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云南省開遠(yuǎn)一中2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知,為雙曲線的兩個焦點,點P在雙曲線上且滿足,那么點P到x軸的距離為()A. B.C. D.2.一條光線從點射出,經(jīng)軸反射后與圓相切,則反射光線所在直線的斜率為()A.或 B.或C.或 D.或3.已知向量,,且與互相平行,則的值為()A.-2 B.C. D.4.焦點坐標(biāo)為,(0,4),且長半軸的橢圓方程為()A. B.C. D.5.甲,乙、丙、丁、戊共5人隨機(jī)地排成一行,則甲、乙相鄰,丙、丁不相鄰的概率為()A. B.C. D.6.據(jù)記載,歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的,該公式被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”特別是當(dāng)時,得到一個令人著迷的優(yōu)美恒等式,將數(shù)學(xué)中五個重要的數(shù)(自然對數(shù)的底,圓周率,虛數(shù)單位,自然數(shù)的單位和零元)聯(lián)系到了一起,有些數(shù)學(xué)家評價它是“最完美的數(shù)學(xué)公式”.根據(jù)歐拉公式,復(fù)數(shù)的虛部()A. B.C. D.7.橢圓的一個焦點坐標(biāo)為,則實數(shù)m的值為()A.2 B.4C. D.8.?dāng)?shù)列1,-3,5,-7,9,…的一個通項公式為A. B.C. D.9.有6個相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取兩次,每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是6”,丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是5”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”,則下列判斷正確的是()A.甲與丙是互斥事件 B.乙與丙是對立事件C.甲與丁是對立事件 D.丙與丁是互斥事件10.已知為偶函數(shù),且當(dāng)時,,其中為的導(dǎo)數(shù),則不等式的解集為()A. B.C. D.11.已知F1(-5,0),F(xiàn)2(5,0),動點P滿足|PF1|-|PF2|=2a,當(dāng)a為3和5時,點P的軌跡分別為()A.雙曲線和一條直線 B.雙曲線和一條射線C.雙曲線的一支和一條直線 D.雙曲線的一支和一條射線12.已知集合,集合或,是實數(shù)集,則()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在空間直角坐標(biāo)系中,已知向量,則的值為__________.14.已知圓錐的高為,體積為,則以該圓錐的母線為半徑的球的表面積為______________.15.函數(shù)的圖象在點處的切線方程為___________.16.已知橢圓,為其右焦點,過垂直于軸的直線與橢圓相交所得的弦長為,則橢圓的方程為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列的前項和,數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,其中,且成等差數(shù)列.(1)求的通項公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項和.18.(12分)已知等差數(shù)列中,,.(1)求的通項公式;(2)若,求數(shù)列的前n項和.19.(12分)設(shè):實數(shù)滿足,:實數(shù)滿足(1)若,且為真,求實數(shù)的取值范圍;(2)若是的必要不充分條件,求實數(shù)的取值范圍20.(12分)已知為等差數(shù)列,前n項和為,數(shù)列是首項為1的等比數(shù)列,,,.(1)求和的通項公式;(2)求數(shù)列的前n項和.21.(12分)年世界人工智能大會已于年月在上海徐匯西岸舉行,某高校的志愿者服務(wù)小組受大會展示項目的啟發(fā),會后決定開發(fā)一款“貓捉老鼠”的游戲.如圖所示,、兩個信號源相距米,是的中點,過點的直線與直線的夾角為,機(jī)器貓在直線上運(yùn)動,機(jī)器鼠的運(yùn)動軌跡始終滿足:接收到點的信號比接收到點的信號晚秒(注:信號每秒傳播米).在時刻時,測得機(jī)器鼠距離點為米.(1)以為原點,直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖),求時刻時機(jī)器鼠所在位置的坐標(biāo);(2)游戲設(shè)定:機(jī)器鼠在距離直線不超過米的區(qū)域運(yùn)動時,有“被抓”的風(fēng)險.