機器人技術數(shù)學基礎

I.機器人學機器人學機械電子工程Dr.KevinCraig1整理pptI.機器人學IEEEInternationalConferenceonRoboticsandAutomation(ICRA)2021安克雷奇 文章： 856/2034 分會場： 154 國家： 47IEEE/RSJInternationalConferenceonIntelligentRobotsandSystems(IROS)2021圣路易斯 文章： 936/1599 分會場： 192 國家： 532整理pptI.機器人學TechnicalSession的主要內(nèi)容HumanrobotinteractionMedicalroboticsSensorfusionLeggedrobotsUnderwaterrobotsManipulatormotionplanningCameracalibrationIntelligenttransportationsystemsSLAM:FeaturesandlandmarksHumanoidrobotbodymotionMicrorobotsBiologically-inspiredroboticdevicesRehabilitationroboticsFieldroboticsGraspingNanoroboticmanipulationFish-likerobotParallelrobot…………3整理ppt第二章機器人運動學及其數(shù)學根底4整理ppt參考教材

[美]付京遜?機器人學?[中南大學]蔡自興?機器人學?[美]理查德·鮑爾?機器人操作手·數(shù)學·編程與控制?5整理ppt參考教材

[美]付京遜?機器人學?美籍華人普渡大學〔PurdueUniversity〕電機工程專業(yè)著名教授4部著作、400多篇論文第一任國際模式識別學會會長，被譽為自動模式識別之父1985年去世6整理ppt參考教材

[中南大學]蔡自興中南大學教授，我國人工智能和機器人領域著名專家中國人工智能學會智能機器人專委會理事長曾與付京遜教授一起工作過7整理ppt第一節(jié)

引言8整理ppt串聯(lián)機器人可以用一個開環(huán)關節(jié)鏈來建模由數(shù)個驅動器驅動的轉動或移動關節(jié)串聯(lián)而成一端固定在基座上，另一端是自由的，安裝工具〔末端執(zhí)行器〕，用以操縱物體，或完成各種任務關節(jié)的相對運動導致桿件的運動，使末端執(zhí)行器定位于所需要的方位上在一般機器人應用問題中，人們感興趣的是：末端執(zhí)行器相對于固定參考坐標數(shù)的空間幾何描述，也就是機器人的運動學問題機器人的運動學即是研究機器人手臂末端執(zhí)行器位置和姿態(tài)與關節(jié)變量空間之間的關系9整理ppt運動學研究的問題Whereismyhand?DirectKinematicsHERE!HowdoIputmyhandhere?InverseKinematics:Choosetheseangles!運動學正問題運動學逆問題10整理ppt哈佛大學RogerBrockett建立的指數(shù)積公式運動學滾動接觸非完整控制數(shù)學根底-剛體運動參考文獻：機器人操作的數(shù)學導論理查德·摩雷李澤湘夏卡恩·薩斯特里翻譯：徐衛(wèi)良錢瑞明〔東南大學〕研究運動學的方法11整理ppt1955年丹納維特〔Denavit〕和哈頓伯格〔Hartenberg〕提出了一種采用矩陣代數(shù)方法解決機器人的運動學問題—D-H方法，其數(shù)學根底即是齊次變換具有直觀的幾何意義能表達動力學、計算機視覺和比例變換問題為以后的比例變換、透視變換等打下根底12整理ppt第二節(jié)數(shù)學根底—齊次坐標和齊次變換13整理ppt2.1點和面的齊次坐標

2.1.1點的齊次坐標

一般來說，n維空間的齊次坐標表示是一個〔n+1〕維空間實體。有一個特定的投影附加于n維空間，也可以把它看作一個附加于每個矢量的特定坐標—比例系數(shù)。引入齊次坐標的目的是為了表示幾何變換的旋轉、平移和縮放式中i,j,k為x,y,z軸上的單位矢量，a=,b=,c=，w為比例系數(shù)

顯然，齊次坐標表達并不是唯一的，隨w值的不同而不同。在計算機圖學中，w作為通用比例因子，它可取任意正值，但在機器人的運動分析中，總是取w=1。列矩陣一個點矢：14整理ppt[例1]：可以表示為：

