重慶鐵路中學(xué)2024屆高二上數(shù)學(xué)期末監(jiān)測試題含解析

重慶鐵路中學(xué)2024屆高二上數(shù)學(xué)期末監(jiān)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知實數(shù)，滿足，則的最小值是（）A. B.C. D.2．如圖，某鐵路客運部門設(shè)計的從甲地到乙地旅客托運行李的費用c（元）與行李質(zhì)量w（kg）之間的流程圖．已知旅客小李和小張托運行李的質(zhì)量分別為30kg，60kg，且他們托運的行李各自計費，則這兩人托運行李的費用之和為（）A.28元 B.33元C.38元 D.48元3．在正方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為A. B.C. D.4．已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則（）A. B.C. D.5．2021年是中國共產(chǎn)黨百年華誕，3月24日，中宣部發(fā)布中國共產(chǎn)黨成立100周年慶?；顒訕?biāo)識（圖1），標(biāo)識由黨徽、數(shù)字“100”“1921”“2021”和56根光芒線組成，生動展現(xiàn)中國共產(chǎn)黨團(tuán)結(jié)帶領(lǐng)中國人民不忘初心、牢記使命、艱苦奮斗的百年光輝歷程.其中“100”的兩個“0”設(shè)計為兩個半徑為的相交大圓，分別內(nèi)含一個半徑為1的同心小圓，且同心小圓均與另一個大圓外切（圖2）.已知，在兩大圓的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點，則該點取自兩大圓公共部分的概率為（）A. B.C. D.6．若數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.7．某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的情況，采用分層抽樣的方法從高一人、高二人、高三人中，抽取人進(jìn)行問卷調(diào)查.已知高二被抽取的人數(shù)為人，那么高三被抽取的人數(shù)為（）A. B.C. D.8．在一次體檢中，發(fā)現(xiàn)甲、乙兩個單位的職工中體重超過的人員的體重如下（單位：）.若規(guī)定超過為顯著超重，從甲、乙兩個單位中體重超過的職工中各抽取1人，則這2人中，恰好有1人顯著超重的概率為（）A. B.C. D.9．經(jīng)過直線與直線的交點，且平行于直線的直線方程為（）A. B.C. D.10．橢圓與雙曲線有公共的焦點、，與在第一象限內(nèi)交于點，是以線段為底邊的等腰三角形，若橢圓的離心率的范圍是，則雙曲線的離心率取值范圍是（）A. B.C. D.11．給出下列結(jié)論：①如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為0.2，則的平均數(shù)和方差分別為14和1.8；②若兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)r的值越接近于1．③對A、B、C三種個體按3：1：2的比例進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，若抽取的A種個體有15個，則樣本容量為30．則正確的個數(shù)是（）.A.3 B.2C.1 D.012．過點P(2，1)作直線l，使l與雙曲線－y2＝1有且僅有一個公共點，這樣的直線l共有A.1條 B.2條C.3條 D.4條二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．底面半徑為1，母線長為2的圓錐的體積為______14．已知雙曲線的左右焦點分別為，過點的直線交雙曲線右支于A，B兩點，若是等腰三角形，且，則的面積為___________.15．某校開展“讀書月”朗誦比賽，9位評委為選手A給出的分?jǐn)?shù)如右邊莖葉圖所示.記分員在去掉一個最高分和一個最低分后算得平均分為91，復(fù)核員在復(fù)核時發(fā)現(xiàn)有一個數(shù)字（莖葉圖中的x）無法看清，若記分員計算無誤，則數(shù)字x應(yīng)該是___________.選手A87899924x1516．拋物線的準(zhǔn)線方程是___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，點在拋物線C上（1）求拋物線C的方程；（2）過拋物線C焦點F的直線l交拋物線于P，Q兩點，若求直線l的方程18．（12分）某雙曲線型自然冷卻通風(fēng)塔的外形是由圖1中的雙曲線的一部分繞其虛軸所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面，如圖2所示.雙曲線的左、右頂點分別為、.已知該冷卻通風(fēng)塔的最窄處是圓O，其半徑為1；上口為圓，其半徑為；下口為圓，其半徑為；高（即圓與所在平面間的距離）為.（1）求此雙曲線的方程；（2）以原平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，保持原點和x軸、y軸不變，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖3所示.