2019北京市高考數(shù)學(xué)試卷(理科)

...wd......wd......wd...2019年北京市高考數(shù)學(xué)試卷〔理科〕一、選擇題共8小題，每題5分，共40分。在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．復(fù)數(shù)，則A．B．C．3D．52．執(zhí)行如以下圖的程序框圖，輸出的值為A．1B．2 C．3D．3．直線的參數(shù)方程為為參數(shù)〕，則點(diǎn)到直線的距離是A．B．C．D．4．橢圓的離心率為，則A．B．C．D．5．假設(shè)，滿足，且，則的最大值為A．B．1 C．5D．76．在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為的星的亮度為．太陽的星等是，天狼星的星等是，則太陽與天狼星的亮度的比值為A．B．10.1 C．D．7．設(shè)點(diǎn)，，不共線，則“與的夾角為銳角〞是“〞的A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件8．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一〔如圖〕．給出以下三個(gè)結(jié)論：①曲線恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)〔即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)〕；②曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過；③曲線所圍成的“心形〞區(qū)域的面積小于3．其中，所有正確結(jié)論的序號是A．①B．②C．①②D．①②③二、填空題共6小題，每題5分，共30分。9．函數(shù)的最小正周期是．10．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，假設(shè)，，則，的最小值為．11．某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得，其三視圖如以下圖．如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，那么該幾何體的體積為．12．，是平面外的兩條不同直線．給出以下三個(gè)論斷：①；②；③．以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：．13．設(shè)函數(shù)為常數(shù)〕．假設(shè)為奇函數(shù)，則；假設(shè)是上的增函數(shù)，則的取值范圍是．14．李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元盒、65元盒、80元盒、90元盒．為增加銷量，李明對這四種水果進(jìn)展促銷：一次購置水果的總價(jià)到達(dá)120元，顧客就少付元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的．①當(dāng)時(shí)，顧客一次購置草莓和西瓜各1盒，需要支付元；②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則的最大值為．三、解答題共6小題，共80分。解容許寫出文字說明，演算步驟或證明過程。15．〔13分〕在中，，，．〔Ⅰ〕求，的值；〔Ⅱ〕求的值．16．〔14分〕如圖，在四棱錐中，平面，，，，．為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．〔Ⅰ〕求證：平面；〔Ⅱ〕求二面角的余弦值；〔Ⅲ〕設(shè)點(diǎn)在上，且．判斷直線是否在平面內(nèi)，說明理由．17．〔13分〕改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個(gè)月，兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中，兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用和僅使用的學(xué)生的支付金額分布情況如下：支付金額〔元支付方式，，大于2000僅使用18人9人3人僅使用10人14人1人〔Ⅰ〕從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月，兩種支付方式都使用的概率；〔Ⅱ〕從樣本僅使用和僅使用的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1000元的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；〔Ⅲ〕上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元．根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化說明理由．18．〔14分〕拋物線經(jīng)過點(diǎn)．〔Ⅰ〕求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；〔Ⅱ〕設(shè)為原點(diǎn)，過拋物線的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線交拋物線于兩點(diǎn)，，直線分別交直線，于點(diǎn)和點(diǎn)．求證：以為直徑的圓經(jīng)過軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．19．〔13分〕函數(shù)．〔Ⅰ〕求曲線的斜率為的切線方程；〔Ⅱ〕當(dāng)，時(shí)，求證：；〔Ⅲ〕設(shè)，記在區(qū)間，上的最大值為〔a〕．當(dāng)〔a〕最小時(shí)，求的值．20．〔13分〕數(shù)列，從中選取第項(xiàng)、第項(xiàng)、、第項(xiàng)，假設(shè)，則稱新數(shù)列，，，為的長度為的遞增子列．