吳忠高級中學2023年數(shù)學高二上期末考試試題含解析

吳忠高級中學2023年數(shù)學高二上期末考試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知兩圓相交于兩點，，兩圓圓心都在直線上，則值為（）A. B.C. D.2．隨機抽取甲乙兩位同學連續(xù)9次成績（單位：分），得到如圖所示的成績莖葉圖，關于這9次成績，則下列說法正確的是（）A.甲成績的中位數(shù)為33 B.乙成績的極差為40C.甲乙兩人成績的眾數(shù)相等 D.甲成績的平均數(shù)低于乙成績的平均數(shù)3．已知空間向量，則（）A. B.C. D.4．加斯帕爾·蒙日（圖1）是18～19世紀法國著名的幾何學家，他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”（圖2）．則橢圓的蒙日圓的半徑為（）A.3 B.4C.5 D.65．在試驗“甲射擊三次，觀察中靶的情況”中，事件A表示隨機事件“至少中靶1次”，事件B表示隨機事件“正好中靶2次”，事件C表示隨機事件“至多中靶2次”，事件D表示隨機事件“全部脫靶”，則（）A.A與C是互斥事件 B.B與C是互斥事件C.A與D是對立事件 D.B與D是對立事件6．已知點，則直線的傾斜角為（）A. B.C. D.7．橢圓上一點到一個焦點的距離為，則到另一個焦點的距離是（）A. B.C. D.8．已知圓與圓相交于A、B兩點，則圓上的動點P到直線AB距離的最大值為（）A. B.C. D.9．在空間直角坐標系中，已知點M是點在坐標平面內(nèi)的射影，則的坐標是（）A. B.C. D.10．甲乙兩名運動員在某項體能測試中的6次成績統(tǒng)計如表：甲9816151514乙7813151722分別表示甲乙兩名運動員這項測試成績的平均數(shù)，分別表示甲乙兩名運動員這項測試成績的標準差，則有（）A.， B.，C.， D.，11．在正三棱錐中，，且，M，N分別為BC，AD的中點，則直線AM和CN夾角的余弦值為（）A. B.C. D.12．已知三棱錐O—ABC，點M，N分別為線段AB，OC的中點，且，，，用，，表示，則等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知球的半徑為3，則該球的體積為_________.14．函數(shù)，若，則的值等于_______15．已知向量,,并且、共線且方向相同,則______.16．拋物線C：的焦點F，其準線過（-3，3），過焦點F傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點，則p=___________；弦AB的長為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）平面直角坐標系xOy中，點，，點M滿足.記M的軌跡為C.（1）說明C是什么曲線，并求C的方程；（2）已知經(jīng)過的直線l與C交于A，B兩點，若，求.18．（12分）設等比數(shù)列的前項和為，且（）（1）求數(shù)列的通項公式；（2）在與之間插入個實數(shù)，使這個數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，設數(shù)列的前項和為，求證：19．（12分）已知空間中三點，，，設，（1）求向量與向量的夾角的余弦值；（2）若與互相垂直，求實數(shù)的值20．（12分）已知圓C經(jīng)過點，，且它的圓心C在直線上.（1）求圓C的方程；（2）過點作圓C的兩條切線，切點分別為M，N，求三角形PMN的面積.21．（12分）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有且僅有2個零點，求實數(shù)的值.22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，，（1）證明：；（2）當PB的長為何值時，直線AB與平面PCD所成角的正弦值為？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由相交弦的性質(zhì)，可得與直線垂直，且的中點在這條直線上；由與直線垂直，可得，解可得的值，即可得的坐標，進而可得中點的坐標，代入直線方程可得；進而將、相加可得答案【詳解】根據(jù)題意，由相交弦的性質(zhì)，相交兩圓的連心線垂直平分相交弦，可得與直線垂直，且的中點在這條直線上；由與直線垂直，可得，解可得，則，故中點為，且其在直線上，代入直線方程可得，1，可得；故；故選：A【點睛】方法點睛：解答圓和圓的位置關系時，要注意利用平面幾何圓的知識來分析解答.2、D【解析】按照莖葉圖所給的數(shù)據(jù)計算即可.【詳解】由莖葉圖可知，甲的成績?yōu)椋?1，22，23，24，32，32，33，41，52，其中位數(shù)為32，眾數(shù)為32，平均數(shù)為；乙的成績?yōu)椋?0，22，31，32，35，42，42，50，52，極差為52-10=42，眾數(shù)為42，平均數(shù)為；由以上數(shù)據(jù)可知，A錯誤，B錯誤，C錯誤，D正確；故選：D.3、C【解析】A利用向量模長的坐標表示判斷；B根據(jù)向量平行的判定，是否存在實數(shù)使即可判斷；C向量數(shù)量積的坐標表示求即可判斷；D利用向量坐標的線性運算及數(shù)量積的坐標表示求即可.【詳解】因為，所以A不正確：因為不存在實數(shù)使，所以B不正確；因為，故，所以C正確；因為，所以，所以D不正確故選：C4、A【解析】由蒙日圓的定義，確定出圓上的一點即可求出圓的半徑.【詳解】由蒙日圓的定義，可知橢圓的兩條切線的交點在圓上，所以，故選：A5、C【解析】根據(jù)互斥事件、對立事件的定義即可求解.