《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教案

《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教案一、教學(xué)內(nèi)容解析本節(jié)課是人教A版選修2-1中的第二章第二節(jié)第一課時(shí)的內(nèi)容，其主要內(nèi)容是研究橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于概念性知識(shí)。解析幾何是在直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，利用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的一門(mén)學(xué)科。從知識(shí)上講，本節(jié)是在直線(xiàn)和圓的基礎(chǔ)上，對(duì)解析法的又一次實(shí)際運(yùn)用，同時(shí)也是進(jìn)一步研究橢圓幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)；從方法上講，為進(jìn)一步研究雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)提供了基本模式和理論基礎(chǔ)；從教材編排上講，三種圓錐曲線(xiàn)獨(dú)編為一章，體現(xiàn)橢圓的重要地位。解析幾何的意義主要表現(xiàn)在數(shù)形結(jié)合的思想上，在研究橢圓定義和方程的過(guò)程中，幾何直觀(guān)觀(guān)察和代數(shù)嚴(yán)格推導(dǎo)相互結(jié)合，同時(shí)要借助圓作類(lèi)比，用類(lèi)比的思想為學(xué)生的思維搭橋鋪路。因此本節(jié)課內(nèi)容起到了承上啟下的重要作用，是本章和本節(jié)的重點(diǎn)。本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程。二、學(xué)生學(xué)情分析（1）學(xué)生已初步掌握用坐標(biāo)法研究直線(xiàn)和圓的方程；（2）學(xué)生已初步熟悉求曲線(xiàn)方程的基本步驟；（3）學(xué)生對(duì)于利用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題的意識(shí)還不夠強(qiáng)；（4）對(duì)含有兩個(gè)根式方程的化簡(jiǎn)能力薄弱。三、教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)：（1）理解橢圓的定義。（2）掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，在化簡(jiǎn)橢圓方程的過(guò)程中提高學(xué)生的運(yùn)算能力。過(guò)程與方法：經(jīng)歷橢圓概念的產(chǎn)生過(guò)程，學(xué)習(xí)從具體實(shí)例中提煉數(shù)學(xué)概念的方法，由形象到抽象，從具體到一般，掌握數(shù)學(xué)概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)。情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生勇于探索，善于發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)新思想，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度并體會(huì)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱(chēng)美。教學(xué)難點(diǎn)及突破策略：1.本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)與化簡(jiǎn)。2.突破策略：引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比建立圓的方程的方法，經(jīng)過(guò)學(xué)生獨(dú)立思考與交流討論，在橢圓上建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系；化簡(jiǎn)動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的代數(shù)方程時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生注意觀(guān)察方程的特點(diǎn)，對(duì)其進(jìn)行移項(xiàng)變形后再通過(guò)平方運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)，配合多媒體演示。四、教學(xué)策略分析1.為了充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)思考，采用問(wèn)題串引導(dǎo)探究活動(dòng)，以問(wèn)題作為引領(lǐng)，誘導(dǎo)學(xué)生積極思考；2.利用手工制作的教具和現(xiàn)代教育手段，把教學(xué)內(nèi)容與教具及現(xiàn)代教育手段合理整合。3.在探究橢圓概念時(shí)，學(xué)生分組合作畫(huà)橢圓，在此基礎(chǔ)上抽象概括橢圓的定義，配合問(wèn)題引導(dǎo)，加深對(duì)橢圓概念的理解；4.在探究橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生回憶求曲線(xiàn)方程的一般步驟。通過(guò)系列設(shè)問(wèn)引導(dǎo)，用類(lèi)比法建立合理的直角坐標(biāo)系。