2023屆河南省蘭考縣三中高三年級第一次模底考試數(shù)學試題試卷

2023屆河南省蘭考縣三中高三年級第一次模底考試數(shù)學試題試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在四邊形中，，，，，，則的長度為（）A． B．C． D．2．設，滿足約束條件，則的最大值是（）A． B． C． D．3．若均為任意實數(shù)，且，則的最小值為（）A． B． C． D．4．若集合M＝{1，3}，N＝{1，3，5}，則滿足M∪X＝N的集合X的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．45．音樂，是用聲音來展現(xiàn)美，給人以聽覺上的享受，熔鑄人們的美學趣味．著名數(shù)學家傅立葉研究了樂聲的本質(zhì)，他證明了所有的樂聲都能用數(shù)學表達式來描述，它們是一些形如的簡單正弦函數(shù)的和，其中頻率最低的一項是基本音，其余的為泛音．由樂聲的數(shù)學表達式可知，所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍，稱為基本音的諧波．下列函數(shù)中不能與函數(shù)構成樂音的是（）A． B． C． D．6．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4}，B＝{3，4}，則＝（）A．{3，5，6} B．{1，5，6} C．{2，3，4} D．{1，2，3，5，6}7．設集合，，則()A． B．C． D．8．如圖所示，已知某幾何體的三視圖及其尺寸（單位：），則該幾何體的表面積為()A． B．C． D．9．下列圖形中，不是三棱柱展開圖的是（）A． B． C． D．10．某歌手大賽進行電視直播，比賽現(xiàn)場有名特約嘉賓給每位參賽選手評分，場內(nèi)外的觀眾可以通過網(wǎng)絡平臺給每位參賽選手評分.某選手參加比賽后，現(xiàn)場嘉賓的評分情況如下表，場內(nèi)外共有數(shù)萬名觀眾參與了評分，組織方將觀眾評分按照，，分組，繪成頻率分布直方圖如下：嘉賓評分嘉賓評分的平均數(shù)為，場內(nèi)外的觀眾評分的平均數(shù)為，所有嘉賓與場內(nèi)外的觀眾評分的平均數(shù)為，則下列選項正確的是（）A． B． C． D．11．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，則（）A． B．1 C．-1 D．0二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在長方體中，，E，F(xiàn)，G分別為的中點,點P在平面ABCD內(nèi)，若直線平面EFG，則線段長度的最小值是________________.14．已知函數(shù)的定義域為R，導函數(shù)為，若，且，則滿足的x的取值范圍為______.15．已知點是拋物線上動點，是拋物線的焦點，點的坐標為，則的最小值為______________．16．“直線l1：與直線l2：平行”是“a＝2”的_______條件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知正項數(shù)列的前項和.（1）若數(shù)列為等比數(shù)列，求數(shù)列的公比的值；（2）設正項數(shù)列的前項和為，若，且.①求數(shù)列的通項公式；②求證：.18．（12分）設函數(shù).（1）若函數(shù)在是單調(diào)遞減的函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，證明：.19．（12分）已知函數(shù)，其中.（1）當時，求在的切線方程；（2）求證：的極大值恒大于0.20．（12分）已知非零實數(shù)滿足．（1）求證：；（2）是否存在實數(shù)，使得恒成立？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由21．（12分）的內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若，點為邊的中點，且，求的面積.22．（10分）已知數(shù)列，其前項和為，滿足，，其中，，，.⑴若，，（），求證：數(shù)列是等比數(shù)列；⑵若數(shù)列是等比數(shù)列，求，的值；⑶若，且，求證：數(shù)列是等差數(shù)列.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

設，在中，由余弦定理得，從而求得，再由由正弦定理得，求得，然后在中，用余弦定理求解.【詳解】設，在中，由余弦定理得，則，從而，由正弦定理得，即，從而，在中，由余弦定理得：，則.故選：D【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應用，還考查了數(shù)形結合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.2、D【解析】

作出不等式對應的平面區(qū)域，由目標函數(shù)的幾何意義，通過平移即可求z的最大值．【詳解】作出不等式組的可行域，如圖陰影部分，作直線：在可行域內(nèi)平移當過點時，取得最大值.由得：，故選：D【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用數(shù)形結合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法，屬于基礎題.3、D【解析】