在上口圓上任取一點，在下口圓上任取一點.請給出、的值，并求出與的值；（3）在（2）的條件下，是否存在點P、Q，使得P、A、Q三點共線.若不存在，請說明理由；若存在，求出點P、Q的坐標(biāo)，并證明此時線段PQ上任意一點都在曲面上.19．（12分）在正方體中，、、分別是、、的中點（1）證明：平面平面；（2）證明：20．（12分）在①，；②，；③，.這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中.問題：已知數(shù)列的前n項和為，，___________.（1）求數(shù)列的通項公式（2）已知，求數(shù)列的前n項和.21．（12分）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求22．（10分）設(shè)命題p：，命題q：關(guān)于x的方程無實根.（1）若p為真命題，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若為假命題，為真命題，求實數(shù)m的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】將化成，即可求出的最小值【詳解】由可化為，所以，解得，因此最小值是故選：A2、D【解析】根據(jù)程序框圖分別計算小李和小張托運行李的費用，再求和得出答案.【詳解】由程序框圖可知，當(dāng)時，元；當(dāng)時，元，所以這兩人托運行李的費用之和為元.故選：D3、C【解析】利用正方體中，，將問題轉(zhuǎn)化為求共面直線與所成角的正切值，在中進(jìn)行計算即可.【詳解】在正方體中，，所以異面直線與所成角為，設(shè)正方體邊長為，則由為棱的中點，可得，所以，則.故選C.【點睛】求異面直線所成角主要有以下兩種方法：（1）幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個平面中；②利用邊角關(guān)系，找到（或構(gòu)造）所求角所在的三角形；③求出三邊或三邊比例關(guān)系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因為直線夾角為銳角，所以②對應(yīng)的余弦取絕對值即為直線所成角的余弦值.4、B【解析】求出，代值計算可得的值.【詳解】因為，則，因此，.故選：B.5、B【解析】求出兩圓相交公共部分兩個弓形面積，結(jié)合兩圓面積可得概率【詳解】如圖，是兩圓心，是兩圓交點坐標(biāo)，四邊形邊長均為，又，所以，所以，四邊形是正方形，，弓形面積為，兩個弓形面積為，兩圓涉及部分面積為所以所求概率為故選：B6、D【解析】對選項A，令即可檢驗；對選項B，令即可檢驗；對選項C，令即可檢驗；對選項D，設(shè)出等差數(shù)列的首項和公比，然后作差即可.【詳解】若，則可得：，故選項A錯誤；若，則可得：，故選項B錯誤；若，則可得：，故選項C錯誤；不妨設(shè)的首項為，公差為，則有：則有：，故選項D正確故選：D7、C【解析】利用分層抽樣求出的值，進(jìn)而可求得高三被抽取的人數(shù).【詳解】由分層抽樣可得，可得，設(shè)高三所抽取的人數(shù)為，則，解得.故選：C.8、B【解析】列舉出所有選取的情況，再找出滿足題意的情況，根據(jù)古典概型的概率計算公式即可求解.【詳解】不妨用表示每種抽取情況，其中是指甲單位抽取1人的體重，代表從乙單位抽取人的體重.則所有的可能有16種，如下所示：，，，，，，，，，，，，，，，其中滿足題意的有6種：，，，，，故抽取的這2人中，恰好有1人顯著超重的概率為：.故選：.9、B【解析】求出兩直線的交點坐標(biāo)，可設(shè)所求直線的方程為，將交點坐標(biāo)代入求得，即可的解.【詳解】解：由，解得，即兩直線的交點坐標(biāo)為，設(shè)所求直線的方程為，則有，解得，所以所求直線方程為，即.故選：B.10、B【解析】求得，可得出，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為、，可得，由可求得的取值范圍.【詳解】設(shè)，設(shè)雙曲線的實軸長為，因為與在第一象限內(nèi)交于點，是以線段為底邊的等腰三角形，則，由橢圓的定義可得，由雙曲線的定義可得，所以，，則，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為、，則，即，因，則，故.故選：B.11、B【解析】對結(jié)論逐一判斷【詳解】對于①，則的平均數(shù)為，方差為，故①正確對于②，若兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近于1，故②錯誤對于③，對A、B、C三種個體按3：1：2的比例進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，若抽取的A種個體有15個，則樣本容量為，故③正確故正確結(jié)論為2個故選：B12、B【解析】利用幾何法，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，得出符合條件的結(jié)論.【詳解】由雙曲線的方程可知其漸近線方程為y＝±x，則點P(2，1)在漸近線y＝x上，又雙曲線的右頂點為A(2，0)，如圖所示．