在列出式子進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)會(huì)遇到比較復(fù)雜的雙根式化簡(jiǎn)問(wèn)題，教師及時(shí)介入，幫助學(xué)生順利導(dǎo)出方程。根據(jù)以上分析，主要采用探究性教學(xué)法和啟發(fā)式教學(xué)法。通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生經(jīng)歷“觀(guān)察——猜想——證明——應(yīng)用”的過(guò)程，發(fā)現(xiàn)新的知識(shí)。五、教學(xué)過(guò)程1.創(chuàng)設(shè)情境、引出新知通過(guò)動(dòng)畫(huà)讓學(xué)生明白圓錐曲線(xiàn)的名稱(chēng)由來(lái)，然后用課件演示一些生活中橢圓的例子，還有一些天體運(yùn)行的軌跡圖，并提出問(wèn)題：“這些天體運(yùn)行的軌跡是什么呢？”學(xué)生經(jīng)過(guò)觀(guān)察，很直觀(guān)地看出是橢圓，從而引出本課要研究的問(wèn)題：“我們能否描述這些天體運(yùn)行的軌跡的概念并求出其方程呢？”學(xué)習(xí)了本節(jié)課的內(nèi)容，就可以解決這些問(wèn)題?！驹O(shè)計(jì)意圖】借助多媒體生動(dòng)、直觀(guān)的演示，使學(xué)生明確學(xué)習(xí)橢圓的重要性和必要性。同時(shí)滲透數(shù)學(xué)源于生活,使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣和探索欲望，為后續(xù)的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。2．嘗試實(shí)驗(yàn)，探究概念請(qǐng)學(xué)生用事先準(zhǔn)備好的自制教具：紙板、細(xì)繩、圖釘、筆，小組一起合作按要求畫(huà)橢圓。在畫(huà)橢圓的過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生思考以下3個(gè)問(wèn)題：（1）視筆尖為動(dòng)點(diǎn)，兩個(gè)圖釘為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和符合什么條件？其軌跡是什么？（2）若繩長(zhǎng)等于兩圖釘之間的距離，畫(huà)出的圖形還是橢圓嗎？（3）若繩長(zhǎng)小于兩圖釘之間的距離呢？學(xué)生邊作圖、邊思考、邊討論，每組學(xué)生都可對(duì)上述三個(gè)問(wèn)題進(jìn)行研究比較.引導(dǎo)學(xué)生全員參與，積極發(fā)言，相互補(bǔ)充，從而探究出三個(gè)結(jié)論并概括出橢圓的定義。【設(shè)計(jì)意圖】以活動(dòng)為載體，讓學(xué)生在“做中學(xué)”數(shù)學(xué)，通過(guò)畫(huà)橢圓，經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，積累感性經(jīng)驗(yàn)。在動(dòng)手過(guò)程中,培養(yǎng)學(xué)生觀(guān)察、辨析、歸納問(wèn)題的能力。讓他們通過(guò)觀(guān)察、討論、概括出橢圓的定義，這樣既獲得了知識(shí)，又培養(yǎng)了學(xué)生抽象思維的能力。3．應(yīng)用舉例，及時(shí)評(píng)價(jià)例1.用定義判斷下列動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是否為橢圓。（1）到F1(-2,0)，F(xiàn)2(2,0)的距離之和為6的點(diǎn)M的軌跡。解：因?yàn)棣騇F1︱+︱MF2︱=6>︱F1F2︱=4，所以點(diǎn)M的軌跡為橢圓。（2）到F1(-2,0)，F(xiàn)2(2,0)的距離之和為4的點(diǎn)M的軌跡。解：因?yàn)棣騇F1︱+︱MF2︱=4=︱F1F2︱=4，所以點(diǎn)M的軌跡不是橢圓（是線(xiàn)段F1F2）。（3）到F1(-2,0)，F(xiàn)2(2,0)的距離之和為3的點(diǎn)M的軌跡。解：因?yàn)棣騇F1︱+︱MF2︱=3<︱F2F2︱=4，故點(diǎn)M無(wú)軌跡圖形?！驹O(shè)計(jì)意圖】恰當(dāng)處理預(yù)設(shè)與生成的關(guān)系，運(yùn)用反饋調(diào)節(jié)機(jī)制，及時(shí)評(píng)價(jià)，激勵(lì)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。4．類(lèi)比遷移，推導(dǎo)方程引導(dǎo)學(xué)生思考以下兩個(gè)問(wèn)題：（1）求曲線(xiàn)方程的一般步驟是什么？（2）圓心在原點(diǎn)與不在原點(diǎn)的圓的方程哪個(gè)形式更簡(jiǎn)單？為什么？【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生明確思維的方向，通過(guò)復(fù)習(xí)舊知，為在橢圓上建立坐標(biāo)系搭橋鋪路。提問(wèn)：類(lèi)比建立圓的方程的方法，怎樣在橢圓上建立直角坐標(biāo)系，才能使橢圓方程更簡(jiǎn)單？（1）以經(jīng)過(guò)橢圓兩焦點(diǎn)的直線(xiàn)為x軸，以?xún)蓚€(gè)焦點(diǎn)連線(xiàn)的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系；（2）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的集合；（3）把動(dòng)點(diǎn)條件坐標(biāo)化；（4)化簡(jiǎn)得到方程?！