山西省大同市靈丘縣2023年高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題含解析

山西省大同市靈丘縣2023年高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離是到軸距離的倍，則等于A. B.1C. D.22．已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，定點(diǎn)，M為拋物線上一點(diǎn)，則|MA|+|MF|的最小值為（）A.3 B.4C.5 D.63．橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)、，與在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，是以線段為底邊的等腰三角形，若橢圓的離心率的范圍是，則雙曲線的離心率取值范圍是（）A. B.C. D.4．已知過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.2C. D.35．已知數(shù)列是等差數(shù)列，下面的數(shù)列中必為等差數(shù)列的個(gè)數(shù)為（）①②③A.0 B.1C.2 D.36．過橢圓的左焦點(diǎn)作弦，則最短弦的長為（）A. B.2C. D.47．在數(shù)列中，，則（）A.2 B.C. D.8．下列結(jié)論中正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則9．已知函數(shù)，，若，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.10．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線．已知的頂點(diǎn)，，若其歐拉線的方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.11．設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（）A.12 B.24C.30 D.3212．如圖所示，用3種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C中，要求相鄰的矩形不能使用同一種顏色，則不同的涂法有（）ABCA.3種 B.6種C.12種 D.27種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．圓錐曲線的焦點(diǎn)在軸上，離心率為，則實(shí)數(shù)的值是__________.14．曲線在點(diǎn)處的切線的方程為__________.15．如圖，正方體的棱長為1，C、D分別是兩條棱的中點(diǎn)，A、B、M是頂點(diǎn)，那么點(diǎn)M到截面ABCD的距離是____________.16．復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，an＞0，a1＜2，6Sn＝（an+1）（an+2）.（1）求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；（2）令，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求證：.18．（12分）已知橢圓的離心率為，且其左頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)、在橢圓上，以線段為直徑的圓過原點(diǎn)，試問是否存在定點(diǎn)，使得到直線的距離為定值？若存在，請求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說理由.19．（12分）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，角A、B、C的度數(shù)成等差數(shù)列，（1）若，求c的值；（2）求最大值20．（12分）在①成等差數(shù)列；②成等比數(shù)列；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并對其求解.問題：已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，且___________.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.21．（12分）在等差數(shù)列中，，前10項(xiàng)和（1）求列通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，求的前8項(xiàng)和22．（10分）如圖，正三棱柱的側(cè)棱長為，底面邊長為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且（1）證明：面；（2）求平面和平面夾角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)拋物線的定義及題意可知3x0=x0+,得出x0求得p，即可得答案【詳解】由題意，3x0=x0+，∴x0=∴∵p＞0，∴p=2.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的定義和性質(zhì)．考查了考生對拋物線定義的掌握和靈活應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題2、B【解析】作出圖象，過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，結(jié)合圖形可得當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)M，A，H共線時(shí)|MA|+|MH|最小，求解即可【詳解】過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，由拋物線的定義可知|MF|＝|MH|，則問題轉(zhuǎn)化為|MA|+|MH|的最小值，結(jié)合圖形可得當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)M，A，H共線時(shí)|MA|+|MH|最小，其最小值為.故選：B3、B【解析】求得，可得出，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為、，可得，由可求得的取值范圍.【詳解】設(shè)，設(shè)雙曲線的實(shí)軸長為，因?yàn)榕c在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，是以線段為底邊的等腰三角形，則，由橢圓的定義可得，由雙曲線的定義可得，所以，，則，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為、，則，即，因，則，故.故選：B.4、D【解析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到韋達(dá)定理，求得，利用拋物線定義，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的代數(shù)式，消元后，利用基本不等式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，顯然要滿足題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為聯(lián)立可得，其，設(shè)坐標(biāo)為，顯然，則，，根據(jù)拋物線定義，MF=故=4+4令，故4+4當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考察拋物線中的最值問題，涉及到韋達(dá)定理的使用，基本不等式的使用；其中利用的關(guān)系，以及拋物線的定義轉(zhuǎn)化目標(biāo)式，是解決問題的關(guān)鍵.5、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷【詳解】設(shè)的公差為，則，是等差數(shù)列，，是常數(shù)列，也是等差數(shù)列，若，則不是等差數(shù)列，故選：C6、A【解析】求出橢圓的通徑，即可得到結(jié)果【詳解】過橢圓的左焦點(diǎn)作弦，則最短弦的長為橢圓的通徑：故選：A7、D【解析】根據(jù)遞推關(guān)系，代入數(shù)據(jù)，逐步計(jì)算，即可得答案.