第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)和牛頓運(yùn)動(dòng)定律

物理學(xué)主講：武漢理工大學(xué)物理系

劉子龍副教授1第一篇力學(xué)(Mechanics)2第1章

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)和牛頓運(yùn)動(dòng)定律內(nèi)容提要描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的4個(gè)物理量圓周運(yùn)動(dòng)及其描述牛頓運(yùn)動(dòng)定律及其應(yīng)用3數(shù)學(xué)預(yù)備知識矢量的運(yùn)算一.矢量的表示法aAa=|a|a

ax、ay、az分別是矢量a在坐標(biāo)軸x、y、z上的投影(分量)。

i、j、k分別是沿x、y、z軸正方向的單位矢量(恒矢量)。xaxayazyzoa圖1-1A=|A|4二.矢量的加、減法aba+b三角形法aba-bab+=？多邊形法aca+b+cbbac=?-ab=？5三.標(biāo)量積(點(diǎn)積、數(shù)量積、內(nèi)積)6四.矢量積(向量積、叉積、外積)

積C的方向垂直于矢量a和b組成的平面，bac

c指向由右手螺旋法則確定。7

1.矢量函數(shù)的微商與標(biāo)量函數(shù)的微商不同：

矢量函數(shù)的微商=矢量大小的微商+矢量方向的微商

五.矢量函數(shù)A(t)的微商lim

t0

2.

的方向，一般不同于A的方向。只有當(dāng)

t0時(shí)，

A的極限方向，才是的方向。8

3.

在直角坐標(biāo)系中,考慮到是常量,有由于Ax(t),Ay(t),Az(t)是普通的函數(shù)，所以就是普通函數(shù)的微商。9

運(yùn)動(dòng)是普遍的、絕對的。沒有運(yùn)動(dòng)就沒有世界。運(yùn)動(dòng)的描述是相對的。一.運(yùn)動(dòng)的絕對性和相對性

§1.1參考系、質(zhì)點(diǎn)10

在研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)時(shí)，選作參考的物體稱為參考系。為了對物體的運(yùn)動(dòng)作定量描述，還需要在參考系中取定一個(gè)固定的坐標(biāo)系。坐標(biāo)系是參考系的代表和抽象。二.參考系坐標(biāo)系常用的坐標(biāo)系有笛卡爾坐標(biāo)系（直角坐標(biāo)系）、柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系和自然坐標(biāo)系。m11三、物理模型—質(zhì)點(diǎn)[選定參考系和坐標(biāo)系后，對實(shí)際問題的運(yùn)動(dòng)仍可能很復(fù)雜。如，乒乓球的運(yùn)動(dòng)，有整體運(yùn)動(dòng)（“弧圈球”）,還有自身轉(zhuǎn)動(dòng)（“上旋球”）,組成的分子還有內(nèi)部運(yùn)動(dòng)]物理模型：為了反映物理過程的最本質(zhì)特征（規(guī)律），只抓住問題的主要矛盾（方面）而忽視次要矛盾（方面）、對真實(shí)物理過程進(jìn)行簡化了的理想化的模型。常用：質(zhì)點(diǎn)(masspoint)——在所研究的問題中，形狀和大小可以忽略的物體；

剛體(rigidbody)——不計(jì)形狀變化的理想物體;

點(diǎn)電荷(pointcharge)——不計(jì)大小、形狀的理想

化帶電物體；等等[針對復(fù)雜運(yùn)動(dòng)，為描述其最主要特征或所關(guān)心的最主要方面，需要對運(yùn)動(dòng)進(jìn)行簡化，借助于—物理模型]12可以將物體簡化為質(zhì)點(diǎn)的兩種情況：物體不作轉(zhuǎn)動(dòng)(只平動(dòng))，不形變或形變量遠(yuǎn)小于運(yùn)動(dòng)線度；物體本身線度和它的活動(dòng)范圍相比小得很多。13d太陽→地球

≈1.5×108km

(近地點(diǎn)1.47×108km,遠(yuǎn)地點(diǎn)1.52×108km)R地球

≈

6.4×103kmR地球d太陽→地球<<地球太陽考察地球繞太陽公轉(zhuǎn)時(shí)，地球可視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。研究地球的自轉(zhuǎn)問題時(shí)，就不能把地球看作質(zhì)點(diǎn)了。

