云南省楚雄州大姚縣第一中學2023年數(shù)學高二上期末達標檢測試題含解析

云南省楚雄州大姚縣第一中學2023年數(shù)學高二上期末達標檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間，后為了趕時間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是（）A. B.C. D.2．如圖所示的程序框圖，閱讀下面的程序框圖，則輸出的S=（）A.14 B.20C.30 D.553．如圖，在三棱錐中，是線段的中點，則（）A. B.C. D.4．設是兩個不同的平面，是一條直線，以下命題正確的是A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則5．已知拋物線的焦點為F，過點F分別作兩條直線，直線與拋物線C交于A、B兩點，直線與拋物線C交于D、E兩點，若與的斜率的平方和為2，則的最小值為（）A.24 B.20C.16 D.126．直線的傾斜角為（）A.60° B.30°C.120° D.150°7．已知數(shù)列為等比數(shù)列，則“為常數(shù)列”是“成等差數(shù)列”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8．方程表示的曲線是A.兩條直線 B.兩條射線C.兩條線段 D.一條直線和一條射線9．在等比數(shù)列中，若是函數(shù)的極值點，則的值是（）A. B.C. D.10．已知拋物線內(nèi)一點，過點的直線交拋物線于，兩點，且點為弦的中點，則直線的方程為（）A. B.C D.11．已知斜三棱柱所有棱長均為2，，點、滿足，，則（）A. B.C.2 D.12．已知等比數(shù)列的前3項和為3，，則（）A. B.4C. D.1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．命題“，”是真命題，則的取值范圍是________14．已知數(shù)列滿足，，若為等差數(shù)列，則___________，若，則數(shù)列的前項和為___________.15．已知空間向量，，且，則值為______16．已知橢圓，分別是橢圓的上、下頂點，是左頂點，為左焦點，直線與相交于點，則________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某市對排污水進行綜合治理，征收污水處理費，系統(tǒng)對各廠一個月內(nèi)排出污水量x噸收取的污水處理費y元，運行程序如圖所示：INPUTxIFTHENELSEIFTHENELSEENDIFENDIFPRINTyEND（1）請寫出y與x的函數(shù)關系式；（2）求排放污水150噸的污水處理費用.18．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，圓：過橢圓的三個頂點，過點的直線（斜率存在且不為0）與橢圓交于兩點（1）求橢圓的標準方程（2）證明：在軸上存在定點，使得為定值，并求出定點的坐標19．（12分）已知直線l的斜率為-2，且與兩坐標軸的正半軸圍成三角形的面積等于1．圓C的圓心在第四象限，直線l經(jīng)過圓心，圓C被x軸截得的弦長為4．若直線x－2y－1＝0與圓C相切，求圓C的方程20．（12分）在△中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，.（1）求的大小及△的面積；（2）求的值.21．（12分）已知拋物線的焦點為F，點在拋物線上.（1）求拋物線的標準方程；（2）過點的直線交拋物錢C于A，B兩點，O為坐標原點，記直線OA，OB的斜率分別，，求證：為定值.22．（10分）在直三棱柱中，、、、分別為中點，.（1）求證：平面（2）求二面角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】先研究四個選項中圖象的特征，再對照小明上學路上的運動特征，兩者對應即可選出正確選項.【詳解】考查四個選項，橫坐標表示時間，縱坐標表示的是離開學校的距離，由此知，此函數(shù)圖象一定是下降的，由此排除A；再由小明騎車上學，開始時勻速行駛可得出圖象開始一段是直線下降型，又途中因交通堵塞停留了一段時間，故此時有一段函數(shù)圖象與x軸平行，由此排除D，之后為了趕時間加快速度行駛，此一段時間段內(nèi)函數(shù)圖象下降的比較快，由此可確定C正確，B不正確故選C【點睛】本題考查函數(shù)的表示方法，關鍵是理解坐標系的度量與小明上學的運動特征，屬于基礎題.2、C【解析】經(jīng)分析為直到型循環(huán)結構，按照循環(huán)結構進行執(zhí)行，當滿足跳出的條件時即可輸出值【詳解】解：第一次循環(huán)S=1，i=2；第二次循環(huán)S=1+22=5，i=3；第三次循環(huán)S=5+32=14，i=4；第四次循環(huán)S=14+42=30，i=5；此時5>4，跳出循環(huán)，故輸出的值為30故選：C.3、A【解析】根據(jù)給定幾何體利用空間向量基底結合向量運算計算作答.【詳解】在三棱錐中，是線段的中點，所以：.故選：A4、C【解析】對于A、B、D均可能出現(xiàn)，而對于C是正確的5、C【解析】設兩條直線方程，與拋物線聯(lián)立，求出弦長的表達式，根據(jù)基本不等式求出最小值【詳解】拋物線的焦點坐標為，設直線：，直線：，聯(lián)立得：，所以，所以焦點弦，同理得：，所以，因為，所以，故選：C6、C【解析】求出斜率，根據(jù)斜率與傾斜角的關系，即可求解.【詳解】解：，即，直線的斜率為，即直線的傾斜角為120°.故選：C.7、C【解析】先考慮充分性，再考慮必要性即得解.【詳解】解：如果為常數(shù)列，則成等差數(shù)列，所以“為常數(shù)列”是“成等差數(shù)列”的充分條件；等差數(shù)列，所以，所以數(shù)列為，所以數(shù)列是常數(shù)列，所以“為常數(shù)列”是“成等差數(shù)列”的必要條件.所以“為常數(shù)列”是“成等差數(shù)列”的充要條件.故選：C8、D【解析】由，得2x+3y?1=0或.即2x+3y?1=0(x?3)為一條射線，或x=4為一條直線.∴方程表示的曲線是一條直線和一條射線.故選D.