V=[3451]T

或V=[68102]T

或V=[-12-16-20-4]T

15整理ppt

齊次坐標與三維直角坐標的區(qū)別V點在ΣOXYZ坐標系中表示是唯一的〔a、b、c〕而在齊次坐標中表示可以是多值的。不同的表示方法代表的V點在空間位置上不變。16整理ppt

幾個特定意義的齊次坐標：[000n]T—坐標原點矢量的齊次坐標，n為任意非零比例系數(shù)[1000]T—指向無窮遠處的OX軸[0100]T—指向無窮遠處的OY軸[0010]T—指向無窮遠處的OZ軸[0000]T—沒有意義2個常用的公式：點乘:叉乘:17整理ppt2.1.2平面的齊次坐標平面齊次坐標由行矩陣P=[abcd]來表示當點v=[xyzw]T處于平面P內(nèi)時，矩陣乘積PV=0，或記為

與點矢相仿，平面也沒有意義18整理ppt

點和平面間的位置關系設一個平行于x、y軸，且在z軸上的坐標為單位距離的平面P可以表示為：或

有：PV=例如：點V=[102011]T

必定處于此平面內(nèi)，而點V=[0021]T處于平P的上方，點V=[0001]T處于P平面下方，因為：19整理ppt2.2旋轉矩陣及旋轉齊次變換

2.2.1旋轉矩陣

設固定參考坐標系直角坐標為ΣOxyz，動坐標系為ΣO′uvw，研究旋轉變換情況。①初始位置時，動靜坐標系重合，O、O′重合，如圖。各軸對應重合，設P點是動坐標系ΣO′uvw中的一點，且固定不變。那么P點在ΣO′uvw中可表示為：、、為坐標系ΣO′uvw的單位矢量，那么P點在Σoxyz中可表示為：20整理ppt當動坐標系ΣO′uvw繞O點回轉時，求P點在固定坐標系Σoxyz中的位置：P點在ΣO′uvw中是不變的仍然成立，由于ΣO′uvw回轉，那么：用矩陣表示為:〔2-7〕21整理ppt反過來：2.2.2旋轉齊次變換用齊次坐標變換來表示式〔2-7〕22整理ppt2.2.3三個根本旋轉矩陣和合成旋轉矩陣三個根本旋轉矩陣即動坐標系求的旋轉矩陣，也就是求出坐標系中各軸單位矢量在固定坐標系中各軸的投影分量，很容易得到在兩個坐標系重合時，有：23整理ppt方向余弦陣24整理ppt同理：

三個根本旋轉矩陣:25整理ppt

合成旋轉矩陣:例1：在動坐標中有一固定點，相對固定參考坐標系做如下運動：①R〔x,90°〕；②R(z,90°)；③R(y,90°)。求運動后點在固定參考坐標系下的位置。解1：用畫圖的簡單方法26整理ppt解2：用分步計算的方法①R〔x,90°〕②R〔z,90°〕③R〔y,90°〕〔2-14〕〔2-15〕〔2-16〕27整理ppt上述計算方法非常繁瑣，可以通過一系列計算得到上述結果。將式〔2-14〕〔2-15〕〔2-16〕聯(lián)寫為如下形式：R3x3為二者之間的關系矩陣，我們令：定義1：當動坐標系繞固定坐標系各坐標軸順序有限次轉動時，其合成旋轉矩陣為各根本旋轉矩陣依旋轉順序左乘。注意：旋轉矩陣間不可以交換28整理ppt

平移齊次變換矩陣注意：平移矩陣間可以交換，平移和旋轉矩陣間不可以交換29整理ppt2.2.4相對變換

舉例說明：例1：動坐標系∑0′起始位置與固定參考坐標系∑0重合,動坐標系∑0′做如下運動：①R(Z,90o)②R〔y,90o〕③Trans(4，-3,7)，求合成矩陣解1：用畫圖的方法：30整理ppt解2：用計算的方法根據(jù)定義1，我們有：

