期末模擬測試卷02能力提升卷（考試范圍選擇性必修第一二冊(cè)）（解析版）

2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末測試（考試范圍：選擇性必修第一、二冊(cè)）能力提升卷滿分150分考試時(shí)間120分鐘一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知空間三點(diǎn)，，，若向量與的夾角為60°，則實(shí)數(shù)【】A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】直接由空間向量的夾角公式計(jì)算即可【詳解】，，，，由題意有即，整理得，解得故選：B2．已知直線過定點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為【】A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)直線方程得到定點(diǎn)A的坐標(biāo)，設(shè)其關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，列出方程組，解之即可.【詳解】直線即，故，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為．則解得．點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為．故選：A．3．已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為【】A．16 B．14 C．12 D．10【答案】A【詳解】設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立方程，得，∴，同理直線與拋物線的交點(diǎn)滿足，由拋物線定義可知，當(dāng)且僅當(dāng)（或）時(shí)，取等號(hào).4．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若，則數(shù)列的最大項(xiàng)為【】A．第5項(xiàng) B．第6項(xiàng) C．第7項(xiàng) D．第8項(xiàng)【答案】D【分析】由先求出，從而得出，由討論出其單調(diào)性，從而得出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，；由，當(dāng)時(shí)，，兩式相減，可得，解得，當(dāng)時(shí)，也符合該式，故．所以由，解得；又，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，故，因此最大項(xiàng)為，故選：D．5．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則【】A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由又，可得公差，從而可得結(jié)果.【詳解】是等差數(shù)列又，∴公差，，故選C．6．若函數(shù)，則的值為【】A．0 B． C． D．【答案】B【解析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，采用賦值的方式計(jì)算出的結(jié)果，由此計(jì)算出的值.【詳解】因?yàn)?，所以令，則，所以，則，故選：B.7．設(shè)函數(shù)，若是函數(shù)是極大值點(diǎn)，則函數(shù)的極小值為【】A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的極大值點(diǎn)為求出參數(shù)的值，然后再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極小值即可．【詳解】∵，∴，∵是函數(shù)的極大值點(diǎn)，∴，解得，∴，∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；∴當(dāng)時(shí)，有極小值，且極小值為．故選A．8．設(shè)函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)，使得，則的取值范圍是【】A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，，問題轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)使得滿足，求導(dǎo)可得出函數(shù)的極值，數(shù)形結(jié)合可得且，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，，由題意知，函數(shù)在直線下方的圖象中只有一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為整數(shù)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)的最小值為.又，.直線恒過定點(diǎn)且斜率為，故且，解得，故選D.二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9．在長方體中，，，動(dòng)點(diǎn)在體對(duì)角線上（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有【】A．當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，為銳角B．存在點(diǎn)，使得平面C．的最小值D．頂點(diǎn)到平面的最大距離為【答案】ABD【分析】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，根據(jù)判斷得符號(hào)即可判斷A；當(dāng)平面，則，則有，求出，即可判斷B；當(dāng)時(shí)，取得最小值，結(jié)合B即可判斷C；利用向量法求出點(diǎn)到平面的距離，分析即可判斷D.【詳解】解：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則，故，則，，對(duì)于A，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，則，，則，，所以，所以為銳角，故A正確；當(dāng)平面，因?yàn)槠矫妫?，則，解得，故存在點(diǎn)，使得平面，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，取得最小值，由B得，此時(shí)，則，，所以，即的最小值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，設(shè)平面的法向量，則有，可取，則點(diǎn)到平面的距離為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為0，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以點(diǎn)到平面的最大距離為，故D正確.