如果機(jī)器鼠保持目前的運(yùn)動軌跡不變,是否有“被抓”風(fēng)險?22.(10分)如圖甲,在直角三角形中,已知,,,D,E分別是的中點.將沿折起,使點A到達(dá)點的位置,且,連接,得到如圖乙所示的四棱錐,M為線段上一點.(1)證明:平面平面;(2)過B,C,M三點的平面與線段A'E相交于點N,從下列三個條件中選擇一個作為已知條件,求直線DN與平面A'BC所成角的正弦值.①;②直線與所成角的大小為;③三棱錐的體積是三棱錐體積的注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】設(shè),由雙曲線的性質(zhì)可得的值,再由,根據(jù)勾股定理可得的值,進(jìn)而求得,最后利用等面積法,即可求解【詳解】設(shè),,為雙曲線的兩個焦點,設(shè)焦距為,,點P在雙曲線上,,,,,,的面積為,利用等面積法,設(shè)的高為,則為點P到x軸的距離,則,故選:D【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì),難度不大.2、D【解析】由光的反射原理知,反射光線的反向延長線必過點,設(shè)反射光線所在直線的斜率為,則反射光線所在直線方程為:,即:.又因為光線與圓相切,所以,,整理:,解得:,或,故選D考點:1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;2、直線的方程;3、直線與圓的位置關(guān)系.3、A【解析】應(yīng)用空間向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算求、的坐標(biāo),根據(jù)空間向量平行有,即可求的值.【詳解】由題設(shè),,,∵與互相平行,∴且,則,可得.故選:A4、B【解析】根據(jù)題意可知,即可由求出,再根據(jù)焦點位置得出橢圓方程【詳解】因為,所以,而焦點在軸上,所以橢圓方程為故選:B5、A【解析】先求出所有的基本事件,再求出甲、乙相鄰,丙、丁不相鄰的基本事件,根據(jù)古典概型的概率公式求解即可【詳解】甲,乙、丙、丁、戊共5人隨機(jī)地排成一行有種方法,甲、乙相鄰,丙、丁不相鄰的排法為先將甲、乙捆綁在一起,再與戊進(jìn)行排列,然后丙、丁從3個空中選2個空插入,則共有種方法,所以甲、乙相鄰,丙、丁不相鄰的概率為,故選:A6、D【解析】由歐拉公式的定義和復(fù)數(shù)的概念進(jìn)行求解.【詳解】由題意,得,則復(fù)數(shù)的虛部為.故選:D.7、C【解析】由焦點坐標(biāo)得到,求解即可.【詳解】根據(jù)焦點坐標(biāo)可知,橢圓焦點在y軸上,所以有,解得故選:C.8、C【解析】觀察,奇偶相間排列,偶數(shù)位置為負(fù),所以為,數(shù)字是奇數(shù),滿足2n-1,所以可求得通項公式.【詳解】由符號來看,奇數(shù)項為正,偶數(shù)項為負(fù),所以符號滿足,由數(shù)值1,3,5,7,9…顯然滿足奇數(shù),所以滿足2n-1,所以通項公式為,選C.【點睛】本題考查觀察法求數(shù)列的通項公式,解題的關(guān)鍵是培養(yǎng)對數(shù)字的敏銳性,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】根據(jù)互斥事件和對立事件的定義判斷【詳解】當(dāng)?shù)谝淮稳〕?,第二次取出4時,甲丙同時發(fā)生,不互斥不對立;第二次取出的球的數(shù)字是6與兩次取出的球的數(shù)字之和是5不可能同時發(fā)生,但可以同時不發(fā)生,不對立,當(dāng)?shù)谝淮稳〕?,第二次取出3時,甲與丁同時發(fā)生,不互斥不對立,兩次取出的球的數(shù)字之和是5與兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)不可以同時發(fā)生,但可以同時不發(fā)生,因此是互斥不對立故選:D10、A【解析】根據(jù)已知不等式和要求解的不等式特征,構(gòu)造函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為解不等式.通過已知條件研究g(x)的奇偶性和單調(diào)性即可解該不等式.【詳解】令,則根據(jù)題意可知,,∴g(x)是奇函數(shù),∵,∴當(dāng)時,,單調(diào)遞減,∵g(x)是奇函數(shù),g(0)=0,∴g(x)在R上單調(diào)遞減,由不等式得,.故選:A.11、D【解析】由雙曲線定義結(jié)合參數(shù)a的取值分類討論而得.【詳解】依題意得,當(dāng)時,,且,點P的軌跡為雙曲線的右支;當(dāng)時,,故點P的軌跡為一條射線.故選D.