(zhì)求出DM的長度，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)求出QM的長度，根據(jù)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡確定當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)Q重合時(shí)，點(diǎn)E到AB的距離最短為QM，再根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】解：如下圖所示，連接BD，作點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)N，以點(diǎn)D為圓心，以DC為半徑作，過點(diǎn)D作DM⊥AB于M，交于Q．∵，，，DM⊥AB于M，∴∠AMD=∠ACB，．∵∠MAD=∠CAB，AD=2，∴，DC=AC-AD=1．∴，DQ=DC=1．∴．∴．∵動(dòng)點(diǎn)P在BC邊上，△PDC沿直線PD翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，∴DE=DC=DN．∴點(diǎn)E在上移動(dòng)．∴當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)Q重合時(shí)，點(diǎn)E到AB的距離最短為QM．∴△AEB面積的最小值為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，相似三角形的判定定理和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形面積公式，綜合應(yīng)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．10．如圖，在中，，，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)，連結(jié)，將沿翻折得到，點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在邊上．若以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，則的長為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BE=EF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵將△BDE沿DE翻折得到△FDE，∴BE=EF，∵BC=4，∴CE=4-BE，∵以點(diǎn)C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，∴或，即或，解得：BE=或2，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．在矩形中，，，點(diǎn)在邊上，若與相似，則的長為______．【答案】或或【分析】設(shè)為，表示出，然后分和是對(duì)應(yīng)邊，和是對(duì)應(yīng)邊兩種情況，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可．【詳解】解：如圖，設(shè)為，，，和是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，∽，，即，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)或是分式方程的解．②和是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，∽，，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解，當(dāng)或或時(shí)，與相似，故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，涉及到矩形的性質(zhì)，熟知相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．12．中，，，點(diǎn)、點(diǎn)分別為邊、邊上的點(diǎn)，連接，將沿直線折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，若與相似，則的長為______．【答案】或【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得出，再根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系，得出，然后分兩種情況：和，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：如圖，將沿直線折疊得到，則，∵，∴，①若，∴，即，解得：；②若，∴，即，解得：，綜上可得：的長為或．故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在分兩種情況進(jìn)行討論．13．如圖，在中，，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，作交邊于點(diǎn)，若設(shè)，，則關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式是_____________?！敬鸢浮俊痉治觥肯茸C明，根據(jù)線段的和差可得，，再利相似三角形的性質(zhì)可得關(guān)于的函數(shù)解析式，然后根據(jù)的長即可得的取值范圍?！驹斀狻拷猓?，，∵，，，，，，，，，，化簡整理得：故答案為：。【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，列函數(shù)關(guān)系，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵。14．如圖，正方形中，，，點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)（不與B、C重合），過點(diǎn)P作，交于點(diǎn)Q，設(shè)．（1）y與x的函數(shù)關(guān)系為______．（2）______時(shí)，______．【答案】

8

##【分析】（1）根據(jù)已知條件以及正方形的性質(zhì)得出，證明，設(shè)，則，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得函數(shù)的解析式；（2）把（1）中的函數(shù)解析式配成頂點(diǎn)式，即可求解．【詳解】解：（1）∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：；（2），∵，∴當(dāng)時(shí)，y的最大值為，故答案為：8，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在矩形中，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，若與是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為______．【答案】3【分析】設(shè)，則，分和兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，即，解得，，當(dāng)時(shí)，，即，解得，或6，可得：滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有3個(gè)．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，注意分情況討論思想的靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．三、解答題16．如圖，，且，點(diǎn)D在內(nèi)部，連接．(1)求證：．(2)若，且，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)可得，則，即可證明；（2）根據(jù)，先求出的長度，在根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，得出，即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∴；（2）∵，∴，，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形相似的性質(zhì)和判定定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例；以及兩邊成比例且夾角相等的三角形相似．17．如圖，在三邊互不相等的中，，．動(dòng)點(diǎn)從開始沿邊運(yùn)動(dòng)，速度為秒，動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)開始沿邊運(yùn)動(dòng)，速度為秒，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)