點睛：在直角坐標系中，如果某曲線C（看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡）上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關系：（1）曲線上點的坐標都是這個方程的解；（2）以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線在求解方程時要注意變量范圍.9、B【解析】根據(jù)導數(shù)的性質求出函數(shù)的極值點，再根據(jù)等比數(shù)列的性質進行求解即可.【詳解】，當時，單調遞增，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以是函數(shù)的極值點，因為，且所以，故選：B10、B【解析】利用點差法求出直線斜率，即可得出直線方程.【詳解】設，則，兩式相減得，即，則直線方程為，即.故選：B.11、D【解析】以向量為基底向量，則，根據(jù)條件由向量的數(shù)量積的運算性質，兩邊平方可得答案.【詳解】以向量為基底向量，所以所以故選：D12、D【解析】設等比數(shù)列公比為，由已知結合等比數(shù)列的通項公式可求得，，代入即可求得結果.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，由，得即，又，即又，，解得又等比數(shù)列的前3項和為3，故，即，解得故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】依題意可得，是真命題，參變分離得到在上有解，再利用構造函數(shù)利用函數(shù)的單調性計算可得.【詳解】，等價于在上有解設，，則在上單調遞減，在上單調遞增，又，，所以，即故答案為：14、①.##②.【解析】利用遞推關系式，結合等差數(shù)列通項公式可求得公差，進而得到；利用遞推關系式可知數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，采用裂項相消的方法可求得前項和.【詳解】由得：，解得：；為等差數(shù)列，設其公差為，則，解得：，；由知：數(shù)列的奇數(shù)項是以為首項，為公差的等差數(shù)列；偶數(shù)項是以為首項，為公差的等差數(shù)列；，又，，數(shù)列的前項和，.故答案為：；.【點睛】關鍵點點睛：本題考查根據(jù)數(shù)列遞推關系求解數(shù)列中的項、裂項相消法求和的問題；解題關鍵是能夠根據(jù)遞推關系式得到數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，由此可通過裂項相消的方法求得所求數(shù)列的和.15、【解析】利用向量的坐標運算及向量數(shù)量積的坐標表示即求.【詳解】由題意，空間向量，可得，所以，解得.故答案為：.16、##【解析】先求出頂點和焦點坐標，求出直線直線與的斜率，利用到角公式求出的正切值，進而求出正弦值.【詳解】由可得：，所以，，，，故，由到角公式得：，其中，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）1400（元）.【解析】（1）根據(jù)已知條件即可容易求得函數(shù)關系式；（2）根據(jù)（1）中所求函數(shù)關系式，令，求得函數(shù)值即可.【小問1詳解】根據(jù)題意，得：當時，；當時，；當時，.即.【小問2詳解】因為，故，故該廠應繳納污水處理費1400元.18、（1）；（2）見解析，定點【解析】（1）先判斷圓經(jīng)過橢圓的上、下頂點和右頂點，令圓方程中的，得，即．再由求即可.（2）設在軸上存在定點，使得為定值，根據(jù)題意，設直線的方程為，聯(lián)立可得，再運算將韋達定理代入化簡有與k無關即可.【詳解】（1）由圓方程中的時，的兩根不為相反數(shù)，故可設圓經(jīng)過橢圓的上、下頂點和右頂點，令圓方程中的，得，即有又，解得∴橢圓的標準方程為（2）證明：設在軸上存在定點，使得為定值，由（1）可得，設直線的方程為，聯(lián)立可得，設，則，，要使為定值，只需，解得∴在軸上存在定點，使得為定值，定點的坐標為【點睛】本題主要考查橢圓的幾何性質和直線與橢圓的位置關系，還考查了數(shù)形結合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.19、【解析】先根據(jù)題意設直線方程，由條件求出直線的方程，再根據(jù)條件列出等量關系，求出圓心和半徑，進而求得答案.【詳解】解：設直線l的方程為y＝－2x＋b（b＞0），它與兩坐標軸的正半軸的交點依次為，，因為直線l與兩坐標軸的正半軸所圍成的三角形的面積等于1，所以，解得b＝2，所以直線l的方程是，即由題意，可設圓C的圓心為，半徑為r，又因為圓C被x軸截得的弦長等于4，所以①，由于直線與圓相切，所以圓心C到直線的距離②，所以①②聯(lián)立得：，解得：或，又圓心在第四象限，所以，則圓心，，所以圓C方程是.20、（1），△的面積為；（2）.【解析】（1）應用余弦定理求的大小，由三角形面積公式求△的面積；（2）由（1）及正弦定理的邊角關系可得，即可求目標式的值.【小問1詳解】在△中，由余弦定理得：，又，則.所以△的面積為.【小問2詳解】由（1）得：，由正弦定理得：，則，所以.21、（1）（2）證明見解析【解析】（1）將點代入拋物線方程即可求解；（2）當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為，，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立利用韋達定理即可求出的值;當直線AB的斜率不存在時，由過點即可求出點和點的坐標,即可求出的值.【小問1詳解】將點代入得，，∴拋物線的標準方程為.【小問2詳解】當直線AB斜率存在時，設直線AB的方程為，，將聯(lián)立得，，由韋達定理得：，，，當直線AB的斜率不存在時，由直線過點,則，，，，綜上所述可知，為定值為.22、（1）見解析；（2）【解析】（1）取中點，連接，根據(jù)直棱柱的特征，易知，再由、分別為的中點，根據(jù)中位線定理，可得，得到四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定定理證明.（2）取的中點，連接，以為原點，、、分別為