§6.6+二元函數(shù)的極值

定義6.6.1對于該鄰域內(nèi)的任意點

(

x

,

y

),若恒有不等式極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.例如：在點處取得極小值.在點處取得極大值.函數(shù)

z

=

f

(

x

,

y

)在點

P

(

x0

,

y0

)某鄰域內(nèi)有定義,

則稱該函數(shù)在點

P

處有極大值使函數(shù)取得極值的點統(tǒng)稱為極值點.在點既不取得極大值也不取得極小值.則稱該函數(shù)在點

P

處有極小值§6.6二元函數(shù)的極值6.6.1二元函數(shù)的極值1定理6.6.1(必要條件)

設(shè)函數(shù)在點處偏導(dǎo)數(shù)存在,并取得極值,則證明:不妨設(shè)在點處取得極大值.則,特別地,取有由一元函數(shù)極值必要條件知,同理,使同時成立的點,的駐點.稱為函數(shù)在x=x0

點取得極大值，

考慮一元函數(shù)2注意:1)若極值點的偏導(dǎo)數(shù)存在，極值點必是駐點.2)函數(shù)的駐點不一定是極值點.例3)函數(shù)的極值點也可能是偏導(dǎo)數(shù)不存在的點.但在(0,0)點取得極小值例4)函數(shù)的極值點：駐點不存在,不存在偏導(dǎo)數(shù)不存在的點3定理6.6.2

(充分條件)令(1).若有極值,(2).若(3).若情況不定.且設(shè)函數(shù)在點某鄰域內(nèi)及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且有一階是極大值.是極小值.不是極值.注意：結(jié)論(1)中的A換為C結(jié)論不變。4例1.

求函數(shù)的極值.解:得駐點:在點處,,有極小值在點處,,無極值.,無極值.有極大值,,在點處,在點處,解方程組5步驟：（2）對每個駐點(x0

,y0)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ),B,C.（3）應(yīng)用定理4.9判定得出結(jié)論。（1）求求出駐點(x0

,y0)并令求函數(shù)極值的方法和步驟.6最大值、最小值對于區(qū)域D

內(nèi)任一點,若恒有不等式在平面區(qū)域內(nèi)有定義,設(shè)函數(shù)最大值與最小值統(tǒng)稱為最值.例如：在點處取得最小值

0.在點處取得最大值2.則稱該函數(shù)在點處有最大值使函數(shù)取得最值的點統(tǒng)稱為最值點.則稱該函數(shù)在點處有最小值7最大值、最小值的求法最值點（1）邊界點求出該函數(shù)在這些點上的函數(shù)值，比較大小即可求得最值在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則一定有最值。設(shè)函數(shù)（2）駐點（3）偏導(dǎo)數(shù)不存在的點若根據(jù)實際問題確定函數(shù)的最值在區(qū)域D內(nèi)部點取到，而函數(shù)在D內(nèi)有唯一駐點，沒有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點，則可斷定函數(shù)在此駐點上取到最值。極值點8例2.

某廠要用鐵板做成一個體積為8立方米的有蓋長方體水箱.問選擇怎樣的尺寸，才能使所用的材料最?。拷?則由體積水箱所用材料即水箱表面積設(shè)水箱的長、寬、高分別為米，可得令得唯一駐點(2,2).根據(jù)實際問題，S一定存在最小值.因此,當(dāng)x=2米,y=2米,z=2米時，表面積S取得最小值24平方米.即當(dāng)水箱的長，寬，搞相等時，所用材料最省.9求函數(shù)在約束條件下的極值。拉格朗日乘數(shù)法：（1).構(gòu)造拉格朗日函數(shù):其中常數(shù)稱為拉格朗日乘數(shù).(2).解方程組：解得則點(

x

,

y

)可能為極值點.

(3).判斷(x,y)是否為極值點.(一般情況下根據(jù)實際問題的實際意義可以判斷)6.6.2條件極值拉格朗日乘數(shù)法10推廣

求函數(shù)在約束條件下的極值.(1)構(gòu)造拉格朗日函數(shù):(2)解方程組解得(3)判斷(x,y,z)是否為極值點.11再解例2.例2.

某廠要用鐵板做成一個體積為8立方米的有蓋長方體水箱.問選擇怎樣的尺寸，才能使所用的材料最??？解:則問題變?yōu)榍笤O(shè)水箱的長、寬、高分別為米，令得唯一駐點(2,2,2).此駐點即為最小值點.因此,當(dāng)x=2米,y=2米,z=2米時，表面積S取得最小值24平方米.即當(dāng)水箱的長，寬，高相等時，所用材料最省.在約束條件下的最小值.作拉格朗日函數(shù):12解:問題即為:在約束條件下的最大值.求解方程組令得此唯一駐點即為最大值點.購買兩種原料A、B的數(shù)量分別為100，25時,可使產(chǎn)量最大.例3.設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量Q與所用兩種原料A、B的數(shù)量x，y間的關(guān)系式為：Q=0.005x2y，已知A、B兩種原料的單價分別為1元和2元，現(xiàn)有