機器人技術(shù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

I.機器人學(xué)機器人學(xué)機械電子工程Dr.KevinCraig1整理pptI.機器人學(xué)IEEEInternationalConferenceonRoboticsandAutomation(ICRA)2021安克雷奇 文章： 856/2034 分會場： 154 國家： 47IEEE/RSJInternationalConferenceonIntelligentRobotsandSystems(IROS)2021圣路易斯 文章： 936/1599 分會場： 192 國家： 532整理pptI.機器人學(xué)TechnicalSession的主要內(nèi)容HumanrobotinteractionMedicalroboticsSensorfusionLeggedrobotsUnderwaterrobotsManipulatormotionplanningCameracalibrationIntelligenttransportationsystemsSLAM:FeaturesandlandmarksHumanoidrobotbodymotionMicrorobotsBiologically-inspiredroboticdevicesRehabilitationroboticsFieldroboticsGraspingNanoroboticmanipulationFish-likerobotParallelrobot…………3整理ppt第二章機器人運動學(xué)及其數(shù)學(xué)根底4整理ppt參考教材

[美]付京遜?機器人學(xué)?[中南大學(xué)]蔡自興?機器人學(xué)?[美]理查德·鮑爾?機器人操作手·數(shù)學(xué)·編程與控制?5整理ppt參考教材

[美]付京遜?機器人學(xué)?美籍華人普渡大學(xué)〔PurdueUniversity〕電機工程專業(yè)著名教授4部著作、400多篇論文第一任國際模式識別學(xué)會會長，被譽為自動模式識別之父1985年去世6整理ppt參考教材

[中南大學(xué)]蔡自興中南大學(xué)教授，我國人工智能和機器人領(lǐng)域著名專家中國人工智能學(xué)會智能機器人專委會理事長曾與付京遜教授一起工作過7整理ppt第一節(jié)

引言8整理ppt串聯(lián)機器人可以用一個開環(huán)關(guān)節(jié)鏈來建模由數(shù)個驅(qū)動器驅(qū)動的轉(zhuǎn)動或移動關(guān)節(jié)串聯(lián)而成一端固定在基座上，另一端是自由的，安裝工具〔末端執(zhí)行器〕，用以操縱物體，或完成各種任務(wù)關(guān)節(jié)的相對運動導(dǎo)致桿件的運動，使末端執(zhí)行器定位于所需要的方位上在一般機器人應(yīng)用問題中，人們感興趣的是：末端執(zhí)行器相對于固定參考坐標(biāo)數(shù)的空間幾何描述，也就是機器人的運動學(xué)問題機器人的運動學(xué)即是研究機器人手臂末端執(zhí)行器位置和姿態(tài)與關(guān)節(jié)變量空間之間的關(guān)系9整理ppt運動學(xué)研究的問題Whereismyhand?DirectKinematicsHERE!HowdoIputmyhandhere?InverseKinematics:Choosetheseangles!運動學(xué)正問題運動學(xué)逆問題10整理ppt哈佛大學(xué)RogerBrockett建立的指數(shù)積公式運動學(xué)滾動接觸非完整控制數(shù)學(xué)根底-剛體運動參考文獻：機器人操作的數(shù)學(xué)導(dǎo)論理查德·摩雷李澤湘夏卡恩·薩斯特里翻譯：徐衛(wèi)良錢瑞明〔東南大學(xué)〕研究運動學(xué)的方法11整理ppt1955年丹納維特〔Denavit〕和哈頓伯格〔Hartenberg〕提出了一種采用矩陣代數(shù)方法解決機器人的運動學(xué)問題—D-H方法，其數(shù)學(xué)根底即是齊次變換具有直觀的幾何意義能表達動力學(xué)、計算機視覺和比例變換問題為以后的比例變換、透視變換等打下根底12整理ppt第二節(jié)數(shù)學(xué)根底—齊次坐標(biāo)和齊次變換13整理ppt2.1點和面的齊次坐標(biāo)

2.1.1點的齊次坐標(biāo)

一般來說，n維空間的齊次坐標(biāo)表示是一個〔n+1〕維空間實體。有一個特定的投影附加于n維空間，也可以把它看作一個附加于每個矢量的特定坐標(biāo)—比例系數(shù)。引入齊次坐標(biāo)的目的是為了表示幾何變換的旋轉(zhuǎn)、平移和縮放式中i,j,k為x,y,z軸上的單位矢量，a=,b=,c=，w為比例系數(shù)

顯然，齊次坐標(biāo)表達并不是唯一的，隨w值的不同而不同。在計算機圖學(xué)中，w作為通用比例因子，它可取任意正值，但在機器人的運動分析中，總是取w=1。列矩陣一個點矢：14整理ppt[例1]：可以表示為：

