山西省長治市第九中學(xué)2023年高二上數(shù)學(xué)期末考試模擬試題含解析

山西省長治市第九中學(xué)2023年高二上數(shù)學(xué)期末考試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在長方體中，，，點(diǎn)分別在棱上，，，則（）A. B.C. D.2．若離散型隨機(jī)變量的所有可能取值為1，2，3，…，n，且取每一個(gè)值的概率相同，若，則n的值為（）A.4 B.6C.9 D.103．已知函數(shù)是定義在上奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，有成立，則不等式的解集是（）A. B.C. D.4．過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn),點(diǎn)是原點(diǎn),若;則的面積為（）A. B.C. D.5．空氣質(zhì)量指數(shù)大小分為五級(jí)指數(shù)越大說明污染的情況越嚴(yán)重，對(duì)人體危害越大，指數(shù)范圍在：，，，，分別對(duì)應(yīng)“優(yōu)”、“良”、“輕中度污染”、“中度重污染”、“重污染”五個(gè)等級(jí)，如圖是某市連續(xù)14天的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，下面說法錯(cuò)誤的是（）.A.這14天中有4天空氣質(zhì)量指數(shù)為“良”B.從2日到5日空氣質(zhì)量越來越差C.這14天中空氣質(zhì)量的中位數(shù)是103D.連續(xù)三天中空氣質(zhì)量指數(shù)方差最小是9日到11日6．已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為（）A. B.C. D.7．已知曲線的方程為，則下列說法正確的是（）①曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；②曲線是一個(gè)橢圓；③曲線圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積.A.① B.①②C.③ D.①③8．若拋物線的準(zhǔn)線方程是，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.9．某次數(shù)學(xué)考試試卷評(píng)閱采用“雙評(píng)+仲裁”的方式，規(guī)則如下：兩位老師獨(dú)立評(píng)分，稱為一評(píng)和二評(píng)，當(dāng)兩者所評(píng)分?jǐn)?shù)之差的絕對(duì)值小于或等于分時(shí)，取兩者平均分為該題得分；當(dāng)兩者所評(píng)分?jǐn)?shù)之差的絕對(duì)值大于分時(shí)，再由第三位老師評(píng)分，稱之為仲裁，取仲裁分?jǐn)?shù)和一、二評(píng)中與之接近的分?jǐn)?shù)的平均分為該題得分.如圖所示，當(dāng)，，時(shí)，則（）A. B.C.或 D.10．①直線在軸上的截距為；②直線的傾斜角為；③直線必過定點(diǎn)；④兩條平行直線與間的距離為.以上四個(gè)命題中正確的命題個(gè)數(shù)為（）A. B.C. D.11．在中國共產(chǎn)黨建黨100周年之際,廣安市某中學(xué)組織了“黨史知識(shí)競賽”活動(dòng),已知該校共有高中學(xué)生1000人,用分層抽樣的方法從該校高中學(xué)生中抽取一個(gè)容量為25的樣本參加活動(dòng),其中高二年級(jí)抽取了8人,則該校高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)為()A.960 B.720C.640 D.32012．已知圓與圓相交于A、B兩點(diǎn)，則圓上的動(dòng)點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線與之間的距離為，則__________14．已知點(diǎn)在圓C：（）內(nèi)，過點(diǎn)M的直線被圓C截得的弦長最小值為8，則______15．阿基米德（公元前287—公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則當(dāng)取得最大值時(shí)，橢圓的面積為_________16．已知過點(diǎn)作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)分別為A、B,直線經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)F,則___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）球形物體天然萌，某食品廠沿襲老字號(hào)傳統(tǒng)，獨(dú)家制造并使用球形玻璃瓶用于售賣酸梅湯，其中瓶子的制造成本c（分）與瓶子的半徑r（cm）的平方成正比，且當(dāng)cm時(shí)，制造成本c為3.2π分，已知每出售1mL的酸梅湯，可獲得0.2分，且制作的瓶子的最大半徑為6cm（1）寫出每瓶酸梅湯的利潤y與r的關(guān)系式（提示：）；（2）瓶子半徑多大時(shí)，每瓶酸梅湯的利潤最大，最大為多少？（結(jié)果用含π的式子表示）18．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）討論的單調(diào)性19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，為的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，說明理由20．（12分）四棱錐中，平面，四邊形為平行四邊形，（1）若為中點(diǎn)，求證平面；（2）若，求面與面的夾角的余弦值.21．（12分）如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點(diǎn)求證：（1）共面；（2）求證：22．