《高等數(shù)學(xué) 上冊》 課件 王娜 第3、4章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不定積分

中值定理應(yīng)用研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài)利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式推廣第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用目錄上頁下頁返回結(jié)束第三章§3.1中值定理二、拉格朗日中值定理一、羅爾中值定理三、柯西中值定理目錄上頁下頁返回結(jié)束羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習第三章一、羅爾中值定理

設(shè)連續(xù)光滑的曲線y=f(x)在端點A、B處的縱坐標相等

目錄上頁下頁返回結(jié)束

觀察與思考

提問：

f

(x)

?提示：

f

(x)0

§3.1中值定理羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習且

存在證:設(shè)則目錄上頁下頁返回結(jié)束費馬引理§3.1中值定理羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習

如果函數(shù)y

f(x)(1)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)

(2)在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導(dǎo)

(3)f(a)

f(b)

那么至少存在一點x

(a

b)

使得f

(x)

0

簡要證明

(1)若f(x)是常函數(shù)

則f(x)0定理的結(jié)論顯然是成立的

目錄上頁下頁返回結(jié)束§3.1中值定理羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習一、羅爾中值定理(2)若f(x)不是常函數(shù)

則f(x)在(a

b)內(nèi)至少有一個最大值點或最小值點

不妨設(shè)有一最大值點x

(a

b)

于是

如果函數(shù)y

f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)

在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導(dǎo)

且有f(a)

f(b)

那么至少存在一點x

(a

b)

使得f

(x)

0

簡要證明

因此必有f

(x)=0

目錄上頁下頁返回結(jié)束§3.1中值定理羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習一、羅爾中值定理定理條件條件不全具備,結(jié)論不一定成立.例如,§3.1中值定理目錄上頁下頁返回結(jié)束羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習一、羅爾中值定理1.拉格朗日中值定理的發(fā)現(xiàn)

觀察與思考：連續(xù)光滑的曲線y=f(x)在端點A、B處的縱坐標相等或不相等

提問：直線AB的斜率k=?

f

(x)

?提示：直線AB的斜率

羅爾定理拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理§3.1中值定理目錄上頁下頁返回結(jié)束羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)滿足:(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點使§3.1中值定理目錄上頁下頁返回結(jié)束羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習二、拉格朗日中值定理2.拉格朗日中值定理的證明特殊情況一般情況構(gòu)造輔助函數(shù)1

幾何意義思路:

利用逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數(shù)目錄上頁下頁返回結(jié)束羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習§3.1中值定理二、拉格朗日中值定理構(gòu)造輔助函數(shù)2常量轉(zhuǎn)變量

拉格朗日中值定理羅爾中值定理費馬引理(1)在[a,b]上連續(xù)(2)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),由羅爾定理知至少存在一點(3)2.拉格朗日中值定理的證明§3.1中值定理目錄上頁下頁返回結(jié)束羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習二、拉格朗日中值定理補充說明

拉格朗日中值定理的條件是充分的而非必要的.2.拉格朗日中值定理的證明目錄上頁下頁返回結(jié)束羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習§3.1中值定理二、拉格朗日中值定理的精確值？f(b)

f(a)

f

()(b

a)令則3.拉格朗日中值定理的應(yīng)用(1)精確表示增量拉格朗日中值公式目錄上頁下頁返回結(jié)束羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習§3.1中值定理二、拉格朗日中值定理(2)證明恒等式3.拉格朗日中值定理的應(yīng)用

例1

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零

那么f(x)在區(qū)間I上是一個常數(shù)

證明

在

I上任取兩點格朗日中值公式,得由的任意性知,在

I上為常數(shù).目錄上頁下頁返回結(jié)束羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習§3.1中值定理二、拉格朗日中值定理(3)證明不等式

證明

設(shè)f(x)

ln(1

x)

f(x)在區(qū)間[0

x]上滿足拉格朗日中值定理的條件

有

f(x)

f(0)

f

(x)(x

0)

0<x<x

又由0<x<x

有

例2

目錄上頁下頁返回結(jié)束3.拉格朗日中值定理的應(yīng)用羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習§3.1中值定理二、拉格朗日中值定理設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,試證存在,使得.(4)證明與中值定理相關(guān)的結(jié)論例3分析3.拉格朗日中值定理的應(yīng)用目錄上頁下頁返回結(jié)束羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習§3.1中值定理二、拉格朗日中值定理注意:弦的斜率切線斜率三、柯西中值定理目錄上頁下頁返回結(jié)束羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習§3.1中值定理及(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(3)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點使?jié)M足:分析:要證§3.1中值定理§3.1中值定理目錄上頁下頁返回結(jié)束羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習三、柯西中值定理例4.設(shè)至少存在一點使證:

