浙江省慈溪市三山高級中學、奉化高級中學等六校2023年數學高二上期末綜合測試試題含解析

浙江省慈溪市三山高級中學、奉化高級中學等六校2023年數學高二上期末綜合測試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知是數列的前項和，，則數列是（）A.公比為3的等比數列 B.公差為3的等差數列C.公比為的等比數列 D.既非等差數列，也非等比數列2．已知橢圓：，左、右焦點分別為，過的直線交橢圓于兩點，若的最大值為5，則的值是A.1 B.C. D.3．下列命題中，一定正確的是（）A.若且，則a>0，b<0B.若a>b，b≠0，則>1C.若a>b且a＋c>b＋d，則c>dD.若a>b且ac>bd，則c>d4．現有60瓶飲料，編號從1到60，若用系統抽樣的方法從中抽取6瓶進行檢驗，則所抽取的編號可能為（）A.3，13，23，33，43，53 B.2，14，26，38，40，52C.5，8，31，36，48，54 D.5，10，15，20，25，305．設為可導函數，且滿足，則曲線在點處的切線的斜率是A. B.C. D.6．已知雙曲線，過原點作一條傾斜角為的直線分別交雙曲線左、右兩支于、兩點，以線段為直徑的圓過右焦點，則雙曲線的離心率為（）.A. B.C. D.7．已知實數滿足方程，則的最大值為（）A.3 B.2C. D.8．已知二次函數交軸于，兩點，交軸于點.若圓過，，三點，則圓的方程是（）A. B.C. D.9．設,是雙曲線（）的左、右焦點，是坐標原點．過作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為A. B.C. D.10．今天是星期四，經過天后是星期（）A.三 B.四C.五 D.六11．在等差數列中，，表示數列的前項和，則（）A.43 B.44C.45 D.4612．橢圓C：的焦點在x軸上，其離心率為則橢圓C的長軸長為（）A.2 B.C.4 D.8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設過點K(-1，0）的直線l與拋物線C：y2=4x交于A、B兩點，為拋物線的焦點，若|BF|=2|AF|，則cos∠AFB=_______14．已知橢圓的右頂點為A，上頂點為B，且直線l與橢圓交于C，D兩點，若直線l直線AB，設直線AC，BD的斜率分別為，，則的值為___________.15．如圖，在直棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為___________.16．圍棋是一種策略性兩人棋類游戲．已知某圍棋盒子中有若干粒黑子和白子，從盒子中取出2粒棋子，2粒都是黑子的概率為，2粒恰好是同一色的概率比不同色的概率大，則2粒恰好都是白子的概率是______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列滿足，.（1）求證：數列是等比數列；（2）求數列的通項公式及前項的和.18．（12分）設數列的前n項和為，且滿足.（1）證明為等比數列，并求數列通項公式；（2）在（1）的條件下，設，求數列的前項和.19．（12分）已如橢圓C：＝1（a＞b＞0）的有頂點為M（2，0），且離心率e＝，點A，B是橢圓C上異于點M的不同的兩點（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設直線MA與直線MB的斜率分別為k1，k2，若k1?k2＝，證明：直線AB一定過定點20．（12分）設P是拋物線上一個動點，F為拋物線的焦點.（1）若點P到直線距離為，求的最小值；（2）若，求的最小值.21．（12分）已知圓C的圓心在直線上，且過點，（1）求圓C的方程；（2）過點作圓C的切線，求切線的方程22．（10分）在等差數列中，已知公差，前項和(其中)（1）求；（2）求和：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由得，然后利用與的關系即可求出【詳解】因為，所以所以當時，時，所以故數列既非等差數列，也非等比數列故選：D【點睛】要注意由求要分兩步：1.時，2.時.2、D【解析】由題意可知橢圓是焦點在x軸上的橢圓，利用橢圓定義得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由過橢圓焦點的弦中通徑的長最短，可知當AB垂直于x軸時|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可【詳解】由0＜b＜2可知，焦點在x軸上，∵過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，則|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|當AB垂直x軸時|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此時|AB|＝b2，則5＝8﹣b2，解得b，故選D【點睛】本題考查直線與圓錐曲線的關系，考查了橢圓的定義，考查橢圓的通徑公式，考查計算能力，屬于中檔題3、A【解析】結合不等式的性質確定正確答案.【詳解】A選項，若且，則，所以A選項正確.B選項，若，則，所以B選項錯誤.C選項，如，但，所以C選項錯誤.D選項，如，但，所以D選項錯誤.故選：A4、A【解析】求得組距，由此確定正確選項.【詳解】，即組距為，A選項符合，其它選項不符合.故選：A5、D【解析】由題，為可導函數，，即曲線在點處的切線的斜率是，選D【點睛】本題考查導數的定義，切線的斜率，以及極限的運算，本題解題的關鍵是對所給的極限式進行整理，得到符合導數定義的形式6、A【解析】設雙曲線的左焦點為，連接、，求得、，利用雙曲線的定義可得出關于、的等式，即可求得雙曲線的離心率.