半線性混合型發(fā)展方程初值問題的sadowski非緊性測度

半線性混合型發(fā)展方程初值問題的sadowski非緊性測度

0有一個(gè)半線性或無形性的半線性或多次性變隨性問題的mild解的存在性假設(shè)e是banach空間，考慮到e中半線性混合遺傳方程的初值問題。{u′(t)+Au(t)=f(t,u(t),(Τu)(t),(Su)(t)),t∈Ju(0)=x0∈E,(1)其中A:D(A)→E為稠定閉線性算子,-A生成E中C0-半群T(t)(t≥0),(Tu)(t)=∫t0k(t,s)u(s)ds,(Su)(t)=∫a0h(t,s)u(s)ds,k∈C(D0,R+),h∈C(D,R+),D0={(t,s)∈R2|0≤s≤t≤a},D={(t,s)∈R2|0≤s,t≤a},J=[0,a].該問題是含有時(shí)間的偏微分方程或偏微分-積分方程的初邊值問題的抽象模型.許多數(shù)學(xué)物理方程,如熱傳導(dǎo)方程、反應(yīng)擴(kuò)散方程等都可以轉(zhuǎn)化為適當(dāng)函數(shù)空間中方程(1)或類似的形式,參見文獻(xiàn).最近,有很多文獻(xiàn)研究了這種方程或類似形式的方程的mild解的存在性,如文獻(xiàn)].文獻(xiàn)利用Sadovskii不動(dòng)點(diǎn)定理研究了半線性發(fā)展方程初值問題{u′(t)+Au(t)=f(t,u(t)),t∈J=[0,∞)?u(0)=x0∈E,(2)的mild解的存在性.我們注意到初值問題(2)在有限區(qū)間上是本文所討論的初值問題(1)的特殊情形.最近,文獻(xiàn)利用半序Banach空間中的錐理論,通過建立新的不動(dòng)點(diǎn)定理,在不要求存在上下解、緊型及連續(xù)性條件下得到了下面的半線性混合型發(fā)展方程初值問題{u′(t)+Au(t)=f(t,u(t),∫t0k(t,s)g1(s,u(s))ds,∫a0h(t,s)g2(s,u(s))ds),t∈J,u(0)=x0∈E,(3)的mild解的存在性.由于∫t0k(t,s)g1(s,u(s))ds和∫a0h(t,s)g2(s,u(s))ds形式更加一般,因而不能直接利用非緊性測度的有關(guān)性質(zhì)及Sadovskii不動(dòng)點(diǎn)定理來討論初值問題(3).受上述文獻(xiàn)的啟發(fā),本文將利用Sadovskii不動(dòng)點(diǎn)定理來討論初值問題(1)的mild解的存在性.1u3000eb3e-t1-t3-b-bs1-bs1-bs1-bs1-bs1-b-bs1-bs1-b本文總假設(shè)E為實(shí)Banach空間,記C(J,E)為定義于J取值于E的全體連續(xù)抽象函數(shù)按范數(shù)∥u∥C=maxt∈J∥u(t)∥所構(gòu)成的Banach空間.對于E中任何有界集D,α(D)表示集D的Kuratowski非緊性測度.仍用α(·)來表示C(J,E)中有界集的非緊性測度.有關(guān)Kuratowski非緊性測度的定義及基本性質(zhì)可參見文獻(xiàn).定義1.1設(shè)D?E,算子A:D→E稱為凝聚映像,如果A:D→E連續(xù)有界,并且對D中的任何非相對緊的有界集S,有α(A(S))<α(S).關(guān)于凝聚映像,有下面的著名的Sadovskii不動(dòng)點(diǎn)定理.引理1.1設(shè)D是E中的有界閉凸集,A:D→D為凝聚映像,則A在D中必有不動(dòng)點(diǎn).下面給出非緊性測度的一些重要性質(zhì).引理1.2設(shè)B是C(J,E)中的有界等度連續(xù)集,則α(B)=maxt∈Jα(B(t)).引理1.3設(shè)B是C(J,E)中的有界等度連續(xù)集,則m(t)=α(B(t))在J上連續(xù),且α(∫JB(s)ds)≤∫Jα(B(s))ds.引理1.4設(shè)B是C(J,E)中有界等度連續(xù)集,則ˉcoB是C(J,E)中有界等度連續(xù)集.引理1.5設(shè)對任何R>0,fJ×BR×BR×BR(其中BR={u∈E:‖u‖≤R})上有界且一致連續(xù),B是C(J,E)中有界等度連續(xù)集,-A生成的C0-半群T(t)(t≥0)是等度連續(xù)半群,則{T(t-s)f(s,u(s)),(Tu)(s),(Su)(s)):u∈B}(t≥s,t,s∈J)是C(J,E)中的等度連續(xù)集.