V=[3451]T

或V=[68102]T

或V=[-12-16-20-4]T

15整理ppt

齊次坐標(biāo)與三維直角坐標(biāo)的區(qū)別V點在ΣOXYZ坐標(biāo)系中表示是唯一的〔a、b、c〕而在齊次坐標(biāo)中表示可以是多值的。不同的表示方法代表的V點在空間位置上不變。16整理ppt

幾個特定意義的齊次坐標(biāo)：[000n]T—坐標(biāo)原點矢量的齊次坐標(biāo)，n為任意非零比例系數(shù)[1000]T—指向無窮遠(yuǎn)處的OX軸[0100]T—指向無窮遠(yuǎn)處的OY軸[0010]T—指向無窮遠(yuǎn)處的OZ軸[0000]T—沒有意義2個常用的公式：點乘:叉乘:17整理ppt2.1.2平面的齊次坐標(biāo)平面齊次坐標(biāo)由行矩陣P=[abcd]來表示當(dāng)點v=[xyzw]T處于平面P內(nèi)時，矩陣乘積PV=0，或記為

與點矢相仿，平面也沒有意義18整理ppt

點和平面間的位置關(guān)系設(shè)一個平行于x、y軸，且在z軸上的坐標(biāo)為單位距離的平面P可以表示為：或

有：PV=例如：點V=[102011]T

必定處于此平面內(nèi)，而點V=[0021]T處于平P的上方，點V=[0001]T處于P平面下方，因為：19整理ppt2.2旋轉(zhuǎn)矩陣及旋轉(zhuǎn)齊次變換

2.2.1旋轉(zhuǎn)矩陣

設(shè)固定參考坐標(biāo)系直角坐標(biāo)為ΣOxyz，動坐標(biāo)系為ΣO′uvw，研究旋轉(zhuǎn)變換情況。①初始位置時，動靜坐標(biāo)系重合，O、O′重合，如圖。各軸對應(yīng)重合，設(shè)P點是動坐標(biāo)系ΣO′uvw中的一點，且固定不變。那么P點在ΣO′uvw中可表示為：、、為坐標(biāo)系ΣO′uvw的單位矢量，那么P點在Σoxyz中可表示為：20整理ppt當(dāng)動坐標(biāo)系ΣO′uvw繞O點回轉(zhuǎn)時，求P點在固定坐標(biāo)系Σoxyz中的位置：P點在ΣO′uvw中是不變的仍然成立，由于ΣO′uvw回轉(zhuǎn)，那么：用矩陣表示為:〔2-7〕21整理ppt反過來：2.2.2旋轉(zhuǎn)齊次變換用齊次坐標(biāo)變換來表示式〔2-7〕22整理ppt2.2.3三個根本旋轉(zhuǎn)矩陣和合成旋轉(zhuǎn)矩陣三個根本旋轉(zhuǎn)矩陣即動坐標(biāo)系求的旋轉(zhuǎn)矩陣，也就是求出坐標(biāo)系中各軸單位矢量在固定坐標(biāo)系中各軸的投影分量，很容易得到在兩個坐標(biāo)系重合時，有：23整理ppt方向余弦陣24整理ppt同理：

三個根本旋轉(zhuǎn)矩陣:25整理ppt

合成旋轉(zhuǎn)矩陣:例1：在動坐標(biāo)中有一固定點，相對固定參考坐標(biāo)系做如下運動：①R〔x,90°〕；②R(z,90°)；③R(y,90°)。求運動后點在固定參考坐標(biāo)系下的位置。解1：用畫圖的簡單方法26整理ppt解2：用分步計算的方法①R〔x,90°〕②R〔z,90°〕③R〔y,90°〕〔2-14〕〔2-15〕〔2-16〕27整理ppt上述計算方法非常繁瑣，可以通過一系列計算得到上述結(jié)果。將式〔2-14〕〔2-15〕〔2-16〕聯(lián)寫為如下形式：R3x3為二者之間的關(guān)系矩陣，我們令：定義1：當(dāng)動坐標(biāo)系繞固定坐標(biāo)系各坐標(biāo)軸順序有限次轉(zhuǎn)動時，其合成旋轉(zhuǎn)矩陣為各根本旋轉(zhuǎn)矩陣依旋轉(zhuǎn)順序左乘。注意：旋轉(zhuǎn)矩陣間不可以交換28整理ppt

平移齊次變換矩陣注意：平移矩陣間可以交換，平移和旋轉(zhuǎn)矩陣間不可以交換29整理ppt2.2.4相對變換

舉例說明：例1：動坐標(biāo)系∑0′起始位置與固定參考坐標(biāo)系∑0重合,動坐標(biāo)系∑0′做如下運動：①R(Z,90o)②R〔y,90o〕③Trans(4，-3,7)，求合成矩陣解1：用畫圖的方法：30整理ppt解2：用計算的方法根據(jù)定義1，我們有：