結(jié)論可變形為設(shè)則在[0,1]上滿足柯西中值定理條件,因此在(0,1)內(nèi)至少存在一點

,使即證明§3.1中值定理目錄上頁下頁返回結(jié)束羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習三、柯西中值定理2.發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)命題的方法—觀察、聯(lián)想對比、抽象分析1.微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理費馬引理小結(jié)與作業(yè)3.作業(yè)：5、6、8、10、11目錄上頁下頁返回結(jié)束羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習§3.1中值定理1.證明不等式§3.1中值定理思考與練習2.設(shè)且在內(nèi)可導(dǎo),證明至少存在一點使提示:設(shè)3.若可導(dǎo),試證在其兩個零點間一定有的零點.提示:作輔助函數(shù)目錄上頁下頁返回結(jié)束羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習費馬(1601–1665)費馬法國數(shù)學(xué)家,他是一位律師,數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛好.他興趣廣泛,博覽群書并善于思考,在數(shù)學(xué)上有許多重大貢獻.他特別愛好數(shù)論,他提出的費馬大定理:歷經(jīng)358年,直到1993年才由美國普林斯頓大學(xué)的安德魯.懷爾斯教授經(jīng)過十年的潛心研究才得到解決.引理是后人從他研究解決最值的方法中提煉出來的.目錄上頁下頁返回結(jié)束§3.1中值定理羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習數(shù)學(xué)史專欄拉格朗日(1736–1813)法國數(shù)學(xué)家.他在方程論,解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻,近百余年來,數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作,他是對分析數(shù)學(xué)產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.目錄上頁下頁返回結(jié)束§3.1中值定理羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習數(shù)學(xué)史專欄柯西(1789–1857)法國數(shù)學(xué)家,他對數(shù)學(xué)的貢獻主要集中在微積分學(xué),《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué)校編寫的《分析教程》,《無窮小分析概論》,《微積分在幾何上的應(yīng)用》等,有思想有創(chuàng)建,響廣泛而深遠.對數(shù)學(xué)的影他是經(jīng)典分析的奠人之一,他為微積分所奠定的基礎(chǔ)推動了分析的發(fā)展.復(fù)變函數(shù)和微分方程方面.一生發(fā)表論文800余篇,著書7本,目錄上頁下頁返回結(jié)束§3.1中值定理羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習數(shù)學(xué)史專欄三、其它未定式

二、型未定式一、

型未定式目錄上頁下頁返回結(jié)束§3.2洛必達法則0

、

、00、1

、

0小結(jié)與作業(yè)思考與練習第三章備用題微分中值定理函數(shù)的性態(tài)導(dǎo)數(shù)的性態(tài)函數(shù)之商的極限導(dǎo)數(shù)之商的極限求極限.

轉(zhuǎn)化(或型)本節(jié)主題:洛必達法則上節(jié)主題:§3.2洛必達法則

還有其它類型的未定式

0

、

、00、1

、

0

在函數(shù)商的極限中

如果分子和分母同是無窮小或同是無窮大

那么極限可能存在

也可能不存在

這種限稱為未定式

記為00－或

－

未定式:目錄上頁下頁返回結(jié)束0

、

、00、1

、

0小結(jié)與作業(yè)思考與練習備用題存在(或為)定理1.一、型未定式(洛必達法則)洛必達法則§3.2洛必達法則目錄上頁下頁返回結(jié)束0

、

、00、1

、

0小結(jié)與作業(yè)思考與練習備用題(

在x,a

之間)證:設(shè)在鄰域內(nèi)任取則在以

x,a為端點的區(qū)間上滿足柯西定理條件,故定理1.存在(或為)一、型未定式§3.2洛必達法則目錄上頁下頁返回結(jié)束0

、

、00、1

、

0小結(jié)與作業(yè)思考與練習備用題推論1.定理1中換為下列過程之一:推論2.若理1條件,則條件2)作相應(yīng)的修改,定理1仍然成立.§3.2洛必達法則目錄上頁下頁返回結(jié)束0

、

、00、1

、

0小結(jié)與作業(yè)思考與練習備用題一、型未定式例1.求解:原式注意:不是未定式不能用洛必達法則!洛洛§3.2洛必達法則目錄上頁下頁返回結(jié)束0

、

、00、1

、

0小結(jié)與作業(yè)思考與練習備用題一、型未定式例2.求解:原式思考:如何求(n

為正整數(shù))?洛§3.2洛必達法則目錄上頁下頁返回結(jié)束0

、

、00、1

、

0小結(jié)與作業(yè)思考與練習備用題一、型未定式二、型未定式存在(或為∞)定理2.(洛必達法則)說明:

定理中換為之一,定理仍然成立.§3.2洛必達法則目錄上頁下頁返回結(jié)束0

、

、00、1

、

0小結(jié)與作業(yè)思考與練習備用題例3.求解:原式例4.

求解:(1)n

為正整數(shù)的情形.原式洛洛洛§3.2洛必達法則目錄上頁下頁返回結(jié)束0

、

、00、1

、

0小結(jié)與作業(yè)思考與練習備用題二、型未定式例4.求(2)n不為正整數(shù)的情形.從而由(1)用夾逼準則存在正整數(shù)k,使當x>1時,§3.2洛必達法則目錄上頁下頁返回結(jié)束0

、

、00、1

、

0小結(jié)與作業(yè)思考與練習備用題二、型未定式三、其它未定式解決方法:通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對數(shù)轉(zhuǎn)化例5.求解:原式洛§3.2洛必達法則目錄上頁下頁返回結(jié)束0

、

、00、1

、

0小結(jié)與作業(yè)思考與練習備用題解:原式例6.求洛解決方法:通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對數(shù)轉(zhuǎn)化§3.2洛必達法則目錄上頁下頁返回結(jié)束0

、

、00、1

、

0小結(jié)與作業(yè)思考與練習備用題三、其它未定式例7.求解:利用例5解決方法:通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對數(shù)轉(zhuǎn)化§3.2洛必達法則目錄上頁下頁返回結(jié)束0

、

、00、1

、

0小結(jié)與作業(yè)思考與練習備用題三、其它未定式說明:例如,事實上,用洛必達法則1)在滿足定理條件的某些情況下洛必達法則不能解決計算問題.§3.2洛必達法則目錄上頁下頁返回結(jié)束0

