數(shù)學(xué)勾股定理的專項(xiàng)培優(yōu)易錯(cuò)試卷練習(xí)題附解析

數(shù)學(xué)勾股定理的專項(xiàng)培優(yōu)易錯(cuò)試卷練習(xí)題附解析一、選擇題1．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，在矩形內(nèi)部有一動(dòng)點(diǎn)P滿足S△PAB＝3S△PCD，則動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A，B兩點(diǎn)距離之和PA＋PB的最小值為（）A．5 B． C． D．2．如圖，將一個(gè)等腰直角三角形按圖示方式依次翻折，若，則下列說(shuō)法正確的是（）①平分；②長(zhǎng)為；③是等腰三角形；④的周長(zhǎng)等于的長(zhǎng)．A．①②③ B．②④ C．②③④ D．③④3．如圖，在中，平分，平分，且交于，若，則的值為A．36 B．9 C．6 D．184．如圖，中，，，．設(shè)長(zhǎng)是，下列關(guān)于的四種說(shuō)法：①是無(wú)理數(shù)；②可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示；③是13的算術(shù)平方根；④．其中所有正確說(shuō)法的序號(hào)是（）A．①② B．①③C．①②③ D．②③④5．如圖，△ABC中，AB=10，BC=12，AC=，則△ABC的面積是（）．A．36 B． C．60 D．6．A、B、C分別表示三個(gè)村莊，米，米，米，某社區(qū)擬建一個(gè)文化活動(dòng)中心，要求這三個(gè)村莊到活動(dòng)中心的距離相等，則活動(dòng)中心P的位置應(yīng)在（）A．AB的中點(diǎn) B．BC的中點(diǎn)C．AC的中點(diǎn) D．的平分線與AB的交點(diǎn)7．如圖，直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為3和4，以直角三角形的兩直邊為直徑作半圓，則陰影部分的面積是（

）A．6 B． C．2π D．128．以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，不能構(gòu)成直角三角形的是()A．3，4，5 B．1，1，C．8，12，13 D．、、9．有一個(gè)面積為1的正方形，經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后，在他的左右肩上生出兩個(gè)小正方形，其中，三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后，變成了上圖，如果繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請(qǐng)你算出“生長(zhǎng)”了2020次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是（）A．1 B．2021 C．2020 D．201910．如圖，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線l1，l2，l3上，且l1，l2之間的距離為2，l2，l3之間的距離為3，則AC的長(zhǎng)是（）A． B． C．4 D．7二、填空題11．如圖，AB＝12，AB⊥BC于點(diǎn)B，AB⊥AD于點(diǎn)A，AD＝5，BC＝10，E是CD的中點(diǎn)，則AE的長(zhǎng)是_______．12．如圖，∠MON＝90°，△ABC的頂點(diǎn)A、B分別在OM、ON上，當(dāng)A點(diǎn)從O點(diǎn)出發(fā)沿著OM向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，同時(shí)點(diǎn)B在ON上運(yùn)動(dòng)，連接OC．若AC＝4，BC＝3，AB＝5，則OC的長(zhǎng)度的最大值是________．13．如圖，點(diǎn)E在邊DB上，點(diǎn)A在內(nèi)部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC，給出下列結(jié)論，其中正確的是_____（填序號(hào)）①BD＝CE；②∠DCB＝∠ABD＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）．14．如圖，這是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為，，，若，則的值是__________．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形OAA1的直角邊OA在x軸上，點(diǎn)A1在第一象限，且OA=1，以點(diǎn)A1為直角頂點(diǎn)，OA1為一直角邊作等腰直角三角形OA1A2，再以點(diǎn)A2為直角頂點(diǎn)，OA2為直角邊作等腰直角三角形OA2A3…依此規(guī)律，則點(diǎn)A2018的坐標(biāo)是_____．16．在△ABC中，若，則最長(zhǎng)邊上的高為_(kāi)____．17．若為直角三角形，，，，點(diǎn)在斜邊上，且，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________．18．在Rt△ABC中，直角邊的長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)c，且a+b=3，c=5，則ab的值為_(kāi)_____．19．如圖,，點(diǎn)分別在上，且，點(diǎn)分別在上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為_(kāi)_____．20．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，BD是高，則點(diǎn)BD的長(zhǎng)為_(kāi)____．三、解答題21．如圖，已知中，，，，、是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為秒．（1）當(dāng)秒時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）求出發(fā)時(shí)間為幾秒時(shí)，是等腰三角形？