故選：ABD.10．已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)、，則【】A．點(diǎn)到直線的距離小于B．點(diǎn)到直線的距離大于C．當(dāng)最小時(shí)，D．當(dāng)最大時(shí)，【答案】ACD【分析】計(jì)算出圓心到直線的距離，可得出點(diǎn)到直線的距離的取值范圍，可判斷AB選項(xiàng)的正誤；分析可知，當(dāng)最大或最小時(shí)，與圓相切，利用勾股定理可判斷CD選項(xiàng)的正誤.【詳解】圓的圓心為，半徑為，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，所以，點(diǎn)到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；如下圖所示：當(dāng)最大或最小時(shí)，與圓相切，連接、，可知，，，由勾股定理可得，CD選項(xiàng)正確.故選：ACD.11．設(shè)首項(xiàng)為1的數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則下列結(jié)論正確的是【】A．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為C．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為【答案】AD【分析】由已知可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義可判斷A；可得，結(jié)合和的關(guān)系可求出的通項(xiàng)公式，即可判斷B；由可判斷C；由分組求和法結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以．又，所以?shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故A正確；所以，則．當(dāng)時(shí)，，但，故B錯(cuò)誤；由可得，即，故C錯(cuò)；因?yàn)?，所以所以?shù)列的前項(xiàng)和為，故D正確．故選:AD．12．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是【】A．當(dāng)時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為B．當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)為增函數(shù)C．當(dāng)時(shí)，既存在極大值又存在極小值D．當(dāng)時(shí)，恰有3個(gè)零點(diǎn)，且【答案】BCD【分析】按照導(dǎo)數(shù)幾何意義解決；證明導(dǎo)數(shù)為正值即可；以極值定義去判定；構(gòu)造函數(shù)去證明.【詳解】選項(xiàng)A:當(dāng)時(shí)，曲線,則，切線斜率又，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為.A選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B:令，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，在處取得最小值當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立，則對(duì)任意恒成立，故當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)為增函數(shù).B選項(xiàng)正確；選項(xiàng)C:由以上分析知道：在處取得最小值當(dāng)時(shí)，必有二根，不妨設(shè)為則當(dāng)時(shí)，，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，為增函數(shù)，故既存在極大值又存在極小值.C選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D:由上面分析可知既存在極大值又存在極小值，不妨設(shè)的極大值點(diǎn)為m，極小值點(diǎn)為n,且，在上單調(diào)遞減，又故極大值為正值，極小值為負(fù)值，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為，又故有，則即當(dāng)時(shí)，恰有3個(gè)零點(diǎn)，且正確.故選：BCD三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．函數(shù)，則曲線在處的切線方程為______.【答案】【分析】先求導(dǎo)，代入可得，利用直線方程的點(diǎn)斜式即得解【詳解】由題意，故，則曲線在處的切線方程為：故答案為：14．高斯函數(shù)也稱為取整函數(shù)，其中表示不超過x的最大整數(shù)，例如．已知數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則______．【答案】2021【分析】首先利用裂項(xiàng)得到再化簡，利用裂項(xiàng)相消求和，再利用高斯函數(shù)的定義，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)?，所以，所以，所以，故．故答案為?5．若函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【分析】由導(dǎo)函數(shù)求得極大值，利用極大值點(diǎn)在區(qū)間上，且的極大值可得參數(shù)范圍．【詳解】，或時(shí)，，時(shí)，，所以在和上都遞增，在上遞減，，在區(qū)間上有最大值，則，解得．故答案為：．16．已知雙曲線C：過點(diǎn)，則其方程為________，設(shè)，分別為雙曲線C的左右焦點(diǎn)，E為右頂點(diǎn)，過的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在第一象限），設(shè)M，N分別為，的內(nèi)心，則的取值范圍是________．【答案】