14§1.2位矢位移速度加速度一.位置矢量

描述一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在空間位置的矢量

i、j、k

單位矢量。r=xi+yj+zk(1-1)圖1-1oxyzP(x,y,z)

xyz

ABCr

位置矢量，簡稱位矢或矢徑。由圖1-1可知,

從坐標(biāo)原點(diǎn)o指向P點(diǎn)的有向線段op=r15位置矢量r的大小(即質(zhì)點(diǎn)P到原點(diǎn)o的距離)為式中

,,

取小于180°的值。

方向余弦:

cos

=x/r,cos

=y/r,cos

=z/rcos2

+cos2

+cos2

=1圖1-1oxyzP(x,y,z)

xyz

ABCr16它們都叫做質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。三.軌跡（道）方程質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)的空間各點(diǎn)聯(lián)成的曲線的方程，稱為軌跡（道）方程。運(yùn)動(dòng)方程

例：x=6cos2t

y=6sin2t消去時(shí)間t得：x2+y2=62這就是軌道方程。二.運(yùn)動(dòng)方程(1-2)(1-3)17如圖1-2所示,質(zhì)點(diǎn)沿曲線C運(yùn)動(dòng)。時(shí)刻t在A點(diǎn)，時(shí)刻t+t在B點(diǎn)。

(1)位移是位置矢量r

在時(shí)間

t內(nèi)的增量:四.位移和路程從起點(diǎn)A到終點(diǎn)B的有向線段AB=

r,稱為質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間

t內(nèi)的位移。而A到B的路徑長度

S,稱為路程。Azyox圖1-2BC

Sr(t)r(t+

t)

r18**

對于一維直線運(yùn)動(dòng)(如x軸方向)的質(zhì)點(diǎn)，位移為注意：坐標(biāo)的增量

x=x2-x1是位移，而不是路程!

在直角坐標(biāo)系中，若t1、t2時(shí)刻的位矢分別為r1和r2,則這段時(shí)間內(nèi)的位移為19

位移代表位置變化，是矢量，在圖1-2中，是有向線段AB,

它的大小是|

r

,即割線AB的長度。位移=AC路程=AB+BC

AB只有當(dāng)

t→0時(shí),才有

|Δr|

S

。(2)位移和路程是兩個(gè)不同的概念。

rAzyox圖1-2BC

Sr(t)r(t+

t)BAC

路程表示路徑長度，是標(biāo)量，它的大小是曲線弧AB的長度

S

。在一般情況下,

S和并不相等。20單位時(shí)間內(nèi)的路程

平均速率

定義:

單位時(shí)間內(nèi)的位移

平均速度五.速度、速率

rAzyox圖1-2BC

Sr(t)r(t+

t)反映質(zhì)點(diǎn)位置變化的快慢程度。21如，質(zhì)點(diǎn)經(jīng)時(shí)間t繞半徑R的圓周運(yùn)動(dòng)一圈，

即使在直線運(yùn)動(dòng)中，如質(zhì)點(diǎn)經(jīng)時(shí)間

t從A點(diǎn)到B點(diǎn)又折回C點(diǎn),顯然平均速度和平均速率也截然不同:而平均速率為則平均速度為BAC22質(zhì)點(diǎn)的(瞬時(shí))速率:lim

t

0

=

質(zhì)點(diǎn)的(瞬時(shí))速度:

lim

t

0這表明,質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的速度

等于位置矢量r對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù);而速率

等于路程S對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。一般是時(shí)間的函數(shù)23

=

(1)速率=速度的大小。例:(A)lim

t

0=lim

t

0(B)(C)lim

t

0

=(1-10)(1-9)lim

t

0(2)=r

大小的導(dǎo)數(shù)+r

方向的導(dǎo)數(shù)。24速度的大?。?/p>

(3)在直角坐標(biāo)系中,

速度的方向：某點(diǎn)的速度沿該點(diǎn)軌跡的切線方向25

為了描述速度隨時(shí)間的變化情況，我們定義：質(zhì)點(diǎn)的平均加速度則在時(shí)間

t內(nèi)質(zhì)點(diǎn)速度的增量為六.加速度（反映速度變化快慢的物理量）如圖1-3所示,

設(shè)時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)位于A點(diǎn)，速度為

(t),經(jīng)時(shí)間

t運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，速度為

(t+t),圖1-3OxyzA.B.26

質(zhì)點(diǎn)的(瞬時(shí))加速度定義為

(1)在直角坐標(biāo)系中,加速度的表示式是limDt

0這就是說,質(zhì)點(diǎn)在某時(shí)刻或某位置的(瞬時(shí))加速度等于速度矢量

對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù),或等于位矢r對時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。27(2)加速度a的大小:

而加速度a在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量分別為28

在曲線運(yùn)動(dòng)中,加速度的方向總是指向曲線凹的一邊的。在國際單位制中,加速度的單位為米/秒2(m·s-2)。加速度a的方向是：當(dāng)

t→0時(shí),速度增量

的極限方向。應(yīng)該注意到,

的方向和它的極限方向一般不同于速度

的方向,因而加速度a的方向與同一時(shí)刻速度

的方向一般不相一致。aaa29例：由前面的討論我們得到了質(zhì)點(diǎn)的位置矢量、位移、速度和加速度在直角坐標(biāo)系中的正交分解式。這些式子表明,任何一個(gè)曲線運(yùn)動(dòng)都可以分解為沿x,y,z三個(gè)方向的直線運(yùn)動(dòng),每個(gè)方向上的運(yùn)動(dòng)是相互獨(dú)立的,整個(gè)運(yùn)動(dòng)可看作是沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的直線運(yùn)動(dòng)的疊加,這就是運(yùn)動(dòng)的疊加原理。30勻速運(yùn)動(dòng)速度

=常數(shù)，加速度a=0，運(yùn)動(dòng)方程勻加速運(yùn)動(dòng)角速度

≠常數(shù)，加速度a=非0常數(shù)，運(yùn)動(dòng)方程直線：直線：幾類特殊的運(yùn)動(dòng)31

以上內(nèi)容的學(xué)習(xí)要點(diǎn)是：認(rèn)真學(xué)習(xí)用微積分來處理物理問題的方法。r=xi+yj+zk求導(dǎo)積分運(yùn)動(dòng)學(xué)的兩類問題32

例題1-1

質(zhì)點(diǎn)在xoy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，x=2t,y=19-2t2(SI);求：(1)質(zhì)點(diǎn)在t=1s、t=2s時(shí)刻的位置,以及這1s內(nèi)的位移和平均速度；(2)第1s末的速度和加速度；(3)軌道方程；平均速度：位移：當(dāng)t=1s時(shí)，解

(1)位矢：當(dāng)t=2s時(shí)，

(2)速度：33代入t=1s,得：加速度：

(3)軌道方程：由運(yùn)動(dòng)方程x=2t,y=19-2t2,得這是一條拋物線34質(zhì)點(diǎn)作什么樣的運(yùn)動(dòng)？例題1-2質(zhì)點(diǎn)的位置矢量：解：

x=3+2t2,y=2t2-1，y=x-4直線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)。35例題1-3一質(zhì)點(diǎn)沿ox軸作加速直線運(yùn)動(dòng)，t=0時(shí)的位置是x0，速度是v0，加速度是a=a0+bt，其中a0和b是常量。求經(jīng)過t秒后質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度和位置。解：由于質(zhì)點(diǎn)做一維直線運(yùn)動(dòng)，矢量可用標(biāo)量代替，通過最后結(jié)果的正負(fù)即可判斷出物理量的方向得上式兩邊從初始時(shí)刻0到任意時(shí)刻t積分36質(zhì)點(diǎn)沿ox軸運(yùn)動(dòng)，由定義v=dx/dt，得到上式兩邊從初始時(shí)刻到任意時(shí)刻t積分t秒后質(zhì)點(diǎn)的速度37t秒后質(zhì)點(diǎn)的位置38

解

取傘兵開始下落時(shí)的位置為坐標(biāo)原點(diǎn),向下為x軸的正方向。

例題1-4

一傘兵由空中豎直降落,其初速度為零,而加速度和速度的關(guān)系是:a=A-B

,式中A、B為常量;求傘兵的速度和運(yùn)動(dòng)方程。39完成積分就得運(yùn)動(dòng)方程:40一.圓周運(yùn)動(dòng)的法向加速度和切向加速度一般情況下，質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的速度大小和方向都會變化，其加速度不一定指向圓心，但可按兩正交方向分解§1.3圓周運(yùn)動(dòng)及其描述法向加速度，描述速度方向的變化切向加速度，描述速度大小的變化41二.圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述角速度角坐標(biāo)AB角位移平均角速度角加速度改變速度方向改變速度大小42勻速率圓周運(yùn)動(dòng)角速度

=常數(shù)，角加速度=0，運(yùn)動(dòng)方程勻變速圓周運(yùn)動(dòng)角速度

≠常數(shù)，角加速度=非0常數(shù)，運(yùn)動(dòng)方程43三.圓周運(yùn)動(dòng)的角量和線量之間的關(guān)系A(chǔ)B線速度與角速度證明：44線加速度與角加速度45解：