以上均以固定坐標(biāo)系多軸為變換基準(zhǔn)，因此矩陣左乘。如果我們做如下變換，也可以得到相同的結(jié)果：例2：①先平移Trans(4,-3,7)；②繞當(dāng)前軸轉(zhuǎn)動90o；③繞當(dāng)前軸轉(zhuǎn)動90o；求合成旋轉(zhuǎn)矩陣?！?-20〕31整理ppt解1：用畫圖的方法解2：用計算的方法〔2-21〕32整理ppt式〔2-20〕和式〔2-21〕無論在形式上，還是在結(jié)果上都是一致的。因此我們有如下的結(jié)論：動坐標(biāo)系在固定坐標(biāo)系中的齊次變換有2種情況：定義1：如果所有的變換都是相對于固定坐標(biāo)系中各坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)或平移，那么依次左乘，稱為絕對變換。定義2：如果動坐標(biāo)系相對于自身坐標(biāo)系的當(dāng)前坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)或平移，那么齊次變換為依次右乘，稱為相對變換。結(jié)果均為動坐標(biāo)系在固定坐標(biāo)中的位姿〔位置+姿態(tài)〕。相對于固定坐標(biāo)系，也就是說，動坐標(biāo)系繞自身坐標(biāo)軸做齊次變換，要到達繞固定坐標(biāo)系相等的結(jié)果，就應(yīng)該用相反的順序。33整理ppt右乘的意義：機器人用到相對變換的時候比較多例如機械手抓一個杯子，如右圖所示，手爪需要轉(zhuǎn)動一個角度才抓的牢，相對于固定坐標(biāo)系表達太麻煩，可以直接根據(jù)手爪的坐標(biāo)系表示但也要知道在∑O中的位姿，就用右乘的概念。oH34整理ppt2.2.5繞通過原點的任意軸旋轉(zhuǎn)的齊次變換有時動坐標(biāo)系∑O′可能繞過原點O的分量分別為rx、ry、rz的任意單位矢量r轉(zhuǎn)動φ角。研究這種轉(zhuǎn)動的好處是可用∑O′繞某軸r的一次轉(zhuǎn)動代替繞∑O各坐標(biāo)軸的數(shù)次轉(zhuǎn)動為推導(dǎo)此旋轉(zhuǎn)矩陣，可作下述5步變換：繞X軸轉(zhuǎn)α角，使r軸處于XZ平面內(nèi)繞Y軸轉(zhuǎn)-β角，使r

軸與OZ軸重合繞OZ軸轉(zhuǎn)動φ角繞Y軸轉(zhuǎn)β角繞X軸轉(zhuǎn)-α角35整理ppt由上圖容易求出：由定義1和定義2，上述5次旋轉(zhuǎn)的合成旋轉(zhuǎn)矩陣為：〔2-25〕36整理ppt帶入式〔2-25〕，得由該式可以推出3個根本旋轉(zhuǎn)矩陣37整理ppt2.2.6齊次變換矩陣的幾何意義

設(shè)，有一個手爪，即動坐標(biāo)系∑O′，，初始位置重合，那么∑O′在∑O中的齊次坐標(biāo)變換為：，如果手爪轉(zhuǎn)了一個角度，

那么：38整理pptT反映了∑O′在∑O中的位置和姿態(tài)，即表示了該坐標(biāo)系原點和各坐標(biāo)軸單位矢量在固定坐標(biāo)系中的位置和姿態(tài)。該矩陣可以由4個子矩陣組成，寫成如下形式：為姿態(tài)矩陣〔旋轉(zhuǎn)矩陣〕，表示動坐標(biāo)系∑O′在固定參考坐標(biāo)系∑O中的姿態(tài)，即表示∑O′各坐標(biāo)軸單位矢量在∑O各軸上的投影為位置矢量矩陣，代表動坐標(biāo)系∑O′坐標(biāo)原點在固定參考坐標(biāo)系∑O中的位置為透視變換矩陣，在視覺中進行圖像計算，一般置為0為比例系數(shù)

39整理ppt如果需要求解∑O在∑O′中的位置和姿態(tài)，此時的齊次變換矩陣為，即求逆矩陣：

其中：這些式子以后經(jīng)常遇到，在機器人計算中，所要求的就是齊次變換矩陣40整理ppt2.2.7透鏡成像的齊次變換

41整理ppt因此，進行機器人運動學(xué)計算時，不能省略透視矩陣，有攝像頭時，透視矩陣為

[0-0]，沒有攝像頭時為[000]。42整理ppt知識點：點和面的齊次坐標(biāo)和齊次變換三個根本旋轉(zhuǎn)矩陣絕對變換：如果所有的變換都是相對于固定坐標(biāo)系中各坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)或平移，那么依次左乘，稱為絕對變換。相對變換：如果動坐標(biāo)系相對于自身坐標(biāo)系的當(dāng)前坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)或平移，那么齊次變換為依次右乘，稱為相對變換。繞任意軸旋轉(zhuǎn)：5步順序透視變換43整理ppt知識點：三個根本旋轉(zhuǎn)矩陣44整理ppt例題1：∑O′與∑O初始