第一章 質點運動學和牛頓運動定律

物理學主講：武漢理工大學物理系

劉子龍副教授1第一篇力學(Mechanics)2第1章

質點運動學和牛頓運動定律內容提要描述質點運動的4個物理量圓周運動及其描述牛頓運動定律及其應用3數(shù)學預備知識矢量的運算一.矢量的表示法aAa=|a|a

ax、ay、az分別是矢量a在坐標軸x、y、z上的投影(分量)。

i、j、k分別是沿x、y、z軸正方向的單位矢量(恒矢量)。xaxayazyzoa圖1-1A=|A|4二.矢量的加、減法aba+b三角形法aba-bab+=？多邊形法aca+b+cbbac=?-ab=？5三.標量積(點積、數(shù)量積、內積)6四.矢量積(向量積、叉積、外積)

積C的方向垂直于矢量a和b組成的平面，bac

c指向由右手螺旋法則確定。7

1.矢量函數(shù)的微商與標量函數(shù)的微商不同：

矢量函數(shù)的微商=矢量大小的微商+矢量方向的微商

五.矢量函數(shù)A(t)的微商lim

t0

2.

的方向，一般不同于A的方向。只有當

t0時，

A的極限方向，才是的方向。8

3.

在直角坐標系中,考慮到是常量,有由于Ax(t),Ay(t),Az(t)是普通的函數(shù)，所以就是普通函數(shù)的微商。9

運動是普遍的、絕對的。沒有運動就沒有世界。運動的描述是相對的。一.運動的絕對性和相對性

§1.1參考系、質點10

在研究機械運動時，選作參考的物體稱為參考系。為了對物體的運動作定量描述，還需要在參考系中取定一個固定的坐標系。坐標系是參考系的代表和抽象。二.參考系坐標系常用的坐標系有笛卡爾坐標系（直角坐標系）、柱坐標系、球坐標系和自然坐標系。m11三、物理模型—質點[選定參考系和坐標系后，對實際問題的運動仍可能很復雜。如，乒乓球的運動，有整體運動（“弧圈球”）,還有自身轉動（“上旋球”）,組成的分子還有內部運動]物理模型：為了反映物理過程的最本質特征（規(guī)律），只抓住問題的主要矛盾（方面）而忽視次要矛盾（方面）、對真實物理過程進行簡化了的理想化的模型。常用：質點(masspoint)——在所研究的問題中，形狀和大小可以忽略的物體；

剛體(rigidbody)——不計形狀變化的理想物體;

點電荷(pointcharge)——不計大小、形狀的理想

化帶電物體；等等[針對復雜運動，為描述其最主要特征或所關心的最主要方面，需要對運動進行簡化，借助于—物理模型]12可以將物體簡化為質點的兩種情況：物體不作轉動(只平動)，不形變或形變量遠小于運動線度；物體本身線度和它的活動范圍相比小得很多。13d太陽→地球

≈1.5×108km

(近地點1.47×108km,遠地點1.52×108km)R地球

≈

6.4×103kmR地球d太陽→地球<<地球太陽考察地球繞太陽公轉時，地球可視為一個質點。研究地球的自轉問題時，就不能把地球看作質點了。

14§1.2位矢位移速度加速度一.位置矢量

描述一個質點在空間位置的矢量

i、j、k

單位矢量。r=xi+yj+zk(1-1)圖1-1oxyzP(x,y,z)

xyz

ABCr

位置矢量，簡稱位矢或矢徑。由圖1-1可知,

從坐標原點o指向P點的有向線段op=r15位置矢量r的大小(即質點P到原點o的距離)為式中

,,

取小于180°的值。

方向余弦:

cos

=x/r,cos

=y/r,cos

=z/rcos2

+cos2

+cos2

=1圖1-1oxyzP(x,y,z)

xyz

ABCr16它們都叫做質點的運動方程。三.軌跡（道）方程質點所經(jīng)的空間各點聯(lián)成的曲線的方程，稱為軌跡（道）方程。運動方程

例：x=6cos2t

y=6sin2t消去時間t得：x2+y2=62這就是軌道方程。二.運動方程(1-2)(1-3)17如圖1-2所示,質點沿曲線C運動。時刻t在A點，時刻t+t在B點。

(1)位移是位置矢量r

在時間

t內的增量:四.位移和路程從起點A到終點B的有向線段AB=

r,稱為質點在時間

t內的位移。而A到B的路徑長度

S,稱為路程。Azyox圖1-2BC

Sr(t)r(t+

t)

r18**

對于一維直線運動(如x軸方向)的質點，位移為注意：坐標的增量

x=x2-x1是位移，而不是路程!