（3）若沿方向運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求能使成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．22．如圖所示，已知中，，，，、是的邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為．（1）則____________；（2）當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)在邊的垂直平分線上？此時(shí)_________?（3）當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫(xiě)出使成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．23．（1）如圖1，在中，，，平分.求證：.小明為解決上面的問(wèn)題作了如下思考：作關(guān)于直線的對(duì)稱圖形，∵平分，∴點(diǎn)落在上，且，.因此，要證的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只要證出即可.請(qǐng)根據(jù)小明的思考，寫(xiě)出該問(wèn)題完整的證明過(guò)程.（2）參照（1）中小明的思考方法，解答下列問(wèn)題：如圖3，在四邊形中，平分，，，，求的長(zhǎng).24．已知：如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交線段于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交線段與點(diǎn).（1）根據(jù)題意用尺規(guī)作圖補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）設(shè)①線段的長(zhǎng)度是方程的一個(gè)根嗎？并說(shuō)明理由.②若線段，求的值.25．如圖，△ABC中，，AB=AC，P是線段BC上一點(diǎn),且.作點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)D,連結(jié)BD，CD，AD．（1）補(bǔ)全圖形.（2）設(shè)∠BAP的大小為α.求∠ADC的大小(用含α的代數(shù)式表示).（3）延長(zhǎng)CD與AP交于點(diǎn)E,直接用等式表示線段BD與DE之間的數(shù)量關(guān)系.26．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，，，均為等邊三角形，在軸正半軸上，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在內(nèi)部，點(diǎn)在的外部，，，與交于點(diǎn)，連接，，，.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）直接寫(xiě)出的周長(zhǎng).27．已知組正整數(shù)：第一組：3，4，5；第二組：8，6，10；第三組：15，8，17；第四組：24，10，26；第五組：35，12，37；第六組：48，14，50；…（1）是否存在一組數(shù)，既符合上述規(guī)律，且其中一個(gè)數(shù)為71？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出這組數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）以任意一個(gè)大于2的偶數(shù)為一條直角邊的長(zhǎng)，是否一定可以畫(huà)出一個(gè)直角三角形，使得該直角三角形的另兩條邊的長(zhǎng)都是正整數(shù)？若可以，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不可以，請(qǐng)舉出反例．28．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，4），B（m，0）在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)C，O關(guān)于直線AB對(duì)稱，點(diǎn)D在線段AB上．（1）如圖1，若m＝8，求AB的長(zhǎng)；（2）如圖2，若m＝4，連接OD，在y軸上取一點(diǎn)E，使OD＝DE，求證：CE＝DE；（3）如圖3，若m＝4，在射線AO上裁取AF，使AF＝BD，當(dāng)CD+CF的值最小時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出點(diǎn)D的位置，并直接寫(xiě)出這個(gè)最小值．29．已知是等邊三角形，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AD如圖1，若，，求AD的長(zhǎng)；如圖2，以AD為邊作，分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．小明通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)，提出猜想：在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，始終有，小明把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流，通過(guò)討論，形成了證明該猜想的兩種想法想法1：利用AD是的角平分線，構(gòu)造角平分線的性質(zhì)定理的基本圖形，然后通過(guò)全等三角形的相關(guān)知識(shí)獲證．想法2：利用AD是的角平分線，構(gòu)造的全等三角形，然后通過(guò)等腰三角形的相關(guān)知識(shí)獲證．請(qǐng)你參考上面的想法，幫助小明證明一種方法即可小聰在小明的基礎(chǔ)上繼續(xù)進(jìn)行思考，發(fā)現(xiàn)：四邊形AEDF的面積與AD長(zhǎng)存在很好的關(guān)系若用S表示四邊形AEDF的面積，x表示AD的長(zhǎng)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出S與x之間的關(guān)系式．