故選:D12、A【解析】先化簡集合,再由集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算求解即可【詳解】,或,故故選:A二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】由題知,進(jìn)而根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】解:因為向量,所以,所以故答案為:14、【解析】利用圓錐體積公式可求得圓錐底面半徑,利用勾股定理可得母線長;根據(jù)球的表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為,母線長為,圓錐體積,,,以為半徑的球的表面積.故答案為:.15、【解析】求導(dǎo)得到,計算,根據(jù)點斜式可得到切線方程.【詳解】因此,則,故,又點在函數(shù)的圖象上,故切線方程為:,即.故答案為:16、##【解析】將代入橢圓的方程,可得出,可得出關(guān)于的等式,求出的值,進(jìn)而可求得的值,由此可得出橢圓的方程.【詳解】將代入橢圓的方程可得,可得,由已知可得,整理可得,,解得,所以,,因此,橢圓的方程為.故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),;(2).【解析】(1)利用求出數(shù)列的通項,再求出等比數(shù)列的公比即得解;(2)求出,再利用錯位相減法求解.【小問1詳解】解:,.當(dāng)時,,適合..設(shè)等比數(shù)列公比為,,,即,或(舍去),.【小問2詳解】解:,,,上述兩式相減,得,所以所以.18、(1);(2).【解析】(1)先設(shè)等差數(shù)列的公差為,由題中條件,列出方程求出首項和公差,即可得出通項公式;(2)根據(jù)(1)的結(jié)果,得到,再由等比數(shù)列的求和公式,即可得出結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,因為,,所以,解得,所以;(2)由(1)可得,,即數(shù)列為等比數(shù)列,所以數(shù)列的前n項和.19、(1)(2)【解析】(1)根據(jù)二次不等式與分式不等式的求解方法求得命題p,q為真時實數(shù)x的取值范圍,再求交集即可;(2)先求得,再根據(jù)是的必要不充分條件可得,再根據(jù)集合包含關(guān)系,根據(jù)區(qū)間端點列不等式求解即可【小問1詳解】當(dāng)時,,解得,即p為真時,實數(shù)x的取值范圍為.由,解得,即q為真時,實數(shù)x的取值范圍為若為真,則,解得實數(shù)x的取值范圍為【小問2詳解】若p是q的必要不充分條件,則且設(shè),,則,又由,得,因為,則,有,解得因此a的取值范圍為20、(1)的通項公式為,的通項公式為;(2).【解析】(1)用基本量表示題干中的量,聯(lián)立求解即可;(2)由,,用乘公比錯位相減法求和即可.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為q.由已知,得,而,所以,解得,所以.由得.①,由得.②,聯(lián)立①②解得,所以.故的通項公式為,的通項公式為.(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為,由,得.,,上述兩式相減,得,所以,即.21、(1);(2)沒有.【解析】(1)設(shè)機(jī)器鼠位置為點,由題意可得,即,可得的軌跡為以、為焦點的雙曲線的右支,分析取值,即得解雙曲線的方程,由可得P點坐標(biāo).(2)轉(zhuǎn)化機(jī)器鼠與直線最近的距離為與直線平行的直線與雙曲線相切時,平行線間的距離,設(shè)的方程為,與雙曲線聯(lián)立,求出的值,再利用平行線間的距離公式,即得解【詳解】(1)設(shè)機(jī)器鼠位置為點,、,由題意可得,即,可得的軌跡為以、為焦點的雙曲線的右支,設(shè)其方程為:(,),則、、,則的軌跡方程為:(),時刻時,,即,可得機(jī)器鼠所在位置的坐標(biāo)為;(2)由題意,直線,設(shè)直線的平行線的方程為,聯(lián)立,可得:,,解得,又,∴,∴,即:與雙曲線的右支相切,切點即為雙曲線右支上距離最近的點,此時與的距離為,即機(jī)器鼠距離最小的距離為,則機(jī)器鼠保持目前運(yùn)動軌跡不變,沒有“被抓”的風(fēng)險.22、(1)證明見解析(2)【解析】(1)由線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理可得證;(2)分別選①,②,③可求得為的中點,再以為坐標(biāo)原點,向量的方向分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系.利用空間向量求得所求的線面角
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