琴律的數(shù)學表述上

琴律的數(shù)學表述上

用嚴格的數(shù)學形式來表達鋼琴，是鋼琴研究現(xiàn)代化的必要前提。琴律規(guī)范的數(shù)學表述,應當涉及徽位按音、徽位泛音、徽間音位,以及與琴調(diào)相關的定弦法。本文側(cè)重討論定弦過程的數(shù)學表述。一、散聲方程的建立在定弦過程中,一次又一次要求某兩弦奏出的音律相等。用數(shù)學形式來表述這過程,就是一次又一次建立這樣的數(shù)學方程:在甲弦所奏音的相對波長=在乙弦所奏音的相對波長等號兩端都可分解,表述為兩個數(shù)值的乘積:甲弦散聲的相對波長×在甲弦所用的相對弦長=乙弦散聲的相對波長×在乙弦所用的相對弦長而某弦散聲的相對波長則可用一種代號來表示:在方括號內(nèi)寫某弦的弦序號。于是,方程呈現(xiàn)為如下形式:[甲弦序號]×在甲弦所用的相對弦長=[乙弦序號]×在乙弦所用的相對弦長假如在甲弦奏音時,所奏的是散聲,所用的相對弦長就是1,這“×1”可以省略不寫。于是,方程形式可能簡化為:[甲弦序號]=[乙弦序號]×在乙弦所用的相對弦長等號兩端可自由對調(diào)。假如在甲弦用散聲奏出的音比乙弦所奏的音低八度(同名倍律),這時,兩音相對波長不相等,尚未具備建立等式的條件。為了能建立等式,須在奏出倍律那弦的弦序方括號之后添寫“×12”?！啊?2”。這也相當于在甲弦七徽取泛音,而與乙弦所奏音律相等。這時建立的方程具有如下形式:[甲弦序號]×12=[乙弦序號]×在乙弦所用的相對弦長等號兩端仍可自由對調(diào)。在列舉具體實例之前,先對以上提到的若干概念細加說明:相對弦長、相對波長、弦序方括號。二、音所對應的韻律定弦過程所用的相對弦長,都與徽位相關。在徽位取音的方式又分為按音與泛音兩類?；瘴话匆襞c相對弦長的對應關系,老前輩查阜西先生、楊蔭瀏先生在論著中早已闡明。本文采取歸類分行的書寫格式來列表。同時,以一弦散聲奏C為模型,在徽序號上方用五線譜音符表明各徽位按音所對應的音律,凡與國際通用平均律律制有差異的音律,都在音符頂上附注校正值,其單位名稱是“平均律全音”。校正值都取兩位小數(shù),“+”表示應高,“-”表示應低?！疑⒙曌郈條件下,各徽位按音的相對弦長與相對音高互相對照:在徽位奏泛音時,左手手指觸點以右的弦段,有可能表面看來很長(它在表面上總是跟按音的振動段一樣長),而實際振動狀態(tài)中每一振動段的長度都僅僅是它的幾分之一。因此,當我們列表表明各徽位泛音所對應的相對弦長時,不登記表面長度,只依據(jù)實際振動狀態(tài)中的每段長度?！疑⒙曌郈條件下,各徽位泛音的相對弦長與相對音高互相對照:上列兩表內(nèi)所記的音符,旨在借助固定音位來表明各徽位按音、泛音與散聲的相對關系。各音符的音程距離才是著眼點所在。當散聲變遷時,所有的徽位按音、泛音都應隨之變遷,按同樣的音程移高或移低,而它們相互間的音程距離則保持不變。三、相對波長的定義琴律的整套音系,我們提倡用相對波長來表述,目的是使音系的數(shù)理邏輯結(jié)構(gòu)得到明白的揭示。假如采用頻率來表述,就把這邏輯結(jié)構(gòu)全都遮掩了。怎樣得到某音律的相對波長數(shù)值?淺顯地講:假如某音律等于在正調(diào)一弦按某處所奏出的音律,那末這處的相對弦長數(shù)值就是這音律的相對波長數(shù)值。例如,正調(diào)四弦散聲的音律(G+.01)等于在正調(diào)一弦按九徽所奏出的音律,那末這處的相對弦長數(shù)值23就是這音律的相對波長數(shù)值。這解釋雖然淺顯,還不能算相對波長的科學定義?？