30．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝2，CD是邊AB的高線，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線AC運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，以相同的速度沿射線CB運(yùn)動(dòng)．設(shè)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（t＞0）．（1）AE＝（用含t的代數(shù)式表示），∠BCD的大小是度；（2）點(diǎn)E在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：△ADE≌△CDF；（3）點(diǎn)E在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求∠EDF的度數(shù)；（4）連結(jié)BE，當(dāng)CE＝AD時(shí)，直接寫(xiě)出t的值和此時(shí)BE對(duì)應(yīng)的值．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、選擇題1．B解析：B【分析】首先由，得知?jiǎng)狱c(diǎn)P在與AB平行且與AB的距離為3的直線上，作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE、BE，則BE的長(zhǎng)就是所求的最短距離，然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值．【詳解】解：∵，設(shè)點(diǎn)P到CD的距離為h，則點(diǎn)P到AB的距離為(4-h),則，解得：h=1，∴點(diǎn)P到CD的距離1，到AB的距離為3，∴如下圖所示，動(dòng)點(diǎn)P在與AB平行且與AB的距離為3的直線上，作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE、BE，且兩點(diǎn)之間線段最短，∴PA+PB的最小值即為BE的長(zhǎng)度，AE=6，AB=3，∠BAE=90°，根據(jù)勾股定理：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱—最短路線問(wèn)題（兩點(diǎn)之間線段最短），勾股定理，得出動(dòng)點(diǎn)P所在的位置是解題的關(guān)鍵．2．B解析：B【分析】根據(jù)折疊前后得到對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等判斷①③④式正誤即可，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)求BC和DE的關(guān)系．【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)知，△，且都是等腰直角三角形，∴，，∴不能平分①錯(cuò)誤；，，，，，②正確；，，，，不是等腰三角形，故③錯(cuò)誤；的周長(zhǎng)，故④正確．故選：．【點(diǎn)睛】本題利用了：①折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等；②等腰直角三角形，三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系，等角對(duì)等邊等知識(shí)點(diǎn)．3．A解析：A【分析】先根據(jù)角平分線的定義、角的和差可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)、等量代換可得，然后根據(jù)等腰三角形的定義可得，從而可得，最后在中，利用勾股定理即可得．【詳解】平分，平分，，，，，，，，在中，由勾股定理得：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的定義、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握等腰三角形的定義是解題關(guān)鍵．4．C解析：C【分析】根據(jù)勾股定理即可求出答案．【詳解】解：∵∠ACB＝90°，∴在RtABC中，m＝AB＝＝，故①②③正確，∵m2＝13，9＜13＜16，∴3＜m＜4，故④錯(cuò)誤，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理及算術(shù)平方根、無(wú)理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理，本題屬于基礎(chǔ)題型．5．A解析：A【分析】作于點(diǎn)D，設(shè)，得，，結(jié)合題意，經(jīng)解方程計(jì)算得BD，再通過(guò)勾股定理計(jì)算得AD，即可完成求解．【詳解】如圖，作于點(diǎn)D設(shè)，則∴，∴∵AB=10，AC=∴∴∴∴△ABC的面積故選：A．【點(diǎn)睛】本題考察了直角三角形、勾股定理、一元一次方程的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的性質(zhì)，從而完成求解．6．A解析：A【分析】先計(jì)算AB2=2890000，BC2=640000，AC2=2250000，可得BC2+AC2=AB2，那么△ABC是直角三角形，而直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，從而可確定P點(diǎn)的位置．【詳解】解：如圖∵AB2=2890000，BC2=640000，AC2=2250000∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∴活動(dòng)中心P應(yīng)在斜邊AB的中點(diǎn)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理．解題的關(guān)鍵是證明△ABC是直角三角形．7．