【詳解】設雙曲線的左焦點為，連接、，如下圖所示：由題意可知，點為的中點，也為的中點，且，則四邊形為矩形，故，由已知可知，由直角三角形的性質可得，故為等邊三角形，故，所以，，由雙曲線的定義可得，所以，.故選：A.7、D【解析】將方程化為，由圓的幾何性質可得答案.【詳解】將方程變形為，則圓心坐標為，半徑，則圓上的點的橫坐標的范圍為：則x的最大值是故選：D.8、C【解析】由已知求得點A、B、C的坐標，則有AB的垂直平分線必過圓心，所以設圓的圓心為，由，可求得圓M的半徑和圓心，由此求得圓的方程.【詳解】解：由解得或，所以，又令，得，所以，因為圓過，，三點，所以AB的垂直平分線必過圓心，所以設圓的圓心為，所以，即，解得，所以圓心，半徑，所以圓的方程是，即，故選：C9、B【解析】分析：由雙曲線性質得到，然后在和在中利用余弦定理可得詳解：由題可知在中，在中,故選B.點睛：本題主要考查雙曲線的相關知識，考查了雙曲線的離心率和余弦定理的應用，屬于中檔題10、C【解析】求出二項式定理的通項公式，得到除以7余數是1，然后利用周期性進行計算即可【詳解】解：一個星期的周期是7，則，即除以7余數是1，即今天是星期四，經過天后是星期五，故選：11、C【解析】根據等差數列的性質，求得，結合等差數列的求和公式，即可求解.【詳解】由等差數列中，滿足，根據等差數列的性質，可得，所以，則.故選：C.12、C【解析】根據橢圓的離心率，即可求出，進而求出長軸長.【詳解】由橢圓的性質可知，橢圓的離心率為，則，即所以橢圓C的長軸長為故選：C.【點睛】本題主要考查了橢圓的幾何性質，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據已知設直線方程為與C聯立，結合|BF|=2|AF|，利用韋達定理計算可得點A，B的坐標，進而求出向量的坐標，進而利用求向量夾角余弦值的方法，即可得到答案.【詳解】令直線的方程為將直線方程代入批物線C:的方程，得令且，所以由拋物線的定義知，由|BF|=2|AF|可知，，則，解得：，，則A，B兩點坐標分別為，則則.故答案為：14、##0.25【解析】求出點A，B坐標，設出直線l的方程，聯立直線l與橢圓方程，借助韋達定理即可計算作答.【詳解】依題意，點，直線AB斜率為，因直線l直線AB，則設直線l方程為：，，由消去y并整理得：，，解得，于是有或，設，則，有，因此，，所以的值為.故答案：15、【解析】建立空間直角坐標系后求相關的向量后再用夾角公式運算即可.【詳解】如圖，以C為坐標原點，所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則，所以，所以，故異面直線與所成角的余弦值為，故答案為:.16、【解析】根據互斥事件與對立事件概率公式求解即可【詳解】設“2粒都是黑子”為事件，“2粒都是白子”為事件，“2粒恰好是同一色”為事件，“2粒不同色”為事件，則事件與事件是對立事件，所以因為2粒恰好是同一色的概率比不同色的概率大，所以，所以，又，且事件與互斥，所以，所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2），.【解析】（1）證明出，即可證得結論成立；（2）由（1）的結論并確定數列的首項和公比，可求得數列的通項公式，再利用分組求和法可求得.【小問1詳解】證明：因為數列滿足，，則，且，則，，，以此類推可知，對任意的，，所以，，故數列為等比數列.【小問2詳解】解：由（1）可知，數列是首項為，公比為的等比數列，則，所以，，因此，.18、（1）證明見解析，；（2）.【解析】（1）利用與的關系求數列的遞推關系，即得證明結論，并根據等比數列求通項公式；（2）根據（1）的結果求出，再分和，求.【詳解】（1）當時，，，當時，，與已知式作差得，即，又，∴，∴，故數列是以為首項，2為公比的等比數列，所以（2）由（1）知，∴，若，，若，，∴.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是第二問弄清楚數列與的前項和的關系，在分段求數列的前項和.19、（I）；（II）證明見解析.【解析】（I）根據頂點坐標求得，根據離心率求得，由此求得，進而求得橢圓方程.（II）設出直線的方程，聯立直線的方程和橢圓方程，寫出根與系數關系，根據，求得的關系式，由此判斷直線過定點.【詳解】（I）由于是橢圓的頂點，所以，由于，所以，所以，所以橢圓方程為.（II）由于是橢圓上異于點的不同的兩點，所以可設直線的方程為，設，由消去并化簡得，所以，即.，，，，解得，所以直線的方程為，過定點.【點睛】本小題主要考查橢圓方程的求法，考查直線和橢圓的位置關系，考查橢圓中的定值問題.20、（1）；（2）4.【解析】（1）利用拋物線的定義可知，將問題問題轉化為求的最小值，即求.（2）判斷點B在拋物線的內部，過B作垂直準線于點Q，交拋物線于點，利用拋物線的定義求解即可.【詳解】解析（1）依題意，拋物線的焦點為，準線方程為.由已知及拋物線的定義，可知，于是問題轉化為求的最小值.由平面幾何知識知，當F，P，A三點共線時，取得最小值，最小值為，即的最小值為.（2）把點B的橫坐標代入中，得，因為，所以點B在拋物線的內部.過B作垂直準線于點Q，交拋物線于點（如圖所示）.由拋物線的定義，可知，則，所以的最小值為4.【點睛】本題考查了拋物線的定義，理解定義是解題的關鍵，屬于基礎題.21、（1）（2）或【解析】(1)由圓心在直線上，設，由點在圓上，列方程求，由此求出圓心坐標及半徑，確定圓的方程；(2)當切線的斜率存在時，設其方程為，由切線的性質列方程求，再檢驗直線是否為切線，由此確定答案.小問1詳解】因為圓C的圓心在直線上，設圓心的坐標為，圓C過點，，所以，即，解得，則圓心，半徑，所以圓的方程為；【小問2詳解】當切線的斜率存在時，設直線的方程為，即，因為直線和圓相切，得，解得，所以直線方程為，當切線的斜率不存在時，易知