茖W定義是:某音律的相對波長=某音律的振動周期正調(diào)一弦散聲的振動周期按這定義,正調(diào)一弦散聲自身的相對波長就已被確認為1?，F(xiàn)在來思考其他各音律的相對波長。按當代習慣,已設定正調(diào)一弦散聲的音高是國際通用的大字組C,其頻率約為65.41,這是一個無理數(shù)的近似值。但在對琴律作理論思考時,不妨取整數(shù)為出發(fā)點,設想大字組C的頻率為64(物理學高度)。在結(jié)合實際進行計算時,可仍取通用律制的65.41。在設定正調(diào)一弦散聲頻率的前提下,同時把振動周期表述為振動頻率的倒數(shù),上述定義可變形為:某音律的相對波長=1某音律的頻率1C的頻率=C的頻率某音律的頻率只要議定琴律研究工作所宜的大字組C的頻率,利用這關系式,根據(jù)任何音律的頻率都可算出它的相對波長。逆轉(zhuǎn)過來,若要由某音律的相對波長數(shù)值推算相應的頻率數(shù)值,可利用如下公式:現(xiàn)在問:如何根據(jù)相對波長數(shù)值推算相應的相對音高全音數(shù)?倘若把相對音高全音數(shù)定義為比C(正調(diào)一弦散聲)高或低的全音數(shù),取其正值表示高于,取其負值表示低于,那末,可利用如下公式來推算:例如:用這公式推算,正調(diào)一弦散聲的相對音高數(shù)值就確定為0,因為lg1=0。為提高科研工作效率,可把相對波長、相對音高、頻率三種數(shù)值的對應關系制成對照表,并把相對音高數(shù)值轉(zhuǎn)換成五線譜音符附注校正值的形式,供隨時查閱。四、散聲相對波長上文提到的弦序方括號,有兩重意義:方括號里寫出的漢字,表明它的地址含義,而能跟這方括號以等號相聯(lián)結(jié)的相對波長,則是它的算術數(shù)值。為什么要有這樣兩重意義呢?每一個方括號的職能在于表明某弦散聲的相對波長,它的書面形式是一個代數(shù)符號。在建立方程的過程中,就要用一個個這樣的代數(shù)符號,它們的漢字字樣使我們能把它們彼此區(qū)別。在解方程的過程中,它們的用途就跟X、Y、Z這些字母一樣。一旦方程組全都解出,每個代數(shù)符號就能明確地等于某個相對波長數(shù)值,這就是它所獲得的算術數(shù)值意義,每個數(shù)值也就告訴我們,某個散聲的相對波長是什么。這時我們當然要問:這數(shù)值是哪條弦的散聲相對波長呢?好比我當郵差,手里拿著一封封不同內(nèi)容的信,我得弄清楚,每封信要送到哪個地址。這時,方括號里的漢字就好比信封上寫的地址,照這地址送,就不會錯了。每個漢字是一個弦序號,它告訴我,解得的這個相對波長數(shù)值是哪條弦的散聲相對波長。每回解完一組方程,只要按漢字弦序號從左到右排序,把算得的相應相對波長也從左到右寫在空白五線譜下方,然后在五線譜上寫出相應的音符附注校正值,我就能清楚地看出這一組定弦方案是什么樣的了。五、關于所解的數(shù)值的解決方案以《五知齋琴譜》(編印于1721年)所載正調(diào)定弦過程為例,每引原著一句,即轉(zhuǎn)譯為一個數(shù)學方程,得如下6個方程并列的方程組:解方程從何處入手?雖然[一]最后才出現(xiàn),求解時仍可依據(jù)[一]=1(即,正調(diào)一弦散聲的相對波長為1)這一規(guī)范關系式,從含一弦方括號的方程開始解。以[一]=1代入第6式:[六]=[一]×12=1×12=12以[六]=12分別代入第2、第4兩式。