一種多參數(shù)的分析小波及其在薄互層地震資料分析中的應(yīng)用

一種多參數(shù)的分析小波及其在薄互層地震資料分析中的應(yīng)用

1小波加以改進(jìn)及改進(jìn)小波變換有多種形式，通常包括連續(xù)、二進(jìn)制和離散小波變換。在小波轉(zhuǎn)換中，信息是高度冗余的，適合信號(hào)分析。在連續(xù)波轉(zhuǎn)換中，只需滿足允許條件，才能選擇小波函數(shù)，從而有很大的選擇小波函數(shù)的自由度。這項(xiàng)工作只涉及連續(xù)小波變換。眾所周知,信號(hào)的小波變換不僅取決于信號(hào)本身,而且也與所采用的分析小波有關(guān).因此,當(dāng)小波變換用于信號(hào)處理及屬性分析時(shí),恰當(dāng)?shù)剡x擇小波函數(shù)至關(guān)重要.小波函數(shù)的構(gòu)造,一直是很活躍的研究領(lǐng)域.Grossmannetal.詳細(xì)地研究了用高斯函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)構(gòu)造分析小波的方法,并給出了大量例子.Morlet小波具有最佳的聯(lián)合時(shí)-頻分辨率,在許多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用.然而,當(dāng)分析小波的調(diào)制頻率σ值較低時(shí)(小于5.33),Morlet小波的修正項(xiàng)不能忽略.盡管σ值較小時(shí)Morlet小波仍滿足容許條件,但它的時(shí)域局部化并不能令人滿意,即它的振幅譜由單峰變到多峰(σ值大時(shí)對(duì)應(yīng)的單脊變?yōu)樾〉摩抑祵?duì)應(yīng)的多脊).用包絡(luò)是多峰的分析小波作為基本小波對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析時(shí),會(huì)導(dǎo)致信號(hào)在多個(gè)位置上局部化,這就會(huì)在瞬時(shí)頻率和振幅測(cè)量中產(chǎn)生一些不期望的假象.為了克服上述缺點(diǎn),Harropetal.對(duì)Morlet小波加以改進(jìn)并提出了一種新的分析小波.高靜懷等研究了地震資料處理及屬性提取中分析小波的選擇問(wèn)題,得出:選擇能夠最佳匹配地震子波(BMSW小波)或待分析有效信號(hào)的函數(shù)作為基本小波,對(duì)于壓制噪聲是有利的.并給出了地震子波的模擬公式以及相應(yīng)的分析小波.BMSW小波用于瞬時(shí)頻率、瞬時(shí)帶寬等參數(shù)提取,取得了良好的效果.然而,與Morlet小波類似,這種小波也不能很好地分析含有頻率和振幅快速變化分量的信號(hào).第二部分給出了使用的小波變換定義及算法;第三部分通過(guò)修改模擬地震子波的公式,引入了一種新的分析小波(稱為三參數(shù)小波);第四部分我們研究了三參數(shù)小波的性質(zhì);第五部分以三參數(shù)小波為母小波,提出了一種利用地震資料研究薄互層沉積旋回以及局部結(jié)構(gòu)的新方法.2t小波變換的反變換首先介紹文中使用的小波變換定義及符號(hào).設(shè)ψ(t)為滿足容許條件的分析小波,即式中ω為角頻率,用a,b分別表示尺度及平移參數(shù),a,b∈R;且a≠0,R表示實(shí)數(shù)集合.對(duì)于任意給定的信號(hào)s(t)∈L2(R),t為時(shí)間,s(t)關(guān)于分析小波ψ(t)的小波變換定義為式中(*)表示取復(fù)共軛,L2表示平方可積函數(shù)空間,用ψ[b,a](t)=a1ψat-b表示小波族.對(duì)于每一個(gè)給定的尺度參數(shù)a,ψ[b,a](t)的主頻是指它的Fourier功率譜ψ[b,a](ω)2取極大值處的頻率.小波變換的反變換公式為給定一個(gè)時(shí)間序列s(n),采樣間隔為δt,n=0,1,…,N-1,N為采樣點(diǎn)數(shù).