該題可以看做是圓上的動點到曲線上的動點的距離的平方的最小值問題，可以轉化為圓心到曲線上的動點的距離減去半徑的平方的最值問題，結合圖形，可以斷定那個點應該滿足與圓心的連線與曲線在該點的切線垂直的問題來解決，從而求得切點坐標，即滿足條件的點，代入求得結果.【詳解】由題意可得，其結果應為曲線上的點與以為圓心，以為半徑的圓上的點的距離的平方的最小值，可以求曲線上的點與圓心的距離的最小值，在曲線上取一點，曲線有在點M處的切線的斜率為，從而有，即，整理得，解得，所以點滿足條件，其到圓心的距離為，故其結果為，故選D.【點睛】本題考查函數(shù)在一點處切線斜率的應用，考查圓的程，兩條直線垂直的斜率關系，屬中檔題.4、D【解析】可以是共4個，選D.5、C【解析】

由基本音的諧波的定義可得,利用可得,即可判斷選項.【詳解】由題,所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍,稱為基本音的諧波,由,可知若,則必有,故選:C【點睛】本題考查三角函數(shù)的周期與頻率,考查理解分析能力.6、B【解析】

按補集、交集定義，即可求解.【詳解】＝{1，3，5，6}，＝{1，2，5，6}，所以＝{1，5，6}.故選：B.【點睛】本題考查集合間的運算，屬于基礎題.7、D【解析】

利用一元二次不等式的解法和集合的交運算求解即可.【詳解】由題意知,集合,,由集合的交運算可得,.故選:D【點睛】本題考查一元二次不等式的解法和集合的交運算;考查運算求解能力;屬于基礎題.8、C【解析】

由三視圖知，該幾何體是一個圓錐，其母線長是5，底面直徑是6，據(jù)此可計算出答案.【詳解】由三視圖知，該幾何體是一個圓錐，其母線長是5，底面直徑是6，該幾何體的表面積.故選：C【點睛】本題主要考查了三視圖的知識，幾何體的表面積的計算.由三視圖正確恢復幾何體是解題的關鍵.9、C【解析】

根據(jù)三棱柱的展開圖的可能情況選出選項.【詳解】由圖可知，ABD選項可以圍成三棱柱，C選項不是三棱柱展開圖.故選：C【點睛】本小題主要考查三棱柱展開圖的判斷，屬于基礎題.10、C【解析】

計算出、，進而可得出結論.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可知，，由頻率分布直方圖可知，，則，由于場外有數(shù)萬名觀眾，所以，.故選：B.【點睛】本題考查平均數(shù)的大小比較，涉及平均數(shù)公式以及頻率分布直方圖中平均數(shù)的計算，考查計算能力，屬于基礎題.11、C【解析】

由三視圖可知，幾何體是一個三棱柱，三棱柱的底面是底邊為，高為的等腰三角形，側棱長為，利用正弦定理求出底面三角形外接圓的半徑，根據(jù)三棱柱的兩底面中心連線的中點就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半徑，即可求解球的表面積.【詳解】由三視圖可知，幾何體是一個三棱柱，三棱柱的底面是底邊為，高為的等腰三角形，側棱長為，如圖：由底面邊長可知，底面三角形的頂角為，由正弦定理可得，解得，三棱柱的兩底面中心連線的中點就是三棱柱的外接球的球心，所以，該幾何體外接球的表面積為：.故選：C【點睛】本題考查了多面體的內(nèi)切球與外接球問題，由三視圖求幾何體的表面積，考查了學生的空間想象能力，屬于基礎題.12、A【解析】

由函數(shù)，求得，進而求得的值，得到答案.【詳解】由題意函數(shù)，則，所以，故選A.【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的求值問題，其中解答中根據(jù)分段函數(shù)的解析式，代入求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

如圖，連接，證明平面平面EFG.因為直線平面EFG，所以點P在直線AC上.當時.線段的長度最小，再求此時的得解.【詳解】如圖，連接，因為E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，的中點，所以，平面，則平面.因為，所以同理得平面，又.所以平面平面EFG.因為直線平面EFG，所以點P在直線AC上.在中，，故當時.線段的長度最小，最小值為.故答案為：【點睛】本題主要考查空間位置關系的證明，考查立體幾何中的軌跡問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.14、【解析】

構造函數(shù)，再根據(jù)條件確定為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減，最后利用單調(diào)性以及奇偶性化簡不等式，解得結果.【詳解】依題意，，令，則，故函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，故，則x的取值范圍為.故答案為：【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性以及利用函數(shù)性質(zhì)解不等式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.15、【解析】

