山南市重點(diǎn)中學(xué)2024屆高二上數(shù)學(xué)期末考試模擬試題含解析

山南市重點(diǎn)中學(xué)2024屆高二上數(shù)學(xué)期末考試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若直線過點(diǎn)（1，2），（4，2＋），則此直線的傾斜角是（）A.30° B.45°C.60° D.90°2．已知為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，，則下列和與公差無關(guān)的是（）A. B.C. D.3．已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為A. B.C. D.4．已知點(diǎn)，，，動點(diǎn)P滿足，則的取值范圍為（）A. B.C. D.5．定義在R上的函數(shù)與函數(shù)在上具有相同的單調(diào)性，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.6．現(xiàn)有一根金錘，長5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，若該金錘從頭到尾，每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列，該金錘共重（）斤A.6 B.7C.9 D.157．已知，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B.C. D.8．下列四個命題中，為真命題的是（）A.若a＞b，則ac2＞bc2B.若a＞b，c＞d，則a﹣c＞b﹣dC.若a＞|b|，則a2＞b2D.若a＞b，則9．下列說法中正確的是（）A.存在只有4個面的棱柱 B.棱柱的側(cè)面都是四邊形C.正三棱錐的所有棱長都相等 D.所有幾何體的表面都能展開成平面圖形10．圓與直線的位置關(guān)系為（）A.相切 B.相離C.相交 D.無法確定11．等差數(shù)列前項(xiàng)和，已知，，則的值是（）.A. B.C. D.12．已知，，直線：，：，且，則的最小值為（）A.2 B.4C.8 D.9二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖是一個邊長為4的正方形二維碼,為了測算圖中黑色部分的面積,在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲1600個點(diǎn),其中落入白色部分的有700個點(diǎn),據(jù)此可估計黑色部分的面積為______________14．i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)______15．甲乙兩艘輪船都要在某個泊位停靠8個小時，假定它們在一晝夜的時間段內(nèi)隨機(jī)地到達(dá)，則兩船中有一艘在?？坎次粫r、另一艘船必須等待的概率為______.16．如圖所示，在平行六面體中，，若，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)A，B是橢圓C的上，下頂點(diǎn)，點(diǎn)P是直線上的動點(diǎn)，直線PA與橢圓C的另一交點(diǎn)為E，直線PB與橢圓C的另一交點(diǎn)為F．證明：直線EF過定點(diǎn)18．（12分）已知橢圓：，的左右焦點(diǎn)，是雙曲線的左右頂點(diǎn)，的離心率為，的離心率為，點(diǎn)在上，過點(diǎn)E和，分別作直線交橢圓于，和，點(diǎn)，如圖.（1）求，的方程；（2）求證：直線和的斜率之積為定值；（3）求證：為定值.19．（12分）設(shè)：實(shí)數(shù)滿足，：實(shí)數(shù)滿足.（1）若，且為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知橢圓，點(diǎn)在上，，且（1）求出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)；（不需要證明）（2）過A點(diǎn)作的垂線，垂足為，是否存在點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.21．（12分）從橢圓上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)，A是橢圓C與x軸正半軸的交點(diǎn)，直線AP的斜率為，若橢圓長軸長為8（1）求橢圓C的方程；（2）點(diǎn)Q為橢圓上任意一點(diǎn)，求面積的最大值22．（10分）已知動點(diǎn)在橢圓：（）上，，為橢圓左、右焦點(diǎn)．過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，點(diǎn)滿足，且點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn)的圓（1）求橢圓方程；（2）過點(diǎn)，分別作平行直線和，設(shè)交橢圓于點(diǎn)，，交橢圓于點(diǎn)，，求四邊形的面積的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】求出直線的斜率，由斜率得傾斜角【詳解】由題意直線斜率為，所以傾斜角為故選：A2、C【解析】依題意根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，再根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，所以，，，，故選：C3、D【解析】根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)得到2p=4,進(jìn)而得到方程.