、

、00、1

、

0小結(jié)與作業(yè)思考與練習備用題洛必達法則2)若例如,極限不存在不能用洛必達法則!即說明:§3.2洛必達法則目錄上頁下頁返回結(jié)束0

、

、00、1

、

0小結(jié)與作業(yè)思考與練習備用題洛必達法則3）洛必達法則與其它求極限的方法結(jié)合使用

在使用之前盡可能先化簡

可以應(yīng)用等價無窮小替代或重要極限時。

解

例8

說明:§3.2洛必達法則目錄上頁下頁返回結(jié)束0

、

、00、1

、

0小結(jié)與作業(yè)思考與練習備用題洛必達法則洛必達法則P1391(5)，(8)，(11)，(12)，(13)，(14),（15），2

作業(yè)§3.2洛必達法則目錄上頁下頁返回結(jié)束0

、

、00、1

、

0小結(jié)與作業(yè)思考與練習備用題小結(jié)與作業(yè)1.設(shè)是未定式極限,如果是否的極限也不存在?舉例說明.極限不存在,說明2)3.§3.2洛必達法則目錄上頁下頁返回結(jié)束0

、

、00、1

、

0小結(jié)與作業(yè)思考與練習備用題思考與練習洛必達(1661–1704)法國數(shù)學(xué)家,他著有《無窮小分析》(1696),并在該書中提出了求未定式極限的方法,后人將其命名為“洛必達法的擺線難題,以后又解出了伯努利提出的“最速降線”問題,在他去世后的1720年出版了他的關(guān)于圓錐曲線的書.則”.他在15歲時就解決了帕斯卡提出§3.2洛必達法則目錄上頁下頁返回結(jié)束0

、

、00、1

、

0小結(jié)與作業(yè)思考與練習備用題數(shù)學(xué)史專欄求下列極限:備用題§3.2洛必達法則目錄上頁下頁返回結(jié)束0

、

、00、1

、

0小結(jié)與作業(yè)思考與練習備用題二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的應(yīng)用目的－用多項式近似表示函數(shù).§3.3泰勒公式目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習麥克勞林公式泰勒公式的建立泰勒公式的應(yīng)用第三章特點:一、泰勒公式的建立微分的近似應(yīng)用:需要解決的問題如何提高精度?如何估計誤差?一次多項式目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習麥克勞林公式泰勒公式的建立泰勒公式的應(yīng)用§3.3泰勒公式目的：在含有的開區(qū)間內(nèi)有直到n+1階導(dǎo)數(shù)，找一個多項式近似表示.1.求n次近似多項式要求:設(shè)目錄上頁下頁返回結(jié)束

小結(jié)與作業(yè)思考與練習麥克勞林公式泰勒公式的建立泰勒公式的應(yīng)用§3.3泰勒公式一、泰勒公式的建立故1.求n次近似多項式目錄上頁下頁返回結(jié)束

小結(jié)與作業(yè)思考與練習麥克勞林公式泰勒公式的建立泰勒公式的應(yīng)用§3.3泰勒公式一、泰勒公式的建立令(稱為余項),則有2.余項估計目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習麥克勞林公式泰勒公式的建立泰勒公式的應(yīng)用§3.3泰勒公式一、泰勒公式的建立

①

的

n

階泰勒公式.②

拉格朗日余項.階的導(dǎo)數(shù),時,有①其中②則當泰勒泰勒(Taylor)中值定理:目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習麥克勞林公式泰勒公式的建立泰勒公式的應(yīng)用§3.3泰勒公式一、泰勒公式的建立公式③稱為n

階泰勒公式的佩亞諾(Peano)

余項.注意到③④泰勒(Taylor)中值定理:特例:當n=0時,泰勒公式變?yōu)槔窭嗜罩兄刀ɡ砟夸浬享撓马摲祷亟Y(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習麥克勞林公式泰勒公式的建立泰勒公式的應(yīng)用§3.3泰勒公式一、泰勒公式的建立稱為麥克勞林(Maclaurin)公式.則有在泰勒公式中若取二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習麥克勞林公式泰勒公式的建立泰勒公式的應(yīng)用§3.3泰勒公式其中麥克勞林公式目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習麥克勞林公式泰勒公式的建立泰勒公式的應(yīng)用§3.3泰勒公式二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式其中目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習麥克勞林公式泰勒公式的建立泰勒公式的應(yīng)用§3.3泰勒公式二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式麥克勞林公式其中目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習麥克勞林公式泰勒公式的建立泰勒公式的應(yīng)用§3.3泰勒公式二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式已知其中麥克勞林公式目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習麥克勞林公式泰勒公式的建立泰勒公式的應(yīng)用§3.3泰勒公式二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式三、泰勒公式的應(yīng)用1.在近似計算中的應(yīng)用2.利用泰勒公式求極限3.利用泰勒公式證明不等式例.證明目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習麥克勞林公式泰勒公式的建立泰勒公式的應(yīng)用§3.3泰勒公式1.泰勒公式其中余項當時為麥克勞林公式.作業(yè):P1451;2目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習麥克勞林公式泰勒公式的建立泰勒公式的應(yīng)用§3.3泰勒公式小結(jié)與作業(yè)6422464224O泰勒多項式逼近目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習麥克勞林公式泰勒公式的建立泰勒公式的應(yīng)用§3.3泰勒公式思考與練習泰勒多項式逼近642246O4224目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習麥克勞林公式泰勒公式的建立泰勒公式的應(yīng)用§3.3泰勒公式思考與練習計算解:原式目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習麥克勞林公式泰勒公式的建立泰勒公式的應(yīng)用§3.3泰勒公式思考與練習泰勒