（10分）如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面ABCD，側(cè)棱，底面ABCD為直角梯形，其中，，，（1）求證：平面ACF；（2）在線段PB上是否存在一點(diǎn)H，使得CH與平面ACF所成角的正弦值為？若存在，求出線段PH的長度；若不存在，請(qǐng)說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】依題意可得，從而得到，即可得到，從而得解；【詳解】解：由長方體的性質(zhì)可得，又，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以；故選：D2、D【解析】根據(jù)分布列即可求出【詳解】因?yàn)?，所以故選：D3、A【解析】構(gòu)造函數(shù)，分析該函數(shù)的定義域與奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)在上為增函數(shù)，從而可知該函數(shù)在上為減函數(shù)，綜合可得出原不等式的解集.【詳解】令，則函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則函數(shù)為偶函數(shù)，所以，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上為減函數(shù)，由等價(jià)于或：當(dāng)時(shí)，由可得；當(dāng)時(shí)，由可得.綜上所述，不等式的解集為.故選：A.4、C【解析】拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由得或所以，故答案為C考點(diǎn)：1、拋物線的定義；2、直線與拋物線的位置關(guān)系5、C【解析】根據(jù)題圖分析數(shù)據(jù)，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷【詳解】對(duì)于A，14天中有1，3，12，13共4日空氣質(zhì)量指數(shù)為“良”，故A正確對(duì)于B，從2日到5日空氣質(zhì)量指數(shù)越來越高，故空氣質(zhì)量越來越差，故B正確對(duì)于C，14個(gè)數(shù)據(jù)中位數(shù)為：，故C錯(cuò)誤對(duì)于D，觀察折線圖可知D正確故選：C6、A【解析】畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，利用直線的斜率公式模型進(jìn)行求解即可.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示：，代數(shù)式表示不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，由圖象可知：直線的斜率最大，由，即，即的最大值為：，因此的最大值為，故選：A7、D【解析】對(duì)于①在方程中換為，換為可判斷；對(duì)于②分析曲線的圖形是兩個(gè)拋物線的部分組成的可判斷；對(duì)于③在第一象限內(nèi)，分析橢圓的圖形與曲線圖形的位置關(guān)系可判斷.【詳解】在曲線的方程中，換為，換為，方程不變，故曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱所以①正確,當(dāng)時(shí)，曲線的方程化為，此時(shí)當(dāng)時(shí)，曲線的方程化為，此時(shí)所以曲線圖形是兩個(gè)拋物線的部分組成的，不是橢圓，故②不正確.當(dāng)，時(shí)，設(shè)，設(shè)，則，（當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立）所以在第一象限內(nèi)，橢圓的圖形在曲線的上方.根據(jù)曲線和橢圓的的對(duì)稱性可得橢圓的圖形在曲線的外部（四個(gè)頂點(diǎn)在曲線上）所以曲線圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積，故③正確.故選：D8、D【解析】根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程，可直接得出拋物線的焦點(diǎn)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【詳解】準(zhǔn)線方程為，則說明拋物線的焦點(diǎn)在軸的正半軸則其標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為：則準(zhǔn)線方程為：解得：則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：故選：D9、B【解析】按照框圖考慮成立和不成立即可求解.【詳解】因?yàn)?，，，所以輸入，?dāng)成立時(shí)，，即，解得，，滿足條件；當(dāng)不成立時(shí)，，即，解得，，不滿足條件；故.故選：B.10、B【解析】由直線方程的性質(zhì)依次判斷各命題即可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于①，直線，令，則，直線在軸上的截距為-，則①錯(cuò)誤；對(duì)于②，直線的斜率為，傾斜角為，則②正確；對(duì)于③直線，由點(diǎn)斜式方程可知直線必過定點(diǎn)，則③正確；對(duì)于④，兩條平行直線與間的距離為，則④錯(cuò)誤.故選：B.11、D【解析】由分層抽樣各層成比例計(jì)算即可【詳解】設(shè)高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)為,則,解得故選:D12、A【解析】判斷圓與的位置并求出直線AB方程，再求圓心C到直線AB距離即可計(jì)算作答.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，，即圓與相交，直線AB方程為：，圓的圓心，半徑，點(diǎn)C到直線AB距離的距離，所以圓C上的動(dòng)點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或##或【解析】利用平行直線間距離公式構(gòu)造方程求解即可.