在直角坐標系中，若t1、t2時刻的位矢分別為r1和r2,則這段時間內的位移為19

位移代表位置變化，是矢量，在圖1-2中，是有向線段AB,

它的大小是|

r

,即割線AB的長度。位移=AC路程=AB+BC

AB只有當

t→0時,才有

|Δr|

S

。(2)位移和路程是兩個不同的概念。

rAzyox圖1-2BC

Sr(t)r(t+

t)BAC

路程表示路徑長度，是標量，它的大小是曲線弧AB的長度

S

。在一般情況下,

S和并不相等。20單位時間內的路程

平均速率

定義:

單位時間內的位移

平均速度五.速度、速率

rAzyox圖1-2BC

Sr(t)r(t+

t)反映質點位置變化的快慢程度。21如，質點經(jīng)時間t繞半徑R的圓周運動一圈，

即使在直線運動中，如質點經(jīng)時間

t從A點到B點又折回C點,顯然平均速度和平均速率也截然不同:而平均速率為則平均速度為BAC22質點的(瞬時)速率:lim

t

0

=

質點的(瞬時)速度:

lim

t

0這表明,質點在t時刻的速度

等于位置矢量r對時間的一階導數(shù);而速率

等于路程S對時間的一階導數(shù)。一般是時間的函數(shù)23

=

(1)速率=速度的大小。例:(A)lim

t

0=lim

t

0(B)(C)lim

t

0

=(1-10)(1-9)lim

t

0(2)=r

大小的導數(shù)+r

方向的導數(shù)。24速度的大?。?/p>

(3)在直角坐標系中,

速度的方向：某點的速度沿該點軌跡的切線方向25

為了描述速度隨時間的變化情況，我們定義：質點的平均加速度則在時間

t內質點速度的增量為六.加速度（反映速度變化快慢的物理量）如圖1-3所示,

設時刻t質點位于A點，速度為

(t),經(jīng)時間

t運動到B點，速度為

(t+t),圖1-3OxyzA.B.26

質點的(瞬時)加速度定義為

(1)在直角坐標系中,加速度的表示式是limDt

0這就是說,質點在某時刻或某位置的(瞬時)加速度等于速度矢量

對時間的一階導數(shù),或等于位矢r對時間的二階導數(shù)。27(2)加速度a的大小:

而加速度a在三個坐標軸上的分量分別為28

在曲線運動中,加速度的方向總是指向曲線凹的一邊的。在國際單位制中,加速度的單位為米/秒2(m·s-2)。加速度a的方向是：當

t→0時,速度增量

的極限方向。應該注意到,

的方向和它的極限方向一般不同于速度

的方向,因而加速度a的方向與同一時刻速度

的方向一般不相一致。aaa29例：由前面的討論我們得到了質點的位置矢量、位移、速度和加速度在直角坐標系中的正交分解式。這些式子表明,任何一個曲線運動都可以分解為沿x,y,z三個方向的直線運動,每個方向上的運動是相互獨立的,整個運動可看作是沿三個坐標軸方向的直線運動的疊加,這就是運動的疊加原理。30勻速運動速度

=常數(shù)，加速度a=0，運動方程勻加速運動角速度

≠常數(shù)，加速度a=非0常數(shù)，運動方程直線：直線：幾類特殊的運動31

以上內容的學習要點是：認真學習用微積分來處理物理問題的方法。r=xi+yj+zk求導積分運動學的兩類問題32

例題1-1

質點在xoy平面內運動，x=2t,y=19-2t2(SI);求：(1)質點在t=1s、t=2s時刻的位置,以及這1s內的位移和平均速度；(2)第1s末的速度和加速度；(3)軌道方程；平均速度：位移：當t=1s時，解

(1)位矢：當t=2s時，

(2)速度：33代入t=1s,得：加速度：

(3)軌道方程：由運動方程x=2t,y=19-2t2,得這是一條拋物線34質點作什么樣的運動？例題1-2質點的位置矢量：解：

x=3+2t2,y=2t2-1，y=x-4直線運動質點作勻加速直線運動。35例題1-3一質點沿ox軸作加速直線運動，t=0時的位置是x0，速度是v0，加速度是a=a0+bt，其中a0和b是常量。求經(jīng)過t秒后質點運動的速度和位置。解：由于質點做一維直線運動，矢量可用標量代替，通過最后結果的正負即可判斷出物理量的方向得上式兩邊從初始時刻0到任意時刻t積分36質點沿ox軸運動，由定義v=dx/dt，得到上式兩邊從初始時刻到任意時刻t積分t秒后質點的速度37t秒后質點的位置38