證明:由于B是C(J,E)中有界等度連續(xù)集,及k和h的一致連續(xù)性知,TB,SB都是C(J,E)中的等度連續(xù)有界集,從而?R0>0,對?t∈J,?u∈B,有(t,u(t),(Tu)(t),(Su)(t))∈J×BR0×BR0×BR0.對?ε>0,由f在J×BR0×BR0×BR0上一致連續(xù)知,?η1>0,當(dāng)(ti,ui,vi,wi)∈J×BR0×BR0×BR0,i=1,2,|t1-t2|<η1,‖u1-u2‖<η1,‖v1-v2‖<η1,‖w1-w2‖<η1時(shí),有∥f(t1,u1,v1,w1)-f(t2,u2,v2,w2)∥＜ε2Μ(4)其中M=sup{‖T(t)‖:t∈J}.另一方面,對上述η1>0,由B,TB和SB的等度連續(xù)性知?δ,0<δ<η,當(dāng)t1,t2∈J,|t1-t2|<δ時(shí),對?u∈B,有‖u(t1)-u(t2)‖<η1,‖T(u)(t1)-(Tu)(t2)‖<η1,‖(Su)(t1)-(Su)(t2)‖η1.再由T(t)按算子范數(shù)連續(xù)知,存在η2>0,使得當(dāng)t,si∈J,t≥si,(i=1,2),|s1-s2|<η2.其中M0=sup{‖f(t,u(t),(Tu)(t),(Su)(t))‖:t∈J,u∈B}令η=min{η1,η2},由(4),(5)式,對?u∈B,有∥Τ(t-s1)f(s1,u(s1),(Τu)(s1),(Su)(s1))-Τ(t-s2)f(s2,u(s2),(Τu)(s2),(Su)(s2))∥≤∥Τ(t-s1)-Τ(t-s2)∥×∥f(s1,u(s1),(Τu)(s1),(Su)(s1))∥+∥Τ(t-s2)∥?∥f(s1,u(s1),(Τu)(s1),(Su)(s1))-f(s2,u(s2),(Τu)(s2),(Su)(s2))∥≤ε2Μ0Μ0+ε2ΜΜ=ε引理獲證.2配裝qbr#本節(jié)利用Sadovskii不動(dòng)點(diǎn)定理證明初值問題(1)的mild解的存在性.首先引入一些記號.任給R>0,記BR={u∈E:‖u‖≤R}.令k0=max{k(t,s):(t,s)∈D0},h0=max{h(t,s):(t,s)∈D},ΜR=sup{∥f(t,u,v,w∥|(t,u,v,w)∈J×BR×BR×BR}(6)我們給出初值問題(1)的mild解的定義(參見文獻(xiàn)).若u∈C(J,E)滿足積分方程則稱u為初值問題(1)在J上的mild解.下面給出本文的主要結(jié)果.定理2.1設(shè)-A生成的C0-半群T(t)(t≥0)是等度連續(xù)半群.若f滿足:(H1)對任何R>0,f在J×BR×BR×BR上一致連續(xù),且其中M=sup{‖T(t)‖:t∈J},MR由式(6)定義,a0=max{1,ak0,ah0}.(H2)存在常數(shù)Li>0,使得對C(J,E)中任何等度連續(xù)有界集Di,i=1,2,3,以及t∈J,有并且Li>0,i=1,2,3,滿足aM(L1+ak0L2+ah0L3)<1(9)則初值問題(1)在C(J,E)中存在mild解.證明定義算子Q:C(J,E)→C(J,E)如下:(Qu)(t)=T(t)x0+∫t0T(t-s)·f(s,u(s),(Tu)(s),(Su)(s))ds,t∈J(10)則(1)在J上的mild解等價(jià)于算子Q的不動(dòng)點(diǎn).由f在J×BR×BR×BR上一致連續(xù)知,Q:C(J,E)→C(J,E)連續(xù)有界.再由條件(H1),存在0＜r＜1aa0Μ及R0>0,使得對任何R≥aR0,有MR<rR.令R*=max{R0,M‖x0‖(1-aa0rM)-1},BR*={u∈C(J,E):‖u‖C≤R*}.那么對?u∈BR*,有‖u‖C≤R*≤a0R*,‖Tu‖C≤ak0‖u‖C≤ak0R*≤a0R*,‖Su‖C≤ah0‖u‖C≤ah0R*≤a0R*.于是由Q的定義,即(10)式,有這表明Q:BR*→BR*連續(xù)有界.下證Q(BR*)?C(J,E)等度連續(xù).事實(shí)上,對任何u∈Q(BR*),t1,t2∈J,t2≥t1,有因?yàn)門(t)x0在J上連續(xù),從而一致連續(xù).而T(t)按算子范數(shù)連續(xù),于是當(dāng)t2-t1→0時(shí),由Lebesgue控制收斂定理,式(12)右端第二項(xiàng)趨于零.因此,當(dāng)t2-t1→0時(shí),式(12)右端趨于零,故Q(BR*