規(guī)定：數(shù)列的任意一項(xiàng)都是的長度為1的遞增子列．〔Ⅰ〕寫出數(shù)列1，8，3，7，5，6，9的一個(gè)長度為4的遞增子列；〔Ⅱ〕數(shù)列的長度為的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為，長度為的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為．假設(shè)，求證：；〔Ⅲ〕設(shè)無窮數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且任意兩項(xiàng)均不相等．假設(shè)的長度為的遞增子列末項(xiàng)的最小值為，且長度為末項(xiàng)為的遞增子列恰有個(gè)，2，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．2019年北京市高考數(shù)學(xué)試卷〔理科〕參考答案與試題解析一、選擇題共8小題，每題5分，共40分。在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．復(fù)數(shù)，則A．B．C．3D．5【思路分析】直接由求解．【解析】：，．應(yīng)選：．【歸納與總結(jié)】此題考察復(fù)數(shù)及其運(yùn)算性質(zhì)，是根基的計(jì)算題．2．執(zhí)行如以下圖的程序框圖，輸出的值為A．1B．2 C．3D．【思路分析】由中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)構(gòu)造計(jì)算并輸出變量的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【解析】：模擬程序的運(yùn)行，可得，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，，此時(shí)，滿足條件，退出循環(huán)，輸出的值為2．應(yīng)選：．【歸納與總結(jié)】此題考察了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論，是根基題．3．直線的參數(shù)方程為為參數(shù)〕，則點(diǎn)到直線的距離是A．B．C．D．【思路分析】消參數(shù)化參數(shù)方程為普通方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式求解．【解析】：由為參數(shù)〕，消去，可得．則點(diǎn)到直線的距離是．應(yīng)選：．【歸納與總結(jié)】此題考察參數(shù)方程化普通方程，考察點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，是根基題．4．橢圓的離心率為，則A．B．C．D．【思路分析】由橢圓離心率及隱含條件得答案．【解析】：由題意，，得，則，，即．應(yīng)選：．【歸納與總結(jié)】此題考察橢圓的簡單性質(zhì)，熟記隱含條件是關(guān)鍵，是根基題．5．假設(shè)，滿足，且，則的最大值為A．B．1 C．5D．7【思路分析】由約束條件作出可行域，令，化為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【解析】：由作出可行域如圖，聯(lián)立，解得，令，化為，由圖可知，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，有最大值為．應(yīng)選：．【歸納與總結(jié)】此題考察簡單的線性規(guī)劃，考察數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．6．在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為的星的亮度為．太陽的星等是，天狼星的星等是，則太陽與天狼星的亮度的比值為A．B．10.1 C．D．【思路分析】把熟記代入，化簡后利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解．【解析】：設(shè)太陽的星等是，天狼星的星等是，由題意可得：，，則．應(yīng)選：．【歸納與總結(jié)】此題考察對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是根基的計(jì)算題．7．設(shè)點(diǎn)，，不共線，則“與的夾角為銳角〞是“〞的A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【思路分析】“與的夾角為銳角〞“〞，“〞“與的夾角為銳角〞，由此能求出結(jié)果．【解析】：點(diǎn)，，不共線，“與的夾角為銳角〞“〞，“〞“與的夾角為銳角〞，設(shè)點(diǎn)，，不共線，則“與的夾角為銳角〞是“〞的充分必要條件．應(yīng)選：．【歸納與總結(jié)】此題考察充分條件、必要條件、充要條件的判斷，考察向量等根基知識，考察推理能力與計(jì)算能力，屬于根基題．8．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一〔如圖〕．給出以下三個(gè)結(jié)論：①曲線恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)〔即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)〕；②曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過；③曲線所圍成的“心形〞區(qū)域的面積小于3．其中，所有正確結(jié)論的序號是A．①B．②C．①②D．①②③【思路分析】將換成方程不變，所以圖形關(guān)于軸對稱，根據(jù)對稱性討論軸右邊的圖形可得．