(1)速度大小方向是圓周的切向。質(zhì)點(diǎn)切向加速度和法向加速度的大小例題1-5（書中例題1-4）一質(zhì)點(diǎn)做半徑R=1m的圓周運(yùn)動(dòng)，其角坐標(biāo)隨時(shí)間的變化關(guān)系為

=t2+1(rad)。(1)求質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度；(2)問

多大時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)的切向加速度和法向加速度大小相等？46故質(zhì)點(diǎn)加速度大小其方向可用與切向的夾角

表示（2）令47

例題1-6

一半徑R=1m的飛輪，角坐標(biāo)=2+12t-t3(SI),求：(1)飛輪邊緣上一點(diǎn)在第1s末的法向加速度和切向加速度；(2)經(jīng)多少時(shí)間、轉(zhuǎn)幾圈飛輪將停止轉(zhuǎn)動(dòng)？

an=R2=(12-3t2)2,

at=R=-6t代入t=1s,得an=812,at=-6(SI)(2)停止轉(zhuǎn)動(dòng)條件：

=12-3t2=0,得到：t=2s。

t=2s,2=18，解：(1)

t=0,0=2,所以轉(zhuǎn)過角度：=2-0=16=8圈。48

圓周運(yùn)動(dòng)與直線運(yùn)動(dòng)的比較直線運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)x角坐標(biāo)q速度角速度加速度角加速度若a=恒量，則若

=恒量,則49§1.4牛頓運(yùn)動(dòng)定律一.牛頓第一定律任何物體都要保持其靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài),直到外力迫使它改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為止。(1)牛頓第一定律表明任何物體都有保持其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變的性質(zhì)——慣性；故又稱“慣性定律”。(2)指出了力是改變物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因。(3)定義了慣性系：如果在某參考系中，一個(gè)不受力(或所受合外力為0)的物體能保持其靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài),則該參考系為慣性參考系］50二.牛頓第二定律表述一：物體受到外力作用時(shí)，所獲得的加速度的大小與合外力成正比，與物體的質(zhì)量成反比，加速度的方向與合外力的方向相同。牛頓第二定律建立起了物體受力與物體運(yùn)動(dòng)之間的定量關(guān)系；

F是物體所受的合外力；

m稱為慣性質(zhì)量，用于量度物體的慣性之大小。牛頓第二定律確立了物體慣性的量度方法：物體質(zhì)量越大,慣性越大,越不易改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。51

公式中F和a都是瞬時(shí)量；牛頓第二定律反映了物體受力和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化之間的瞬時(shí)作用關(guān)系。是矢量關(guān)系，在特定坐標(biāo)系下可寫成分量式：52表述二適用于變質(zhì)量和恒定質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)問題，因而更具一般性。表述二：物體所受的合外力等于物體動(dòng)量隨時(shí)間的變化率。（牛頓的原始表述）若物體的質(zhì)量m恒定，則即表述一的數(shù)學(xué)形式。故表述一僅適合m恒定的情形。53三.牛頓第三定律（作用力與反作用力定律）兩物體之間的作用力和反作用力，大小相等、方向相反,且在同一直線上。作用力和反作用力總是成對出現(xiàn)、成對消失。54§1.5幾種常見的力一、萬有引力m1m2r兩個(gè)質(zhì)量為別為m1和m2的物體，相距為r，各自受到彼此的吸引力是一對作用和反作用力，其大小為引力常數(shù)G=6.67×10-11N.m2/kg255二、彈性力物體在外力作用下的形變力，如壓力，張力，彈簧彈性力等彈簧彈性力:(胡克定理)三、摩擦力一般情況滑動(dòng)摩擦力靜摩擦力56§1.6牛頓運(yùn)動(dòng)定律的應(yīng)用應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律解題的幾個(gè)基本步驟：選對象；查受力；建坐標(biāo)；列方程；解問題1.確定研究對象，幾個(gè)物體連在一起的須作隔離體；3.牛頓定律是矢量公式，必須選擇合適的坐標(biāo)系,將其分解；5.求解方程，一般先用符號求解，后代入數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果；注意單位的使用、矢量的方向性。2.進(jìn)行受力分析，畫受力圖；4.根據(jù)牛頓第二定律列方程（一般用分量式）；57例題1-7（書中例題1-6）桌上有一質(zhì)量m0=1.5kg的物體B，其上放一質(zhì)量為m=2.45kg的另一物體A，兩物體之間、物體B與桌面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為

=0.25.要將物體B從物體A下面抽出，至少需要多大的水平力F？B