過點作垂直于準線，為垂足，則由拋物線的定義可得，則，為銳角.故當和拋物線相切時，的值最小.再利用直線的斜率公式、導數(shù)的幾何意義求得切點的坐標，從而求得的最小值.【詳解】解：由題意可得，拋物線的焦點，準線方程為，過點作垂直于準線，為垂足，則由拋物線的定義可得，則，為銳角.故當最小時，的值最小.設切點，由的導數(shù)為，則的斜率為，求得，可得，，，.故答案為：.【點睛】本題考查拋物線的定義，性質(zhì)的簡單應用，直線的斜率公式，導數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.16、必要不充分【解析】

先求解直線l1與直線l2平行的等價條件，然后進行判斷.【詳解】“直線l1：與直線l2：平行”等價于a＝±2，故“直線l1：與直線l2：平行”是“a＝2”的必要不充分條件．故答案為：必要不充分.【點睛】本題主要考查充分必要條件的判定，把已知條件進行等價轉化是求解這類問題的關鍵，側重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）①；②詳見解析.【解析】

（1）依題意可表示，，相減得，由等比數(shù)列通項公式轉化為首項與公比，解得答案，并由其都是正項數(shù)列舍根；（2）①由題意可表示，，兩式相減得，由其都是正項并整理可得遞推關系，由等差數(shù)列的通項公式即可得答案；②由已知關系，表示并相減即可表示遞推關系，顯然當時，成立，當，時，表示，由分組求和與正項數(shù)列性質(zhì)放縮不等式得證.【詳解】解：（1）依題意可得，，兩式相減，得，所以，因為，所以，且，解得.（2）①因為，所以，兩式相減，得，即.因為，所以，即.而當時，，可得，故，所以對任意的正整數(shù)都成立，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為1，首項為1，所以數(shù)列的通項公式為.②因為，所以，兩式相減，得，即，所以對任意的正整數(shù)，都有.令，而當時，顯然成立，所以當，時，，所以，即，所以，得證.【點睛】本題考查由前n項和關系求等比數(shù)列公比，求等差數(shù)列通項公式，還考查了由分組求和表示數(shù)列和并由正項數(shù)列放縮證明不等式，屬于難題.18、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）求出導函數(shù)，由在上恒成立，采用分離參數(shù)法求解；（2）觀察函數(shù)，不等式湊配后知，利用時可證結論．【詳解】（1）因為在上單調(diào)遞減，所以，即在上恒成立因為在上是單調(diào)遞減的，所以，所以（2）因為，所以由（1）知，當時，在上單調(diào)遞減所以即所以.【點睛】本題考查用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查用導數(shù)證明不等式．解題關鍵是把不等式與函數(shù)的結論聯(lián)系起來，利用函數(shù)的特例得出不等式的證明．19、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）求導，代入，求出在處的導數(shù)值及函數(shù)值，由此即可求得切線方程；（2）分類討論得出極大值即可判斷.【詳解】（1），當時，，，則在的切線方程為；（2）證明：令，解得或，①當時，恒成立，此時函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴函數(shù)無極值；②當時，令，解得，令，解得或，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，∴；③當時，令，解得，令，解得或，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，∴，綜上，函數(shù)的極大值恒大于0.【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)求切線方程，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，考查分類討論的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.20、（1）見解析（2）存在，【解析】

（1）利用作差法即可證出.（2）將不等式通分化簡可得，討論或，分離參數(shù)，利用基本不等式即可求解.【詳解】又即即①當時，即恒成立（當且僅當時取等號），故②當時恒成立（當且僅當時取等號），故綜上，【點睛】本題考查了作差法證明不等式、基本不等式求最值、考查了分類討論的思想，屬于基礎題.21、（1）；（2）.【解析】

(1)利用正弦定理邊化角,再利用余弦定理求解即可.(2)為為的中線,所以再平方后利用向量的數(shù)量積公式進行求解,再代入可解得,再代入面積公式求解即可.【詳解】（1）由,可得,由余弦定理可得,故.（2）因為為的中線,所以,兩邊同時平方可得,故.因為,所以.所以的面積.【點睛】本題主要考查了利用正余弦定理與面積公式求解三角形的問題,同時也考查了向量在解三角形中的運用,屬于中檔題.22、（1）見解析（2）（3）見解析【解析】試題分析：（1）(),所以，故數(shù)列是等比數(shù)列；（2）利用特殊值法，得，故；（3）得，所以，得，可證數(shù)列是等差