A解析：A【分析】分別求出以AB、AC、BC為直徑的半圓及△ABC的面積，再根據(jù)S陰影=S1+S2+S△ABC-S3即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖所示：∵∠BAC=90°，AB=4cm，AC=3cm，BC=5cm，∴以AB為直徑的半圓的面積S1=2π（cm2）；以AC為直徑的半圓的面積S2=π（cm2）；以BC為直徑的半圓的面積S3=π（cm2）；S△ABC=6（cm2）；∴S陰影=S1+S2+S△ABC-S3=6（cm2）；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵．8．C解析：C【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方即可作出判斷．【詳解】A.32+42=52，能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；B.12+12=（）2，能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；C.82+122≠132，不能構(gòu)成直角三角形，故符合題意；D.（）2+（）2=（）2，能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷．9．B解析：B【分析】根據(jù)勾股定理求出“生長(zhǎng)”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和，結(jié)合圖形總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可．【詳解】解：由題意得，正方形A的面積為1，由勾股定理得，正方形B的面積+正方形C的面積=1，∴“生長(zhǎng)”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2，同理可得，“生長(zhǎng)”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為3，∴“生長(zhǎng)”了3次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為4，……∴“生長(zhǎng)”了2020次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2021，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2．10．A解析：A【解析】試題解析：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBE=90°又∠DAB+∠ABD=90°∴∠BAD=∠CBE，，∴△ABD≌△BCE∴BE=AD=3在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理，得BC=，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得AC=.故選A．考點(diǎn)：1.勾股定理；2.全等三角形的性質(zhì)；3.全等三角形的判定．二、填空題11．5【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)F，∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),∴DE=CE，,∵AB⊥BC，AB⊥AD,∴AD∥BC,∴∠ADE=∠BCE且DE=CE，∠AED=∠CEF,∴△AED≌△FEC（ASA）,∴AD=FC=5，AE=EF,∴BF=BC-FC=5,∴在Rt△ABF中，,故答案為：6.5．12．5【解析】試題分析：取AB中點(diǎn)E，連接OE、CE，在直角三角形AOB中，OE=AB，利用勾股定理的逆定理可得△ACB是直角三角形，所以CE=AB，利用OE+CE≥OC，所以O(shè)C的最大值為OE+CE，即OC的最大值=AB=5．考點(diǎn)：勾股定理的逆定理，13．①③【分析】①由已知條件證明DAB≌EAC即可；②由①可得ABD=ACE<45°，DCB>45°；③由ECB+EBC=ABD+ECB+ABC=ACE+ECB+ABC=45°+45°=90°可判斷③；④由BE2＝BC2－EC2＝2AB2－（CD2﹣DE2）＝2AB2－CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）－CD2可判斷④．【詳解】解：∵DAE＝BAC＝90°，∴DAB＝EAC，∵AD＝AE，AB＝AC，∴AED=ADE=ABC=ACB=45°，∵在DAB和EAC中，，∴DAB≌EAC，∴BD＝CE，ABD＝ECA，故①正確；由①可得ABD=ACE<45°，DCB>45°故②錯(cuò)誤；∵ECB+EBC=ABD+ECB+ABC=ACE+ECB+ABC=45°+45°=90°，∴CEB＝90°，即CE⊥BD，故③正確；∴BE2＝BC2－EC2＝2AB2－（CD2﹣DE2）＝2AB2－CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）－CD2．∴BE2＝2（AD2+AB2）－CD2，故④錯(cuò)誤．故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，熟記全等三角形的判定與性質(zhì)定理以及勾股定理公式是解題關(guān)鍵．14．48【分析】用a和b表示直角三角形的兩個(gè)直角邊，然后根據(jù)勾股定理列出正方形面積的式子，求出的面積．【詳解】解：本圖是由八個(gè)全等的直角三角形拼成的，設(shè)這個(gè)直角三角形兩個(gè)直角邊中較長(zhǎng)的長(zhǎng)度為a，較短的長(zhǎng)度為b，即圖中的，，則，，，∵，∴，∴．故答案是：48．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，解題的關(guān)鍵是要熟悉趙爽弦圖中勾股定理的應(yīng)用．15．（0，21009）【解析】【分析】本題點(diǎn)A坐標(biāo)變化規(guī)律要分別從旋轉(zhuǎn)次數(shù)與點(diǎn)A所在象限或坐標(biāo)軸、點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離與旋轉(zhuǎn)次數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系．