2023~2024學(xué)年 3-1-1 課時(shí)1 橢圓的概念及其標(biāo)準(zhǔn)方程

第三章圓錐曲線的方程3.1.2課時(shí)1橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)圓錐曲線在生產(chǎn)生活中應(yīng)用廣泛。比如天宮一號(hào)的運(yùn)行軌跡是橢圓，中國(guó)“天眼”外形軸截面是拋物線。笛卡爾發(fā)明坐標(biāo)系后，人們就開(kāi)始借助坐標(biāo)系，運(yùn)用代數(shù)方法研究圓錐曲線。本章我們繼續(xù)用坐標(biāo)法來(lái)研究圓錐曲線的幾何特征，揭示它的神奇與奧秘。圓錐的應(yīng)用1.理解橢圓的定義及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(重點(diǎn))2.掌握用定義法和待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(重點(diǎn))3.理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，并能運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問(wèn)題．(難點(diǎn))傾斜放置的杯子，水平面邊緣是橢圓嗎？1雞蛋的外形是不是橢圓形呢？2情景引入幾何特征代數(shù)方程

直線定點(diǎn)、定方向圓定點(diǎn)、定長(zhǎng)坐標(biāo)法《直線與圓的方程》的學(xué)習(xí)k存在時(shí)回顧舊知?jiǎng)邮謱?shí)驗(yàn)：取一條定長(zhǎng)的細(xì)繩，若把細(xì)繩兩端都固定在圖板的同一點(diǎn)，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，這時(shí)筆尖畫出來(lái)的軌跡是一個(gè)圓，如果把細(xì)繩的兩端點(diǎn)拉開(kāi)一段距離，分別固定在圖板的兩點(diǎn)F1、F2，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？問(wèn)題：怎樣畫出橢圓？1.“操作過(guò)程中套上鉛筆，拉緊繩子”意味著什么？2.筆尖移動(dòng)過(guò)程中滿足的幾何條件是什么？3.畫出來(lái)的這樣的圖象有什么共同特點(diǎn)？想一想：這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.線段平面內(nèi)與兩定點(diǎn)

的距離的和等于常數(shù)(大于

)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.若把細(xì)繩兩端拉直，則畫出的軌跡是什么曲線？想一想：橢圓的定義：如何建立平面直角坐標(biāo)系可能使得橢圓方程方程簡(jiǎn)單?原則：盡可能使方程的形式簡(jiǎn)單、運(yùn)算簡(jiǎn)單；

(一般利用對(duì)稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標(biāo)軸.)(對(duì)稱、“簡(jiǎn)潔”)..Oxy..OxyOxyOxy想一想：取過(guò)焦點(diǎn)的直線為x軸，線段的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖).由橢圓的定義得，限制條件：建設(shè)設(shè)M(x,y)是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的焦距2c(c>0),M與

F1和F2的距離的和等于正常數(shù)2a(2a>2c),則

F1、F2的坐標(biāo)分別是(-c，0)、(c，0)因?yàn)?/p>

所以限代化12yOFFMx幾何條件代數(shù)化求橢圓的方程方法一：移項(xiàng)平方法移項(xiàng)，再平方兩邊再平方，得

整理得

兩邊除以a2(a2-c2)得

(1)等價(jià)變形所以所以上式平方再化簡(jiǎn)得因?yàn)?1)12yOFFMx代數(shù)式的幾何意義方法二：平方差法問(wèn)題：觀察右圖，你能從中找出表示

的線段嗎？

令

，則（2）式可化為：OxyF1F2P(1)

abc代數(shù)量a,b,c的幾何意義：直角三角形OPF2三邊長(zhǎng)。滿足c2=a2-b2從上述過(guò)程可以看到，橢圓上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程（2）方程（2）的解對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的點(diǎn)都在橢圓上則方程（2）為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程12yOFFMx12yOFFMx非標(biāo)準(zhǔn)方程它所表示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)是F1(-c,0),F2(c,0)，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓方程,其中c2=a2-b2.如果橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,那么橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程又是怎樣的呢?020301

也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.1OFyx2FM共同點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示的一定是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓；方程的左邊是平方和，右邊是1.

圖形方程焦點(diǎn)F1(-c,0)F2(c,0)F1(0,-c)F2(0,c)a,b,c之間的關(guān)系c2=a2-b2|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0)定義12yOFFMx1OFyx2FM不同點(diǎn)：焦點(diǎn)在x軸的橢圓x2項(xiàng)分母較大.焦點(diǎn)在y軸的橢圓y2項(xiàng)分母較大.例1

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-2,0)，(2,0)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。條件

幾何角度代數(shù)角度

橢圓需要兩個(gè)定點(diǎn)且距離和為定值有標(biāo)準(zhǔn)方程但方程形式不唯一兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)

分別是(-2,0)，(2,0)給出重要幾何量?jī)蓚€(gè)定點(diǎn)1.給出參數(shù)c的值2.確定方程形式可以確定距離和分析：經(jīng)過(guò)點(diǎn)是橢圓方程的解幾何角度代數(shù)角度例1

已知橢