離散序列s(n)的連續(xù)小波變換定義為s(n)和伸縮及平移后的ψ(t)的內(nèi)積:(3)式的離散形式為這里,,aj=a02jδj,j=0,1,…,J,n,n′=0,1,…,N-1,J=(δj)-1lb(Nδta0).a0是最小分辨率對(duì)應(yīng)的尺度,其對(duì)應(yīng)的Fourier周期應(yīng)近似等于2δt,δj的選取依賴于小波函數(shù)在譜域的寬度.C′為常數(shù),與所選分析小波有關(guān).33參數(shù)小波3.13.小波的furing周期文獻(xiàn)給出了地震子波的模擬方法以及相應(yīng)的分析小波(MS小波).MS小波已被用于提取瞬時(shí)頻率,取得了好的結(jié)果.但當(dāng)?shù)卣鹱硬ㄝ^復(fù)雜時(shí),由于MS小波僅有兩個(gè)可調(diào)參數(shù),所以它不能很好地匹配地震子波或給定的有效信號(hào)(例如指定的反射波),這就限制了其應(yīng)用.因此,一種具有4個(gè)可調(diào)參數(shù)的新的分析小波被構(gòu)造出來(lái),使它能夠最佳的匹配地震子波(BMSW小波).模擬地震子波的公式如下其中,i=-1,A為地震子波的振幅,τ為能量衰減因子,β為能量延遲因子,σ為地震子波的調(diào)制頻率.函數(shù)w(t)不滿足容許條件.通過(guò)給w(t)加上一個(gè)小的修正項(xiàng),可以得到一類分析小波,即BMSW小波:為了書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便,用矢量Γ=(A,σ,τ,β)表示參變量A,σ,τ,β的一組取值,則(7a)式可表示為其中修正項(xiàng)為當(dāng)σ2(8τ)足夠大使得修正項(xiàng)可以忽略時(shí),BMSW小波的Fourier周期λ與尺度因子的對(duì)應(yīng)關(guān)系為當(dāng)Morlet小波及BMSW小波用于僅包含慢變頻率及振幅分量的信號(hào)時(shí),用大的σ2(8τ)值即可,這種情況下(7b)式中的第2項(xiàng)(即修正項(xiàng))可以略去.然而,如果把這類小波用于分析包含頻率及振幅都快速變化的分量的信號(hào),為了得到最佳的時(shí)間分辨率,同時(shí)還能夠使信號(hào)中的各種頻率分量分離開(kāi),就要求σ取較小的值.在這種情況下,修正項(xiàng)R(t;Γ)不能忽略.雖然BMSW小波在σ值較小時(shí)仍滿足容許條件,但其時(shí)間局部化性質(zhì)不令人滿意,即ψ(t)由單峰變?yōu)槎喾?使用具有多峰的分析小波對(duì)信號(hào)作小波變換,會(huì)導(dǎo)致信號(hào)關(guān)于多個(gè)不同位置局部化,這在瞬時(shí)頻率及振幅測(cè)量中,會(huì)產(chǎn)生假象.為此,下面借鑒Harrop等的工作,從(6)式出發(fā),發(fā)展一類新的分析小波-三參數(shù)小波.3.2a式為了使(6)式滿足容許條件,把(6)式改寫(xiě)為其中σ為分析小波調(diào)制頻率,(σ,τ,β∈R且σ,τ≥0).為了書(shū)寫(xiě)方便,用向量Λ=(σ,τ,β)記參數(shù)σ,τ,β集合,則ψ(t;σ,τ,β)可記為ψ(t;Λ),其他量類似.以向量的形式,(9a)式可簡(jiǎn)寫(xiě)為對(duì)(9b)式作Fourier變換,得到其傅里葉域形式ψ(ω;Λ)(詳細(xì)推導(dǎo)見(jiàn)附錄A):利用兩個(gè)條件:(i)容許條件和(ii)小波函數(shù)的歸一化條件,從而解得p(Λ),q(Λ)和k(Λ)如下(見(jiàn)附錄B):(9b)式(或其Fourier形式(10)式)就是三參數(shù)小波.下面討論三參數(shù)小波、改進(jìn)的Morlet小波和Morlet小波之間的關(guān)系.當(dāng)τ=0.5,β=0,Λ1=(σ,0.5,0),由(11)、(12)及(13)式得把上面三式代入(9b)式得此時(shí),三參數(shù)小波就回到了改進(jìn)的Morlet小波.