(1685–1731)英國數(shù)學(xué)家,他早期是牛頓學(xué)派最優(yōu)秀的代表人物之一,重要著作有:《正的和反的增量方法》(1715)《線性透視論》(1719)他在1712年就得到了現(xiàn)代形式的泰勒公式.他是有限差分理論的奠基人.目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習麥克勞林公式泰勒公式的建立泰勒公式的應(yīng)用§3.3泰勒公式數(shù)學(xué)史專欄麥克勞林(1698–1746)英國數(shù)學(xué)家,著作有:《流數(shù)論》(1742)《有機幾何學(xué)》(1720)《代數(shù)論》(1742)在第一本著作中給出了后人以他的名字命名的麥克勞林級數(shù)

.目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習麥克勞林公式泰勒公式的建立泰勒公式的應(yīng)用§3.3泰勒公式數(shù)學(xué)史專欄§3.4

函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性一、函數(shù)單調(diào)性的判定法二、曲線的凹凸性與拐點目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點第三章f

(x)>0f

(x)<0觀察結(jié)果

函數(shù)單調(diào)增加時導(dǎo)數(shù)大于零

函數(shù)單調(diào)減少時導(dǎo)數(shù)小于零

觀察與思考

函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號有什么關(guān)系？目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點函數(shù)單調(diào)性的判定法一、函數(shù)單調(diào)性的判定法定理1(函數(shù)單調(diào)性的判定法)

設(shè)函數(shù)f(x)在[a

b]上連續(xù)

在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)

(1)如果在(a

b)內(nèi)f

(x)>0

則f(x)在[a

b]上單調(diào)增加

(2)如果在(a

b)內(nèi)f

(x)<0

則f(x)在[a

b]上單調(diào)減少

由拉格朗日中值公式

有

f(x2)

f(x1)=f

(x)(x2

x1)(x1<x<x2)

因為f

(x)>0

x2

x1>0

所以

f(x2)

f(x1)

f

(x)(x2

x1)>0

即f(x1)<f(x2).即f(x)在(a

b)內(nèi)單調(diào)增加

證明

只證(1)

在(a

b)內(nèi)任取兩點x1

x2(x1<x2)

一、函數(shù)單調(diào)性的判定法目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點函數(shù)單調(diào)性的判定法說明：判定法中的開區(qū)間可換成其他各種區(qū)間

定理1(函數(shù)單調(diào)性的判定法)

設(shè)函數(shù)f(x)在[a

b]上連續(xù)

在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)

(1)如果在(a

b)內(nèi)f

(x)>0

則f(x)在[a

b]上單調(diào)增加

(2)如果在(a

b)內(nèi)f

(x)<0

則f(x)在[a

b]上單調(diào)減少

例1

判定函數(shù)y

x

sinx

在[0

2p]上的單調(diào)性

解

因為在(0,2p)內(nèi)

y

1

cosx>0

所以函數(shù)y

x

sinx

在[0

2p]上的單調(diào)增加

一、函數(shù)單調(diào)性的判定法目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點函數(shù)單調(diào)性的判定法

因為在(

0)內(nèi)y

<0

所以函數(shù)y

ex

x

1在(

0]上單調(diào)減少

因為在(0

)內(nèi)y

>0

所以函數(shù)y

ex

x

1在[0

)上單調(diào)增加

解

函數(shù)y

ex

x

1的定義域為(

)

y

ex

1

例2

討論函數(shù)y

ex

x

1的單調(diào)性

一、函數(shù)單調(diào)性的判定法目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點函數(shù)單調(diào)性的判定法

解

函數(shù)的定義域為(

)

所以函數(shù)在[0

)上單調(diào)增加

因為x>0時

y

>0

所以函數(shù)在(

0]上單調(diào)減少

因為x<0時

y

<0

例3

一、函數(shù)單調(diào)性的判定法目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點函數(shù)單調(diào)性的判定法說明:

單調(diào)區(qū)間的分界點除駐點外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點.例如,2)如果函數(shù)在某駐點兩邊導(dǎo)數(shù)同號,

則不改變函數(shù)的單調(diào)性.例如,一、函數(shù)單調(diào)性的判定法目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點函數(shù)單調(diào)性的判定法

1

設(shè)函數(shù)y

f(x)在[a

b]上連續(xù)

在(a

b)內(nèi)可導(dǎo)

x1

x2是

f

(x)的兩個相鄰的零點

問f(x)在[x1

x2]上是否單調(diào)？

2

如何把區(qū)間[a

b]劃分成一些小區(qū)間

使函數(shù)

f(x)在每個小區(qū)間上都是單調(diào)的？討論(1)確定函數(shù)的定義域

(2)求出導(dǎo)數(shù)f

(x)

(3)求出f

(x)全部零點和不可導(dǎo)點

(4)判斷或列表判斷

(5)綜合結(jié)論

確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟一、函數(shù)單調(diào)性的判定法目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點函數(shù)單調(diào)性的判定法xf

(x)f(x)

例4

確定函數(shù)f(x)

2x3

9x2

12x

3的單調(diào)區(qū)間

解

這個函數(shù)的定義域為(

)

f

(x)

6x2

18x

12

6(x

1)(x

2)

導(dǎo)數(shù)為零的點為x1

1、x2

2

函數(shù)f(x)在區(qū)間(

1]和[2

)內(nèi)單調(diào)增加

在區(qū)間[1

2]上單調(diào)減少

(

1)(1

2)(2

)↗↘↗＋－＋

y

2x3

9x2

12x

3

列表

一、函數(shù)單調(diào)性的判定法目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點函數(shù)單調(diào)性的判定法說明：