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是,即p=2,2p=4,故得到方程為.故答案為D.【點(diǎn)睛】這個題目考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，題目較為簡單.4、C【解析】由題設(shè)分析知的軌跡為(不與重合)，要求的取值范圍，只需求出到圓上點(diǎn)的距離范圍即可.【詳解】由題設(shè)，在以為直徑的圓上，令，則(不與重合)，所以的取值范圍，即為到圓上點(diǎn)的距離范圍，又圓心到的距離，圓的半徑為2，所以的取值范圍為，即.故選：C5、B【解析】判定函數(shù)單調(diào)性，再利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)在的單調(diào)性列式計算作答.【詳解】由函數(shù)得：，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，則在R上單調(diào)遞減，于是得函數(shù)在上單調(diào)遞減，即，，即，而在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則，所以k的取值范圍是.故選：B6、D【解析】設(shè)該等差數(shù)列為，其公差為，根據(jù)題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】設(shè)該等差數(shù)列為，其公差為，由題意知，，由，解得，所以.故選：D7、A【解析】根據(jù)給定條件求出平面的法向量，再利用空間向量求出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】依題意，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，則點(diǎn)到平面的距離為，所以點(diǎn)到平面的距離為.故選：A8、C【解析】利用不等式的性質(zhì)結(jié)合特殊值法依次判斷即可【詳解】當(dāng)c＝0時，A不成立；2>1，3>－1，而2－3<1－(－1)，故B不成立；a＝2，b＝1時，，D不成立；由a>|b|知a>0，所以a2>b2，C正確故選：C9、B【解析】對于A、B：由棱柱的定義直接判斷；對于C：由正三棱錐的側(cè)棱長和底面邊長不一定相等，即可判斷；對于D：由球的表面不能展開成平面圖形即可判斷【詳解】對于A：棱柱最少有5個面，則A錯誤；對于B：棱柱的所有側(cè)面都是平行四邊形，則B正確；對于C：正三棱錐的側(cè)棱長和底面邊長不一定相等，則C錯誤；對于D：球的表面不能展開成平面圖形，則D錯誤故選：B10、C【解析】先計算出直線恒過定點(diǎn)，而點(diǎn)在圓內(nèi)，所以圓與直線相交.【詳解】直線可化為，所以恒過定點(diǎn).把代入，有：，所以在圓內(nèi)，所以圓與直線的位置關(guān)系為相交.故選：C11、C【解析】由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，故，故，故選12、C【解析】由，可求得，再由，利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為8.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查垂直直線的性質(zhì)，考查利用基本不等式求最值，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、9【解析】先根據(jù)點(diǎn)數(shù)求解概率,再結(jié)合幾何概型求解黑色部分的面積【詳解】由題設(shè)可估計落入黑色部分概率設(shè)黑色部分的面積為,由幾何概型計算公式可得解得故答案為:914、【解析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡求解即可.【詳解】故答案為：.15、【解析】利用幾何概型的面積型概率計算，作出邊長為24的正方形面積，求出部分的面積，即可求得答案.【詳解】設(shè)甲乙兩艘輪船到達(dá)的時間分為，則，記事件為兩船中有一艘在?？坎次粫r、另一艘船必須等待，則，即∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時注意對概率模型的抽象成面積型.16、2【解析】題中幾何體為平行六面體，就要充分利用幾何體的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，,再將轉(zhuǎn)化為，以及將轉(zhuǎn)化為,,總之等式右邊為，，,從而得出，.【詳解】解：因?yàn)?，又，所以，，則.故答案為：2.【點(diǎn)睛】要充分利用幾何體的幾何特征，以及將作為轉(zhuǎn)化的目標(biāo)，從而得解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)題意，列出的方程組，通過解方程組，即可求出答案.（2）法一：設(shè)，，；當(dāng)時，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)寫出直線PA的方程，與橢圓方程聯(lián)立，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；同理可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后即可求出直線EF的方程，從而證明直線EF過定點(diǎn).