【解析】：將換成方程不變，所以圖形關(guān)于軸對稱，當(dāng)時(shí)，代入得，，即曲線經(jīng)過，；當(dāng)時(shí)，方程變?yōu)?，所以△，解得，，所以只能取整?shù)1，當(dāng)時(shí)，，解得或，即曲線經(jīng)過，，根據(jù)對稱性可得曲線還經(jīng)過，，故曲線一共經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)，故①正確．當(dāng)時(shí)，由得，〔當(dāng)時(shí)取等〕，，，即曲線上軸右邊的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不超過，根據(jù)對稱性可得：曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過；故②正確．在軸上圖形面積大于矩形面積，軸下方的面積大于等腰直角三角形的面積，因此曲線所圍成的“心形〞區(qū)域的面積大于，故③錯(cuò)誤．應(yīng)選：．【歸納與總結(jié)】此題考察了命題的真假判斷與應(yīng)用，屬中檔題．二、填空題共6小題，每題5分，共30分。9．函數(shù)的最小正周期是．【思路分析】用二倍角公式可得，然后用周期公式求出周期即可．【解析】：，，的周期，故答案為：．【歸納與總結(jié)】此題考察了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是合理使用二倍角公式，屬根基題．10．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，假設(shè)，，則0，的最小值為．【思路分析】利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式列出方程組，能求出，，由此能求出的的最小值．【解析】：設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，解得，，，，或時(shí)，取最小值為．故答案為：0，．【歸納與總結(jié)】此題考察等差數(shù)列的第5項(xiàng)的求法，考察等差數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值的求法，考察等差數(shù)列的性質(zhì)等根基知識，考察推理能力與計(jì)算能力，屬于根基題．11．某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得，其三視圖如以下圖．如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，那么該幾何體的體積為40．【思路分析】由三視圖復(fù)原原幾何體，然后利用一個(gè)長方體與一個(gè)棱柱的體積作和求解．【解析】：由三視圖復(fù)原原幾何體如圖，該幾何體是把棱長為4的正方體去掉一個(gè)四棱柱，則該幾何體的體積．故答案為：40．【歸納與總結(jié)】此題考察由三視圖求面積、體積，關(guān)鍵是由三視圖復(fù)原原幾何體，是中檔題．12．，是平面外的兩條不同直線．給出以下三個(gè)論斷：①；②；③．以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：假設(shè)，，則．【思路分析】由，是平面外的兩條不同直線，利用線面平行的判定定理得假設(shè)，，則．【解析】：由，是平面外的兩條不同直線，知：由線面平行的判定定理得：假設(shè)，，則．故答案為：假設(shè)，，則．【歸納與總結(jié)】此題考察滿足條件的真命題的判斷，考察空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等根基知識，考察推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．13．設(shè)函數(shù)為常數(shù)〕．假設(shè)為奇函數(shù)，則；假設(shè)是上的增函數(shù)，則的取值范圍是．【思路分析】對于第一空：由奇函數(shù)的定義可得，即，變形可得分析可得的值，即可得答案；對于第二空：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系分析可得的導(dǎo)數(shù)在上恒成立，變形可得：恒成立，據(jù)此分析可得答案．【解析】：根據(jù)題意，函數(shù)，假設(shè)為奇函數(shù)，則，即，變形可得，函數(shù)，導(dǎo)數(shù)假設(shè)是上的增函數(shù)，則的導(dǎo)數(shù)在上恒成立，變形可得：恒成立，分析可得，即的取值范圍為，；故答案為：，，．【歸納與總結(jié)】此題考察函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判定，關(guān)鍵是理解函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的定義，屬于根基題．14．李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元盒、65元盒、80元盒、90元盒．為增加銷量，李明對這四種水果進(jìn)展促銷：一次購置水果的總價(jià)到達(dá)120元，顧客就少付元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的．①當(dāng)時(shí)，顧客一次購置草莓和西瓜各1盒，需要支付130元；②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則的最大值為．【思路分析】①由題意可得顧客一次購置的總金額，減去，可得所求值；②在促銷活動(dòng)中，設(shè)訂單總金額為元，可得，解不等式，結(jié)合恒成立思想，可得的最大值．【解析】：①當(dāng)時(shí)，顧客一次購置草莓和西瓜各1盒，可得〔元，即有顧客需要支付〔元；②在促銷活動(dòng)中，設(shè)訂單總金額為元，可得，即有，由題意可得，可得，則的最大值為15元．