以上均以固定坐標系多軸為變換基準，因此矩陣左乘。如果我們做如下變換，也可以得到相同的結果：例2：①先平移Trans(4,-3,7)；②繞當前軸轉動90o；③繞當前軸轉動90o；求合成旋轉矩陣?！?-20〕31整理ppt解1：用畫圖的方法解2：用計算的方法〔2-21〕32整理ppt式〔2-20〕和式〔2-21〕無論在形式上，還是在結果上都是一致的。因此我們有如下的結論：動坐標系在固定坐標系中的齊次變換有2種情況：定義1：如果所有的變換都是相對于固定坐標系中各坐標軸旋轉或平移，那么依次左乘，稱為絕對變換。定義2：如果動坐標系相對于自身坐標系的當前坐標軸旋轉或平移，那么齊次變換為依次右乘，稱為相對變換。結果均為動坐標系在固定坐標中的位姿〔位置+姿態(tài)〕。相對于固定坐標系，也就是說，動坐標系繞自身坐標軸做齊次變換，要到達繞固定坐標系相等的結果，就應該用相反的順序。33整理ppt右乘的意義：機器人用到相對變換的時候比較多例如機械手抓一個杯子，如右圖所示，手爪需要轉動一個角度才抓的牢，相對于固定坐標系表達太麻煩，可以直接根據(jù)手爪的坐標系表示但也要知道在∑O中的位姿，就用右乘的概念。oH34整理ppt2.2.5繞通過原點的任意軸旋轉的齊次變換有時動坐標系∑O′可能繞過原點O的分量分別為rx、ry、rz的任意單位矢量r轉動φ角。研究這種轉動的好處是可用∑O′繞某軸r的一次轉動代替繞∑O各坐標軸的數(shù)次轉動為推導此旋轉矩陣，可作下述5步變換：繞X軸轉α角，使r軸處于XZ平面內(nèi)繞Y軸轉-β角，使r

軸與OZ軸重合繞OZ軸轉動φ角繞Y軸轉β角繞X軸轉-α角35整理ppt由上圖容易求出：由定義1和定義2，上述5次旋轉的合成旋轉矩陣為：〔2-25〕36整理ppt帶入式〔2-25〕，得由該式可以推出3個根本旋轉矩陣37整理ppt2.2.6齊次變換矩陣的幾何意義

設，有一個手爪，即動坐標系∑O′，，初始位置重合，那么∑O′在∑O中的齊次坐標變換為：，如果手爪轉了一個角度，

那么：38整理pptT反映了∑O′在∑O中的位置和姿態(tài)，即表示了該坐標系原點和各坐標軸單位矢量在固定坐標系中的位置和姿態(tài)。該矩陣可以由4個子矩陣組成，寫成如下形式：為姿態(tài)矩陣〔旋轉矩陣〕，表示動坐標系∑O′在固定參考坐標系∑O中的姿態(tài)，即表示∑O′各坐標軸單位矢量在∑O各軸上的投影為位置矢量矩陣，代表動坐標系∑O′坐標原點在固定參考坐標系∑O中的位置為透視變換矩陣，在視覺中進行圖像計算，一般置為0為比例系數(shù)

39整理ppt如果需要求解∑O在∑O′中的位置和姿態(tài)，此時的齊次變換矩陣為，即求逆矩陣：

其中：這些式子以后經(jīng)常遇到，在機器人計算中，所要求的就是齊次變換矩陣40整理ppt2.2.7透鏡成像的齊次變換

41整理ppt因此，進行機器人運動學計算時，不能省略透視矩陣，有攝像頭時，透視矩陣為

[0-0]，沒有攝像頭時為[000]。42整理ppt知識點：點和面的齊次坐標和齊次變換三個根本旋轉矩陣絕對變換：如果所有的變換都是相對于固定坐標系中各坐標軸旋轉或平移，那么依次左乘，稱為絕對變換。相對變換：如果動坐標系相對于自身坐標系的當前坐標軸旋轉或平移，那么齊次變換為依次右乘，稱為相對變換。繞任意軸旋轉：5步順序透視變換43整理ppt知識點：三個根本旋轉矩陣44整理ppt例題1：∑O′與∑O初始