排列(優(yōu)限法、捆綁法、插空法的運(yùn)用)

排列的簡單應(yīng)用第一頁第二頁，共16頁。排列的簡單應(yīng)用

目的：理解掌握含有特殊限制條件的排隊問題的解決方法，進(jìn)一步培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力．重點：優(yōu)限法、捆綁法、插空法的運(yùn)用

第二頁第三頁，共16頁。一、【概念復(fù)習(xí)】：

1．排列的定義，理解排列定義需要注意的幾點問題；從n個不同元素中，任取m(m<n)個元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.2．排列數(shù)的定義，排列數(shù)的計算公式

第三頁第四頁，共16頁。3．練習(xí)：⑴7位同學(xué)站成一排，共有多少種不同的排法？解：問題可以看作：7個元素的全排列A77＝5040⑵7位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？解：問題可以看作：余下的6個元素的全排列A66=720⑶7位同學(xué)站成一排，其中甲不站在首位，共有多少種不同的排法？解一：甲站其余六個位置之一有A61種，其余6人全排列有A66

種，共有A61A66=4320。解二：從其他6人中先選出一人站首位，有A61，剩下6人（含甲）全排列，有A66

，共有A61A66=4320。解三：7人全排列有A77，甲在首位的有A66，所以共有A77-A66=7A66-A66=4320。第四頁第五頁，共16頁。二、新課：例：

7位同學(xué)站成一排．⑴甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？解：根據(jù)分步計數(shù)原理：第一步甲、乙站在兩端有A22種；第二步余下的5名同學(xué)進(jìn)行全排列有A55種則共有A22A55=240種排列方法①②③④⑤⑥⑦①②③④⑤⑥⑦甲乙乙甲abcde

ebdcaA55A55A22A22第五頁第六頁，共16頁。⑵甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？解法一：第一步從（除去甲、乙）其余的5位同學(xué)中選2位同學(xué)站在排頭和排尾有A52種方法；第二步從余下的5位同學(xué)中選5位進(jìn)行排列（全排列）有A55種方法，所以一共有A52A55

＝2400種排列方法．解法二：若甲站在排頭有A66種方法；若乙站在排尾有A66種方法；若甲站在排頭且乙站在排尾則有A55種方法．所以甲不能站在排頭，乙不能排在排尾的排法共有A77

－2A66

＋A55=2400種．小結(jié)一：對于“在”與“不在”等有特殊元素或特殊位置的排列問題，通常是先排特殊元素或特殊位置，稱為優(yōu)先處理特殊元素（位置）法（優(yōu)限法）。優(yōu)限法第六頁第七頁，共16頁。

⑶甲、乙兩同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？

解：先將甲、乙兩位同學(xué)“捆綁”在一起看成一個元素與其余的5個元素（同學(xué)）一起進(jìn)行全排列有A66種方法；再將甲、乙兩個同學(xué)“松綁”進(jìn)行排列有A22種方法．所以這樣的排法一共有A66

A22

＝1440種．拓展：①甲、乙和丙三個同學(xué)都相鄰的排法共有多少種？解：方法同上，一共有A55A33

＝720種．解法一：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，因為丙不能站在排頭和排尾，所以可以從其余的5個元素中選取2個元素放在排頭和排尾，有A52種方法；將剩下的4個元素進(jìn)行全排列有A44種方法；最后將甲、乙兩個同學(xué)“松綁”進(jìn)行排列有A22種方法．所以這樣的排法一共有A52

A44A22

＝960種方法．②甲、乙兩同學(xué)必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？第七頁第八頁，共16頁。解法二：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，若丙站在排頭或排尾有2A55種方法，所以丙不能站在排頭和排尾的排法有（

A66-2A55）·

A22=960種方法．

小結(jié)二：對于相鄰問題，常用“捆綁法”（先捆后松）．解法三：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，因為丙不能站在排頭和排尾，所以可以從其余的四個位置選擇共有A41種方法，再將其余的5個元素進(jìn)行全排列共有A55種方法，最后將甲、乙兩同學(xué)“松綁”，所以這樣的排法一共有A41

A55

A22

＝960種方法．捆綁法第八頁第九頁，共16頁。⑷甲、乙兩同學(xué)不能相鄰的排法共有多少種？解法一：（排除法）A77-A66

A22

=3600

解法二：（插空法）先將其余五個同學(xué)排好有A55種方法，此時他們留下六個位置（就稱為“空”），再將甲、乙同學(xué)分別插入這六個位置（空）有A62種方法，cbade所以一共有A55

A62=3600種方法．乙甲第九頁第十頁，共16頁。拓展：③甲、乙和丙三個同學(xué)都不能相鄰的排法共有多少種？

解：先將其余四個同學(xué)排好有A44種方法，此時他們留下五個“空”，再將甲、乙和丙三個同學(xué)分別插入這五個“空”有A53種方法，所以一共有A44

A53

＝1440種．小結(jié)三：對于不相鄰問題，常用“插空法”（特殊元素后考慮）．插空法第十頁第十一頁，共16頁。三、練習(xí)：三名女生和五名男生排成一排，⑴如果女生全排在一起，有多少種不同排法？⑵如果女生全分開，有多少種不同排法？⑶如果兩端都不能排女生，有多少種不同排法？⑷如果兩端不能都排女生，有多少種不同排法？A66

A33=4320A55A63=14400A52A66=14400A52A66+2A31A51A66=36000或A88-A32

A66=36000第十一頁第十二頁，共16頁。⑴某些元素不能在或必須排列在某一位置；⑵某些元素要求連排（即必須相鄰）；⑶某些元素要求分離（即不能相鄰）；⑵某些元素要求必須相鄰時，可以先將這些元素看作一個元素，與其他元素排列后，再考慮相鄰元素的內(nèi)部排列，這種方法稱為“捆綁法”；⑶某些元素不相鄰排列時，可以先排其他元素，再將這些不相鄰元素插入空擋，這種方法稱為“插空法”。⑴有特殊元素或特殊位置的排列問題，通常是先排特殊元素或特殊位置，稱為優(yōu)先處理特殊元素（位置）法“優(yōu)限法”；2．基本的解題方法：1．對有約束條件的排列問題，應(yīng)注意如下類型：四、小結(jié)：第十二頁第十三頁，共16頁。創(chuàng)新練習(xí)某班8運(yùn)動員在運(yùn)動會后排成一排照像留念，（1）若甲乙兩人之間必須間隔一人，有多少種不同排法？（2）若甲乙兩人之間至少間隔兩人，有多少種不同排法？第十三頁第十四頁，共16頁。人有了知識，就會具備各種分析能力，明辨是非的能力。所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀，古