山西省長治市第九中學2023年高二上數學期末考試模擬試題含解析

山西省長治市第九中學2023年高二上數學期末考試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在長方體中，，，點分別在棱上，，，則（）A. B.C. D.2．若離散型隨機變量的所有可能取值為1，2，3，…，n，且取每一個值的概率相同，若，則n的值為（）A.4 B.6C.9 D.103．已知函數是定義在上奇函數，，當時，有成立，則不等式的解集是（）A. B.C. D.4．過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點,點是原點,若;則的面積為（）A. B.C. D.5．空氣質量指數大小分為五級指數越大說明污染的情況越嚴重，對人體危害越大，指數范圍在：，，，，分別對應“優(yōu)”、“良”、“輕中度污染”、“中度重污染”、“重污染”五個等級，如圖是某市連續(xù)14天的空氣質量指數趨勢圖，下面說法錯誤的是（）.A.這14天中有4天空氣質量指數為“良”B.從2日到5日空氣質量越來越差C.這14天中空氣質量的中位數是103D.連續(xù)三天中空氣質量指數方差最小是9日到11日6．已知實數，滿足，則的最大值為（）A. B.C. D.7．已知曲線的方程為，則下列說法正確的是（）①曲線關于坐標原點對稱；②曲線是一個橢圓；③曲線圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積.A.① B.①②C.③ D.①③8．若拋物線的準線方程是，則拋物線的標準方程是（）A. B.C. D.9．某次數學考試試卷評閱采用“雙評+仲裁”的方式，規(guī)則如下：兩位老師獨立評分，稱為一評和二評，當兩者所評分數之差的絕對值小于或等于分時，取兩者平均分為該題得分；當兩者所評分數之差的絕對值大于分時，再由第三位老師評分，稱之為仲裁，取仲裁分數和一、二評中與之接近的分數的平均分為該題得分.如圖所示，當，，時，則（）A. B.C.或 D.10．①直線在軸上的截距為；②直線的傾斜角為；③直線必過定點；④兩條平行直線與間的距離為.以上四個命題中正確的命題個數為（）A. B.C. D.11．在中國共產黨建黨100周年之際,廣安市某中學組織了“黨史知識競賽”活動,已知該校共有高中學生1000人,用分層抽樣的方法從該校高中學生中抽取一個容量為25的樣本參加活動,其中高二年級抽取了8人,則該校高二年級學生人數為()A.960 B.720C.640 D.32012．已知圓與圓相交于A、B兩點，則圓上的動點P到直線AB距離的最大值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線與之間的距離為，則__________14．已知點在圓C：（）內，過點M的直線被圓C截得的弦長最小值為8，則______15．阿基米德（公元前287—公元前212年）不僅是著名的物理學家，也是著名的數學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．已知橢圓經過點，則當取得最大值時，橢圓的面積為_________16．已知過點作拋物線的兩條切線,切點分別為A、B,直線經過拋物線C的焦點F,則___________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）球形物體天然萌，某食品廠沿襲老字號傳統(tǒng)，獨家制造并使用球形玻璃瓶用于售賣酸梅湯，其中瓶子的制造成本c（分）與瓶子的半徑r（cm）的平方成正比，且當cm時，制造成本c為3.2π分，已知每出售1mL的酸梅湯，可獲得0.2分，且制作的瓶子的最大半徑為6cm（1）寫出每瓶酸梅湯的利潤y與r的關系式（提示：）；（2）瓶子半徑多大時，每瓶酸梅湯的利潤最大，最大為多少？（結果用含π的式子表示）18．（12分）已知函數（1）當時，求的極值；（2）討論的單調性19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，為的中點（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，說明理由20．