【詳解】由題意得，令，可得，令，可得，令，可得，令，可得.故選：D8、D【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和運(yùn)算法則分別計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可判斷選項(xiàng).【詳解】A.若，則，故A錯(cuò)誤；B.若，則，故B錯(cuò)誤；C.若，則，故C錯(cuò)誤；D.若，則，故D正確.故選：D9、A【解析】由定義證明函數(shù)的單調(diào)性，再由函數(shù)不等式恒能成立的性質(zhì)得出，從而得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】任取，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，使得，則即故選：A【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式恒成立問題，解題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，轉(zhuǎn)化時(shí)要注意全稱量詞與存在量詞對題意的影響．等價(jià)轉(zhuǎn)化如下：(1)，，使得成立等價(jià)于(2)，，不等式恒成立等價(jià)于(3)，，使得成立等價(jià)于(4)，，使得成立等價(jià)于10、A【解析】設(shè)，計(jì)算出重心坐標(biāo)后代入歐拉方程，再求出外心坐標(biāo)，根據(jù)外心的性質(zhì)列出關(guān)于的方程，最后聯(lián)立解方程即可.【詳解】設(shè)，由重心坐標(biāo)公式得，三角形的重心為，，代入歐拉線方程得：，整理得：①的中點(diǎn)為，，的中垂線方程為，即聯(lián)立，解得的外心為則，整理得：②聯(lián)立①②得：，或，當(dāng)，時(shí)，重合，舍去頂點(diǎn)的坐標(biāo)是故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵一是求出外心，二是根據(jù)外心的性質(zhì)列方程.11、D【解析】根據(jù)已知條件求得的值，再由可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題12、C【解析】根據(jù)給定信息，按用色多少分成兩類，再分類計(jì)算作答.【詳解】計(jì)算不同的涂色方法數(shù)有兩類辦法：用3種顏色，每個(gè)矩形涂一種顏色，有種方法，用2色，矩形A，C涂同色，有種方法，由分類加法計(jì)數(shù)原理得(種)，所以不同的涂法有12種.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)圓錐曲線焦點(diǎn)在軸上且離心率小于1，確定a,b求解即可.【詳解】因?yàn)閳A錐曲線的焦點(diǎn)在軸上，離心率為，所以曲線為橢圓，且，所以，解得，故答案為：14、【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，得切線斜率后可得切線方程【詳解】，∴切線斜率為，切線方程為故答案為：15、【解析】由題意建立空間直角坐標(biāo)系，然后結(jié)合點(diǎn)面距離公式即可求得點(diǎn)M到截面ABCD的距離.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得A（0，0，0），B（1，1，0），D（0，，1），M（0，1，0），∴（0，1，0），（1，1，0），（0，，1），設(shè)（x，y，z）為平面ABCD的法向量，則，取y＝﹣2，可得x＝2，z＝1，∴（2，﹣2，1），∴M到截面ABCD的距離d故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間直角坐標(biāo)系及其應(yīng)用，點(diǎn)面距離的計(jì)算等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.16、##【解析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，即可得答案.【詳解】由題意可知：復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系，構(gòu)造新等式，作差整理得到，進(jìn)而求解結(jié)論；（2）求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，再代入裂項(xiàng)求和即可.【小問1詳解】證明：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，兩式相減，得到，整理得，又因?yàn)閍n＞0，所以，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差為3；【小問2詳解】證明：當(dāng)n＝1時(shí)，6S1＝（a1+1）（a1+2），解得a1＝1或a1＝2，因?yàn)閍1＜2，所以a1＝1，由（1）可知公差d＝3，所以an＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）×3＝3n﹣2，所以，所以＝.18、（1）；（2）存在，.【解析】（1）由題設(shè)可知求出，再結(jié)合，從而可求出橢圓的方程，（2）①若直線與軸垂直，由對稱性可知，代入橢圓方程可求得結(jié)果，②若直線不與軸垂直，設(shè)直線的方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)，，再由條件，得，從而得，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得結(jié)果【詳解】（1）由題設(shè)可知解得，，，所以橢圓的方程為：；（2）設(shè)，，①若直線與軸垂直，由對稱性可知，將點(diǎn)代入橢圓方程，解得，原點(diǎn)到該直線的距離；②若直線不與軸垂直，設(shè)直線的方程為，由消去得，則由條件，即，由韋達(dá)定理得，整理得，則原點(diǎn)到該直線的距離；故存在定點(diǎn)，使得到直線的距離為定值.19、（1）；（2）【解析】（1）利用等差數(shù)列以及三角形內(nèi)角和，正弦定理以及余弦定理求解即可；（2）利用正弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的最值求解即可【詳解】（1）由角A、B、C的度數(shù)成等差數(shù)列，得2B＝A＋C又，∴由正弦定理，得，即由余弦定理，得，即，解得（2）由正弦定理，得，∴，∴由，得所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，20、（1）（2）【解析】（1）由可知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，若選①：結(jié)合等差數(shù)列等差中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算求解；若選②：利用等比數(shù)列等比中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算求解，若選③：利用直接計(jì)算；（2）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算，可知數(shù)列為等差數(shù)列，直接求和即可.小問1詳解】由，當(dāng)時(shí)，，即，即，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，若選①：由，即，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；若選②：由，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；若選③：由，即，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；【小問2詳解】由（1）得，所以數(shù)列等差數(shù)列，所以.21、（1）；（2）347.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，解方程組即得解；（2）先求出，再分組求和得解.【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則解得所以（2）由題意，，所以所以的前8項(xiàng)和為22、（1）證明見解析（2）【解