【詳解】方程可化為：，由平行直線間距離公式得：，解得：或.故答案為：或.14、【解析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可求得r的取值范圍，再利用過圓內(nèi)一點(diǎn)最短的弦，結(jié)合弦長公式可得到關(guān)于r的方程，求解即可.【詳解】由點(diǎn)在圓C：內(nèi)，且所以，又，解得過圓內(nèi)一點(diǎn)最短的弦，應(yīng)垂直于該定點(diǎn)與圓心的連線，即圓心到直線的距離為又，所以，解得故答案為：15、【解析】利用基本不等式得出取得最大值時(shí)的條件結(jié)合可知，再利用點(diǎn)在橢圓方程上，故可求得、的值,進(jìn)而求出橢圓的面積.詳解】由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，由可知，∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)，∴，解得，，則橢圓的面積為.故答案為：.16、64【解析】用字母進(jìn)行一般化研究,先求出切點(diǎn)弦方程,再聯(lián)立化簡,最后代入數(shù)據(jù)計(jì)算【詳解】設(shè),點(diǎn)處的切線方程為聯(lián)立,得由,得即,解得所以點(diǎn)處的切線方程為,整理得同理,點(diǎn)處的切線方程為設(shè)為兩切線的交點(diǎn),則所以在直線上即直線AB的方程為又直線AB經(jīng)過焦點(diǎn)所以,即聯(lián)立得所以所以本題中所以故答案為:64【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛:過點(diǎn)作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)弦的方程為三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）當(dāng)時(shí)，每瓶酸梅湯的利潤最大，最大利潤為28.8π【解析】（1）直接由條件寫出關(guān)系式即可；（2）直接求導(dǎo)確定單調(diào)性后，求出最大值即可.【小問1詳解】設(shè)瓶子的制造成本c與瓶子的半徑r的平方成正比的比例系數(shù)等于k，則瓶子的制造成本，由題意，當(dāng)時(shí)，∴，即瓶子的制造成本∴每瓶酸梅湯的利潤是，∴每瓶酸梅湯的利潤關(guān)于r的函數(shù)關(guān)系式為：，【小問2詳解】由（1）知，則，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，每瓶酸梅湯的利潤最大，最大利潤為28.8π.18、（1）極小值為，無極大值（2）答案見解析【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由得增區(qū)間，得減區(qū)間，從而得極值；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論確定和解得單調(diào)性小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，(x>0)則令，得，得，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；單調(diào)遞增區(qū)間為.所以的極小值為f(2)=，無極大值.【小問2詳解】令則當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，得，，得;，得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.19、（1）證明見解析；（2）存在，.【解析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和直線的單位向量，從而可證明線面平行.(2)令，，設(shè)，求出，結(jié)合已知條件可列出關(guān)于的方程，從而可求出的值.【詳解】證明：過作于點(diǎn)，則，以為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則，，，

，，，∵為的中點(diǎn)．∴．則，，，設(shè)平面的法向量為，則令，則，，∴．∴，即，又平面．∴平面解：令，，設(shè)，∴．∴，∴

.由知，平面的法向量為.∵直線與平面所成角的正弦值為，∴，化簡得，即，∵，∴，故【點(diǎn)睛】本題考查了利用空間向量證明線面平行，考查了平面法向量的求解，屬于中檔題.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）先證，，再證平面即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，先求出面與面的法向量，再計(jì)算夾角余弦值即可.小問1詳解】取中點(diǎn)，連接，則四邊形為平行四邊形，，為直角三角形，且.又平面，平面，.又，平面.【小問2詳解】，為等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸建立空間坐標(biāo)系，如圖令，則，設(shè)面的法向量為，則由得取，則設(shè)面的法向量為，則由得取，則設(shè)面與面的夾角為，則所以面與面的夾角的余弦值為.21、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】（1）以為原點(diǎn),為軸,為軸，為軸,建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè),,，求出，，，，0，，，，，從而，由此能證明共面（2）求出，0，，，，，由，能證明【詳解】證明：如圖，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，則0，，0，，2b，，2b，，0，，為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，0，，b，，b，，，2b，，共面.（2），【點(diǎn)睛