（12分）四棱錐中，平面，四邊形為平行四邊形，（1）若為中點，求證平面；（2）若，求面與面的夾角的余弦值.21．（12分）如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點P，平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點求證：（1）共面；（2）求證：22．（10分）如圖，在四棱錐中，側面底面ABCD，側棱，底面ABCD為直角梯形，其中，，，（1）求證：平面ACF；（2）在線段PB上是否存在一點H，使得CH與平面ACF所成角的正弦值為？若存在，求出線段PH的長度；若不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】依題意可得，從而得到，即可得到，從而得解；【詳解】解：由長方體的性質可得，又，所以，因為，所以，所以，因為，所以；故選：D2、D【解析】根據分布列即可求出【詳解】因為，所以故選：D3、A【解析】構造函數，分析該函數的定義域與奇偶性，利用導數分析出函數在上為增函數，從而可知該函數在上為減函數，綜合可得出原不等式的解集.【詳解】令，則函數的定義域為，且，則函數為偶函數，所以，，當時，，所以，函數在上為增函數，故函數在上為減函數，由等價于或：當時，由可得；當時，由可得.綜上所述，不等式的解集為.故選：A.4、C【解析】拋物線焦點為，準線方程為，由得或所以，故答案為C考點：1、拋物線的定義；2、直線與拋物線的位置關系5、C【解析】根據題圖分析數據，對選項逐一判斷【詳解】對于A，14天中有1，3，12，13共4日空氣質量指數為“良”，故A正確對于B，從2日到5日空氣質量指數越來越高，故空氣質量越來越差，故B正確對于C，14個數據中位數為：，故C錯誤對于D，觀察折線圖可知D正確故選：C6、A【解析】畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，利用直線的斜率公式模型進行求解即可.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示：，代數式表示不等式組所表示的平面區(qū)域內的點與點連線的斜率，由圖象可知：直線的斜率最大，由，即，即的最大值為：，因此的最大值為，故選：A7、D【解析】對于①在方程中換為，換為可判斷；對于②分析曲線的圖形是兩個拋物線的部分組成的可判斷；對于③在第一象限內，分析橢圓的圖形與曲線圖形的位置關系可判斷.【詳解】在曲線的方程中，換為，換為，方程不變，故曲線關于坐標原點對稱所以①正確,當時，曲線的方程化為，此時當時，曲線的方程化為，此時所以曲線圖形是兩個拋物線的部分組成的，不是橢圓，故②不正確.當，時，設，設，則，（當且僅當或時等號成立）所以在第一象限內，橢圓的圖形在曲線的上方.根據曲線和橢圓的的對稱性可得橢圓的圖形在曲線的外部（四個頂點在曲線上）所以曲線圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積，故③正確.故選：D8、D【解析】根據拋物線的準線方程，可直接得出拋物線的焦點，進而利用待定系數法求得拋物線的標準方程【詳解】準線方程為，則說明拋物線的焦點在軸的正半軸則其標準方程可設為：則準線方程為：解得：則拋物線的標準方程為：故選：D9、B【解析】按照框圖考慮成立和不成立即可求解.【詳解】因為，，，所以輸入，當成立時，，即，解得，，滿足條件；當不成立時，，即，解得，，不滿足條件；故.故選：B.10、B【解析】由直線方程的性質依次判斷各命題即可得出結果.【詳解】對于①，直線，令，則，直線在軸上的截距為-，則①錯誤；對于②，直線的斜率為，傾斜角為，則②正確；對于③直線，由點斜式方程可知直線必過定點，則③正確；對于④，兩條平行直線與間的距離為，則④錯誤.故選：B.11、D【解析】由分層抽樣各層成比例計算即可【詳解】設高二年級學生人數為,則,解得故選:D12、A【解析】判斷圓與的位置并求出直線AB方程，再求圓心C到直線AB距離即可計算作答.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，，即圓與相交，直線AB方程為：，圓的圓心，半徑，點C到直線AB距離的距離，所以圓C上的動點P到直線AB距離的最大值為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或##或【解析】利用平行直線間距離公式構造方程求解即可.