上海市嘉定區(qū)2024屆數學高二上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

上海市嘉定區(qū)2024屆數學高二上期末統(tǒng)考模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．命題“對任意，都有”的否定是（）A.對任意，都有 B.存在，使得C.對任意，都有 D.存在，使得2．過兩點和的直線的斜率為（）A. B.C. D.3．“”是“圓與軸相切”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4．設拋物線的焦點為，準線與軸的交點為，是上一點，若，則（）A. B.C. D.5．甲、乙同時參加某次數學檢測，成績?yōu)閮?yōu)秀的概率分別為、，兩人的檢測成績互不影響，則兩人的檢測成績都為優(yōu)秀的概率為（）A. B.C. D.6．已知命題，；命題，，那么下列命題為假命題的是（）A. B.C. D.7．已知函數為偶函數，則在處的切線方程為（）A. B.C. D.8．已知向量，則（）A.5 B.6C.7 D.89．若雙曲線的離心率為3，則的最小值為（）A. B.1C. D.210．在空間直角坐標系中，若，，則（）A. B.C. D.11．已知向量＝（3，0，1），＝（﹣2，4，0），則3+2等于（）A.（5，8，3） B.（5，﹣6，4）C.（8，16，4） D.（16，0，4）12．已知函數的值域為，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若＝，則x的值為_______14．函數y＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，則a＝________.15．已知數列滿足，，則_____________.16．已知A(1,3)，B(5，－2)，點P在x軸上，則使|AP|－|BP|取最大值的點P的坐標是________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數列的首項為2，公差為8.在中每相鄰兩項之間插入三個數，使它們與原數列的項一起構成一個新的等差數列.（1）求數列的通項公式；（2）若，，，，是從中抽取的若干項按原來的順序排列組成的一個等比數列，，，令，求數列的前項和.18．（12分）在2016珠海航展志愿服務開始前，團珠海市委調查了北京師范大學珠海分校某班50名志愿者參加志愿服務禮儀培訓和賽會應急救援培訓的情況，數據如下表：單位：人參加志愿服務禮儀培訓未參加志愿服務禮儀培訓參加賽會應急救援培訓88未參加賽會應急救援培訓430（1）從該班隨機選1名同學，求該同學至少參加上述一個培訓的概率；（2）在既參加志愿服務禮儀培訓又參加賽會應急救援培訓的8名同學中，有5名男同學A，A，A，A，A名女同學B，B，B現從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，求A被選中且B未被選中的概率.19．（12分）已知點關于直線的對稱點為Q，以Q為圓心的圓與直線相交于A，B兩點，且（1）求圓Q的方程；（2）過坐標原點O任作一直線交圓Q于C，D兩點，求證：為定值20．（12分）已知等差數列滿足：成等差數列，成等比數列.（1）求的通項公式：（2）在數列的每相鄰兩項與間插入個，使它們和原數列的項構成一個新數列，數列的前項和記為，求及.21．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率，且過點（1）求橢圓C的方程；（2）已知過的直線l交橢圓C于A、B兩點，試探究在平面內是否存在定點Q，使得是一個確定的常數？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由22．（10分）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，已知平面，且，E為中點（1）證明：平面；（2）證明：平面平面

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據全稱命題的否定是特稱命題形式，可判斷正確答案.【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“對任意，都有”的否定是“存在，使得”故選：B.2、D【解析】應用兩點式求直線斜率即可.【詳解】由已知坐標，直線的斜率為.故選：D3、A【解析】根據充分不必要條件的定義和圓心到軸的距離求出可得答案.【詳解】時，圓的圓心坐標為，半徑為2，此時圓與軸相切；當圓與軸相切時，因為圓的半徑為2，所以圓心到軸的距離為，所以，“”是“圓與軸相切”的充分不必要條件故選：A4、D【解析】求出拋物線的準線方程，可得出點的坐標，利用拋物線的定義可求得點的坐標，再利用兩點間的距離公式可求得結果.【詳解】易知拋物線焦點為，準線方程為，可得準線與軸的交點，設點，由拋物線的性質，，可得，所以，，解得，即點，所以.故選：D.5、D【解析】利用相互獨立事件概率乘法公式直接求解.【詳解】甲、乙同時參加某次數學檢測，成績?yōu)閮?yōu)秀的概率分別為、，兩人的檢測成績互不影響，則兩人的檢測成績都為優(yōu)秀的概率為.故選：D6、B【解析】由題設命題的描述判斷、的真假，再判斷其復合命題的真假即可.【詳解】對于命題，僅當時，故為假命題；對于命題，由且開口向上，故為真命題；所以為真命題，為假命題，綜上，為真，為假，為真，為真.