故答案為：130，15【歸納與總結(jié)】此題考察不等式在實(shí)際問題的應(yīng)用，考察化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．三、解答題共6小題，共80分。解容許寫出文字說明，演算步驟或證明過程。15．〔13分〕在中，，，．〔Ⅰ〕求，的值；〔Ⅱ〕求的值．【思路分析】〔Ⅰ〕利用余弦定理可得，代入條件即可得到關(guān)于的方程，解方程即可；〔Ⅱ〕，根據(jù)正弦定理可求出，然后求出，代入即可得解．【解析】：〔Ⅰ〕，，．由余弦定理，得，，；〔Ⅱ〕在中，，，由正弦定理有：，，，，為銳角，，．【歸納與總結(jié)】此題考察了正弦定理余弦定理和兩角差的正弦公式，屬根基題．16．〔14分〕如圖，在四棱錐中，平面，，，，．為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．〔Ⅰ〕求證：平面；〔Ⅱ〕求二面角的余弦值；〔Ⅲ〕設(shè)點(diǎn)在上，且．判斷直線是否在平面內(nèi)，說明理由．【思路分析】〔Ⅰ〕推導(dǎo)出，，由此能證明平面．〔Ⅱ〕以為原點(diǎn)，在平面內(nèi)過作的平行線為軸，為軸，為軸，建設(shè)空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值．〔Ⅲ〕求出，0，，平面的法向量，1，，，從而直線不在平面內(nèi)．【解答】證明：〔Ⅰ〕平面，，，，平面．解：〔Ⅱ〕以為原點(diǎn)，在平面內(nèi)過作的平行線為軸，為軸，為軸，建設(shè)空間直角坐標(biāo)系，，0，，，0，，，，，，0，，，0，，，平面的法向量，0，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，1，，設(shè)二面角的平面角為，則．二面角的余弦值為．〔Ⅲ〕直線不在平面內(nèi)，理由如下：點(diǎn)在上，且．，0，，，0，，平面的法向量，1，，，故直線不在平面內(nèi)．【歸納與總結(jié)】此題考察線面垂直的證明，考察二面角的余弦值的求法，考察直線是否在平面內(nèi)的判斷與求法，考察空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等根基知識，考察推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．17．〔13分〕改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個(gè)月，兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中，兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用和僅使用的學(xué)生的支付金額分布情況如下：支付金額〔元支付方式，，大于2000僅使用18人9人3人僅使用10人14人1人〔Ⅰ〕從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月，兩種支付方式都使用的概率；〔Ⅱ〕從樣本僅使用和僅使用的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1000元的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；〔Ⅲ〕上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元．根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化說明理由．【思路分析】〔Ⅰ〕從全校所有的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取的100人中，，兩種支付方式都不使用的有5人，僅使用的有30人，僅使用的有25人，從而，兩種支付方式都使用的人數(shù)有40人，由此能求出從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月，兩種支付方式都使用的概率．〔Ⅱ〕從樣本僅使用和僅使用的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1000元的人數(shù)，則的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列和數(shù)學(xué)期望．〔Ⅲ〕從樣本僅使用的學(xué)生有30人，其中27人月支付金額不大于2000元，有3人月支付金額大于2000元，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元的概率為，不能認(rèn)為認(rèn)為樣本僅使用的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化．【解析】：〔Ⅰ〕由題意得：從全校所有的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取的100人中，，兩種支付方式都不使用的有5人，僅使用的有30人，僅使用的有25人，，兩種支付方式都使用的人數(shù)有：，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月，兩種支付方式都使用的概率．〔Ⅱ〕從樣本僅使用和僅使用的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1000元的人數(shù)，則的可能取值為0，1，2，樣本僅使用的學(xué)生有30人，其中支付金額在，的有18人，超過1000元的有12人，樣本僅使用的學(xué)生有25人，其中支付金額在，的有10人，超過1000元的有15人，，，，的分布列為：012數(shù)學(xué)期望．〔Ⅲ〕不能認(rèn)為樣本僅使用的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化，理由如下：從樣本僅使用的學(xué)生有30人，其中27人月支付金額不大于2000元，有3人月支付金額大于2000元，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元的概率為，雖然概率較小，但發(fā)生的可能性為．