一般地

如果f

(x)在某區(qū)間內(nèi)的有限個點處為零

在其余各點處均為正(或負)時

那么f(x)在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加(或減少)的

例5

討論函數(shù)y

x3的單調(diào)性

解

函數(shù)的定義域為(

)

y

3x2

顯然當x

0時

y

0;

當x

0時

y

>0

因此函數(shù)y

x3在區(qū)間(

0]及[0,

)內(nèi)都單調(diào)增加

函數(shù)在(

)內(nèi)是單調(diào)增加的

一、函數(shù)單調(diào)性的判定法目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點函數(shù)單調(diào)性的判定法

因為當x>1時

f

(x)>0

所以f(x)在[1

)上f(x)單調(diào)增加

例6

證明

因此當x>1時

f(x)>f(1)=0

即一、函數(shù)單調(diào)性的判定法目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點函數(shù)單調(diào)性的判定法二、曲線的凹凸性與拐點

函數(shù)曲線除了有升有降之外,還有不同的彎曲方向,如何根據(jù)函數(shù)本身判斷函數(shù)曲線的彎曲方向呢？曲線的凹凸性與拐點目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點曲線的凹凸性定義

設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)

如果對I上任意兩點x1

x2

恒有那么稱f(x)在I上的圖形是凹的

那么稱f(x)在I上的圖形是凸的

如果恒有二、曲線的凹凸性與拐點曲線的凹凸性與拐點目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點觀察與思考

觀察切線斜率的變化與曲線凹凸性的關(guān)系.二、曲線的凹凸性與拐點曲線的凹凸性與拐點目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點定理2(曲線凹凸性的判定法)

設(shè)f(x)在[a

b]上連續(xù)

在(a

b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù).

若在(a

b)內(nèi)f

(x)>0

則f(x)在[a

b]上的圖形是凹的

若在(a

b)內(nèi)f

(x)<0

則f(x)在[a

b]上的圖形是凸的

例7

判斷曲線y

ln

x

的凹凸性

因為在函數(shù)y

ln

x的定義域(0

)內(nèi)

y

<0

所以曲線y

ln

x是凸的

解

二、曲線的凹凸性與拐點曲線的凹凸性與拐點目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點

例8

判斷曲線y

x3的凹凸性

解

y

3x2

y

6x

由y

0

得x

0.

因為當x<0時

y

<0

所以曲線在(

0]內(nèi)是凸的

因為當x>0時

y

>0

所以曲線在[0

)內(nèi)是凹的

說明:1)若在某點二階導(dǎo)數(shù)為0,則曲線的凹凸性不變.在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號,二、曲線的凹凸性與拐點曲線的凹凸性與拐點目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點拐點

連續(xù)曲線y

f(x)上凹弧與凸弧的分界點稱為該曲線的拐點

拐點討論

如何確定曲線y

f(x)的拐點？如果(x0,

f(x0))是拐點且

f

(x0)=0存在,問f

(x0)=？如何找可能的拐點？二、曲線的凹凸性與拐點曲線的凹凸性與拐點目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點提示

如果在x0的左右兩側(cè)f

(x)異號,則(x0,

f(x0))是拐點.

在拐點(x0,

f(x0))處f

(x0)=0或f

(x0)不存在.

只有f

(x0)等于零或不存在,(x0,

f(x0))才可能是拐點.2)根據(jù)拐點的定義及上述定理,可得拐點的判別法如下:若曲線或不存在,但在兩側(cè)異號,則點是曲線的一個拐點.二、曲線的凹凸性與拐點曲線的凹凸性與拐點目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點

例9

求曲線y

2x3

3x2

2x

14的拐點

解

y

6x2

6x

12

只有f

(x0)等于零或不存在,(x0,

f(x0))才可能是拐點.如果在x0的左右兩側(cè)f

(x)異號,則(x0,

f(x0))是拐點.二、曲線的凹凸性與拐點曲線的凹凸性與拐點目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點

例10

求曲線y

3x4

4x3

1的拐點及凹、凸的區(qū)間

解

(1)函數(shù)y

3x4

4x3

1的定義域為(

)

(4)列表判斷

在區(qū)間(

0]和[2/3

)上曲線是凹的;

在區(qū)間[0

2/3]上曲線是凸的

點(0

1)和(2/3

11/27)是曲線的拐點

(0)0(02/3)2/3(2/3

)＋－＋∪∩∪00111/27f

(x)f(x)x二、曲線的凹凸性與拐點曲線的凹凸性與拐點目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點討論

曲線y

x4是否有拐點？提示

y

4x3

y

12x2

當x

0時

y

>0

在區(qū)間(

)內(nèi)曲線是凹的

因此曲線無拐點

例11

解

二階導(dǎo)數(shù)無零點;當x

0時,二階導(dǎo)數(shù)不存在

因為當x<0時

y

>0

當x>0時

y

<0

所以點(0

0)曲線的拐點

二、曲線的凹凸性與拐點曲線的凹凸性與拐點目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點1.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在I上單調(diào)遞增在I上單調(diào)遞減2.曲線凹凸性與拐點的判別+–拐點—連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點作業(yè)

P1523(1)(2)(5);5(2);8(1);9(1);13

函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性小結(jié)與作業(yè)目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點上則或的大小順序是()提示:B1.設(shè)在思考與練習函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點證明:當時，有證明:令,則是凸函數(shù)即