故選：B7、A【解析】根據函數是偶函數可得，可求出，求出函數在處的導數值即為切線斜率，即可求出切線方程.【詳解】函數為偶函數，，即，解得，，則，，且，切線方程為，整理得.故選：A.【點睛】本題考查函數奇偶性的應用，考查利用導數求切線方程，屬于基礎題.8、A【解析】利用空間向量的模公式求解.【詳解】因向量，所以，故選：A9、D【解析】由雙曲線的離心率為3和，求得，化簡，結合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線的離心率為3，即，即，又由，可得，所以，當且僅當，即時，“”成立.故選：D【點睛】使用基本不等式解答問題的策略：1、利用基本不等式求最值時，要注意三點：一是各項為正；二是尋求定值；三是考慮等號成立的條件；2、若多次使用基本不等式時，容易忽視等號的條件的一致性，導致錯解；3、巧用“拆”“拼”“湊”：在使用基本不等式時，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中的“正、定、等”的條件.10、B【解析】直接利用空間向量的坐標運算求解.【詳解】解：因為，，所以.故選：B11、A【解析】直接根據空間向量的線性運算，即可得到答案；【詳解】，故選：A12、D【解析】求出函數在時值的集合，函數在時值的集合，再由已知并借助集合包含關系即可作答.【詳解】當時，在上單調遞增，，，則在上值的集合是，當時，，，當時，，當時，，即在上單調遞減，在上單調遞增，，，則在上值的集合為，因函數的值域為，于是得，則，解得，所以實數的取值范圍是.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4或9.【解析】分析：先根據組合數性質得，解方程得結果詳解：因為＝，所以因此點睛：組合數性質：14、4【解析】∵y′＝3x2＋2ax＋b，∴或當a＝－3，b＝3時，y′＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立，故舍去．所以a＝415、【解析】由題設可得，應用累加法有，結合已知即可求.【詳解】由題設，，所以，又，所以.故答案為：.16、【解析】首先求得點A關于x軸的對稱點，然后數形結合結合直線方程求解點P的坐標即可.【詳解】點A(1,3)關于x軸的對稱點為A′(1，－3)，如圖所示，連接A′B并延長交x軸于點P，即為所求直線A′B的方程是y＋3＝(x－1)，即.令y＝0，得x＝13則點P的坐標是.【點睛】本題主要考查直線方程的應用，最值問題的求解，等價轉化的數學思想等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）由題意在中每相鄰兩項之間插入三個數，使它們與原數列的項一起構成一個新的等差數列，可知的公差，進而可求出其通項公式；（2）根據題意可得，進而得到，再代入中得，利用錯位相減即可求出前項和.【小問1詳解】由于等差數列的公差為8，在中每相鄰兩項之間插入三個數，使它們與原數列的項一起構成一個新的等差數列，則的公差，的首項和首項相同為2，則數列的通項公式為.【小問2詳解】由于，是等比數列的前兩項，且，，則，則等比數列的公比為3，則，即，.①.②.①減去②得..18、（1）；（2）.【解析】（1）根據表中數據知未參加志愿服務禮儀培訓又未參加賽會應急救援培訓的有30人，故至少參加上述一個培訓的共有人.從而求得概率；（2）從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，列出其一切可能的結果，從而求得被選中且未被選中的概率.【詳解】解：由調查數據可知，既未參加志愿服務禮儀培訓又未參加賽會應急救援培訓的有30人，故至少參加上述一個培訓的共有人.從該班隨機選1名同學，該同學至少參加上述一個培訓的概率為；從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，其一切可能的結果組成的基本事件有：，，，共15個，根據題意，這些基本事件的出現是等可能的，事件“被選中且未被選中”所包含的基本事件有：，共2個，被選中且未被選中的概率為.19、（1）（2）證明見解析【解析】（1）先求出點坐標，然后根據圓心到直線的距離公式及的值求出半徑即可求得圓的方程.（2）設出直線方程，聯立圓和直線方程利用韋達定理來求解.【小問1詳解】解：點關于直線的對稱點Q為由Q到直線的距離，所以所以圓的方程為【小問2詳解】當直線CD斜率不存在時，，所以.當直線CD斜率存在時，設為k，則直線為，記，聯立，得所以，綜上，為定值520、（1）；（2），.【解析】（1）根據等差數列和等比數列的通項公式進行求解即可；（2）根據等差數列的通項公式，結合等比數列的前項和公式進行求解即可.【小問1詳解】設等差數列的公差為，因為成等差數列，所以有，因成等比數列，所以，所以；【小問2詳解】由題意可知：在和之間插入個，在和之間插入個，，在和之間插入個，此時共插入的個數為：，在和之間插入個，此時共插入的個數為：，因此.21、（1）（2）存在，定點【解析】（1）根據已知條件求得，由此求得橢圓的方程.（2）對直線的斜率是否存在進行分類討論，設出直線的方程并與橢圓方程聯立，結合是常數列方程，從而求得定點的坐標.小問1詳解】，，由題可得：.【小問2詳解】當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為，設，，聯立方程組，整理得，可得，所以則恒成立，則，解得，，，此時，即存在定點滿足條件當直線AB的斜率不存在時，直線AB的方程為x＝－2，可得，，設要使得是