【詳解】∵∠OAA1=90°，OA=AA1=1，以O(shè)A1為直角邊作等腰Rt△OA1A2，再以O(shè)A2為直角邊作等腰Rt△OA2A3，…，∴OA1=，OA2=（）2，…，OA2018=（）2018，∵A1、A2、…，每8個(gè)一循環(huán)，∵2018=252×8+2∴點(diǎn)A2018的在y軸正半軸上，OA2018==21009，故答案為（0，21009）.【點(diǎn)睛】本題是平面直角坐標(biāo)系下的規(guī)律探究題，除了研究動(dòng)點(diǎn)變化的相關(guān)數(shù)據(jù)規(guī)律，還應(yīng)該注意象限符號(hào)．16．【分析】解方程可求得a=4，b=3，故三角形ABC是直角三角形，在利用三角形的面積轉(zhuǎn)化得到斜邊上的高.【詳解】解：∵，將兩個(gè)方程相加得：，∵a＞0，∴a=4代入得：，∵b＞0，∴b=3，∵a=3，b=4，c=5滿足勾股定理逆定理，∴△ABC是直角三角形，如下圖，∠ACB=90°，CD⊥AB，，即：，解得：CD=，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查求解三角形的高，解題關(guān)鍵是利用三角形的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在同一個(gè)三角形中，一個(gè)底乘對(duì)應(yīng)高等于另一個(gè)底乘對(duì)應(yīng)高.17．5【分析】在直角中，依據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度，再算出，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，通過(guò)等面積法求出BE，得到兩個(gè)直角三角形，分別運(yùn)用勾股定理算出，兩者相加即為的長(zhǎng).【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，則,,∵直角中，，，，∴,又∵，∴，,∴,∵,∴,,∴.故答案為：5.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，通過(guò)作直角三角形斜邊上的高，既構(gòu)造了兩個(gè)直角三角形求位置線段，又通過(guò)等面積法求出了一條直角邊的長(zhǎng)度，為運(yùn)用勾股定理求線段創(chuàng)造了條件；故在求線段長(zhǎng)時(shí)，可以考慮構(gòu)造直角三角形.18．10【分析】先根據(jù)勾股定理得出a2+b2＝c2，利用完全平方公式得到（a+b）2﹣2ab＝c2，再將a+b＝3，c＝5代入即可求出ab的值．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，直角邊的長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)c，∴a2+b2＝c2，∴（a+b）2﹣2ab＝c2，∵a+b＝3，c＝5，∴（3）2﹣2ab＝52，∴ab＝10．故答案為10．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理以及完全平方公式，靈活運(yùn)用完全平方公式是解題關(guān)鍵.19．10【分析】首先作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M′，作N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接M′N′，即為MP+PQ+QN的最小值，易得△ONN′為等邊三角形，△OMM′為等邊三角形，∠N′OM′=90°，繼而可以求得答案．【詳解】作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M′，作N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接M′N′，即為MP+PQ+QN的最小值．根據(jù)軸對(duì)稱的定義可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，OM′=OM=6，ON′=ON=8，∴△ONN′為等邊三角形，△OMM′為等邊三角形，∴∠N′OM′=90°．在Rt△M′ON′中，M′N′==10．故答案為10．【點(diǎn)睛】本題考查了最短路徑問(wèn)題，根據(jù)軸對(duì)稱的定義，找到相等的線段，得到直角三角形是解題的關(guān)鍵．20．【解析】試題分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可知BC邊上的高為8，然后根據(jù)三角形的面積法可得，解得BD=.三、解答題21．（1）；（2）；（3）5.5秒或6秒或6.6秒【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可；（2）由題意得出，即，解方程即可；（3）當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能使成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間有三種情況：①當(dāng)時(shí)（圖，則，可證明，則，則，從而求得；②當(dāng)時(shí)（圖，則，易求得；③當(dāng)時(shí)（圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則求出，，即可得出．【詳解】（1）解：（1），，，；（2）解：根據(jù)題意得：，即，解得：；即出發(fā)時(shí)間為秒時(shí)，是等腰三角形；（3）解：分三種情況：①當(dāng)時(shí)，如圖1所示：則，，，，，，，秒．②當(dāng)時(shí)，如圖2所示：則秒．③當(dāng)時(shí)，如圖3所示：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，，秒．由上可知，當(dāng)為5.5秒或6秒或6.6秒時(shí)，為等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、三角形的面積以及等腰三角形的判定和性質(zhì)；本題有一定難度，注意分類討論思想的應(yīng)用．22．（1）12；（2）t=12.5s時(shí)，13cm；（3）11s或12s或13.2s【分析】（1）由勾股定理即可得出結(jié)論；（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)得到PC=PA=t，則PB=16-t．