2.(自證)思考與練習函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點三、最值的求法一、函數(shù)極值的定義§3.5函數(shù)的極值與最大值最小值

二、函數(shù)的極值的求法目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的求法最值的求法小結(jié)與作業(yè)思考與練習第三章一、函數(shù)極值的定義

§3.5函數(shù)的極值與最大值最小值目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的求法最值的求法小結(jié)與作業(yè)思考與練習定義:在其中當時,(1)則稱為的極大值點

,稱為函數(shù)的極大值

;(2)則稱為的極小值點,稱為函數(shù)的極小值

.極大點與極小點統(tǒng)稱為極值點

.一、函數(shù)極值的定義

§3.5函數(shù)的極值與最大值最小值目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的求法最值的求法小結(jié)與作業(yè)思考與練習定理1(必要條件)定義注意:例如,二、函數(shù)極值的求法

§3.5函數(shù)的極值與最大值最小值目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的求法最值的求法小結(jié)與作業(yè)思考與練習定理2(第一充分條件)(是極值點情形)二、函數(shù)極值的求法

§3.5函數(shù)的極值與最大值最小值目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的求法最值的求法小結(jié)與作業(yè)思考與練習求極值的步驟:(不是極值點情形)二、函數(shù)極值的求法

§3.5函數(shù)的極值與最大值最小值目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的求法最值的求法小結(jié)與作業(yè)思考與練習例1解列表討論極大值極小值二、函數(shù)極值的求法

§3.5函數(shù)的極值與最大值最小值目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的求法最值的求法小結(jié)與作業(yè)思考與練習定理3(第二充分條件)證同理可證(2).二、函數(shù)極值的求法

§3.5函數(shù)的極值與最大值最小值目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的求法最值的求法小結(jié)與作業(yè)思考與練習例2解二、函數(shù)極值的求法

§3.5函數(shù)的極值與最大值最小值目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的求法最值的求法小結(jié)與作業(yè)思考與練習例3解注意:函數(shù)的不可導(dǎo)點,也可能是函數(shù)的極值點.二、函數(shù)極值的求法

§3.5函數(shù)的極值與最大值最小值目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的求法最值的求法小結(jié)與作業(yè)思考與練習三、最值的求法§3.5函數(shù)的極值與最大值最小值目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的求法最值的求法小結(jié)與作業(yè)思考與練習步驟:1.求駐點和不可導(dǎo)點;2.求區(qū)間端點及駐點和不可導(dǎo)點的函數(shù)值,比較大小,哪個大哪個就是最大值,哪個小哪個就是最小值;注意:

當在上單調(diào)時,最值必在端點處達到.如果區(qū)間內(nèi)只有一個極值,則這個極值就是最值.(最大值或最小值)三、最值的求法§3.5函數(shù)的極值與最大值最小值目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的求法最值的求法小結(jié)與作業(yè)思考與練習例1解計算三、最值的求法應(yīng)用舉例§3.5函數(shù)的極值與最大值最小值目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的求法最值的求法小結(jié)與作業(yè)思考與練習例4.

鐵路上AB段的距離為100km,工廠C

距A處20AC⊥

AB,要在AB線上選定一點D向工廠修一條已知鐵路與公路每公里貨運價之比為3:5,為使貨D點應(yīng)如何選取?20解:設(shè)則令得又所以為唯一的極小點,故AD=15km時運費最省.總運費物從B運到工廠C的運費最省,從而為最小點,問Km,公路,§3.5函數(shù)的極值與最大值最小值目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的求法最值的求法小結(jié)與作業(yè)思考與練習極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點和不可導(dǎo)點統(tǒng)稱為臨界點，是可能的極值點.判別法第一充分條件;第二充分條件;(注意使用條件)小結(jié)與作業(yè)最值點應(yīng)在極值點和邊界點上找;應(yīng)用題可根據(jù)問題的實際意義判別.

連續(xù)函數(shù)的最值：作業(yè)P1601(2)(3);3;4(2);7;10§3.5函數(shù)的極值與最大值最小值目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的求法最值的求法小結(jié)與作業(yè)思考與練習1.

設(shè)則在點a

處().的導(dǎo)數(shù)存在,取得極大值;取得極小值;的導(dǎo)數(shù)不存在.B提示:

利用極限的保號性.思考與練習§3.5函數(shù)的極值與最大值最小值目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的求法最值的求法小結(jié)與作業(yè)思考與練習2.

設(shè)在的某鄰域內(nèi)連續(xù),且則在點處(A)不可導(dǎo);(B)可導(dǎo),且(C)取得極大值;(D)取得極小值.D提示:

利用極限的保號性.思考與練習§3.5函數(shù)的極值與最大值最小值目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的求法最值的求法小結(jié)與作業(yè)思考與練習3.