當(dāng)σ>5.33,令Λ2=(σ>5.33,0.5,0),p(Λ2)和q(Λ2)都近似等于π-14,得到此即Morlet小波.因此,三參數(shù)小波包含了改進(jìn)的Morlet小波和Morlet小波.43參數(shù)中的小波性質(zhì)4.1小波域功率譜密度用小波變換進(jìn)行地震資料分析時(shí),常常需要找到對(duì)給定的a所對(duì)應(yīng)的三參數(shù)小波的主頻.根據(jù)Meyersetal.提出的方法,考察頻率為ω0的簡(jiǎn)諧波f(t)=eiω0t,對(duì)f(t)的兩邊作小波變換,其變換結(jié)果為信號(hào)f(t)的小波域功率譜為(19)式表明,對(duì)于簡(jiǎn)諧波來(lái)說(shuō),在任意一個(gè)時(shí)間點(diǎn)處,f(t)的小波變換能量譜與ψ(aω0)2二者的最大值處是一致的.若ψ(ω)具有對(duì)稱軸,在中心處(即平均頻率ω*)取極大值,則可得到尺度因子與小波主頻的關(guān)系式:式中f為Fourier頻率.在三參數(shù)小波中,若取β=0,ψ(ω)幾乎是對(duì)稱的,因此(20)式對(duì)三參數(shù)小波是成立的.下面計(jì)算三參數(shù)小波的平均頻率ω*,令β=0,根據(jù)定義,(21)式的等價(jià)形式為在(9b)式中令β=0,記Λ3=(σ,τ,0),容易計(jì)算出:把(23)和(24)代入(22)中,可解析地求出平均頻率(見(jiàn)附錄C):關(guān)于β≠0情況,這里不加討論.4.2小波與molret小波假設(shè)σ,τ,β構(gòu)成一個(gè)矢量Λ4,在該矢量中參數(shù)滿足:σ2(4τ)值足夠大,β為實(shí)數(shù).由(12)及(13)式易知,p(Λ4)和q(Λ4)都近似等于,這時(shí)(10)式簡(jiǎn)化為(詳見(jiàn)附錄D)由(26)式可見(jiàn),當(dāng)ω<0時(shí),ψ(ω,Λ4)≈0,因此可近似為解析小波.在Λ4中令β=0,τ=0.5時(shí),這時(shí)參數(shù)集合記為Λ′4,從(26)式,可得到Morlet小波的頻率域表達(dá)式:注意到由于σ2(4τ)值足夠大時(shí),σ2值足夠大,Morlet小波就近似為解析小波.當(dāng)β≠0時(shí),(26)式與Morlet小波有本質(zhì)區(qū)別.對(duì)(26)式作逆Fourier變換得:4.3值/頻率域分布為了在時(shí)-頻域比較三參數(shù)小波與BMSW小波,研究幾個(gè)典型例子.取三參數(shù)小波中Λ1=(0.5,2,0),Λ2=(3,2,0),Λ3=(6,0.5,0);取BMSW小波中Γ1=(1,0.5,2,0),Γ2=(1,3,2,0),Γ3=(1,6,0.5,0),生成了三個(gè)三參數(shù)小波及三個(gè)BMSW小波(見(jiàn)圖1).在圖1中,畫(huà)出了它們的模(實(shí)線)、實(shí)部(點(diǎn)線)及虛部(虛線).由圖1可見(jiàn),當(dāng)σ<5.33時(shí),三參數(shù)小波的模僅有一個(gè)峰(見(jiàn)圖1(a,e)),而B(niǎo)MSW小波的模卻有多個(gè)峰(見(jiàn)圖1(b,f));再?gòu)腇ourier振幅譜來(lái)看,三參數(shù)小波僅有一個(gè)峰(負(fù)頻率能量幾乎為零,見(jiàn)圖1(c,g)),而B(niǎo)MSW小波在頻率域有多個(gè)峰值,或旁瓣較大(見(jiàn)圖1(d,h)).然而,當(dāng)σ值較大時(shí),二者在時(shí)-頻域均有良好的局部化特性,即在時(shí)間和頻率軸上均為單峰;當(dāng)σ值較大且τ=0.5時(shí),二者都變?yōu)镸orlet小波,且修正項(xiàng)可略去(見(jiàn)圖1(i,j)).