在Rt△BPC中，由勾股定理可求得t的值，判斷出此時(shí)，點(diǎn)Q在邊AC上，根據(jù)CQ=2t-BC計(jì)算即可；（3）用t分別表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性質(zhì)可分BQ=BC、CQ=BC和BQ=CQ三種情況，分別得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．【詳解】（1）在Rt△ABC中，BC(cm)．故答案為：12；（2）如圖，點(diǎn)P在邊AC的垂直平分線上時(shí)，連接PC，∴PC=PA=t，PB=16-t．在Rt△BPC中，，即，解得：t=．∵Q從B到C所需的時(shí)間為12÷2=6(s)，＞6，∴此時(shí)，點(diǎn)Q在邊AC上，CQ=(cm)；（3）分三種情況討論：①當(dāng)CQ=BQ時(shí)，如圖1所示，則∠C=∠CBQ．∵∠ABC=90°，∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠A=∠ABQ，∴BQ=AQ，∴CQ=AQ=10，∴BC+CQ=22，∴t=22÷2=11(s)．②當(dāng)CQ=BC時(shí)，如圖2所示，則BC+CQ=24，∴t=24÷2=12(s)．③當(dāng)BC=BQ時(shí)，如圖3所示，過(guò)B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E，則BE，∴CE=7.2．∵BC=BQ，BE⊥CQ，∴CQ=2CE=14.4，∴BC+CQ=26.4，∴t=26.4÷2=13.2(s)．綜上所述：當(dāng)t為11s或12s或13.2s時(shí)，△BCQ為等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．用時(shí)間t表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)，化“動(dòng)”為“靜”是解決這類問(wèn)題的一般思路，注意方程思想的應(yīng)用．23．（1）證明見(jiàn)解析；（2）21.【分析】（1）只需要證明，再根據(jù)等角對(duì)等邊即可證明,再結(jié)合小明的分析即可證明；（2）作△ADC關(guān)于AC的對(duì)稱圖形,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，則=BE．設(shè)=BE=x．在Rt△CEB和Rt△CEA中，根據(jù)勾股定理構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題.【詳解】解：（1）證明：如下圖，作△ADC關(guān)于CD的對(duì)稱圖形△A′DC，∴A′D=AD，C

A′=CA，∠CA′D=∠A=60°，∵CD平分∠ACB，∴A′點(diǎn)落在CB上∵∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠A=30°，∴∠A′DB=∠CA′D-∠B=30°，即∠A′DB=∠B，∴A′D=A′B，∴CA+AD=CA′+A′D=CA′+A′B=CB.（2）如圖，作△ADC關(guān)于AC的對(duì)稱圖形△AD′C．∴D′A=DA=9，D′C=DC=10，∵AC平分∠BAD，∴D′點(diǎn)落在AB上，∵BC=10，∴D′C=BC，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，則D′E=BE，設(shè)D′E=BE=x，在Rt△CEB中，CE2=CB2-BE2=102-x2，在Rt△CEA中，CE2=AC2-AE2=172-（9+x）2．∴102-x2=172-（9+x）2，解得：x=6，∴AB=AD′+D′E+EB=9+6+6=21．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì).（1）中證明∠A′DB=∠B不是經(jīng)常用的等量代換，而是利用角之間的計(jì)算求得它們的度數(shù)相等，這有點(diǎn)困難，需要多注意；（2）中掌握方程思想是解題關(guān)鍵.24．（1）詳見(jiàn)解析；（2）①線段的長(zhǎng)度是方程的一個(gè)根，理由詳見(jiàn)解析；②【分析】（1）根據(jù)題意，利用尺規(guī)作圖畫(huà)出圖形即可；（2）①根據(jù)勾股定理求出AD，然后把AD的值代入方程，即可得到答案；②先得到出邊長(zhǎng)的關(guān)系，然后根據(jù)勾股定理，列出方程，解方程后得到答案.【詳解】（1）解：作圖，如圖所示：（2）解：①線段的長(zhǎng)度是方程的一個(gè)根.理由如下：依題意得，在中，；線段的長(zhǎng)度是方程的一個(gè)根②依題意得：在中，【點(diǎn)睛】本題考查的是基本作圖，勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解題的關(guān)鍵．25．（1）見(jiàn)解析；（2）∠ADC=；（3）【分析】（1）根據(jù)題意畫(huà)出圖形即可；（2）根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)及角與角之間的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可；（3）畫(huà)出圖形，結(jié)合（2）的結(jié)論證明△BED為等腰直角三角形，從而得出結(jié)論.【詳解】解：（1）如圖所示；（2）∵點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于直線AP對(duì)稱，∠BAP=α，∴∠PAD=α，AB=AD，∵，∴，又∵AB=AC，∴AD=AC，∴∠ADC==；（3）如圖，連接BE，由（2）知：∠ADC=，∵∠ADC=∠AED+∠EAD，且∠EAD=α，∴∠AED=45°，∵點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于直線AP對(duì)稱，即AP垂直平分BD，∴∠AED=∠AEB=45°，BE=DE，∴∠BED=90°，∴△BED是等腰直角三角形，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，明確角與角之間的關(guān)系，學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.26．