設(shè)是方程的一個解,若且則在(A)取得極大值;(B)取得極小值;(C)在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加;(D)在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少.提示:A思考與練習§3.5函數(shù)的極值與最大值最小值目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的求法最值的求法小結(jié)與作業(yè)思考與練習一、曲線的漸近線二、函數(shù)圖形的描繪§3.6函數(shù)圖形的描繪

目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習曲線的漸近線函數(shù)圖形的描繪第三章點M與某一直線L的距離趨于0,一、曲線的漸近線定義.若曲線C上的點M沿著曲線無限地遠離原點時,則稱直線L為曲線C的漸近線.例如,雙曲線有漸近線函數(shù)圖形的描繪目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習曲線的漸近線函數(shù)圖形的描繪1.水平漸近線若則曲線有水平漸近線例1.求曲線的水平漸近線.解:為水平漸近線;一、曲線的漸近線函數(shù)圖形的描繪目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習曲線的漸近線函數(shù)圖形的描繪若則曲線有垂直漸近線例2.求曲線的鉛直漸近線.解:為垂直漸近線.2.鉛直漸近線一、曲線的漸近線函數(shù)圖形的描繪目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習曲線的漸近線函數(shù)圖形的描繪3.斜漸近線斜漸近線求法:一、曲線的漸近線函數(shù)圖形的描繪目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習曲線的漸近線函數(shù)圖形的描繪注意:例3解3.斜漸近線一、曲線的漸近線函數(shù)圖形的描繪目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習曲線的漸近線函數(shù)圖形的描繪3.斜漸近線一、曲線的漸近線函數(shù)圖形的描繪目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習曲線的漸近線函數(shù)圖形的描繪3.斜漸近線一、曲線的漸近線函數(shù)圖形的描繪目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習曲線的漸近線函數(shù)圖形的描繪二、函數(shù)圖形的描繪

用描點法作函數(shù)圖形需要計算許多點,才能畫出較精確的函數(shù)圖形.

當我們對函數(shù)曲線的性態(tài)有了全面了解之后,只需少數(shù)幾個點就能畫出較精確的函數(shù)圖形.函數(shù)圖形的描繪目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習曲線的漸近線函數(shù)圖形的描繪步驟:1.確定函數(shù)的定義域,期性;2.求并求出及3.列表判別增減及凹凸區(qū)間,求出極值和拐點;4.求漸近線;5.確定某些特殊點,描繪函數(shù)圖形.為0和不存在的點;并考察其對稱性及周二、函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習曲線的漸近線函數(shù)圖形的描繪

例1

畫出函數(shù)y

x3

x2

x

1的圖形

解

(1)函數(shù)的定義域為(

).

(2)f

(x)

3x2

2x

1

(3x

1)(x

1)

f

(x)

6x

2

2(3x

1)

令f

(x)0得x

1/3

1

令f

(x)0得x

1/3

(3)曲線性態(tài)分析表

f

(x)f

(x)f(x)＋＋－－－00－－－0＋＋＋32/27極大0極小16/27拐點↗∪↘∪↗∩↘∩(4)特殊點的函數(shù)值:

f(0)

1,

f(

1)

0,

f(3/2)

5/8.(

,-1/3)-1/3(-1/3,1/3)1/3(1/3,1)(1

)1x二、函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習曲線的漸近線函數(shù)圖形的描繪

描點聯(lián)線

特殊點的函數(shù)值:

f(0)

1,

f(

1)

0,f(3/2)

5/8.

y

x3

x2

x

1f(x)(

,-1/3)-1/3(-1/3,1/3)1/3(1/3,1)(1

)132/27極大0極小16/27拐點↗∪↘∪↗∩↘∩x

例1

畫出函數(shù)y

x3

x2

x

1的圖形

解

曲線性態(tài)分析表

二、函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習曲線的漸近線函數(shù)圖形的描繪

解

(1)定義域為(-

,+

)

f(x)是偶函數(shù)

圖形關(guān)于y軸對稱

例2

令f

(x)=0

得x=0

令f

(x)=0

得x=-1和x=1

(3)曲線性態(tài)分析表

極大拐點(1,+

)1(0,1)0xf

(x)f

(x)y

f(x)的圖形0－－－－0＋－↘∩↘∪(4)曲線有水平漸近線y=0

二、函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習曲線的漸近線函數(shù)圖形的描繪0.51

y=0是曲線的水平漸近線

極大拐點(1,+

)1(0,1)0xy

f(x)的圖形↘∩↘∪

先作(0,+

)內(nèi)的圖形

利用對稱性作出(-

,0)內(nèi)的圖形

解

函數(shù)性態(tài)分析表:

例2

二、函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習曲線的漸近線函數(shù)圖形的描繪

例3

解

(1)函數(shù)的定義域為(

3)

(

3

)

令f

(x)

0得x

3

令f

(x)

0得x

6

(3)曲線性態(tài)分析表:(-,-3)(-3,3)3(3,6)6(6,+)xf(x)f(x)y

f(x)的圖形－－－－－－－－＋＋00↘∩↗∩↘∩↘∪11/3拐點4極大(4)曲線有鉛直漸近線x=-3與水平漸近線y=1

(5)特殊點

f(0)=1

f(-1)=-8

f(-9)=-8

f(-15)=-11/4

二、函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習曲線的漸近線函數(shù)圖形的描繪63912-3-6-9-12-153-3(-,-3)(-3,3)3(3,6)6(6,+)xy

f(x)的圖形↘∩↗∩↘∩↘∪11/3拐點4極大

鉛直漸近線為x=-3,水平漸近線為y=1

f(0)=1

f(-1)=-8

f(-9)=-8

f(-15)=-11/4

y=1x=-3(3,4)(-1,-8)(-9,-8)

例3

二、函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習曲線的漸近線函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪綜合運用函數(shù)性態(tài)的研究,是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的綜合考察.最大值最小值極大值極小值拐點凹的凸的單增單減小結(jié)與作業(yè)函數(shù)圖形的描繪目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習曲線的漸近線函數(shù)圖形的描繪1.曲線(A)沒有漸近線；(B)僅有水平漸近線；(C)僅有鉛直漸近線；(D)既有水平漸近線又有鉛直漸近線.提示:思考與練習函數(shù)圖形的描繪目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習曲線的漸近線函數(shù)圖形的描繪拐點為