法二：首先根據(jù)時直線EF的方程為，可判斷出直線EF過的定點(diǎn)M必在y軸上，設(shè)為；然后同方法一，求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，根據(jù)，即可求出的值.【小問1詳解】由題意，知，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】法一：設(shè)，，，當(dāng)時，直線PA的方程為，由，得解得，所以．所以同理可得所以直線EF的斜率為，所以直線EF的方程為，整理得，所以直線EF過定點(diǎn)當(dāng)時，點(diǎn)E，F(xiàn)在y軸上，EF的方程為，顯然過點(diǎn)綜上，直線EF過定點(diǎn)法二：當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時，E，F(xiàn)分別與B，A重合，直線EF的方程為，若直線EF過定點(diǎn)M，則M必在y軸上，可設(shè)當(dāng)點(diǎn)P不在y軸上時，設(shè)，，，則直線PA的方程為，由，得，解得，所以，所以，同理可得，所以，因?yàn)镋，F(xiàn)，M三點(diǎn)共線，所以，所以，整理得，因?yàn)椋?，解得，即所以直線EF過定點(diǎn)18、（1）：；：（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】（1）利用待定系數(shù)法，根據(jù)條件先求曲線的方程，再求曲線的方程；（2）首先設(shè)，表示直線和的斜率之積，即可求解定值；（3）首先表示直線與方程聯(lián)立消，利用韋達(dá)定理表示弦長，以及利用直線和的斜率關(guān)系，表示弦長，并證明為定值.【小問1詳解】由題設(shè)知，橢圓離心率為解得∴，∵橢圓的左右焦點(diǎn)，是雙曲線的左右頂點(diǎn)，∴設(shè)雙曲線：∴的離心率為解得.∴：：；【小問2詳解】證明：∵點(diǎn)在上∴設(shè)則，∴.∴直線和的斜率之積為定值1；【小問3詳解】證明：設(shè)直線和的斜率分別為，，則設(shè)，：與方程聯(lián)立消得“*”則，是“*”的二根則則同理∴.19、（1）（2）【解析】（1）首先分別求出、為真時參數(shù)的取值范圍，再由為真，取并集即可；（2）首先解一元二次不等式，依題意是的必要不充分條件，則可推出，而不能推出，即可得到不等式組，解得即可；【小問1詳解】解：當(dāng)時，，即，解得，即為真時，實(shí)數(shù)的取值范圍為實(shí)數(shù)滿足，即，解得：，即為真時，實(shí)數(shù)的取值范圍為因，所以，即；【小問2詳解】解：由，即，所以，因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以是的必要不充分條件，則可推出，而不能推出，則，解得；20、（1）（2）存在，【解析】（1）分斜率存在和斜率不存在兩種情況，當(dāng)斜率存在時，設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理列出方程，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)斜率不存在時，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行求解；（2）結(jié)合第一問的定點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合直角三角形斜邊中線得到存在點(diǎn)，使得為定值，求出結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)，若直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程消去并整理得：，可得，因?yàn)?，所以，即，根?jù)，代入整理可得：，所以，整理化簡得:，因?yàn)椴辉谥本€上，所以，故，于是的方程為，所以直線過定點(diǎn)直線過定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時，可得，由得：，得，結(jié)合可得：，解得：或（舍）.此時直線過點(diǎn)【小問2詳解】由（1）可知因?yàn)?，取中點(diǎn)，則此時，【點(diǎn)睛】直線過定點(diǎn)問題，一般處理思路是分斜率存在和斜率不存在兩種情況，特別是斜率存在時，設(shè)出直線為，聯(lián)立后用韋達(dá)定理得到兩根之和與兩根之積，結(jié)合題干條件得到等量關(guān)系，求出的關(guān)系，進(jìn)而得到定點(diǎn)坐標(biāo).21、（1）（2）18【解析】（1）易得，，進(jìn)而有，再結(jié)合已知即可求解；（2）由（1）易得直線AP的方程為，，設(shè)與直線AP平行的直線方程為，由題意，當(dāng)該直線與橢圓相切時，記與AP距離比較遠(yuǎn)的直線與橢圓的切點(diǎn)為Q，此時的面積取得最大值，將代入橢圓方程，聯(lián)立即可得與AP距離比較遠(yuǎn)的切線方程，從而即可求解.【小問1詳解】解：由題意，將代入橢圓方程，得，又∵，∴，化簡得，解得，又，，所以，∴，∴橢圓的方程為；【小問2詳解】解：由（1）知，直線AP的方程為，即，設(shè)與直線AP平行的直線方程為，由題意，當(dāng)該直線與橢圓相切時，記與AP距離比較遠(yuǎn)的直線與橢圓的切點(diǎn)為Q，此時的面積取得最大值，將代入橢圓方程，化簡可得，由，即，解得，所以與AP距離比較遠(yuǎn)的切線方程，因?yàn)榕c之間的距離，又，所以的面積的最大值為22、（1）；（2）【解析】(1)設(shè)點(diǎn)和，由題意可得點(diǎn)的軌跡