第2式∶[六]=[四]×3412=[四]×34[四]=12×43=23第4式∶[六]=[三]×2312=[三]×23[三]=12×32=34以[四]=23代入第1式:[七]=[四]×23=23×23=49以[七]=49分別代入第3、第5兩式。第3式∶[七]=[五]×3449=[五]×34[五]=49×43=1627第五式∶[七]=[二]×1249=[二]×12[二]=49×2=89至此,解方程已告完成。現(xiàn)在可把各弦按序號排列,登記所解得的數(shù)值,并推算出相應的相對音高數(shù)值,轉(zhuǎn)換為音符附注校正值形式。排列順序如何?在古琴上,弦序號較小的較低,弦靠外,反之靠里?，F(xiàn)在設想我從演奏位置沿順時針方向繞行90度,站在龍齦那一端來觀看琴面各弦,七條弦的散聲音律從低到高就取從左到右的空間布局。但是,正調(diào)定弦的律學內(nèi)涵并非單一的,而是多義的,有若干不同的散聲相對波長組合方案,互相貌似,都被稱為“正調(diào)”。今天若要對“正調(diào)”這一概念達到完備的理解,必須對若干貌似組合方案的律學內(nèi)涵分別作具體了解。至今可在《琴學入門》(刊印于1864年)讀到正調(diào)另一種律學內(nèi)涵的詳細定弦步驟。仿照上一方案的行文格式,每引原著一句,即轉(zhuǎn)譯為一個數(shù)學方程,得如下6個方程并列的方程組:解方程從何處入手?仍依據(jù)[一]=1這一規(guī)范關系式,從含一弦方括號的方程開始解。以[一]=1代入第3式:以[五]=35分別代入第1、2、4、5四式。第1式:[六]=[五]×56[六]=35×56=12第2式:[七]=[五]×34[七]=35×34=920第4式:[二]×23=[五][二]×23=35[二]=35×32=910第5式:[三]×45=[五][三]×45=35[三]=35×54=34以[六]=12代入第6式:[四]×34=[六][四]×34=12[四]=12×43=23至此,解方程已告完成。在此有必要附帶說明,為什么不取[四]×78=[五]這一方程。試用所解得的[四]=23與[五]=35分別代入這個方程,觀察其結(jié)果如何。以[四]=23代入[四]×78=[五]23×78=[五][五]=712這與由第3式求得的35不一致。以[五]=35代入[四]×78=[五][四]×78=35[四]=35×87=2435這與由第6式求得的23不一致?？梢?這一方程的加入會造成諸多矛盾。通過這番推算,我們也體驗到,用數(shù)學方程及其求解剖析定弦過程,是揭露邏輯矛盾的捷徑?，F(xiàn)在可把各弦按序號排列,登記所解得的數(shù)值,并推算出相應的相對音高數(shù)值,轉(zhuǎn)換為音符附注校正值形式。借助嚴格數(shù)學方法的剖析,我們不難作出如下判斷:(1)上述兩本古籍所傳的兩種正調(diào)定弦法,相異之處在第二、五、七弦。(2)從這三條弦音律的校正值(音律現(xiàn)象)看,可看出,《琴學入門》音律較低,校正值都是負值,《五知齋琴譜》音律較高,校正值都是正值。(3)從這三條弦音律的相對波長(音律本質(zhì))看,可看出,《琴學入門》的相對波長數(shù)值,分母都含5而分子都含3,含有“五分生律”與“三倍生律”兩種因素,《五知齋琴譜》的相對波長數(shù)值,分母都含3,只含“三分生律”一種因素。(4)兩者貌似音律的差異,是“普通音差”,其相對音高的差值是0.11全音,其相對波長的最簡整數(shù)比是81∶80。六、散聲音階的兩種方案與“正調(diào)”不同的定弦法,統(tǒng)稱“外調(diào)”。外調(diào)可分為兩大類。其中一類,七條弦的散聲能排列成某一宮系的正規(guī)五聲音階。