故不能認(rèn)為認(rèn)為樣本僅使用的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化．【歸納與總結(jié)】此題考察概率、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考察古典概型、相互獨(dú)立事件概率乘法公式等根基知識，考察推理能力與計(jì)算能力，是中檔題．18．〔14分〕拋物線經(jīng)過點(diǎn)．〔Ⅰ〕求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；〔Ⅱ〕設(shè)為原點(diǎn)，過拋物線的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線交拋物線于兩點(diǎn)，，直線分別交直線，于點(diǎn)和點(diǎn)．求證：以為直徑的圓經(jīng)過軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．【思路分析】〔Ⅰ〕代入點(diǎn)，解方程可得，求得拋物線的方程和準(zhǔn)線方程；〔Ⅱ〕拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)直線方程為，聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及直線的斜率和方程，求得，的坐標(biāo)，可得為直徑的圓方程，可令，解方程，即可得到所求定點(diǎn)．【解析】：〔Ⅰ〕拋物線經(jīng)過點(diǎn)．可得，即，可得拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為；〔Ⅱ〕證明：拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)直線方程為，聯(lián)立拋物線方程，可得，設(shè)，，，，可得，，直線的方程為，即，直線的方程為，即，可得，，，，可得的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即有為直徑的圓心為，半徑為，可得圓的方程為，化為，由，可得或．則以為直徑的圓經(jīng)過軸上的兩個(gè)定點(diǎn)，．【歸納與總結(jié)】此題考察拋物線的定義和方程、性質(zhì)，以及圓方程的求法，考察直線和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，考察化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．19．〔13分〕函數(shù)．〔Ⅰ〕求曲線的斜率為的切線方程；〔Ⅱ〕當(dāng)，時(shí)，求證：；〔Ⅲ〕設(shè)，記在區(qū)間，上的最大值為〔a〕．當(dāng)〔a〕最小時(shí)，求的值．【思路分析】〔Ⅰ〕求導(dǎo)數(shù)，由求得切點(diǎn)，即可得點(diǎn)斜式方程；〔Ⅱ〕把所證不等式轉(zhuǎn)化為，再令，利用導(dǎo)數(shù)研究在，的單調(diào)性和極值點(diǎn)即可得證；〔Ⅲ〕先把化為，再利用〔Ⅱ〕的結(jié)論，引進(jìn)函數(shù)，結(jié)合絕對值函數(shù)的對稱性，單調(diào)性，通過對稱軸與的關(guān)系分析即可．【解析】：〔Ⅰ〕，由得，得．又，，和，即和；〔Ⅱ〕證明：欲證，只需證，令，，，則，可知在，為正，在為負(fù)，在為正，在，遞增，在，遞減，在遞增，又，，，〔4〕，，；〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕可得，在，上，，令，，則問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)，時(shí)，的最大值〔a〕的問題了，①當(dāng)時(shí)，〔a〕，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，〔a〕取得最小值3；②當(dāng)時(shí)，〔a〕，，〔a〕，也是時(shí)，〔a〕最小為3．綜上，當(dāng)〔a〕取最小值時(shí)的值為．【歸納與總結(jié)】此題考察了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，構(gòu)造法，轉(zhuǎn)化法，數(shù)形結(jié)合法等，難度較大．20．〔13分〕數(shù)列，從中選取第項(xiàng)、第項(xiàng)、、第項(xiàng)，假設(shè)，則稱新數(shù)列，，，為的長度為的遞增子列．規(guī)定：數(shù)列的任意一項(xiàng)都是的長度為1的遞增子列．〔Ⅰ〕寫出數(shù)列1，8，3，7，5，6，9的一個(gè)長度為4的遞增子列；〔Ⅱ〕數(shù)列的長度為的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為，長度為的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為．假設(shè)，求證：；〔Ⅲ〕設(shè)無窮數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且任意兩項(xiàng)均不相等．假設(shè)的長度為的遞增子列末項(xiàng)的最小值為，且長度為末項(xiàng)為的遞增子列恰有個(gè)，2，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【思路分析】，3，5，6．答案不唯一．考慮長度為的遞增子列的前項(xiàng)可以組成長度為的一個(gè)遞增子列，可得該數(shù)列的第項(xiàng)，即可證明結(jié)論．考慮與這一組數(shù)在數(shù)列中的位置．假設(shè)中有，在在之后，則必然在長度