云南省麻栗坡縣一中2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

云南省麻栗坡縣一中2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若函數(shù)，則單調(diào)增區(qū)間為（）A. B.C. D.2．已知為原點(diǎn)，點(diǎn)，以為直徑的圓的方程為()A. B.C. D.3．《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國(guó)古典文學(xué)瑰寶，并稱(chēng)為中國(guó)古典小說(shuō)四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100學(xué)生，其中閱讀過(guò)《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位，閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位，閱讀過(guò)《西游記》且閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為A. B.C. D.4．函數(shù)f（x）=xex的單調(diào)增區(qū)間為（）A.（-∞，-1） B.（-∞，e）C.（e，+∞） D.（-1，+∞）5．已知拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)P（-1，0）且斜率為的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C相交于A，B兩點(diǎn)，則（）A. B.14C. D.156．?dāng)?shù)列2，，9，，的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是（）A. B.C. D.7．某社區(qū)醫(yī)院為了了解社區(qū)老人與兒童每月患感冒的人數(shù)y（人）與月平均氣溫x（℃）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4個(gè)月的患?。ǜ忻埃┤藬?shù)與當(dāng)月平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表：月平均氣溫x（℃）171382月患病y（人）24334055由表中數(shù)據(jù)算出線(xiàn)性回歸方程中的，氣象部門(mén)預(yù)測(cè)下個(gè)月的平均氣溫約為9℃，據(jù)此估計(jì)該社區(qū)下個(gè)月老年人與兒童患病人數(shù)約為（）A.38 B.40C.46 D.588．設(shè)各項(xiàng)均為正項(xiàng)的數(shù)列滿(mǎn)足，，若，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A. B.C.5 D.69．已知函數(shù)，則滿(mǎn)足不等式的的取值范圍是（）A. B.C. D.10．拋物線(xiàn)y＝4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.（0，1） B.（1，0）C. D.11．若x，y滿(mǎn)足約束條件，則的最大值為（）A.2 B.3C.4 D.512．德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問(wèn)題出發(fā)，引進(jìn)微積分概念.在研究切線(xiàn)時(shí)認(rèn)識(shí)到，求曲線(xiàn)的切線(xiàn)的斜率依賴(lài)于縱坐標(biāo)的差值和橫坐標(biāo)的差值，以及當(dāng)此差值變成無(wú)限小時(shí)它們的比值，這也正是導(dǎo)數(shù)的幾何意義．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，且對(duì)，，且總有，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列中，，，則_______.14．有公共焦點(diǎn)，的橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率分別為，，點(diǎn)為兩曲線(xiàn)的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則的值為_(kāi)_____15．函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是______16．如圖，正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是，AB，的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與GF所成角的大小是______（用反三角函數(shù)表示）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，滿(mǎn)足.（1）求A；（2）若，求面積的最大值.18．（12分）如圖所示，在三棱柱中，平面，，，，點(diǎn)，分別在棱和棱上，且，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.19．（12分）已知三角形內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且C為鈍角.（1）求cosA；（2）若，，求三角形的面積.20．（12分）如圖，在正方體中，為棱的中點(diǎn).求證：（1）平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的大小.21．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，滿(mǎn)足，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.22．（10分）如圖，正三棱柱中，D是的中點(diǎn)，.（1）求點(diǎn)C到平面的距離；（2）試判斷與平面的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，令解不等式即可得答案.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，所以，令，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，故選：C.2、A【解析】求圓的圓心和半徑，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解﹒【詳解】由題知圓心為，半徑，∴圓方程為﹒故選：A﹒3、C【解析】根據(jù)題先求出閱讀過(guò)西游記人數(shù)，進(jìn)而得解.【詳解】由題意得，閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)為90-80+60=70，則其與該校學(xué)生人數(shù)之比為70÷100=0.7．故選C【點(diǎn)睛】本題考查容斥原理，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取去重法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題4、D【解析】求出，令可得答案.【詳解】由已知得，令，得，故函數(shù)f（x）=xex的單調(diào)增區(qū)間為（-1，+∞）.故選：D.5、C【解析】設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義求出，然后將直線(xiàn)的方程代入拋物線(xiàn)方程并化簡(jiǎn)，進(jìn)而結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得答案.【詳解】設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，直線(xiàn)的方程為，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為：，由拋物線(xiàn)定義可知：.聯(lián)立方程，消去y后整理為，可得，，.故選：C.6、C【解析】用檢驗(yàn)法，由通項(xiàng)公式驗(yàn)證是否符合數(shù)列各項(xiàng)，結(jié)合排除法可得【詳解】第一項(xiàng)為正數(shù)，BD中求出第一項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，排除，而AC均滿(mǎn)足，A中，，排除A，C中滿(mǎn)足，，，故選：C7、B【解析】由表格數(shù)據(jù)求樣本中心，根據(jù)線(xiàn)性回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)，將點(diǎn)代入方程求參數(shù)，寫(xiě)出回歸方程，進(jìn)而估計(jì)下個(gè)月老年人與兒童患病人數(shù).