滿足條件的直線l有兩條：x＝2，y－1＝－(x－2)【點睛】該題考查的是有關(guān)直線與雙曲線的公共點有一個的條件，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，結(jié)合圖形，得出結(jié)果，屬于中檔題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先由勾股定理求圓錐的高，再結(jié)合圓錐的體積公式運算即可得解.【詳解】解：設(shè)圓錐的高為，由勾股定理可得，由圓錐的體積可得，故答案為.【點睛】本題考查了圓錐的體積公式，重點考查了勾股定理，屬基礎(chǔ)題.14、【解析】根據(jù)題意可知，，再結(jié)合，即可求出各邊，從而求出的面積【詳解】，所以，而是的等腰三角形，所以，故的面積為故答案為：15、4【解析】根據(jù)題意分和兩種情況討論，再根據(jù)平均分公式計算即可得出答案.【詳解】解：當(dāng)時，則去掉的最低分?jǐn)?shù)為87分，最高分?jǐn)?shù)為95分，則，所以，當(dāng)時，則去掉的最低分?jǐn)?shù)為87分，最高分?jǐn)?shù)為分，則平均分為，與題意矛盾，綜上.故答案為：4.16、【解析】先根據(jù)拋物線方程求出，進(jìn)而求出準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線為，則，解得：，準(zhǔn)線方程為：.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】(1)把點的坐標(biāo)代入方程即可；(2)設(shè)直線方程，解聯(lián)立方程組，消未知數(shù)，得到一元二次方程，再利用韋達(dá)定理和已知條件求斜率.【小問1詳解】因為拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸上，所以設(shè)拋物線方程為又因為點在拋物線C上，所以，解得，所以拋物線的方程為；【小問2詳解】拋物線C的焦點為，當(dāng)直線l的斜率不存在時，，不符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，設(shè)直線l交拋物線的兩點坐標(biāo)為，，由得，，，，由拋物線得定義可知，所以，解得，即，所以直線l的方程為或18、（1）；（2），，，；（3）存在，或，證明見解析.【解析】（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，易知，設(shè)，，代入求解即可；（2）分析圓，圓的方程即可求解；（3）利用圓的參數(shù)方程，設(shè)，，利用，即可求解，再利用線段PQ上任意一點的特征證明點在曲面上；【小問1詳解】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意知，點，的橫坐標(biāo)分別為，，則設(shè)點，的坐標(biāo)為，，，，，解得，，又塔高米，，解得，故所求的雙曲線的方程為【小問2詳解】點在圓上，；點在圓上，；圓，其半徑為，；圓，其半徑為，【小問3詳解】存在點P、Q，使得P、A、Q三點共線.由點在半徑為的圓上，（為參數(shù)）；點在半徑為的圓上，（為參數(shù)）；由已知得，整理得兩式平方求和得，則或當(dāng)時，，當(dāng)時，證明：，則，利用，，其中又曲面上的每一點可以是圓與旋轉(zhuǎn)任意坐標(biāo)系上的雙曲線的交點，旋轉(zhuǎn)直角坐標(biāo)系，保持原點和y軸不變，點所在的軸為軸，此時，滿足，即即點是曲面上的點.19、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）連接，分別證明出平面，平面，利用面面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）證明出平面，利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】證明：連接，在正方體中，，，所以，四邊形為平行四邊形，所以，在中，、分別為、的中點，所以，，所以，，因為平面，平面，所以，平面因為且，、分別為、的中點，則且，所以，四邊形為平行四邊形，則，，平面，平面，平面又，所以，平面平面【小問2詳解】證明：在正方體中，平面，平面，,因為四邊形為正方形，則，因為，則平面由知（1）平面平面，所以，平面，平面，因此，20、（1）（2）【解析】（1）選①，利用化已知等式為，得是等差數(shù)列，公差，求出其通項公式后，再由求得通項公式，注意；選②，由可變形已知條件得是等差數(shù)列，從而求得通項公式；選③，已知式兩邊同除以，得出，以下同選①；（2）由錯位相減法求和【小問1詳解】選①，由得，，所以，即，所以是等差數(shù)列，公差，又，，，所以，，時，也適合所以；選②，由得，所以等差數(shù)列，公差為，又，所以；選③，由得，以下同選①，【小問2詳解】由（1），，，兩式相減得，所以21、（1）（2）9【解析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于等比數(shù)列首項、公比的方程組即可解決；（2）利用等比數(shù)列的前項和的公式，解方程即可解