解

取傘兵開始下落時的位置為坐標原點,向下為x軸的正方向。

例題1-4

一傘兵由空中豎直降落,其初速度為零,而加速度和速度的關系是:a=A-B

,式中A、B為常量;求傘兵的速度和運動方程。39完成積分就得運動方程:40一.圓周運動的法向加速度和切向加速度一般情況下，質點做圓周運動的速度大小和方向都會變化，其加速度不一定指向圓心，但可按兩正交方向分解§1.3圓周運動及其描述法向加速度，描述速度方向的變化切向加速度，描述速度大小的變化41二.圓周運動的角量描述角速度角坐標AB角位移平均角速度角加速度改變速度方向改變速度大小42勻速率圓周運動角速度

=常數(shù)，角加速度=0，運動方程勻變速圓周運動角速度

≠常數(shù)，角加速度=非0常數(shù)，運動方程43三.圓周運動的角量和線量之間的關系AB線速度與角速度證明：44線加速度與角加速度45解：

(1)速度大小方向是圓周的切向。質點切向加速度和法向加速度的大小例題1-5（書中例題1-4）一質點做半徑R=1m的圓周運動，其角坐標隨時間的變化關系為

=t2+1(rad)。(1)求質點的速度和加速度；(2)問

多大時，該質點的切向加速度和法向加速度大小相等？46故質點加速度大小其方向可用與切向的夾角

表示（2）令47

例題1-6

一半徑R=1m的飛輪，角坐標=2+12t-t3(SI),求：(1)飛輪邊緣上一點在第1s末的法向加速度和切向加速度；(2)經(jīng)多少時間、轉幾圈飛輪將停止轉動？

an=R2=(12-3t2)2,

at=R=-6t代入t=1s,得an=812,at=-6(SI)(2)停止轉動條件：

=12-3t2=0,得到：t=2s。

t=2s,2=18，解：(1)

t=0,0=2,所以轉過角度：=2-0=16=8圈。48

圓周運動與直線運動的比較直線運動圓周運動坐標x角坐標q速度角速度加速度角加速度若a=恒量，則若

=恒量,則49§1.4牛頓運動定律一.牛頓第一定律任何物體都要保持其靜止或勻速直線運動狀態(tài),直到外力迫使它改變運動狀態(tài)為止。(1)牛頓第一定律表明任何物體都有保持其運動狀態(tài)不變的性質——慣性；故又稱“慣性定律”。(2)指出了力是改變物體運動狀態(tài)的原因。(3)定義了慣性系：如果在某參考系中，一個不受力(或所受合外力為0)的物體能保持其靜止或勻速直線運動狀態(tài),則該參考系為慣性參考系］50二.牛頓第二定律表述一：物體受到外力作用時，所獲得的加速度的大小與合外力成正比，與物體的質量成反比，加速度的方向與合外力的方向相同。牛頓第二定律建立起了物體受力與物體運動之間的定量關系；

F是物體所受的合外力；

m稱為慣性質量，用于量度物體的慣性之大小。牛頓第二定律確立了物體慣性的量度方法：物體質量越大,慣性越大,越不易改變運動狀態(tài)。51

公式中F和a都是瞬時量；牛頓第二定律反映了物體受力和運動狀態(tài)變化之間的瞬時作用關系。是矢量關系，在特定坐標系下可寫成分量式：52表述二適用于變質量和恒定質量的運動問題，因而更具一般性。表述二：物體所受的合外力等于物體動量隨時間的變化率。（牛頓的原始表述）若物體的質量m恒定，則即表述一的數(shù)學形式。故表述一僅適合m恒定的情形。53三.牛頓第三定律（作用力與反作用力定律）兩物體之間的作用力和反作用力，大小相等、方向相反,且在同一直線上。作用力和反作用力總是成對出現(xiàn)、成對消失。54§1.5幾種常見的力一、萬有引力m1m2r兩個質量為別為m1和m2的物體，相距為r，各自受到彼此的吸引力是一對作用和反作用力，其大小為引力常數(shù)G=6.67×10-11N.m2/kg255二、彈性力物體在外力作用下的形變力，如壓力，張力，彈簧彈性力等彈簧彈性力:(胡克定理)三、摩擦力一般情況滑動摩擦力靜摩擦力56§1.6牛頓運動定律的應用應用牛頓運動定律解題的幾個基本步驟：選對象；查受力；建坐標；列方程；解問題1.確定研究對象，幾個物體連在一起的須作隔離體；3.牛頓定律是矢量公式，必須選擇合適的坐標系,將其分解；5.求解方程，一般先用符號求解，后代入數(shù)據(jù)計算結果；注意單位的使用、矢量的方向性。2.進行受力分析，畫受力圖；4.根據(jù)牛頓第二定律列方程（一般用分量式）；57例題1-7（書中例題1-6）桌上有一質量m0=1.5kg的物體B，其上放一質量為m=2.45kg的另一物體A，兩物體之間、物體B與桌面之間的動摩擦因數(shù)均為

=0.25.要將物體B從物體A下面抽出，至少需要多大的水平力F？B