【詳解】由表格得為，由回歸方程中的，∴，解得，即，當(dāng)時(shí)，.故選：B.8、D【解析】由利用因式分解可得，即可判斷出數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，從而得到數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出【詳解】等價(jià)于，而，所以，即可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即有，所以，故故選：D9、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可解不等式【詳解】由則函數(shù)在上單調(diào)遞增又，所以，解得故選：A10、C【解析】將拋物線(xiàn)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由此可拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)得選項(xiàng).【詳解】解：將拋物線(xiàn)y＝4x2的化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝y(tǒng)，p＝，開(kāi)口向上，焦點(diǎn)在y軸的正半軸上，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）.故選：C11、C【解析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域，再利用數(shù)形結(jié)合分析求解.【詳解】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分區(qū)域，由得，它表示斜率為縱截距為的直線(xiàn)系，當(dāng)直線(xiàn)平移到點(diǎn)時(shí)，縱截距最大，最大.聯(lián)立直線(xiàn)方程得得.所以.故選：C12、D【解析】由，得在上單調(diào)遞增，并且由的圖象是向上凸，進(jìn)而判斷選項(xiàng).【詳解】由，得在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，故A不正確；對(duì)，，且，總有，可得函數(shù)的圖象是向上凸，可用如圖的圖象來(lái)表示，由表示函數(shù)圖象上各點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率，由函數(shù)圖象可知，隨著的增大，的圖象越來(lái)越平緩，即切線(xiàn)的斜率越來(lái)越小，所以，故B不正確；，表示點(diǎn)與點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，由圖可知，所以D正確，C不正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查以數(shù)學(xué)文化為背景，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，屬于中檔題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)遞推公式一一計(jì)算即可；【詳解】解：因?yàn)?，所以，，，故答案為?4、4【解析】可設(shè)為第一象限的點(diǎn)，，，求出，，化簡(jiǎn)即得解.【詳解】解：可設(shè)為第一象限的點(diǎn)，，，由橢圓定義可得，由雙曲線(xiàn)的定義可得，可得，，由，可得，即為，化為，則故答案為：415、0【解析】通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得極值點(diǎn)的情況.【詳解】因?yàn)椋?，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是0，故答案為：0.16、【解析】連接，由得出直線(xiàn)與GF所成角，再由余弦定理得出直線(xiàn)與GF所成角的大小.【詳解】連接，因?yàn)?，所以直線(xiàn)與GF所成角為.設(shè)，則，，，又異面直線(xiàn)的夾角范圍為，所以直線(xiàn)與GF所成角的大小是.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理得，再由范圍可得答案；（2）由余弦定理和基本不等式可得，再由面積公式可得答案.【小問(wèn)1詳解】∵，由正弦定理得，又，所以，又，則；【小問(wèn)2詳解】由余弦定理得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，取“=”，所以面積的最大值為18、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，由已知確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求的方向向量、面的法向量，并應(yīng)用坐標(biāo)計(jì)算空間向量的數(shù)量積，即可證結(jié)論.（2）求的方向向量，結(jié)合（1）中面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】以為原點(diǎn)，以，，為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得：，，，，，，，.∴，，，設(shè)為面的法向量，則，令得，∴，即，∴平面；【小問(wèn)2詳解】由（1）知：，為面的一個(gè)法向量，設(shè)與平面所成角為，則，∴直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.19、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理邊化角，可求得角的正弦，由同角關(guān)系結(jié)合條件可得答案.(2)由（1），由余弦定理，求出邊的長(zhǎng)，進(jìn)一步求得面積【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由正弦定理得因?yàn)?，所?因?yàn)榻菫殁g角，所以角為銳角，所以小問(wèn)2詳解】由(1)，由余弦定理，得，所以，解得或，不合題意舍去，故的面積為=20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）連接，交于，連接，推導(dǎo)出，由此能證明平面.（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線(xiàn)與平面所成角的大小.【詳解】（1）證明：連接，交于，連接，∵在正方體中，是正方形，∴是中點(diǎn)，∵為棱的中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）解：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體中棱長(zhǎng)為2，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角的大小為，則，∴，∴直線(xiàn)與平面所成角的大小為.【點(diǎn)睛】(1)求直線(xiàn)與平面所成的角的一般步驟：①找直線(xiàn)與平面所成的角，即通過(guò)找直線(xiàn)在平面上的射影來(lái)完成；②計(jì)算，要把直線(xiàn)與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解(2)作二面角的平面角可以通過(guò)垂線(xiàn)法進(jìn)行，在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線(xiàn)，再過(guò)垂足作二面角的棱的垂線(xiàn)，兩條垂線(xiàn)確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角21、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）先將變?yōu)椋缓蟮仁絻蛇呁纯傻么鸢?；?）求出，再用錯(cuò)位相減求和【小問(wèn)1詳解】證明：∵∴由已知易得，∴∴數(shù)列是首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，∴∴①②①