另一類則否。本文就前一范圍,分析其中不同于正調(diào)的若干特異方程。據(jù)《風宣玄品》(輯于1539年)載:“蕤賓調(diào):即今羽,此古無射應黃鐘弦也,二律以五為宮,故散七應十一徽之五,緊五一徽?！边@段文字講到:今羽調(diào)是以五弦為宮的,定弦特點在“緊五弦”,且明確記載了定弦操作的關鍵步驟:散七應十一徽之五。把這一步轉(zhuǎn)譯為方程,就是:[七]=[五]×45我們注意到,這里的七弦散聲相對波長,既可以按《五知齋琴譜》方案取49,也可以按《琴學入門》方案取920。按《五知齋琴譜》,以[七]=49代入:49=[五]×45,解得[五]=49×54=59。按《琴學入門》,以[七]=920代入:920=[五]×45,解得[五]=920×54=916。用這兩個數(shù)值分別取代正調(diào)五弦的相對波長,我們就得到了“今羽調(diào)”(緊羽調(diào)、清羽調(diào))散聲音階的兩種方案如下:今羽調(diào)按《五知齋琴譜》接《風宣玄品》方案:今羽調(diào)按《琴學入門》接《風宣玄品》方案:《西麓堂琴統(tǒng)》(成書于1549年)卷二十載:“夾鐘調(diào):緊二、五、七各一徽,此夾鐘弦也,俗謂清商調(diào)。按夾鐘、姑洗以二為宮,故以散四應十一徽之二?！边@段文字講到,清商調(diào)是以二弦為宮的,定弦特點在“緊二五七弦”,并明確記載了定弦操作的關鍵步驟:以散四應十一徽之二。把這一步轉(zhuǎn)譯為方程,就是:[四]=[二]×45四弦散聲的相對波長通常是23,只要以[四]=23代入:23=[二]×45,就可解得[二]=23×54=56。當然,在這同時還有早已熟悉的方程:[七]=[二]×12,可解得[七]=56×12=512。用這兩個數(shù)值取代正調(diào)二、七弦的相對波長,五弦則用今羽調(diào)的定弦,我們就得到了“清商調(diào)”散聲音階的兩種方案如下:清商調(diào)甲方案:清商調(diào)乙方案:《神奇秘譜》(成書于1425年)載:“碧玉調(diào):慢三一徽,散挑五,名十勾三應。”這里講到的“碧玉調(diào)”,就是“慢角調(diào)”,定弦特點在“慢三弦”,關鍵步驟是:五弦散聲與三弦十徽應。轉(zhuǎn)譯為方程,就是:[五]=[三]×34我們注意到,這里的五弦散聲相對波長,既可以按《五知齋琴譜》方案取1627,也可以按《琴學入門》方案取35。按《五知齋琴譜》,以[五]=1627代入:1627=[三]×34,解得[三]=1627×43=6481。按《琴學入門》,以[五]=35代入:35=[三]×34,解得[三]=35×43=45。用這兩個數(shù)值分別取代正調(diào)三弦的相對波長,我們就得到了“慢角調(diào)”散聲音階的兩種方案如下:慢角調(diào)按《五知齋琴譜》接《神奇秘譜》方案:慢角調(diào)按《琴學入門》接《神秘秘譜》方案:《西麓堂琴統(tǒng)》卷十九載:“夷則調(diào):慢一、三、六各一徽,此古夷則弦也,俗謂之慢宮調(diào)。按夷則、南呂以四為宮,故散六應十二徽之四?！边@段文字講到,慢宮調(diào)是以四弦為宮的,定弦特點在“慢一三六弦”。但在記載關鍵步驟時,版本中出現(xiàn)了抄寫訛誤,這“散六應十二徽之四”應校正為“散六應十一徽之四”;該書第二十五卷記述“慢一三六”項目下記載有“散挑六,名十一勾四應”一句,可以印證。這一步轉(zhuǎn)譯為方程,就是:[六]=[四]×45解這方程時應注意,調(diào)名已表明要“慢宮”,第一、六這兩條“宮弦