驹O(shè)計(jì)意圖】經(jīng)過(guò)推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過(guò)程，掌握推導(dǎo)方法，培養(yǎng)學(xué)生戰(zhàn)勝困難的意志品質(zhì)并感受數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱(chēng)美，養(yǎng)成學(xué)生扎實(shí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。介紹其他幾種化簡(jiǎn)的方法：直接兩邊平方、分子有理化、利用等差數(shù)列化簡(jiǎn)?！驹O(shè)計(jì)意圖】充分考慮學(xué)生可能用的方法，讓學(xué)生綜合現(xiàn)有知識(shí)解決問(wèn)題。5.啟發(fā)引導(dǎo)，探究意義（1）引導(dǎo)學(xué)生在橢圓上找出表示的線(xiàn)段。SHAPE（2）理解引入的必要性及幾何意義。（3）最后得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程?！驹O(shè)計(jì)意圖】說(shuō)明a,b,c的幾何意義，進(jìn)一步解釋引進(jìn)b的好處，體會(huì)解析幾何的數(shù)形結(jié)合思想。6.拓展引申，對(duì)比分析本環(huán)節(jié)我首先提出問(wèn)題：“前面我們得到了焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程，如果橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的呢？”學(xué)生經(jīng)過(guò)觀(guān)察思考會(huì)發(fā)現(xiàn)，只要交換坐標(biāo)軸就可以了，從而得到了焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（a＞0,b＞0）接下來(lái)，讓學(xué)生對(duì)兩種方程進(jìn)行對(duì)比分析，強(qiáng)化對(duì)橢圓兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的理解?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過(guò)兩種方程，進(jìn)行對(duì)比反思，讓學(xué)生利用對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行猜想，培養(yǎng)學(xué)生的類(lèi)比思維能力。不僅使學(xué)生加深對(duì)橢圓定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的理解，有助于教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，而且使學(xué)生體會(huì)和學(xué)習(xí)類(lèi)比的思想方法，為后邊雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)及其它知識(shí)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。7.知識(shí)應(yīng)用，目標(biāo)評(píng)價(jià)例2、求下面方程的a,b,并說(shuō)出焦點(diǎn)的位置?；顒?dòng)形式:思考—解答—點(diǎn)評(píng)【設(shè)計(jì)意圖】評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)橢圓兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程的理解程度。例3：寫(xiě)出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）已知兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-4,0），（4,0）,橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和等于10。（2）將上題焦點(diǎn)改為（0，-4），（0,4），結(jié)果如何？（3）將上題改為兩個(gè)焦點(diǎn)的距離為8，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離的和等于10.結(jié)果如何？【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)概念是要在運(yùn)用中得以鞏固的，通過(guò)該課堂練習(xí)使學(xué)生進(jìn)一步理解橢圓的定義，掌握標(biāo)準(zhǔn)方程，使知識(shí)內(nèi)化為素養(yǎng)，并在解題過(guò)程中感受"數(shù)形結(jié)合思想"。8.歸納小結(jié)，布置作業(yè) 【設(shè)計(jì)意圖】歸納小結(jié)由師生共同完成，引導(dǎo)學(xué)生積極發(fā)言，通過(guò)填寫(xiě)表格對(duì)本節(jié)內(nèi)容進(jìn)行反思、歸納、總結(jié)，從而達(dá)到深化知識(shí)理解，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，領(lǐng)悟思想方法的目的。作業(yè)布置：（1）閱讀課本相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí)；（2）課本42頁(yè)練習(xí)第1、2題，49頁(yè)習(xí)題2.2A組第1題；（3）課外作業(yè)：課本50頁(yè)課后探究。【設(shè)計(jì)意圖】作業(yè)由易到難，分必做題和選做題，體現(xiàn)分層教學(xué)的思想，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使各層次的學(xué)生都找到