【詳解】解：因為A與C，B與C可能同時發(fā)生，故選項A、B不正確；B與D不可能同時發(fā)生，但B與D不是事件的所有結(jié)果，故選項D不正確；A與D不可能同時發(fā)生，且A與D為事件的所有結(jié)果，故選項C正確故選：C.6、A【解析】由兩點坐標，求出直線的斜率，利用，結(jié)合傾斜角的范圍即可求解.【詳解】設直線AB的傾斜角為，因為，所以直線AB的斜率，即，因為，所以.故選：A7、B【解析】利用橢圓的定義可得結(jié)果.【詳解】在橢圓中，，由橢圓的定義可知，到另一個焦點的距離是.故選：B.8、A【解析】判斷圓與的位置并求出直線AB方程，再求圓心C到直線AB距離即可計算作答.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，，即圓與相交，直線AB方程為：，圓的圓心，半徑，點C到直線AB距離的距離，所以圓C上的動點P到直線AB距離的最大值為.故選：A9、C【解析】點在平面內(nèi)的射影是坐標不變，坐標為0的點.【詳解】點在坐標平面內(nèi)的射影為，故點M的坐標是故選：C10、B【解析】根據(jù)給定統(tǒng)計表計算、，再比較、大小判斷作答.【詳解】依題意，，，，，所以，.故選：B11、B【解析】由題意可得兩兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解【詳解】因為，所以兩兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，因為，所以,因為M，N分別為BC，AD的中點，所以，所以，設直線AM和CN所成的角為，則,所以直線AM和CN夾角的余弦值為，故選：B12、A【解析】利用空間向量基本定理進行計算.【詳解】.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)球的體積公式計算可得；【詳解】解：因為球的半徑，所以球的體積；故答案為：14、【解析】對函數(shù)進行求導，把代入導函數(shù)中，化簡即可求出的值.【詳解】函數(shù).故答案為：.15、4【解析】根據(jù)空間向量共線基本定理,可設.由坐標運算求得的值,進而求得.即可求得的值.【詳解】根據(jù)空間向量共線基本定理,可設由向量的坐標運算可得解方程可得所以.故答案為:【點睛】本題考查了空間向量共線基本定理的應用,根據(jù)向量的共線定理求參數(shù),屬于基礎題.16、①.6；②.48.【解析】先通過準線求出p，寫出拋物線方程和直線方程，聯(lián)立得出，進而求出弦AB的長.【詳解】由知準線方程為，又準線過（-3，3），可得，；焦點坐標為，故直線方程為，和拋物線方程聯(lián)立，，得，故，又.故答案為：6；48.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）C是以點，為左右焦點的橢圓，（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的定義即可得到答案.（2）當垂直于軸時，，舍去.當不垂直于軸時，可設，再根據(jù)題意結(jié)合韋達定理求解即可.【小問1詳解】因為，，所以C是以點，為左右焦點的橢圓.于是，，故，因此C的方程為.【小問2詳解】當垂直于軸時，，，舍去.當不垂直于軸時，可設，代入可得.因為，設，，則，.因為，所以.同理.因此.由可得，，于是.根據(jù)橢圓定義可知，于是.18、（1）（2）見解析【解析】（1）由兩式相減得，所以（）因為等比，且，所以，所以故（2）由題設得，所以，所以，則，所以19、（1）；（2）或.【解析】（1）坐標表示出、，利用向量夾角的坐標表示求夾角余弦值；（2）坐標表示出k＋、k－2，利用向量垂直的坐標表示列方程求的值.【詳解】由題設，＝(1,1,0)，＝(－1,0,2)（1）cosθ＝，所以和的夾角余弦值為.（2）k＋＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1,k,2)，k－2＝(k＋2,k,－4)，又(k＋)⊥(k－2)，則(k－1,k,2)·(k＋2,k,－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝2k2＋k－10＝0，解得k＝－或2.20、（1）；（2）.【解析】（1）由題設知，設圓心，應用兩點距離公式列方程求參數(shù)a，進而確定圓心坐標、半徑，寫出圓C的方程；（2）利用兩點距離公式、切線的性質(zhì)可得、，再應用三角形面積公式求三角形PMN的面積.【小問1詳解】由已知，可設圓心，且，從而有，解得.所以圓心，半徑.所以，圓C的方程為.【小問2詳解】連接PC，CM，CN，MN，由（1）知：圓心，半徑.所以.又PM，PN是圓C的切線，所以，，則，，所以，所以.21、（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）【解析】（1）利用導數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間.（2）利用導數(shù)研究的單調(diào)性、極值，從而求得的值.【小問1詳解】由，得，令，得或；令，得.∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，.【小問2詳解】∵，∴.當時，；當時，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為.∴的極小值為，極大值為.當時，；當時，.又∵函數(shù)有且僅有2個零點，∴實數(shù)的值為.22、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由線面垂直的判斷定理證明平面PAB，再由線面垂直的性質(zhì)定理即可證明；（2）以A為原點，AB，AC，AP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，設，求出平面PCD的法向量的坐標，