（1），；（2）；（3）.【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得出，，由勾股定理得出，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）由等邊三角形的性質(zhì)得出，，，證出，由證明，即可得出；（3）證出，求出，由全等三角形的性質(zhì)得出，證出，由等邊三角形的性質(zhì)得，即可得出答案．【詳解】解：（1）是等邊三角形，點(diǎn)，點(diǎn)，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，；（2）；理由如下：，均為等邊三角形，，，，，在和中，，，；（3），，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，為等邊三角形，為斜邊的中點(diǎn)，，的周長(zhǎng)．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．27．（1）不存在，見(jiàn)解析；（2）以任意一個(gè)大于2的偶數(shù)為一條直角邊的長(zhǎng)，一定可以畫(huà)出一個(gè)直角三角形，使得該直角三角形的另兩條邊的長(zhǎng)都是正整數(shù)，見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)題意可知，這n組正整數(shù)符合規(guī)律m2-1，2m，m2+1（m≥2，且m為整數(shù)）．分三種情況：m2-1=71；2m=71；m2+1=71；進(jìn)行討論即可求解；（2）由于（m2-1）

2+（2m）

2=m4+2m2+1=（m2+1）

2，根據(jù)勾股定理的逆定理即可求解．【詳解】（1）不存在一組數(shù)，既符合上述規(guī)律，且其中一個(gè)數(shù)為71．理由如下：根據(jù)題意可知，這組正整數(shù)符合規(guī)律，，（，且為整數(shù)）．若，則，此時(shí)不符合題意；若，則，此時(shí)不符合題意；若，則，此時(shí)不符合題意，所以不存在一組數(shù)，既符合上述規(guī)律，且其中一個(gè)數(shù)為71．（2）以任意一個(gè)大于2的偶數(shù)為一條直角邊的長(zhǎng)，一定可以畫(huà)出一個(gè)直角三角形，使得該直角三角形的另兩條邊的長(zhǎng)都是正整數(shù)．理由如下：對(duì)于一組數(shù)：，，（，且為整數(shù)）．因?yàn)樗匀粢粋€(gè)三角形三邊長(zhǎng)分別為，，（，且為整數(shù)），則該三角形為直角三角形．因?yàn)楫?dāng)，且為整數(shù)時(shí)，表示任意一個(gè)大于2的偶數(shù)，，均為正整數(shù)，所以以任意一個(gè)大于2的偶數(shù)為一條直角邊的長(zhǎng)，一定可以畫(huà)出一個(gè)直角三角形，使得該直角三角形的另兩條邊的長(zhǎng)都是正整數(shù)．【點(diǎn)睛】考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．注意分類思想的應(yīng)用28．（1）AB＝4；（2）見(jiàn)解析；（3）CD+CF的最小值為4.【分析】（1）根據(jù)勾股定理可求AB的長(zhǎng)；（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AO，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得OF＝EF，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AF＝DF，設(shè)OF＝EF＝x，AE＝4﹣2x，根據(jù)勾股定理用參數(shù)x表示DE，CE的長(zhǎng)，即可證CE＝DE；（3）過(guò)點(diǎn)B作BM⊥OB，在BM上截取BM＝AO，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥BM，交MB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，根據(jù)銳角三角函數(shù)可得∠ABO＝30°，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得AC＝AO＝4，BO＝BC＝4，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠OAB＝∠CAB＝60°，根據(jù)“SAS”可證△ACF≌△BMD，可得CF＝DM，則當(dāng)點(diǎn)D在CM上時(shí)，CF+CD的值最小，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求CN，BN的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可求CM的長(zhǎng)，即可得CF+CD的最小值．【詳解】（1）∵點(diǎn)A（0，4），B（m，0），且m＝8，∴AO＝4，BO＝8，在Rt△ABO中，AB＝（2）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AO，∵DE＝DO，DF⊥AO，∴EF＝FO，∵m＝4，∴AO＝BO＝4，∴∠ABO＝∠OAB＝45°，∵點(diǎn)C，O關(guān)于直線AB對(duì)稱，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，AO＝AC＝OB＝BC＝4，∴∠CAO＝∠CBO＝90°，∵DF⊥AO，∠BAO＝45°，∴∠DAF＝∠ADF＝45°，∴AF＝DF，設(shè)OF＝EF＝x，AE＝4﹣2x，∴AF＝DF＝4﹣x，在Rt△DEF中，DE＝在Rt△ACE中，CE＝∴CE＝DE，（3）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥OB，在BM上截取BM＝AO，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥BM，交MB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，∵m＝4，∴OB＝4