為了比較三參數(shù)小波與BMSW小波在分析包含頻率與振幅快速變化分量的信號(hào)時(shí)的性能,把二者用于分析薄互層地震資料.取Λ=(1,0.5,0),Γ=(1,1,0.5,0).圖2(a,b)分別畫(huà)出了兩種小波的波形,它們的Fourier譜分別見(jiàn)圖2(c,d).圖2e為薄互層模型的反射系數(shù)序列,2f為對(duì)應(yīng)的合成地震記錄,其中地震子波采用50Hz的Ricker子波.2g為由三參數(shù)小波得到的時(shí)-頻域能量分布圖.在薄互層時(shí)頻分析中,調(diào)諧頻率隨著層的變薄而升高,反之依然.下文稱這個(gè)規(guī)律為薄互層的時(shí)-頻響應(yīng)特性.由于三參數(shù)小波有良好的時(shí)-頻局部化特性,其時(shí)-頻平面上只有一個(gè)主能量帶(見(jiàn)圖2g),主能量帶的時(shí)間中心在0.250s處(對(duì)應(yīng)最厚層,見(jiàn)圖2e),沿著主能量帶,由中心向兩邊,隨著層的變薄,中心頻率(指在給定時(shí)刻主能量帶中的能量最大值對(duì)應(yīng)的頻率)變高.這與薄互層的時(shí)-頻響應(yīng)特性是一致的.另外,圖中垂直于時(shí)間軸的錐形條紋刻畫(huà)了薄互層內(nèi)部的局部結(jié)構(gòu).對(duì)于BMSW小波,難以建立尺度參數(shù)與主頻的對(duì)應(yīng)關(guān)系,故在時(shí)間-尺度域研究問(wèn)題.此處畫(huà)出了圖2f的時(shí)間-尺度域能量分布(圖2h).由于BMSW小波在頻率軸上有三個(gè)中心(兩個(gè)在頻率正半軸,一個(gè)在負(fù)半軸,見(jiàn)圖2d),在時(shí)間-尺度域上形成三個(gè)能量帶(圖2h中未畫(huà)出負(fù)頻率半平面),這種復(fù)雜的時(shí)間-尺度域能量分布,模糊了薄互層的時(shí)-頻響應(yīng)特性,容易導(dǎo)致對(duì)地下地質(zhì)結(jié)構(gòu)的錯(cuò)誤解釋.由此看出,擁有三個(gè)可選參數(shù)的三參數(shù)小波用于像薄互層地震數(shù)據(jù)這樣的信號(hào)(含有頻率及振幅快速變化的分量)分析時(shí),是合適的,而B(niǎo)MSW小波(包括Morlet小波)卻不能做到這一點(diǎn).4.4=0情況下三參數(shù)小波的性質(zhì)及應(yīng)用到目前為止,還沒(méi)有考慮β對(duì)三參數(shù)小波的影響.顯然,當(dāng)σ和τ固定時(shí),不同的β對(duì)應(yīng)不同的三參數(shù)小波.例如,取σ=1,τ=0.5,β=0.2,對(duì)應(yīng)的三參數(shù)小波的模及Fourier振幅譜見(jiàn)圖3(a,b).把圖2(a,c)與圖3(a,b)加以對(duì)照比較,很明顯,前者的模是對(duì)稱的,而后者的模卻不對(duì)稱.它們的Fourier振幅譜差別不大.關(guān)于β≠0情況下三參數(shù)小波的性質(zhì)及應(yīng)用,有待進(jìn)一步工作.5薄互層局部結(jié)構(gòu)的局部研究當(dāng)小波變換用于分析薄互層沉積旋回以及局部結(jié)構(gòu)時(shí),恰當(dāng)?shù)剡x擇分析小波是至關(guān)重要的.脊算法能夠提高時(shí)-頻平面內(nèi)有關(guān)時(shí)-頻解釋結(jié)果的可讀性.以Morlet小波(即令公式(9b)中的Λ1=(6,0.5,0))為分析小波,得到了圖2f在時(shí)-頻域的能量分布(見(jiàn)圖4a).因?yàn)镸orlet小波有較大的σ值(σ=6),所以它對(duì)于低頻分量來(lái)說(shuō)時(shí)間分辨率較低.因此,主能量帶的中心頻率(或是用脊算法提取的瞬時(shí)頻率)對(duì)于地層厚度的變化不敏感,幾乎不能揭示薄互層的時(shí)-頻特性(見(jiàn)圖4(a,c)).為了在時(shí)-頻域中精細(xì)地分析薄互層地震資料,提出一種以三參數(shù)小波為分析小波的方法.