【分析】①將點(diǎn)代入方程中求出，即可得答案；②據(jù)圓的切線長定理和雙曲線的定義可推得，的內(nèi)切圓與軸切于雙曲線的右頂點(diǎn)，設(shè)直線的傾斜角為，可用表示，根據(jù)兩點(diǎn)都在右支上得到的范圍，利用的范圍可求得的取值范圍【詳解】①由雙曲線C：過點(diǎn)，所以所以方程為②如圖：設(shè)的內(nèi)切圓與分別切于，所以，所以，又，所以，又，所以與重合，所以的橫坐標(biāo)為，同理可得的橫坐標(biāo)也為，設(shè)直線的傾斜角為.則，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由題知，...因?yàn)閮牲c(diǎn)在雙曲線的右支上，∴，且，所以或，∴.且，，綜上所述，.故①答案為：;四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10分）已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，，.（1）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；（2）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.【答案】（1）見解析；（2），．【分析】(1)可通過題意中的以及對(duì)兩式進(jìn)行相加和相減即可推導(dǎo)出數(shù)列是等比數(shù)列以及數(shù)列是等差數(shù)列；(2)可通過(1)中的結(jié)果推導(dǎo)出數(shù)列以及數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用數(shù)列以及數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出結(jié)果．【詳解】(1)由題意可知，，，，所以，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，，因?yàn)?，所以，?shù)列是首項(xiàng)、公差為的等差數(shù)列，．(2)由(1)可知，，，所以，．18．（12分）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處切線方程為．（1）求的值；（2）討論的單調(diào)性，并求的極大值．【答案】（1）；（2）見解析.【詳解】試題分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及曲線在點(diǎn)處切線方程為，建立方程，即可求得，的值；（2）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得的單調(diào)性，從而可求的極大值．試題解析：（1）．由已知得，．故，．從而，．（2）由（1）知，，．令得，或．從而當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，極大值為．19．（12分）如圖，三棱錐中，平面，，．分別為線段上的點(diǎn)，且．(1)證明：平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】試題分析：（1）要證線面垂直，就是要證線線垂直，題中由平面，可知，再分析已知由得，這樣與垂直的兩條直線都已找到，從而可得線面垂直；（2）求二面角的大小，可心根據(jù)定義作出二面角的平面角，求出這個(gè)平面角的大小，本題中，由于，平面，因此兩兩垂直，可以他們?yōu)檩S建立空間直角坐標(biāo)系，寫出圖中各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面和平面的法向量，向量的夾角與二面角相等或互補(bǔ)，由此可得結(jié)論．試題解析：（1）證明：由PC平面ABC，DE平面ＡＢＣ，故PCDE由CE＝２，CD=DE＝得ＣＤＥ為等腰直角三角形，故CDDE由PCCD=C，DE垂直于平面PCD內(nèi)兩條相交直線，故DE平面PCD（2）解：由（１）知，CDE為等腰直角三角形，DCE＝，如（１９）圖，過點(diǎn)Ｄ作DF垂直CE于Ｆ，易知DF＝FC＝EF＝１，又已知EB＝１，故FB＝２．

由ACB＝得DFAC，，故AC＝DF＝．以Ｃ為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方程為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則Ｃ（0,0,0,），Ｐ（0,0,3），Ａ（,0,0）,Ｅ（0,2,0），Ｄ（1,1,0），設(shè)平面的法向量，由，，得.由（1）可知DE平面PCD，故平面PCD的法向量可取為,即.從而法向量，的夾角的余弦值為，故所求二面角A-PD-C的余弦值為.20．（12分）已知橢圓C：（）的左，右焦點(diǎn)分別為，，上，下頂點(diǎn)分別為A，B，四邊形的面積和周長分別為2和.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l：（）與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，線段EF的中垂線交y軸于M點(diǎn)，且為直角三角形，求直線l的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）由已知可得，結(jié)合的關(guān)系可求解；（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理可求出EF的中點(diǎn)，進(jìn)而求得其中垂線方程，求出坐標(biāo)，分析已知可得，代入即可求解.【詳解】（1）由題意知，解得故橢圓的方程為（2）設(shè)聯(lián)立，整理得由韋達(dá)定理得，，，所以線段EF的中垂線方程為，令，解得，，，又為直角三角形，且，，即所以直線l的方程或21．（12分）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列及數(shù)列的前項(xiàng)和.（3）設(shè)，求的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）；（3）【分析】(1)由及可得q的值，由可得的值，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，由可得，可得=，由列項(xiàng)相消法可得的值；（3）可得，可得的值.【詳解】解：（1）由題意得：，可得，，由，可得，由，可得，可得，可得;(2)由，可得，由，可得，可得，可得的通項(xiàng)公式：=，可得：①

-②得：=，可得;(3)由可得，可得：===22．（12分）已知函數(shù)且.（1）求a；（2）證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且.【答案】（1）a=1；（2）見解析.【分析】（1）通過分析可知f（x）≥0等價(jià)于h（x）＝ax﹣a﹣lnx≥0，進(jìn)而利用h′（x）＝a可得h（x）min＝h（），從而可得結(jié)論；（2）通過（1）可知f（x）＝x2﹣x﹣xlnx，記t（x）＝f′（x）＝2x﹣2﹣lnx，解不等式可知t（x）min＝t（）＝ln2﹣1＜0，從而可知f′（x）＝0存在兩根x0，x2，利用f（x）必存在唯一極大值點(diǎn)x0及x0可知f（x0），另一方面可知f（x0）＞f（）．【詳解】（1）解：因?yàn)閒（x）＝ax2﹣ax﹣xlnx＝x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），則f（x）≥0等價(jià)于h（x）＝ax﹣a﹣lnx≥0，求導(dǎo)可知h′（x