,凸區(qū)間是

,2.曲線的凹區(qū)間是

,提示:及_______________漸近線

.思考與練習函數(shù)圖形的描繪目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習曲線的漸近線函數(shù)圖形的描繪§3.7曲率一、弧微分二、曲率及其計算公式目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)弧微分曲率及其計算公式第三章規(guī)定：

一、弧微分目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)弧微分曲率及其計算公式曲率單調(diào)增函數(shù)如圖，

弧微分公式一、弧微分目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)弧微分曲率及其計算公式曲率二、曲率及其計算公式

提示：可以用單位弧段上切線轉(zhuǎn)過的角度的大小來表達弧段的平均彎曲程度.觀察與思考：觀察曲線的彎曲線程度與哪些因素有關(guān).怎樣衡量曲線的彎曲程度？目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)弧微分曲率及其計算公式曲率)yxo（設(shè)曲線C是光滑的，（定義曲線C在點M處的曲率二、曲率及其計算公式目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)弧微分曲率及其計算公式曲率二、曲率及其計算公式

設(shè)曲線C的方程為y

f(x)

且f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)

因為tana

y

所以

sec2ada

y

dx

目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)弧微分曲率及其計算公式曲率

例1

計算等邊雙曲線xy

1在點(1,1)處的曲率.曲率的計算公式：曲線在點(1

1)處的曲率為因此y

|x

1

1

y

|x

1

2

解

二、曲率及其計算公式目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)弧微分曲率及其計算公式曲率1.弧長微分或2.曲率公式小結(jié)與作業(yè)目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)弧微分曲率及其計算公式曲率第四章不定積分微分法:積分法:互逆運算第四章目錄上頁下頁返回結(jié)束§4.1不定積分的概念與性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分的概念二、基本積分表三、不定積分的性質(zhì)目錄上頁下頁返回結(jié)束不定積分的概念與性質(zhì)原函數(shù)與不定積分的概念基本積分表不定積分的性質(zhì)小結(jié)與作業(yè)練習題一、原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)的概念

如果在區(qū)間I上,

可導(dǎo)函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x),

即對任一x

I,

都有F

(x)

f(x)或dF(x)

f(x)dx,

那么函數(shù)F(x)就稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的原函數(shù).

原函數(shù)舉例所以sinx是cos

x的原函數(shù).

因為(sinx)

cos

x

,

提問：目錄上頁下頁返回結(jié)束不定積分的概念與性質(zhì)原函數(shù)與不定積分的概念基本積分表不定積分的性質(zhì)小結(jié)與作業(yè)練習題原函數(shù)存在定理

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù),

那么在區(qū)間I上存在可導(dǎo)函數(shù)F(x),

使對任一x

I

都有F

(x)

f(x).

兩點說明一、原函數(shù)與不定積分的概念簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).（1）若，則對于任意常數(shù)，（2）若和都是的原函數(shù)，則（為任意常數(shù)）目錄上頁下頁返回結(jié)束不定積分的概念與性質(zhì)原函數(shù)與不定積分的概念基本積分表不定積分的性質(zhì)小結(jié)與作業(yè)練習題一、原函數(shù)與不定積分的概念任意常數(shù)積分號被積函數(shù)不定積分的定義：被積表達式積分變量.目錄上頁下頁返回結(jié)束不定積分的概念與性質(zhì)原函數(shù)與不定積分的概念基本積分表不定積分的性質(zhì)小結(jié)與作業(yè)練習題

例1

因為sinx

是cos

x

的原函數(shù),所以

如果F(x)是f(x)的一個原函數(shù),則一、原函數(shù)與不定積分的概念目錄上頁下頁返回結(jié)束不定積分的概念與性質(zhì)原函數(shù)與不定積分的概念基本積分表不定積分的性質(zhì)小結(jié)與作業(yè)練習題

例2

合并上面兩式,得到

解

一、原函數(shù)與不定積分的概念目錄上頁下頁返回結(jié)束不定積分的概念與性質(zhì)原函數(shù)與不定積分的概念基本積分表不定積分的性質(zhì)小結(jié)與作業(yè)練習題

例3

設(shè)曲線通過點(1,2),

且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍,

求此曲線的方程.

解

設(shè)所求的曲線方程為y

f(x),

則曲線上任一點(x,

y)處的切線斜率為y

f

(x)

2x,

即f(x)是2x

的一個原函數(shù).故必有某個常數(shù)C使f(x)

x2

C,

即曲線方程為y

x2

C.

因所求曲線通過點(1,2),

故2

1

C,

C

1.

于是所求曲線方程為y

x2

1.

因為一、原函數(shù)與不定積分的概念目錄上頁下頁返回結(jié)束不定積分的概念與性質(zhì)原函數(shù)與不定積分的概念基本積分表不定積分的性質(zhì)小結(jié)與作業(yè)練習題微分與積分的關(guān)系

從不定積分的定義可知又由于F(x)是F

(x)的原函數(shù),

所以

由此可見,

如果不計任意常數(shù),則微分運算與求不定積分的運算是互逆的.

一、原函數(shù)與不定積分的概念目錄上頁下頁返回結(jié)束不定積分的概念與性質(zhì)原函數(shù)與不定積分的概念基本積分表不定積分的性質(zhì)小結(jié)與作業(yè)練習題二、基本積分表目錄上頁下頁返回結(jié)束不定積分的概念與性質(zhì)原函數(shù)與不定積分的概念基本積分表不定積分的性質(zhì)小結(jié)與作業(yè)練習題

例5

例4