該方法既能刻畫(huà)薄互層的沉積旋回,又能研究薄互層的局部結(jié)構(gòu).此方法由兩步組成,現(xiàn)以圖2f為例闡述這一方法.步驟1分析沉積旋回固定β和τ,通過(guò)選擇σ,能夠?qū)Ρ』訒r(shí)-頻特性的能量分布特性進(jìn)行詳細(xì)刻畫(huà).為了提高時(shí)間分辨率,較小的σ值是合適的.因此,令(9b)式中的Λ2=(3,0.5,0),能夠得到圖2f所對(duì)應(yīng)的能量分布以及用脊算法提取的瞬時(shí)頻率(見(jiàn)圖4(b,d)).在圖4(c,d)中,標(biāo)記相鄰兩個(gè)層的時(shí)間厚度分別為Δt1和Δt2(Δt1<Δt2),以及對(duì)應(yīng)于這兩個(gè)層中心位置處的頻率差依次為Δf1和Δf2,顯然Δf2>Δf1.很明顯,圖4b中的主能量帶的中心頻率(或圖4d中用脊算法提取的瞬時(shí)頻率)對(duì)地層厚度的變化更敏感,因而能夠更好地揭示薄互層的時(shí)-頻特性.步驟2研究薄互層局部結(jié)構(gòu)對(duì)厚層(與地震波波長(zhǎng)相比)來(lái)說(shuō),當(dāng)?shù)卣鸩ū环纸獾叫〔ㄓ驎r(shí),相關(guān)的錐形條紋的波谷應(yīng)該指向反射界面的位置,并且它的能量分布與反射系數(shù)序列以及地震子波有關(guān).對(duì)于薄互層來(lái)說(shuō),由于受地震分辨率的限制,接收到的反射波是一個(gè)復(fù)合波,它是由幾個(gè)臨近反射界面聯(lián)合產(chǎn)生的.像厚層一樣,這個(gè)復(fù)合波也能形成錐形條紋.在這種情況下,它的波谷也許不再能對(duì)準(zhǔn)任何一個(gè)反射界面,而是代表著“某種平均”,該錐形條紋的能量分布與層厚以及巖性組合有關(guān).為了提高時(shí)間分辨率,固定β和σ,通過(guò)增大τ值,錐形條紋變得越來(lái)越清晰,使得其能夠清楚地反映薄互層的局部結(jié)構(gòu).令(9b)式中的Λ3=(3,1,0),Λ4=(3,5,0),相應(yīng)的能量分布分別繪于圖4(e,f).從圖中可以看出,圖4f由于取了較大的τ值,其在研究薄互層局部結(jié)構(gòu)方面比其他幾幅圖更精細(xì).為了方便比較,在圖4(g＿3)中畫(huà)出了圖4f中f=300Hz的頻率分量,而且相應(yīng)薄互層模型的反射系數(shù)序列以及合成記錄分別在圖4(g＿1),(g＿2)中給出.結(jié)果表明,錐形條紋的波谷準(zhǔn)確地指向了反射界面的位置,例如圖4(g＿3)中反射界面A＿A和B＿B所示.6結(jié)果與結(jié)論本文提出了一種新的由三個(gè)參數(shù)決定的分析小波(稱為三參數(shù)小波).三參數(shù)小波有以下優(yōu)點(diǎn):(i)Morlet小波和改進(jìn)的Morlet小波是其特例.當(dāng)σ2(4τ)值足夠大使得e-4σ2τ≈0時(shí),三參數(shù)小波就等價(jià)于BMSW小波;(ii)三參數(shù)小波的一個(gè)很重要的特性在于,它的模對(duì)于所有的σ2(4τ)值都只有一個(gè)峰值,而B(niǎo)MSW小波當(dāng)σ2(4τ)值比較小時(shí)其峰值超過(guò)一個(gè).因此,三參數(shù)小波在時(shí)-頻域有比較理想的局部化性質(zhì),這使得三參數(shù)小波不僅適合于分析包含慢變頻率和幅度分量的信號(hào),而且也適合于包含快變分量的信號(hào);(iii)當(dāng)σ2(4τ)值較大時(shí),從三參數(shù)小波中,得到了一種新的有三個(gè)可選參數(shù)的近似解析小波.以三參數(shù)小波為分析小波,提出了一種研究薄互層地震資料的方法.該方法能夠刻畫(huà)薄互層的沉積旋回,進(jìn)而能研究薄互層的局部結(jié)構(gòu).通過(guò)合成數(shù)據(jù)驗(yàn)證了該方法的有效性.這種方法可能會(huì)成為一種用于薄互層油氣勘探中非常