角平分線的性質(zhì)

探究角平分線的性質(zhì)

(1)實(shí)驗(yàn)：將∠AOB對(duì)折，再折出一個(gè)直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開(kāi)，觀察兩次折疊形成的兩條折痕，你能得出什么結(jié)論？

(2)猜想:角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.探究角平分線的性質(zhì)

(2)實(shí)驗(yàn)：利用剛才尺規(guī)作出∠AOB的平分線OP,過(guò)P作PD⊥OA,PE⊥OB問(wèn)題：①比較PD和PE的大小關(guān)系（量一量）。

PD=PE②再換一個(gè)新的位置看看情況會(huì)怎樣？活動(dòng)1(2)猜想:角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.PAOBCED探究角平分線的性質(zhì)證明：∵OC平分∠AOB（已知）∴∠1=∠2（角平分線的定義）∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠PDO=∠PEO（垂直的定義）在△PDO和△PEO中

∠PDO=∠PEO（已證）∠1=∠2（已證）

OP=OP（公共邊）

∴

△PDO≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）PAOBCED12已知：如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E求證:PD=PE活動(dòng)5(3)驗(yàn)證猜想角平分線的性質(zhì)定理：在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等用符號(hào)語(yǔ)言表示為：AOBPED12∵∠1=∠2,PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE(角平分線的性質(zhì))題設(shè)：一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等思考：要在Ｓ區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路，鐵路距離相等且離公路，鐵路的交叉處５００米，應(yīng)建在何處？（比例尺1：20000）sＯ公路鐵路DCsＯ公路鐵路解：設(shè)OD=Xm則由題得=解得x=m

即OD=cm

作夾角的角平分線OC，截取OD=2.5cm,D即為所求。0.0252.5活動(dòng)6

如圖：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF；求證：CF=EBACDEBF實(shí)踐應(yīng)用(2)

分析:要證CF=EB,首先我們想到的是要證它們所在的兩個(gè)三角形全等,即Rt△CDF≌

Rt△EDB.

現(xiàn)已有一個(gè)條件BD=DF(斜邊相等),還需要我們找什么條件DC=DE(因?yàn)榻堑钠椒志€的性質(zhì))再用HL證明.試試自己寫(xiě)證明。你一定行！證明:∵AD平分∠CＡＢ,D是AD上一點(diǎn)（已知）

如圖：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF；求證：CF=EB∵DE⊥AB,DC⊥AC（已知）在RT△CDF和RT△BDE中

BD=DF（已知）

DC=DE（已證）∴RT△CDF≌RT△FDB(HL)∴CF＝BＥ（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）ACDEBF∴DC＝DＥ(角平分線的性質(zhì)）鞏固練習(xí)BOAC·DPE1.如圖，OC是∠AOB的平分線，∵∴PD=PEPD⊥OA，PE⊥OB2.如圖,在△ABC中，AC⊥BC，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE=

CM.EDCBA4回味無(wú)窮2.定理角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等.∵OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點(diǎn)PD⊥OA,PE⊥