【詳解】方程可化為：，由平行直線間距離公式得：，解得：或.故答案為：或.14、【解析】根據點與圓的位置關系，可求得r的取值范圍，再利用過圓內一點最短的弦，結合弦長公式可得到關于r的方程，求解即可.【詳解】由點在圓C：內，且所以，又，解得過圓內一點最短的弦，應垂直于該定點與圓心的連線，即圓心到直線的距離為又，所以，解得故答案為：15、【解析】利用基本不等式得出取得最大值時的條件結合可知，再利用點在橢圓方程上，故可求得、的值,進而求出橢圓的面積.詳解】由基本不等式可得，當且僅當時取得最大值，由可知，∵橢圓經過點，∴，解得，，則橢圓的面積為.故答案為：.16、64【解析】用字母進行一般化研究,先求出切點弦方程,再聯立化簡,最后代入數據計算【詳解】設,點處的切線方程為聯立,得由,得即,解得所以點處的切線方程為,整理得同理,點處的切線方程為設為兩切線的交點,則所以在直線上即直線AB的方程為又直線AB經過焦點所以,即聯立得所以所以本題中所以故答案為:64【點睛】結論點睛:過點作拋物線的兩條切線,切點弦的方程為三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）當時，每瓶酸梅湯的利潤最大，最大利潤為28.8π【解析】（1）直接由條件寫出關系式即可；（2）直接求導確定單調性后，求出最大值即可.【小問1詳解】設瓶子的制造成本c與瓶子的半徑r的平方成正比的比例系數等于k，則瓶子的制造成本，由題意，當時，∴，即瓶子的制造成本∴每瓶酸梅湯的利潤是，∴每瓶酸梅湯的利潤關于r的函數關系式為：，【小問2詳解】由（1）知，則，令，則，當時，；當時，∴函數在上單調遞減，在上單調遞增，∴當時，每瓶酸梅湯的利潤最大，最大利潤為28.8π.18、（1）極小值為，無極大值（2）答案見解析【解析】（1）求出導函數，由得增區(qū)間，得減區(qū)間，從而得極值；（2）求出導函數，分類討論確定和解得單調性小問1詳解】當時，，(x>0)則令，得，得，得，所以的單調遞減區(qū)間為；單調遞增區(qū)間為.所以的極小值為f(2)=，無極大值.【小問2詳解】令則當時，在上單調遞減.當時，，得，，得;，得在上單調遞減，在上單調遞增，綜上所述，當時，在上單調遞減.當時，在上單調遞減，在上單調遞增.19、（1）證明見解析；（2）存在，.【解析】(1)建立空間直角坐標系，求出平面的法向量和直線的單位向量，從而可證明線面平行.(2)令，，設，求出，結合已知條件可列出關于的方程，從而可求出的值.【詳解】證明：過作于點，則，以為原點，，，所在的直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系則，，，

，，，∵為的中點．∴．則，，，設平面的法向量為，則令，則，，∴．∴，即，又平面．∴平面解：令，，設，∴．∴，∴

.由知，平面的法向量為.∵直線與平面所成角的正弦值為，∴，化簡得，即，∵，∴，故【點睛】本題考查了利用空間向量證明線面平行，考查了平面法向量的求解，屬于中檔題.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）先證，，再證平面即可；（2）建立空間直角坐標系，先求出面與面的法向量，再計算夾角余弦值即可.小問1詳解】取中點，連接，則四邊形為平行四邊形，，為直角三角形，且.又平面，平面，.又，平面.【小問2詳解】，為等邊三角形，取中點，連接，則，以為坐標原點，分別以為軸建立空間坐標系，如圖令，則，設面的法向量為，則由得取，則設面的法向量為，則由得取，則設面與面的夾角為，則所以面與面的夾角的余弦值為.21、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】（1）以為原點,為軸,為軸，為軸,建立空間直角坐標系，設,,，求出，，，，0，，，，，從而，由此能證明共面（2）求出，0，，，，，由，能證明【詳解】證明：如圖，以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，設，，，則0，，0，，2b，，2b，，0，，為AB的中點，F為PC的中點，0，，b，，b，，，2b，，共面.（2），【點睛